Durée : 2 h 30
L’usage de la calculatrice est interdit pour cette épreuve, ainsi que tout document ou formulaire.
L’épreuve comporte20exercices indépendants. Vous ne devez en traiter que15maximum. Si vous en traitez davantage, seuls les15premiers seront corrigés.
Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).
Un exercice est considéré comme traité dès qu’une réponse à une des 4 affirmations est donnée (l’abs- tention et l’annulation ne sont pas considérées comme réponse).
Toute réponse exacte rapporte un point.
Toute réponse inexacte entraîne le retrait d’un point.
L’annulation d’une réponse ou l’abstention n’est pas prise en compte, c’est-à-dire ne rapporte ni ne re- tire aucun point.
Une bonification de deux points est ajoutée chaque fois qu’un exercice est traité correctement en entier (c’est-à-dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes).
Lattention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d’exercices proposés, une lecture at- tentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très précis.
Dans toute question où il intervient, le plan (respectivement l’espace) est rapporté à un repère ortho- normé ³
O,−→ ı ,→−
´
=(Ox y) (respectivement pour l’espace ³ O,−→
ı ,−→
,→− k´
=(Ox y z).
EXERCICE1
Soitf la fonction définie par
f(x)=x+1 x−1 etC sa courbe représentative.
a.La fonctionf est paire.
b.Pour tout réelxtel quex6=0 etx6=1 on a :f µ1
x
¶
+f(x)=0.
c.La courbeCadmet le point I de coordonnées (1 ; 1) pour centre de symétrie.
d.Pour tout réelxtel quex>1, on a :f ◦f(x)=x.
EXERCICE2
Soit E l’ensemble des fonctionsf vérifiant les conditions suivantes : (i) il existe trois réels (a,b,c) tels quec6=0 et, pour tout réelx6= −c, on a :
f(x)=ax+b x+c
(i i) la courbe représentativeCf def passe par le point A de coordonnées (0 ;−1) ; (i i i)Cf admet au point A une tangente de coefficient directeur−2.
a.La fonctiongdéfinie surR−{1} par
g(x)=x+1 x−1 appartient à E.
b.Sif(x)=ax+best une fonction appartenant à E, on a les relations x+c suivantes entrea,betc:
½ a−1 = 2b
c = −b.
c.L’ensemble E contient une infinité de fonctions.
d.Sif appartient à E sa courbeCf n’admet pas de tangente parallèle à la droite d’équationy=x.
EXERCICE3
Soitf la fonction définie par :
f(x)= −x 2+ln
µx−1 x
¶ , Dson domaine de définition etC sa courbe représentative.
a.On aD=]1 ;+∞[.
b.C admet une unique tangente horizontale.
c.La fonctionf est croissante sur ]1 ;+∞[.
d.La droite∆d’équationy= −x
2+1 est asymptote à la courbeC. EXERCICE4
Soitf la fonction définie par :
f(x)=ln (1+ex) ex , Dson ensemble de définition etC sa courbe représentative.
a.On aD=
¸1 e;+∞
· .
b.On a, pour toutxappartenant àD: f(x)= x
ex+e−xln¡ 1+e−x¢
. c.On a lim
x→+∞f(x)=0.
d.On a lim
x→−∞f(x)=0.
EXERCICE5
Soitf la fonction définie par :
f(x)=x(lnx)2−2xlnx+2x−2 etCsa courbe représentative.
a.La fonctionf est définie et dérivable sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et, pour toutxde cet intervalle, on a : f′(x)=(lnx)2.
b.La droite∆d’équationx=0 est asymptote àC. c.La fonctionf admet un extremum en 1.
d.Pour toutx>0, on a :
f(x)= Zx
1 (lnt)2dt.
EXERCICE6 a.On a (32)1,2=64.
Soitf etgles fonctions définies surRpar :
f(x)=5x et g(x)=(0, 2)x. b.Pour toutxréel, on af′(x)=(ln 5)f(x).
c.On a :
Z1 0
f(x) dx= 4 ln 5. d.Pour tout x réel, on ag(x)=f(−x).
EXERCICE7
Soitf la fonction définie surRparf(x)=x2e−2xetCsa courbe représentative.
a.Pour tout réelm, l’équationf(x)=madmet au moins une solution.
b.La courbeCadmet exactement deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses.
c.L’équationx2=e2xadmet trois solutions dansR.
d.La fonctionFdéfinie par
F(x)= µ
x2+x+1 2
¶ e−2x est une primitive def surR.
EXERCICE8
Soitf,gethles fonctions définies sur l’intervalle [0 ; 2π] respectivement par : f(x)=e−xsinx,g(x)=e−x,h(x)= −e−x. On note respectivementCf, CgetChleurs courbes représentatives.
a.La fonctionf est dérivable sur [0 ; 2π] et, pour toutxde [0 ; 2π], on a : f′(x)=p
2e−xcos³ x−π
4
´ .
b.La droite∆d’équationy=xest tangente à la courbeCf def au point d’abscisse 0.
c.La courbeCf est située entre les courbesCf etCg.
d.Les courbesCf etCg ont un unique point commun et en ce point elles admettent la même tan- gente, et il en est de même des courbesCf etCh.
EXERCICE9
SoitFla fonction définie surRpar :
F(x)= Zx
0
e−t2dt.
a.La fonctionFest dérivable surRet, pour tout réelx, on a : F′(x)=e−x2−1.
b.La fonctionFest positive surR.
c.Pour tout réelx>1, on a :
F(x)−F(1)6 Zx
1 e−t2dt.
d.Pour tout réelx, on a :F(x)=F(−x).
EXERCICE10
Soitf la fonction définie par :
f(x)= ex ex−x et, pournentier naturel, soit :In=
Zn
0 f(x) dx.
a.La fonctionf est définie surR.
b.La suite (In) est croissante.
c.Pour tout entier naturelnnon nul, on a : In−
Zn 0
x
ex−xdx=n+1.
d.La suite (In) tend vers+∞.
EXERCICE11
Soitnun entier naturel non nul etIndéfinie par : In=
Zln(n+1) lnn
et et+1dt.
a.Pour toutn>1, on aIn>0.
b.Pour toutn>1, on a :In=ln µn+1
n
¶ . c.La suite (In)n>1est décroissante.
d.Pour toutn>1, on a :I1+I2+. . .+In=ln(n+2).
EXERCICE12
Soit (un) une suite arithmétique vérifiantu4=0 etu6= −1.
a.On au5= −1 2.
b.Pour tout entier natureln, on aun=4−n 2 . c.Pour tout entiern>9, on a :
u0+u1+. . .+un−160.
d.La suite (vn) définie, pournentier naturel non nul, par : vn=1
neun est convergente.
EXERCICE13
On considère la fonction définie parf(x)=xlnxpourx>0 et la suite (un) définie par son premier termeu0>e donné et la relation de récurrenceun+1=f (un) pour tout entier natureln:
a.Pour toutxde l’intervalle [e ;+∞[, on a :f′(x)>2.
b.Pour tout entier natureln, on a :un>e.
c.La suite (un) est croissante.
d.Pour tout entier natureln, on a :
|un+1−e|>2|un−e|.
EXERCICE14
Soitnun entier naturel non nul etfnla fonction définie surRpar : fn(x)=x5+nx−1.
a.La suite¡ fn(1)¢
n>1est une suite géométrique.
b.Pour tout entiern>1, la fonctionfnest une bijection deRsurR.
c.Pour tout entiern>1, l’équationfn(x)=0 admet une unique solution.
On noteαnl’unique solution positive de l’équationfn(x)=0.
d.Pour tout entiern>1, on a 0<αn< 1 n . EXERCICE15
a.Soit j le nombre complexe j= −1 2+i
p3 2 . On a :
j1 996+j1 997+j1 998=1.
b.Si un argument du nombre complexe non nulzestα, alors un argument de−4 z est−α.
c.Soitzun nombre complexe non nul. Siz
z est un réel positif, alorszest réel.
d.Soitzun nombre complexe. Si|z| =1, alors il existe un entier naturel non nulntel quezn=1.
EXERCICE16
Soit les nombres complexes suivants :
z1=
p6−ip 2
2 , z2=1−i et Z=z1
z2
. On note A le point du plan d’affixez1, et B le point d’affixez2.
a.Un argument dez1est−π
b.Il existe une rotationRde centre O transformant A en B.3 c.On aZ=ei12π.
d.L’ensemble E des pointsMd’affixeztels que
z2z+z2z+1=0 est la droite d’équationx+y= −1
2. EXERCICE17
Soit (zn) la suite complexe définie par son premier termez0=8 et la relation de récurrence, pour tout entier natureln,
zn+1= Ã1+ip
3 4
! zn
On note (Mn) la suite de points du plan complexe d’affixesznrespectivement.
a.Le nombrez3est un réel positif.
b.Pour tout entier natureln, on a : z -z
zn+−zn
zn+1 =ip 3.
c.Pour tout entier natureln, le triangle OMnMn+1est rectangle enMn. d.Pour tout entier natureln, on a :MnMn+1=p
3OMn+1. EXERCICE18
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=a>0 et AC=2a.
On note G le barycentre du système de points (A, 1), (B,−1), (C, 1) et on note H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).
a.On a : AH=ap 5 5 .
b.Le quadrilatère CGBA est un parallélogramme.
c.On a−−→
BA.−−→
BC=2a2.
d.L’ensemble des points M du plan vérifiant MB2−MC2=2a2est une droite perpendiculaire à (BC).
EXERCICE19
Dans l’espace, on considère les points de coordonnées A(2 ; 0 ; 0), B(0 ; 4 ; 0) et C(0 ; 0 ; 3) et, pour tout réela, le système de points pondérés {(4−a)(1−a)(a)}.
S(α) :
½µ A, 4−α
6
¶
; µ
B, 1−α 3
¶
;³ C, α
2
´¾ . a.Une équation du plan (ABC) est
x+y 2+2
3z−2=0.
b.Le centre de gravité du triangle ABC est barycentre d’un systèmeS(α).c.Pour tout réelα, le système S(α) admet un barycentre.
d.L’ensemble des barycentres des systèmesS(α), lorsqueαdécritR, est une droite de vecteur direc- teur−→
u = −2→− ı −8−→
+9−→ k. EXERCICE20
L’ensemble E={a,b,c,d,e} est un univers sur lequel on définit une probabilitép.
a.Sip({a,b,c})=3
5etp({a,d,e})= 9
20alorsp({a,e})> 1 20.
On suppose, pour les questionsb.etc., queAetBsont deux évènements de E tels que p(A)=2
3, p(B)=3 5etp³
A∩B´
= 4 15 oùBdésigne l’évènement contraire deB.
b.On ap(A∪B)=13 15.
c.Les évènementsAetBsont indépendants.
Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher, portant les lettresa,b,c,d,erespectivement.
On effectue 5 tirages successifs d’une boule avec remise. On suppose que toutes les boules ont la même probabilité d’être tirées.
d.La probabilité de tirer exactement 2 fois une voyelle estq=22×33 55 .
