[ Concours FESIC mai 1998 \ Durée : 2 h

Dans toute question où il intervient le plan (respectivement l’espace) est rapporté à un un repère orthonormal³

O ;−→ ı,−→



´

=(Ox y) (respectivement pour l’espace³ O ;−→

ı ,→−

,−→ k´

=(Ox y z)).

EXERCICE1

Soitf la fonction définie par eX -1

f(x)=x−e^x−1 e^x+1 etCsa courbe représentative.

a) L’ensemble de définition def estR∗. b) La fonctionf est impaire.

c) Les droites∆1d’équationy=x−1 et∆2d’équationy=x+1 sont asymptotes à la courbeC. d) Cest au-dessus de∆1.

EXERCICE2

Soitf la fonction définie par

f(x)= x e^x−1+2 Dson domaine de définition etCsa courbe représentative.

a) On peut prolonger la fonctionf par continuité en 0 en posantf(0)=2.

b) La droite∆d’équationy= −x+2 est asymptote àC. c) La fonctiongdéfinie par

g(x)=(1−x)e^x−1 est négative ou nulle surR.

d) La fonctionf est décroissante surD.

EXERCICE3

Soitf la fonction définie par

f(x)=ln µ x+1

|x−3|

¶

Dson domaine de définition etCsa courbe représentative.

a) On a :D=]3 ;+∞[.

b) La fonctionf est positive surD. c) Pour toutx∈D, on a :

f^′(x)= −4 (x+1)|x−3|

d) Cadmet pour tangente au point d’abscisse 2 la droite∆d’équationy=4

3(x−2)+ln 3.

EXERCICE4

Soitf la fonction définie par

f(x)=ln|x−1|

x−1 Dson domaine de définition etCsa courbe représentative.

a) On a : lim

x→1f(x)=0.

b) La courbe représentativeC^′de la fonctionx7−→f(x+1) admet le point 0 pour centre de symé- trie.

c) La fonctionf admet un maximum au point d’abscisse 1+e.

d) Poura∈]0 ; 1/e[, l’équationf(x)=aadmet exactement 2 solutions dansD. EXERCICE5

Soitf la fonction définie par

( f(x) = x

1+e^1/x six6=0 f(0) = 0

etCsa courbe représentative.

a) Pour toutx∈R, on a :f(x)6x.

b) La fonctionf est continue en 0.

c) On a : lim

x→+∞f(x)= +∞. d) La droite∆d’équationy=x

2 est asymptote àC. EXERCICE6

Soitf la fonction définie par

f(x)= cosx p2+sinx etCsa courbe représentative.

a) Pour toutxréel, on a :f(π−x)+f(x)=0.

b) La courbeCadmet le point I de coordonnées (π/2 ; 0) pour centre de symétrie.

c) Pour toutxréel, on a :|f(x)|61.

d) La fonctionFdéfinie surRparF(x)=p

2+sinxest une primitive def surR.

EXERCICE7

Soitf etFles fonctions définies respectivement par f(t)= 1

tlnt et F(x)= Zx

2

f(t) dt.

a) La fonctionFest définie sur ]0 ;+∞[ et pour toutx>0, on a : F(x)=ln(|lnx|)−ln(|ln 2|)

b) La fonctionFest décroissante sur l’intervalle ]2 ;+∞[.

c) Pour toutx>2, on a :

F^′(x)= 1 xlnx− 1

2ln 2. d) On a : lim

x→+∞

F(x) x =1.

EXERCICE8 Pourx>0, on pose

F(x)= Zx

1

e^t e^t−1d.

et on noteCla courbe représentative de la fonctionF.

a) Cadmet une tangente horizontale au point d’abscisse 1.

b) Pour toutx∈]0 ; 1], on a :

F(x)=ln µe−1

e^x−1

¶ . c) On peut prolongerFpar continuité en 0.

d) La fonctionFest négative et strictement décroissante sur l’intervalle ]0 ; 1].

EXERCICE9

Soit l’équation différentielle

y^′′+y^′+y=0 (E).

a) Pour tousaetbréels, la fonction

f(x)=e^−x2 Ã

acos Ãp

3 2 x

! +bsin

Ãp 3 2 x

!!

est solution de (E) surR.

b) Les fonctions solutions de (E) ont pour période 4π p3. Soitgla solution de (E) qui vérifieg(0)=0 etg

µ π p3

¶

=1.

c) La fonctiongn’a pas de limite en+∞. d) Pour toutxréel on a :

g(x)=

· exp

µ π 2p

3−x 2

¶¸

·sin Ãp

3 2 x

! .

EXERCICE10

Soitnun entier naturel non nul etIndéfinie par In=

Z₁

0

e^nx e^x+1dx.

a) La suite (In)n∈N∗est décroissante.

b) Pour toutnı,N∗, on a :In+In+1=eⁿ n . c) On a :I1=ln(e+1)−ln 2.

d) On a :I2=e−1−ln µe+1

2

¶ .

EXERCICE11

Soitnun entier naturel non nul etIndéfinie par In=

Z₁

0 (1−t)ⁿe^tdt.

a) On a :I1=2−e.

b) Pour tout entier naturel non nuln, on a :

In+1=(n+1)In−1.

c) La suite (In)n∈N∗est géométrique.

d) La suite (In)n∈N∗est bornée.

EXERCICE12

On considère la suite (vn)_n∈Ndéfinie, pour tout entier natureln, par la relation v0×v1×v_×. . .×vn= 1

3ⁿ²⁺ⁿ. a) On a :v3= 1

3¹².

b) Pour tout entier natureln, on a :vn+1=3²vn. c) La suite (vn)n∈Nest géométrique.

d) On a :

lnv0+lnv1+lnv2+...+lnv10= 1 110ln 3. EXERCICE13

On considère la suite (un)n∈Nde nombres complexes définie paru0= −1 et la relation de récurrence un+1=2− 2

un

pour tout entier natureln, et la suite (vn)n∈Ndéfinie, pour tout entier natureln, par vn=un−(1−i)

un−(1+i). a) La suite (un)n∈Nest périodique.

b) La suite (un)n∈Nconverge vers 1+i.

c) La suite (vn)_n∈Nest périodique.

d) Pour tout entier naturel non nuln, on a :

v1+v2+v3+. . .+vn=0.

EXERCICE14

On considère la fonction définie par f(x)= rx+1

2 pourx>0 et la suite (un)n∈N définie par son premier termeu0∈[0 ; 1] donné et la relation de récurrenceun+1=f(un) pour tout entier natureln. Enfin, soitαun réel appartenant à [0 ; 1] tel quef(α)=α.

a) Le réel−1/2 est solution de l’équationx= rx+1

2 . b) Pour tout entier natureln, on a : 06un61.

c) Pour tout réelx∈[0 ; 1], on a :|f^′(x)|6 ¹ 2p

2. d) Pour tout entier natureln, on a :

|un−α|6 ¹

¡2p 2¢n.

EXERCICE15

SoitF l’application du planPdans lui-même qui au pointMd’affixezassocie le pointM^′d’affixe z^′=f(z), oùf(z)= 2z

1+zz

a) Pour toutzcomplexe, on a :f¡ z¢

=f(z).

b) Sizest un complexe non nul, on a : f(z)=f

µ1 z

¶

⇐⇒ z∈R^∗.

c) L’ensemble des points invariants parFest le cercle trigonométrique (cercle de centre O et de rayon 1).

d) Pour tout pointMdu plan, les points O,MetM^′=F(M) sont alignés.

EXERCICE16

Pour tout nombre complexez, on pose f(z)=z³−2³p

3+i´ z²+4³

1+ip 3´

z−8i.

a) On a pour toutzcomplexe :

f(z)=(z−2i)³ z²−2p

3z+4´ .

b) L’équation f(z)=0 admet trois solutions, dont une imaginaire pure et deux complexes conju- guées.

c) Le nombre complexez1=p

3−i est solution de l’équationf(z)=0.

On noteM0,M1etM2les points du plan dont les affixes sont solution de l’équationf(z)=0.

d) Les pointsM0,M1etM2sont sur un même cercle de centre O.

EXERCICE17

Soit A, B, C, D quatre points non coplanaires de l’espace, I le milieu de [A, B] et J le milieu de [C, D].

Soitmun réel etS(m) le système de points pondérés

[(A, 1) ; (B, 1) ; (C,m−2) ; (D,m)]

.

On noteE l’ensemble des réelsmpour lesquels le systèmeS(m) admet un barycentre, qu’on note alorsCm.

a) L’ensembleEest égal àRprivé des réels 0 et 2.

b) Le pointG2est le milieu du segment [I, D].

c) Pour toutm∈E,Cmest le barycentre du système [(I, 2) ; (J, 2m−2)].

d) Pour toutm∈E, le milieu du segment [Gm,G₋m] est le point J.

EXERCICE18

Soit, dans l’espace, le planPd’équation 3x−2y+5z−7=0, A le point de coordonnées (6 ;−5 ; 11) et H son projeté orthogonal sur le planP. Soit enfin−→

n le vecteur de coordonnées (3 ;−2 ; 5).

a) On considère les vecteurs−→

u de coordonnées (2 ; 2 ; 1) et−→

v de coordonnées (0 ;−1 ; 1).

Alors le triplet³ H ;−→

u ;−→ v´

est un repère du planP. b) On a :−−→

AH∧−→ n=→−

0 .

c) La distance de A au planPest¯

¯

¯

−−→AH∧−→ n¯

¯

¯. d) Les coordonnées du point H sont (0 ;−1 ; 1).

EXERCICE19

Deux personnesAetBécrivent chacune au hasard un nombre à deux chiffres. Soitmle nombre écrit parAetncelui écrit parB; tous les couples (m,n), avec 106m699 et 106n699 sont supposés équiprobables.

a) La probabilité pour queAetBécrivent le même nombre est 1 81.

b) La probabilité d’obtenir un couple (m,n) tel que 106_{m<50 et 10}6_{n<50 est}⁸ 9.

c) La probabilité d’obtenir un couple (m,n) tel quemsoit un entier pair etnun entier impair est 1

2.

d) La probabilité d’obtenir un couple (m,n) tel quem<nest 89 180. EXERCICE20

Soitnun entier naturel,n>2.npersonnes jouent à un jeu où il peut y avoir un nombre quelconque de gagnants.

La probabilité pour que le joueurAgagne estp(A)=1/3 ; la probabilité pour que le joueurBgagne sachant queAa gagné est égale à 1/4. On sait enfin que la probabilité pour queBgagne sachant que Aa perdu est égale à 4/9.

a) La probabilité pour que B gagne est égale à 5/12.

b) La probabilité pour que A et B gagnent est égale à 7/12.

c) Les évènements « A gagne » et « B gagne » sont indépendants.

d) La probabilité que A gagne sachant que B a gagné est égale à 9/41.