TFCA - Inégalités entre nombres réels

MPSI-Éléments de cours TFCA - Inégalités entre nombres réels 28 février 2020

TFCA - Inégalités entre nombres réels

Rédaction incomplète. Version 0.2

Plan

I. Inégalités et vocabulaire associé. . . . 1

II. Exemples . . . . 2

1. Inégalité de Cauchy Schwarz . . . . 2

2. Le plus simple des encadrements . . . . 3

3. Encadrement d'une somme de produits . . . . 3

Index

inégalité de Cauchy-Shwarz, 2 inégalité de la moyenne, 3 inégalité triangulaire, 2 intervalles réels, 2 majorant d'une partie, 1 minorant d'une partie, 1 moyenne arithmétique, 3 partie convexe, 2

partie majorée, 1

partie minorée, 1

partie negative d'un réel, 2 partie positive d'un réel, 2 plus grand élément, 1 plus petit élément, 1 question de cours

inégalité de Cauchy-Schwarz, 2 série harmonique, 3

valeur absolue d'un réel, 2

I. Inégalités et vocabulaire associé

La relation d'ordre dans R est l'inégalité large ≤ . L'ensemble des réels est totalement ordonné c'est à dire :

∀(a, b) ∈ R ² , (a ≤ b ou b ≤ a) .

Dans un premier temps, une bonne pratique est de n'utiliser que cette relation en évitant ≥ . Par exemple remplacer b ≥ a par a ≤ b . On peut remarquer aussi que les inégalités strictes ne sont pas des relations d'ordre.

b > a ⇔ non (b ≤ a) La compatibilité avec les opérations se traduit par les règles usuelles.

∀a ∈ R , ∀b ∈ R , ∀c ∈ R ,



 

 

a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c a ≤ b

0 ≤ c )

⇒ ac ≤ bc

On peut en déduire la propriété suivante : soit a ≤ b réels avec a 6= b , il existe c ∈ R tel que a < c < b . En eet, il sut de choisir c = ^a+b ₂ .

Dénition. Une partie A de R est majorée si et seulement si

∃M ∈ R tel que ∀a ∈ A, a ≤ M.

On dit alors que M est un majorant de A .

Dénition. Une partie A de R est minoréee si et seulement si

∃m ∈ R tel que ∀a ∈ A, m ≤ a On dit alors que m est un minorant de A .

Dénition. Une partie de R est dite bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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Proposition. Au plus un élément d'une partie A de R est un majorant (resp minorant) de A . Preuve. Considérons a et a ⁰ deux éléments de A qui sont des majorants.

a ∈ A

a ⁰ majorant de A )

⇒ a ≤ a ⁰ , a ⁰ ∈ A

a majorant de A )

⇒ a ⁰ ≤ a

On déduit a = a ⁰ de la double inégalité. Le raisonnement est analogue pour les minorants.

Dénition. Lorsqu'une partie A possède un élément qui est aussi un minorant de A , cet unique élément est appelé le plus petit élément de A et noté min A .

Dénition. Lorsqu'une partie A possède un élément qui est aussi un majorant de A , cet unique élément est appelé le plus grand élément de A et noté max A .

Remarques. Le caractère totalement ordonné peut se reformuler en : toute paire de réels admet un plus petit élément et un plus grand élément. On peut en déduire que toute partie nie de R admet un plus grand et un plus petit élément. Pour une partie nie, on note

max(a 1 , a 2 , · · · , a p ) au lieu de max {a 1 , a 2 , · · · , a p } . La partie ]0, 1[ n'admet ni plus grand ni plus petit élément.

Dénition. Soit x ∈ R, on dénit la partie positive notée x ⁺ et la partie négative notée x ₋ par : x ⁺ = max(0, x), x ⁻ = max(−x, 0)

Proposition.

∀x ∈ x, x = x ⁺ − x ⁻ , |x| = x ⁺ + x ⁻ Bien noter que la partie négative d'un nombre réel est positive.

Proposition (Inégalité triangulaire). Pour tous nombres réels a et b .

|a + b| ≤ |a| + |b| ||a| − |b|| ≤ |a − b|.

L'égalité dans la première inégalité se produit si et seulement si a et b sont de même signe.

Preuve. La démonstration de l'inégalité triangulaire est analogue à celle pour les nombres complexes et repose sur l'élévation au carré

2ab ≤ 2|a||b| ⇒ (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² ≤ |a| ² + 2|a||b| + |b| ² = (|a| + |b|) ² .

L'égalité se produit donc si et seulemnt si 2ab = 2|a||b| c'est à dire si et seulement si a et b sont de même signe.

La deuxième inégalité se déduit de la première avec des décompositions idiotes

|a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a − b|

|b| = |(b − a) + a| ≤ |b − a| + |a| ⇒ |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b|

)

⇒ ||a| − |b|| ≤ |a − b|

Les intervalles de R sont dénis par des inégalités strictes ou larges. Il en existe 9 types ( a et b sont des réels) 4 bornés : [a, b] = {x ∈ R tq a ≤ x ≤ b} , [a, b[ , ]a, b] , ]a, b[ .

2 minorés et non majorés : [a, +∞[ , ]a, +∞[ . 2 majorés et non minorés : ] − ∞, b] , ] − ∞, b[ .

ni majoré ni minoré : ce type d'intervalle se réduit à un seul intervalle R lui même.

Remarques. On introduira dans le cours sur l'axiomatique des réels la notion de partie convexe et on démon- trera que les intervalles sont les parties convexes de R.

Pour a et b réels (avec b > 0 ), l'ensemble des x tels que |x − a| ≤ b est le segment [a − b, a + b] (centré en a ).

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II. Exemples

1. Inégalité de Cauchy Schwarz

Proposition. Soient n naturels et a 1 , · · · , a n , b 1 , · · · , b n des nombres réels. Alors :

n

X

k=1

a _k b _k

≤ v u u t

n

X

k=1

a ² _k v u u t

n

X

k=1

b ² _k .

Lorsque les a i ne sont pas tous nuls, l'égalité a lieu si et seulement si il existe un réel λ tel que b i = λa i pour tous les i entre 1 et n .

Preuve. On considère l'expression du second degré en t réel ϕ(t) =

n

X

k=1

(a k + tb k ) ² .

Par dénition, elle ne prend que des valeurs positives et se développe en ϕ(t) =

n

X

k=1

b ² _k

! t ² + 2

n

X

k=1

a _k b _k

! t +

n

X

k=1

a ² _k

!

Comme elle ne prend que des valeurs positives, son discriminant est négatif ou nul car s'il était strictement positif, l'expression serait strictement négative entre les racines. Le discriminant négatif traduit l'inégalité de Cauchy Schwarz.

Il y a égalité si et seulement si le discriminant est nul. Il existe alors un t pour lequel l'expression est nulle. Tous les carrés doivent être nuls d'où la condition d'égalité.

Exemple

|a 1 a 3 + a 2 a 5 + a 3 a 6 + a 4 a 1 + a 5 a 2 + a 6 a 4 | ≤

6

X

i=1

a ² _i .

Dans cet exemple, les b i sont des a j permutés.

2. Le plus simple des encadrements

Pour n nombres réels a 1 , a 2 , · · · , a n compris entre m et M :

nm ≤ a ₁ + a ₂ + · · · + a _n ≤ nM.

Ceci s'applique en particulier lorsque m = min(a 1 , a 2 , · · · , a n ) ou M = max(a 1 , a 2 , · · · , a n ) . Cet encadrement est aussi nommé inégalité de la moyenne car il s'écrit

m ≤ 1

n (a ₁ + · · · + a _n ) ≤ M où le terme encadré est la moyenne arithmétique des a i .

Application à la série harmonique. Notons

∀n ∈ N ^∗ : h _n = 1 + 1 2 + 1

3 + · · · + 1 n et montrons que la série harmonique (h n ) n∈ N

diverge vers +∞ .

Preuve. On peut se contenter que de montrer que l'ensemble des valeurs de la suite pour les puissances de 2 n'est pas borné. On note donc

H n = h 2

=

2

X

k=1

1 k et on forme la diérence entre deux termes consécutifs

H ₂ − H ₁ = 1 3 + 1

4 , H ₃ − H ₂ = 1 5 + 1

6 + 1 7 + 1

8 , · · · , H _p+1 − H _p = 1

2 ^p + 1 + 1

2 ^p + 2 + · · · + 1 2 ^p+1 .

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La dernière somme contient 2 ^p+1 − 2 ^p = 2 ^p termes décroissants. Le plus petit est le dernier ₂

¹ . On en tire H p+1 − H p ≥ 2 ^p 1

2 ^p+1 = 1 2 et cette inégalité est valable pour n'importe quel p ≥ 1 . On en tire

H n = 1 + 1

2 + (H 2 − H 1 ) + · · · (H n − H _n−1 ) ≥ 1 + 1

2 + (n − 1) × 1

2 = 1 + n 2 .

3. Encadrement d'une somme de produits

Proposition. Soit a ₁ , a ₂ , · · · , a _n réels et b ₁ , b ₂ , · · · , b _n réels strictement positifs. alors : min(a ₁ , a ₂ , · · · , a _n )

n

X

i=1

b _i ≤ a ₁ b ₁ + a ₂ b ₂ + · · · + a _n b _n ≤ max(a ₁ , a ₂ , · · · , a _n )

n

X

i=1

b _i .

Preuve. Notons m = min(a 1 , a 2 , · · · , a n ) et M = max(a 1 , a 2 , · · · , a n ) . Comme les b i sont positifs, m ≤ a i ≤ M ⇒ mb i ≤ a i b i ≤ M b i .

En sommant les inégalités précédentes, on obtient l'encadrement annoncé.

Application. Soit 0 < p < q entiers. On se propose de montrer S =

q

X

k=p

1

k ² ⇒ q − p + 1

pq ≤ S ≤ (p + 1)(q − p + 1) p ² q

Preuve. On se ramène à la forme précédente avec une des deux suites qui se somme facilement par dominos 1

k ² = k + 1 k

| {z }

=a

1 k(k + 1)

| {z }

=b

Comme ^k+1 _k = 1 + ¹ _k , le plus petit terme est 1 + ¹ _q et le plus grand 1 + ¹ _p . De plus

q

X

k=p

1 k(k + 1) =

q

X

k=p

1 k − 1

k + 1

= 1 p − 1

q + 1 . = q − p + 1 p(q + 1)

On en déduit l'encadrement annoncé.

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