I.2 Caractérisation par les suites

plot3d x$y

x² Cy²,x=K1 ..1,y=K1 ..1,axes=boxed ;

-0,5 -0,25 0,0 0,25

-1,0 0,5-1,0

-0,5 -0,5

0,0 0,0

y x

0,5 0,5

1,0 1,0

restart;

plot3d x$y²

x² Cy⁴,x=K1 ..1,y=K1 ..1,axes=boxed ;

f : (x,y)7→x y/(x²+y²), non continue en(0, 0)

Jusqu’auII.5., c’est un chapitre assez simple : on remplace|.|sur Rou sur C park.ksur un espace vectoriel normé. Ce qui est beaucoup plus nouveau, c’est la continuité des applications linéaires.

I Limites

I.1 Définition

Soit f une application définie sur une partieAd’un espace vectoriel norméE, à valeurs dans un espace vectoriel norméF, et soitaun élément deEadhérent àA(on résumera ces hypothèses enf : A⊂E−→F , a∈A). Soitbun élément de F. On dit que f a pour limiteb ena, et on note lim

a f =b, ou lim

x→af(x)=b lorsque :

∀²>0 ∃η>0 ∀x∈A kx−akE≤η =⇒ kf(x)−bkF≤². Remarque 1 (unicité de la limite) : S’il y a une limite, elle est unique.

Remarque 2 (influence du choix des normes) : La définition dépend du choix des normes surEet surF. Mais remplacer une norme surEou surF par une norme équivalente ne change pas la définition.

Autres formulations, à l’aide des boules et des voisinages : La définition don- née est équivalente à ;

∀²>0 ∃η>0 ∀x∈A x∈BE(a,η)=⇒f(x)∈BF(b,²) ou à :

∀V ∈VF(b) ∃W∈VA(a) f(W)⊂V oùVF(b) désigne l’ensemble des voisinages debdansF.

On n’utilisera pas l’écriture avec les voisinages, mais elle montre bien le rôle

« unificateur » de cette notion. On n’utilisera pas non plus l’écriture avec les boules, mais elle est assez « graphique ».

I.2 Caractérisation par les suites

Proposition importante : Soit f : A⊂E −→F , a∈ A. Soitb un élément deF. f a pour limitebenasi et seulement si, pour toute suite (u_n)n∈N

d’éléments deAqui converge versa, la suite¡ f(u_n)¢

n∈Nconverge versb.

Ce résultat est très important car très utile : il permet d’abord de déduire des ré- sultats sur les limites de fonctions en utilisant des résultats connus sur les limites de suites. Il intervient aussi dans l’étude de suites u_n+1=f(u_n).

Proposition peu importante : Soit f : A⊂E−→F , a∈A. f a une limite en a si et seulement si, pour toute suite (u_n)_n∈N d’éléments de A qui converge versa, la suite¡

f(u_n)¢

n∈Nconverge.

I.3 Limites infinies, limites en l’infini

Il arrive, assez souvent, queE=RouF =R.

a. Limites en±∞

Soit f : A⊂R−→F; on suppose∀x∈R [x,+∞[∩A6= ; (ce qui signifie : A non majorée). Soitbun élément deF. On définit :

lim+∞f =b de la manière suivante :

∀²>0 ∃M∈R ∀x∈A x≥M =⇒ kf(x)−bkF≤².

Soit f : A⊂R−→F; on supposeA non minorée. Soitb un élément deF. On définit :

lim−∞f =b ⇐⇒

b. Limites infinies

Soit f : A⊂E−→R, a∈A. On définit : lima f = +∞ ⇐⇒

Soit f : A⊂E−→R, a∈A. On définit : lima f = −∞ ⇐⇒

c. Limites infinies en±∞

Ne concernent que les fonctions réelles d’une variable réelle : vu dans T1.

d. Unification à l’aide des voisinages

(Parenthèse culturelle hors-programme, mais unifier les différentes écritures de limites était un objectif de Hilbert)

Si A est une partie non majorée deR, on appelleravoisinage de+∞ dans A toute partieV deAtelle qu’il existeMréel vérifiant : ]M,+∞[∩A⊂V. Ainsi, un voisinage de+∞dansRest une partie deRcontenant un intervalle non majoré (ou : contenant tous les réels supérieurs ou égaux à un réel donné). On définit de même les voisinages de−∞. La limite def ena (finie ou infinie) est alorsb (fini ou infini) si et seulement si

∀V ∈VF(b) ∃W∈VA(a) f(W)⊂V .

On remarque que cette définition contient aussi les limites de suites considé- rées comme applications de la partieNdeRà valeurs dansF, aveca= +∞.

I.4 Limite quand la variable tend en norme vers l’infini

DansR, c’est un peu particulier, car on peut naturellement distinguer deux ma- nières particulières de tendre vers l’infini. Mais dans un espace vectoriel normé quelconque, on se contente de dire quextend vers « l’infini » lorsquekxktend vers+∞.

Soit f : A ⊂E −→F; on suppose A non bornée. Soitb un élément deF. On définit lim

kxkE→+∞f(x)=bpar

∀²>0 ∃M∈R ∀x∈A kxkE≥M =⇒ kf(x)−bkF ≤².

On définit de même, si f est à valeurs réelles, lim

kxkE→+∞f(x)= ±∞.

I.5 Opérations sur les limites

a. Combinaison linéaire

Soitf,gdeux applications d’une partieAd’unK-espace vectoriel norméEvers unK-espace vectoriel norméF, et soita∈A.

Si f(x)−−−→

x→a betg(x)−−−→

x→a c, si (λ,µ)∈K², alors λf(x)+µg(x)−−−→

x→a λb+µc

b. Produit par une fonction à valeurs scalaires

On considère deuxK-espaces vectoriels normésEetF, A⊂E,a∈A.

Siλ : A⊂E→K, vérifieλ(x)−−−→

x→a α, Si f : A⊂E→F, vérifief(x)−−−→

x→a b, alors

(λ.f)(x)=λ(x).f(x)−−−→

x→a α.b.

Si f(x)−−−→

x→a 0_F et siλest bornée au voisinage dea, ou Siλ(x)−−−→

x→a 0 et si f est bornée au voisinage dea, alors (λ.f)(x)=λ(x).f(x)−−−→

x→a 0_F.

I.6 Limite suivant une partie

Soitf : A⊂E−→F , a∈A, soitPune partie de Atelle queasoit adhérent àP. La limite def enasuivantP est, si elle existe, la limite enade la restriction de f àP. Si Aest une partie deR, la limite enasuivant [a,+∞[∩Aou ]a,+∞[∩A est (bien sûr si elle existe) lalimite à droiteena, notée lim

a⁺ ou plus explicite- ment lim

x→a x≥a

et lim

x→a x>a

respectivement. On définit de même les limites à gauche. On considère aussi parfois la limite enasuivantA\ {a}, c’est-à-dire lim_x

→a x6=a

.

I.7 Caractérisation par les composantes

Proposition Soitf : A⊂E−→F,a∈A. On suppose dim(F)< +∞, (e1, . . . ,e_p) une base deF. On note, pour toutx∈A,

f(x)=

p

X

k=1

f_k(x)e_k

Soit`=

p

X

k=1

`ke_k∈F. Alors

³

f(x)−−−→

x→a `´

⇐⇒

³

∀k∈ ‚1,pƒ f_k(x)−−−→

x→a `k

´

I.8 Limite d’une application à valeurs dans un espace produit

Proposition

Soit f : A⊂E−→F1× · · · ×Fp, a∈A; on note, pour toutx, f(x)=¡

f1(x), . . . ,fn(x)¢

On définit ainsi des applications f_i : A⊂E−→F_i. Alorsf a pour limite (b₁, . . . ,b_n) enasi et seulement si chaque f_i a pour limiteb_i ena.

II Continuité

II.1 Définition

Définition : Soit f : A⊂E −→F, a ∈ A. On dit que f est continue en a lorsque

f(x)−−−→

x→a f(a)

ou, ce qui est équivalent, lorsquef a une limite ena(cette limite ne peut alors être autre que f(a)).

On dit que f est continue surAlorsque f est continue en tout point de A.

Remarque :La continuité en un point est une propriété locale : si deux appli- cations coïncident au voisinage d’un point, la continuité de l’une en ce point équivaut à celle de l’autre.

Exemple : Toute fonction lipschitzienne est continue.

II.2 Caractérisation de la continuité par les suites

Proposition : f est continue enasi et seulement si, pour toute suite (a_n)_n∈N d’éléments de A qui converge versa, la suite¡

f(a_n)¢

n∈N converge (vers f(a)).

II.3 Opérations sur les fonctions continues

E,F sont desK-espaces vectoriels.

Proposition

Si f : A⊂E →F et g : A⊂E →F sont continues en a, si (λ,µ)∈K², λf +µg est continue ena.

Proposition

Si f : A⊂E →F etg : A⊂E →F sont continues surA, si (λ,µ)∈K², λf +µg est continue sur A.

Proposition

Si f : A⊂E →F etλ : A⊂E →Ksont continues ena (resp. sur A), x7→λ(x)f(x) est continue ena(resp. surA).

C¡ A,F¢

est donc unK-espace vectoriel, C¡ A,K¢

est uneK-algèbre (K-espace vectoriel, anneau, etα(f ×g)=(αf)×g=f ×(αg)).

Proposition

Si f est continue enxetg est continue enf(x),g◦f est continue enx.

Si f est continue sur Aetg est continue sur f(A),g◦f est continue sur A.

II.4 Caractérisation par les composantes

Proposition Soitf : A⊂E−→F,a∈A. On suppose dim(F)< +∞, (e1, . . . ,e_p) une base deF. On note, pour toutx∈A,

f(x)=

p

X

k=1

f_k(x)e_k

Alors f est continue ena(resp. surA) si et seulement si chaquef_k l’est.

II.5 Continuité d’une application à valeurs dans un espace pro- duit

Proposition : Soit f : A ⊂E −→F1× · · · ×Fp , a ∈ A. On définit les ap- plications fi : A ⊂E −→Fi comme dans8.. Alors f est continue en a (respectivement sur A) si et seulement si chaquefi l’est.

II.6 Continuité et densité

a. Le résultat

Proposition : Soitf : A⊂E−→F etg : A⊂E−→F deux applications. On suppose

(i) f etg continues surA (ii)Ddense dansA

(iii)∀x∈D f(x)=g(x)

Alors f =g (i.e.∀x∈A f(x)=g(x)).

Autrement dit, deux applications continues qui coïncident sur une partie dense sont égales.

b. L’exercice classique

On cherche les fonctions f : R→Rcontinues et vérifiant

∀(x,y)∈R² f(x+y)=f(x)+f(y)

(On peut rencontrer à l’oral des équations fonctionnelles analogues).

1. Montrer∀x∈R ∀m∈Z f(mx)=m f(x).

2. Montrer∀x∈R ∀r∈Q f(r x)=r f(x).

3. Montrer qu’il existeα∈Rtel que∀x∈R f(x)=αx.

II.7 Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé

Proposition : Soit f : A⊂E−→F une application continue. Alors l’image réciproque par f de tout ouvert (deF) est un ouvert deA(i.e. un ouvert

« relatif » de A). L’image réciproque par f de tout fermé (de F) est un fermé deA.

Autrement dit, soitX ⊂F.

SiX est ouvert,f⁻¹(X) est un ouvert deA.

SiX est fermé, f⁻¹(X) est fermé deA.

C’est un résultat très utile ! Par exemple, si f etg sont deux fonctions continues surAà valeurs réelles,

{x∈A; f(x)=g(x)} est {x∈A; f(x)<g(x)} est {x∈A; f(x)6=g(x)} est

On verra beaucoup d’exemples d’applications de ce résultat.

Exercice culturel :Soitf : A⊂E−→F. On suppose que l’image réciproque par f de tout ouvert deF est un ouvert de A. Montrer que f est continue.

Bien que ce soit complètement hors-programme, on pourra être intéressé(e) par le fait que c’est ici la définition générale de la continuité d’une application : une application est continue si et seulement si l’image réciproque par cette ap- plication de tout ouvert est un ouvert.

II.8 Continuité uniforme

La fonction f : A⊂E−→F est uniformément continue surAlorsque

∀²>0 ∃η>0 ∀(x,y)∈A² ky−xkE≤η =⇒ kf(y)−f(x)k ≤² Les applications lipschitziennes, entre autres, sont uniformément continues.

Table des matières

I Limites 2

I.1 Définition . . . 2

I.2 Caractérisation par les suites . . . 3

I.3 Limites infinies, limites en l’infini . . . 3

a. Limites en±∞ . . . 3

b. Limites infinies . . . 4

c. Limites infinies en±∞. . . 4

d. Unification à l’aide des voisinages . . . 4

I.4 Limite quand la variable tend en norme vers l’infini . . . 5

I.5 Opérations sur les limites . . . 5

a. Combinaison linéaire . . . 5

b. Produit par une fonction à valeurs scalaires . . . 5

I.6 Limite suivant une partie . . . 6

I.7 Caractérisation par les composantes . . . 6

I.8 Limite d’une application à valeurs dans un espace produit . . . . 6

II Continuité 7 II.1 Définition . . . 7

II.2 Caractérisation de la continuité par les suites . . . 7

II.3 Opérations sur les fonctions continues . . . 8

II.4 Caractérisation par les composantes . . . 8

II.5 Continuité d’une application à valeurs dans un espace produit . . 8

II.6 Continuité et densité . . . 9

a. Le résultat . . . 9

b. L’exercice classique . . . 9

II.7 Image réciproque d’un ouvert, d’un fermé . . . 10

II.8 Continuité uniforme . . . 11