Énoncé Dans cet exercice

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans cet exercice G désigne un groupe dont l'opération est notée multiplicativement : pour tous a et b de G le produit de a par b est simplement noté ab . On ne suppose pas que le groupe soit commutatif.

Pour une partie A de G , on appelle centralisateur de A la partie C(A) de G dénie par :

∀x ∈ G, (x ∈ C(A) ⇔ ∀a ∈ A, ax = xa) .

Dans la suite de l'exercice, quand on demande de comparer deux parties de G , il s'agit de prouver une inclusion entre ces deux parties.

La partie A de G est xée pour la suite de l'exercice.

1. Montrer que C(A) est un sous-groupe de G .

2. Soit X et Y deux parties de G telles que X ⊂ Y . Comparer C(X ) et C(Y ) . 3. Soit X une partie quelconque de G , comparer X et C(C(X )) .

4. Montrer que

C(C(C(A))) = C(A)

Corrigé

1. Vérions les propriétés requises pour que C(A) soit un sous groupe.

Non vide : Il contient le neutre qui commute avec tout le monde Stable pour l'opération : Soit x et y deux éléments de C(A) alors :

∀a ∈ A : (xy)a = x(ya) = x(ay) = (xa)y = a(xy) donc xy ∈ C(A) .

Stable pour l'inversion : Soit x ∈ C(A) alors :

∀a ∈ A : x

a = x

a(xx

) = (x

x)ax

= ax

donc x

∈ C(A) .

2. Montrons que X ⊂ Y entraîne C(Y ) ⊂ C(X ) . En eet tout élément u de C(Y ) commute avec tout élément de Y . Il commute donc avec tous les éléments de X (qui sont des éléments particuliers de Y ). Un tel u est donc dans C(X ) .

3. Montrons que X ⊂ C(C(X)) . En eet tout x de X commute par dénition de C(X ) avec un élément quelconque de C(X ) .

4. Utilisons d'abord les questions 3. appliquée à A puis la question 2.

A ⊂ C(C(A)) ⇒ C(C(C(A))) ⊂ C(A)

Utilisons ensuite à nouveau la question 3. mais appliquée à C(A) au lieu de X . On obtient l'autre inclusion :

C(A) ⊂ C(C(C(A)))

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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