ÉCS2
Ch. 2 : Compléments d’algèbre lin.
–Exercice2.1 Exemple de changement de base
SoitE =R2[X],B= (1,X,X2)et C= (1,1−X,(1 + X)2).
1. Écrire les matrices de passageP =PB,C, puisQ =PC,B.
2. SoitA = X2+ X + 1. Donner les coordonnées deAdansBpuis dansC. 3. a)Soitf : T7→T + T0+ T00. Vérifier quef est un endomorphisme deE, puis
donner la matrice def relativement à la baseB.
b)Déterminer, à l’aide deP etQ, la matrice def relativement à la baseC. c) Calculer directementf(1), f(1−X) et f((X + 1)2)et retrouver la matrice
def relativement à la base C.
4. Déterminer la matrice def dans la baseD= (1,1 + X,(1 + X)2). Commen- taire ?
5. a)Montrer queR0[X]et R1[X]sont stables parf.
b)Montrer queR0[X]est le seul sous-espace de dimension1deEstable parf.
Exercice2.2 Une équation matricielle
Soitn∈N∗. Existe-t-il deux matricesAetBdansMn(R)telles que AB−BA = In
Exercice2.3 Vrai ou faux ?
L’énoncé suivant est-il vrai ? Si oui, le démontrer, si non, le préciser pour qu’il de- vienne vrai.
∀(A,B,P)∈ Mn(R)3
, B = P−1AP⇐⇒PB = AP.
Exercice2.4 Étude d’un endomorphisme Soitnun entier au moins égal à2. SoitE =Mn(R).
Soit ϕ: E−→E,M7−→M−Tr(M)In. 1. a)Vérifier que ϕest un endomorphisme deE.
b)Déterminer Kerϕ.
c) ϕest-il un automorphisme ?
2. a)Déterminer l’ensembleE1 des matricesMtelles que ϕ(M) = M.
Justifier qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel deE, préciser sa dimension.
b)Déterminer l’ensembleE2 des matricesMtelles que ϕ(M) = (1−n)M.
Justifier qu’il s’agit d’un sous-espace deE, préciser sa dimension.
3. a)Justifier que E1 etE2 sont stables parϕ, et supplémentaires.
b)Donner la matrice représentantϕdans une base obtenue en concaténant une base deE1 et une baseE2.
Lycée HenriPoincaré 1/1 lo
