Vlastnosti pravděpodobnosti:
1) P(∅) = 0
2) 0 ≤ P ≤ 1 Dukaz Když by platilo P(A) > 1, tak P(A ∪ A) = P(A) + P(A) = 1 a P(A)by bylo menší než 1, což je spor s druhým axiomem.
3) P(A̅ ∪ A) = 1 → P(A̅) = 1 − P(A)
4) B ⊂ A → P(B) ≤ P(A) Dukaz: A = (A\B) ∪ B 5) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Dukaz: A = (A\B) ∪ (A ∩ B), B = (B\A) ∪ (A ∩ B) P(A ∪ B) = P(A\B) + P(A ∩ B) + P(B\A)
6) A, B nezávislé právě tehdy když P(A ∩ B) = P(A). P(B)
Bayesův teorém:
P(A ∩ B) = P(A|B). P(B) P(B ∩ A) = P(B|A). P(A) A tedy:
P(A|B) =P(B|A). P(A) P(B)
Pokud Ai jsou po dvou disjunktní množiny tvořící úplný soubor jevů, tak (využívá se vzorec pro úplnou pravděpodobnost)
P(Ak|B) = P(B|Ak)P(Ak)
∑ P(B|Aj)P(Aj)
Těhotenský test
Ω = [(t,+),(t,-),(n,+),(n,-)]
t/n – těhotná/není těhotná, +/- test říká ano/ne T = [(t,+),(t,-)] je těhotná
N = [(n,+),(n,-)] není těhotná R+ = [(t,+),(n,+)] test říká ano R- = [(t,-),(n,-)] test říká ne
P(T|R +) =P(R + |T)P(T)
P(R+) = P(R + |T)P(T)
P(R + |T)P(T) + P(R + |N)P(N)
P(T) za rok cca 0,1, tedy 0,008 za měsíc P(N) =0,992
P(R+|T) =0,995 (napsáno na testu) P(R+|N)=0,01 (Odhad)