Devoir maison n ◦ 08 – à rendre le mercredi 17 mars
durée estimée : deux heures environ
aet bétant deux fonctions continues surR, on note l’équation différentielle : (E) : x2y00+a(x)y0+b(x)y = 0.
On noteS+l’espace vectoriel des solutions de(E)sur l’intervalleI=]0,+∞[etS− l’espace vectoriel des solutions de (E)sur l’intervalleJ =]− ∞,0[.
L’objectif de cet exercice est d’étudier la dimension de l’espace vectoriel S des fonctions y de classe C2 sur R vérifiant(E)surRtout entier.
1. Donner la dimension des espacesS+ etS−.
2. On note ϕl’application linéaire deS versS+×S− définie parϕ(f) = (fI, fJ)oùfI désigne la restriction def à l’intervalleI etfJ désigne la restriction def à l’intervalleJ.
Donner le noyau de l’applicationϕet en déduire quedimS≤4.
3. Dans cette question, on considèrea(x) =xetb(x) = 0, d’où
(E) : x2y00+xy0 = 0.
DéterminerS+ et S−.
Déterminer ensuite S et donner sans détails la dimension deS.
4. Dans cette question(E) : x2y00−6xy0+ 12y= 0.
Déterminer deux solutions sur Ide cette équation de la formex7→xα(αréel).
En déduireS+ puisS−.
DéterminerS et donner la dimension de S.
5. Donner un exemple d’équation différentielle du type (E) : x2y00+a(x)y0+b(x)y = 0 tel que dimS = 0 (on détaillera).
On pourra, par exemple, s’inspirer de la question précédente.
Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP
Année 2020-2021 Mathématiques
Devoir maison n ◦ 08 — éléments de correction
d’après CCINP 2014 MP maths 1
1. SurI la fonctionx7→x2 ne s’annule pas, donc(E)est équivalente à y00+a(x)
x2 y0+b(x) x2 = 0.
Les fonctions x 7→ a(x)
x2 et x7→ b(x)
x2 sont continues sur I, et nous avons affaire à une équation différentielle linéaire (EDL) scalaire d’ordre2, sans second membre (ou homogène).
Ainsi l’ensemble S+ de ses solutions forme un espace vectoriel de dimension2 .
On prouve exactement de la même façon que S− est un espace vectoriel de dimension2 .
2. Soitf ∈Ker (ϕ), alors f|I et f|J sont nulles doncf est nulle surR∗. Orf est de classeC2 donc continue surR, doncf est aussi nulle en0. Par conséquentf est nulle. Finalement Ker (ϕ)est réduit à la fonction nulle . L’applicationϕest linéaire et injective deS dans un espace vectoriel de dimension 4, donc
S est de dimension inférieure ou égale4 . 3. Plaçons-nous dans le cas où(E)est xy00(x) +xy0(x) = 0.
• SoitI0∈ {I, J}.
SurI0, l’équation est équivalente ày00+1
xy0= 0soit au système
z0+1
x×z = 0 y0 = z
La première équation différentielle, linéaire, homogène, d’ordre1a immédiatement pour ensemble des solutions sur l’intervalleI0 la droite vectorielle
x7→ K
x / K∈R
. Ainsi y est solution de(E)si et seulement si y0(x) = K
x pour K ∈R, c’est-à-direy(x) =Kln(|x|) +Lpour (K, L)∈R2.
Par conséquent surI ouJ, l’ensemble des solutions dex2y00+xy0= 0est Vect(x7→1, x7→ln(|x|)} .
• Soitf ∈S. Alors il existe(k1, k2, k3, k4)∈R4tel que
( ∀x >0, f(x) =k1ln(x) +k2
∀x <0, f(x) =k3ln(|x|) +k4
. La fonctionf étant continue en0 donc bornée au voisinage de0, on obtientk1=k3= 0.
La continuité à gauche et à droite en 0impose alorsk2=f(0) =k4. Doncf est une fonction constante.
Réciproquement, il est immédiat de vérifier que les fonctions constantes sont des solutions de x2y00+xy0= 0 surR.
Conclusion : l’ensemble S est solutions dex2y00+xy= 0est Vect(x7→1) etdim(S) = 1. 4. • Notons fαla fonction définie surI parfα(x) =xα.
Alorsfα est solution de(E)si et seulement si pour tout x >0,x2α(α−1)xα−2−6xαxα−1+ 12xα= 0, soit pour toutx >0,xα×(α2−7α+ 12) = 0.
Les réels 4 et 3 sont les solutions de l’équationα2−7α+ 12 = 0donc les fonctions x7→x3 et x7→ x4 sont des éléments deS+. D’après la question 1, l’espaceS+est de dimension2. Calculons le wronskien de ces deux fonctions :
∀x∈I=]0,+∞[, W(x) =
x3 x4 3x2 4x3
= x6 6= 0.
Ainsi (f3, f4)forme une base de S+= Vect(f3, f4) (ici les fonctions vont deIdansR).
On a également que (f3, f4)forme une base deS− = Vect(f3, f4) (ici les fonctions vont deJ dansR).
1
f(x) =
( k1x3+k2x4 si x≥0 k3x3+k4x4 si x <0
La fonction f est clairement de classeC2 surR∗+et sur R∗−. Il reste à examiner son comportement en0.
La continuité de f en0est assurée, puisquef(x)x→0
−
−→ 0etf(x)x→0
+
−→ 0.
De même f0(x)x→0
−
−→ 0et f0(x)x→0
+
−→ 0, d’où la continuité def0 en0.
Enfinf00(x)x→0
−
−→ 0et f00(x)x→0
+
−→ 0, d’où la continuité def00 en0.
Finalement la fonction f est bien de classeC2surRet est solution de(E). Réciproquement, toute fonctionf définie par
f(x) =
k1x3+k2x4 si x≥0 0 si x= 0 k3x3+k4x4 si x <0
(1)
est bien solution de (E). Ceci achève de décrireS ainsi que de prouver dim(S) = 4 . 5. Considérons l’équation (E) :x2y00+ 4xy0+ 2y= 0.
• Les fonctions f1:x7→ 1
x et f2:x7→ 1
x2 sont deux solutions de(E)(vérification immédiate) surIet sur J. Cette famille de fonctions est clairement libre (pour s’en convaincre, on peut calculer leur wronskien après s’être ramené à une EDL1 vectorielle à valeurs dansR2).
Donc comme précédemment : S+ et S− sont engendrés par ces deux fonctions .
• Soitf ∈S une solution de(E)surR.
Alors il existe(k1, k2, k3, k4)∈R4tel que f(x) = k1
x +k2
x2 six >0 etf(x) =k3
x +k4
x2 six <0.
Mais la fonctionf n’est définie et continue surR, c’est-à-dire en0, que si et seulement sik1=k2=k3=k4= 0, ce qui équivaut à : f est la fonction nulle.
Ceci permet d’affirmer que S est l’espace vectoriel nul .
Lycée Fénelon Sainte-Marie Classe de MP
Année 2020-2021 Mathématiques
Devoir maison n ◦ 08 — compte-rendu
1 Remarques générales :
• Faites des phrases !Des calculs ne font pas une démonstration. Expliquez ce que vous faites.
• Mettez des majuscules, de la ponctuation pour finir vos phrases, des verbes, des sujets, des conjonctions de coordi- nation (or, d’où, donc, car. . . ).
Sinon gros risque d’indisposer le correcteur.
• Proscrivez les quantificateurs(∀ en particulier).
Il est à noter qu’une variable déclarée après un∀n’existe que jusqu’à la fin de la phrase mathématique.
Exemple de rédaction incorrecte :
«∀x∈Z, x2∈N. (Ici s’arrête l’existence du x.) On aussix4∈N. » (Cexn’est pas défini.) Exemple de rédaction correcte :
« Soitx∈Z. On ax2∈N. Cexexiste jusqu’à la fin de la question.
On a aussix4∈N. » Cexest bien défini.
• (f est non nulle)6=(f ne s’annule pas).
• Cohérence avec/sans x!
Soit on met duxpartout, soit on n’en met pas du tout.
Pas cohérent : « surI,f(x)6= 0. » Pas cohérent : « six∈I, alorsf 6= 0. » Cohérent : « surI,f ne s’annule pas. » Cohérent : « six∈I, alorsf(x)6= 0. »
Cohérent (mais pas le même sens) : « surI, f n’est pas identiquement nulle. »
• Sujet facile, donc rédaction impeccable attendue.
Mauvais plan : copies rédigées à la va-vite.
• On ne dit pas qu’une fonction diverge. Ce sont les séries, les suites ou les intégrales qui divergent, pas les fonctions.
On dit par exemple queln admet en0 une limite infinie.
• Évitez les abréviations ! L’examinateur n’est pas votre copain.
2 Remarques question par question
1. Dans une première question, on attend un peu plus que : « c’est une EDL2 donc S+ et S− sont de dimension 2».
2. (a) Pour l’injectivité, évitez les quantificateurs.
Pas correct : «f ∈Ker (ϕ) ⇐⇒ · · · Orf continue donc ⇐⇒ » Correct : « soitf ∈Ker (ϕ), alors. . . »
(b) On rappelle le :
Théorème du rang :
sif ∈ L(E, F)et E de dimension finie, alorsdim(E) = rg (f) + dim(Ker (f)).
Il nécessite que l’on sache que Eest de dimension finie. Ce n’était pas le cas ici.
Il existe aussi un :
1
est isomorphe à l’imagevia l’application induite.
En clair : si f ∈ L(E, F), si Ker (f)⊕G=E, alorsf|G:G→Im (f)est un isomorphisme. Mais ce n’était pas non plus le résultat à appliquer.
Il fallait utiliser ici : Proposition :
sif ∈ L(E, F)et sif injective, alorsdim(E)≤dim(F)(éventuellement+∞).
3. Après avoir terminé d’étudier S+ et S−, et avant le recollement, on attendait la forme générale d’une solution surR∗.
En clair : « si f est solution sur R∗ alors il existe (A, B, C, D) tel que f(x) = · · · si x > 0 et f(x) = · · · si x <0».
C’est seulement après que l’on tente de recoller.
4. Si l’énoncé vous fournit des solutions particulières, ou vous dit comment en trouver, pensez à vérifier si elles forment un système fondamental des solutions (SFS) ! Ce n’est pas parce qu’elles sont 2 qu’elles forment une base de l’espace des solutions.
Pensez plutôt wronskien que « famille échelonnée en degré ». Ce dernier argument est discutable : ce ne sont pas des polynômes mais des fonctions polynomiales, de plus définies seulement sur une partie de R.
5. Même remarque que dans la question précédente : deux solutions ne forment pas toujours un SFS !
