Présentation de certains couples fischériens de type classique

B ULLETIN DE LA S. M. F.

M.M. V IROTTE -D UCHARME

Présentation de certains couples fischériens de type classique

Bulletin de la S. M. F., tome 121, n^o2 (1993), p. 227-270

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121, 1993, p. 227-270.

PRESENTATION DE CERTAINS COUPLES FISCHÉRIENS DE TYPE CLASSIQUE

PAR

M.M. VIROTTE-DUCHARME (*)

RÉSUMÉ. — Soit D la classe des transvections unitaires ou la classe des réflexions orthogonales tv, v étant de longueur donnée. On sait que D est une classe de 3-trans- positions de G, où G désigne SU(n,F4) ou un sous-groupe d'indice 2 de 0(n,F3). Dans ces deux cas, nous donnons des présentations (X,7ï) pour le groupe G telles que X soit contenu dans D ; on obtient G comme un quotient d'un groupe de Coxeter avec un diagramme approprié.

ABSTRACT. — Let D be thé class of thé unitary transvections or thé class of thé orthogonal reflections ty, v with given length. We know that D ïs a class of 3-trans- positions of G, where G dénotes SU(n,F4) or a subgroup of index 2 in 0(n,F3). In thèse two cases, we give présentations (X, IV) for thé group G with X contained in D ; we obtained G as a quotient of a Coxeter group with an appropriate diagram.

Soit (G, D) un couple fischérien, c'est-à-dire la donnée d'un groupe G engendré par une classe D d'involutions conjuguées telles que l'ordre de xy (avec x, y e D) soit 1, 2 ou 3. On dit alors que D est une classe de Fischer de G. Toute partie X de D qui engendre G, détermine un graphe dont les sommets sont les éléments de X et les arêtes les paires d'éléments distincts x et y de X tels que {xy)3 = 1. Notons Kp(X) l'ensemble des relations contenues dans la donnée d'un tel graphe sur X.

Nous nous proposons de donner des présentations (X, IV) pour deux des quatre familles de couples fischériens de type classique (G, D) intervenant dans le théorème de classification de Fischer [6] ; présentations pour lesquelles X est contenu dans D et 7<^(X) est une partie de 7<L

(*) Texte reçu le 7 décembre 1991, révisé le 25 juin 1992.

M.M. VIROTTE-DUCHARME, Université de Paris VII, 2 place Jussieu, UFR de Mathé- matiques, Tour 45-55, 5e étage, 75251 Paris cedex 05.

Classification AMS : 20.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 0037-9484/1993/227/$ 5.00

© Société mathématique de France

Le cas des groupes symplectiques G = Sp(2n, 2) et des groupes ortho- gonaux G = 0^(2n,2) a été traité à titre d'application des principes généraux exposés dans Présentations des groupes de Fischer (I) (cf. [12]).

Les familles dont il est question ici concernent certains sous-groupes nor- maux G6(n, 3), avec e e {+, —} et n :> 5, du groupe orthogonal 0(n, Fs, 0) (section 1) et les groupes unitaires SU(n,4) (n ^ 4) (section 2).

Les groupes 0e (n, 3) sont les sous-groupes d'indice 2 de 0(71, Fs, </>) qui admettent pour classe de Fischer une classe de réflexions orthogonales ty II y a lieu de distinguer, pour chaque valeur de n, deux situations suivant que l'indice de (f) est maximal ou non quand n est pair, et suivant que l'on considère la classe des réflexions ty avec (f)(v^v) = 1 ou (f)(v^v) = —1 quand n est impair. De plus amples détails sont donnés en préliminaires et résumés sous forme de tableau (section 0, paragraphe 1).

On établit que chaque groupe des familles mentionnées ci-dessus admet une présentation (X,7^) où X est un sous-ensemble de D et où 7^ est la réunion de 7^(X) (défini ci-dessus), de "R.s ensemble de relations supplémentaires et de Kz relations concernant le centre de G. Le plus souvent, on obtient des présentations pour des extensions centrales de G dont on déduit des présentations pour G en ajoutant les relations 7^.

La méthode suivie est essentiellement inductive. Elle est rappelée dans les préliminaires (section 0, paragraphe 2) et exposée dans [12].

Pour les petites dimensions on a les résultats suivants [l], [6], [10], [13] : (i) G~(5,3) ^ W{E^) admet une présentation (X,7^(JQ) avec :

• X=(dj | 1 < J < 6 ) ,

d\ d'2 ds c?4 cfe . np(X) : .——.——»——.——. .

(ii) PSU(4,4) admet une présentation (X, Up(X) U Us U T^z) avec :

• X = (dj 1 <j < 5 ) , û?2 ds c4 d\

. UpW :

\T'

^{^5}

. Us '• {d^d^d^) = 1,\ 3

. Hz : P = 1 avec? = d^d^d^^^Çd^^3) et s = (ds^s)2. (iii) G4'(5,3) ^ Gs x PSU(4,4) admet (avec les notations de (ii)) une

présentation (X^pÇX) U ^s) î P ^t alors l'involution centrale deG+(5,3).

TOME 121 — 1993 — N° 2

Les sections 1 et 2 traitent successivement des groupes orthogonaux et unitaires. Au début de chacune d'elles, c'est-à-dire au paragraphe 1, on trouve les énoncés des résultats et les notations. Les démonstrations sont reportées au paragraphe 2 et les calculs trop longs sont donnés en appendice.

Pour les petites dimensions, les présentations des groupes 0e(n, 3) pour n < 9 et SU(n,4) pour n < 6 ont été vérifiées sur CAYLEY V3.7.3 machine SUN 3.60 par S. Bouc au Département de Mathématique et d'Informatique de l'École Normale Supérieure à Paris.

Je tiens à remercier ici le référée pour ses critiques lors de la lecture d'une première version de ce travail.

0. Préliminaires 1. Notations.

0.1.1.—Soient G un groupe et X un ensemble générateur contenu dans une classe de Fischer D de G. Désignons par g le graphe dont les sommets sont les éléments de X et les arêtes les paires d'éléments distincts de X dont le produit est d'ordre 3. La donnée de ce graphe g est équivalente à celle d'un ensemble de relations K{g) portant sur les éléments de X (relations du type x2 = 1, (xy)2 = 1 ou Çxy)3 = 1).

Si (X, K(g) U r) est une présentation de G où K(g) est défini ci-dessus et où r est un ensemble de relations portant sur les éléments de X, on dit que X satisfait à la formule de présentation g U r où g est le graphe défini ci-dessus; G est un quotient du groupe de Coxeter (X,7i(g)).

0.1.2. Exemple. — On note Hs^k un groupe avec la présentation (Xk,U(hk)Ur) o ù :

. Xk = {xj | 1 ^ j ^ k},

X 2 ^ 3 X^ Xk

hk :

v~""

r : (x^x^x-^x^) = 1.

On montre que ce groupe est d'ordre k ! 3A;-1, qu'il admet une classe de Fischer de cardinal ^3k{k - 1) et que son centre, trivial si k ^ 0 (mod 3), est engendré par l'élément 7273 • • • 7 n d'ordre 3, où 72 == x\x^ et 7^ = Xjjj-^Xj pour 3 < j <^ k.

Pour k == 3, le groupe 7^3,3 est noté U\ il est d'ordre 54, les éléments de sa classe de Fischer ne commutent pas entre eux ; H est engendré par

les éléments x^x^x^ sur lesquels on a la formule de présentation

X2 ^——-^ X^ 3

\y (x^x^x^) = i

• x~^

x^ \——-• x^

que 1 on notera \Hy pour alléger l'écriture.

Vxi

Le centre de H est engendré par l'élément (x^x^² d'ordre 3 (voir f6l

[10], [12] et [13]). v L h

2. Le groupe G^(n,3) pour n > 5 et e dans {+, -}.

°-2-1-—Soit V un espace vectoriel de dimension n ^ 5 sur Fs. Soient (j) une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur V et 0(n, 0) le groupe des isométries de 0. Ce groupe est noté souvent GO,, (3), ou encore 0(0) dans [1] et 0(F3, 0) dans [5]. Soit v dans V. On dit que v est de longueur k, avec A* e Fs, si 0(v, v) = k. Si Y admet une base orthonormale, on dit que V est de type e = + ; dans le cas contraire, on dit que V est de type e = -.

L'ensemble de réflexions ty (avec v ç V et (f)(v,v) ^ 0) est la réunion de classes de conjugaison E(l) et E(-l) dans 0(n,0) : dans la première, les réflexions sont relatives à des vecteurs de longueur 1, dans la seconde,5

à des vecteurs de longueur -1. Chacune de ces classes est une classe de Fischer du sous-groupe de 0(n, 0) qu'elle engendre : ces sous-groupes sont d'indice 2 dans 0(n,</>). On pose

(7(n,<^(l)) ={E(1)) et G(n^^E(-l)) = {E(-l))

et on désigne par ^ le groupe dérivé de 0(n,(/)), i.e. ^ = P(0(n,^)).

On établit sans peine les assertions suivantes :

P(G(n, 0, ^(1))) =^= V{G{n, 0, ^(-1))), G(n, ^ E(l)) H £;(-!) = 0 = G(n, 0, £;(-!)) n ^(1),

^(n, 0, E(l)) :^\=2= \G(n, 0, £;(-!)) : ^

(on utilise le fait que si v et î/ sont des vecteurs orthogonaux de longueur 1, î;-^ et v+vf sont orthogonaux de longueur -1 et que tyty^ = t^d^^).

Notons v,, pour 1 < i ^ n, une base orthogonale de l'espace vectoriel V dont les (n - 1) premiers vecteurs sont de longueur 1 et (f)(vn,Vn) i- 0.

Le centre du groupe orthogonal 0(n,0) est formé des homothéties; on a donc :

Z{0(n^))=(-l) et - 1 = ^ . . . ^ .

Le groupe dérivé ^ est un groupe simple s'il ne contient pas -1; si -1 appartient à f^, alors ^/(-l) est un groupe simple [5].

TOME 121 — 1993 — ? 2

0.2.2. Supposons n impair. — Dans ce cas, ^ est un groupe simple.

• Quand ^(vn.Vn) = 1 (l'espace V est de type +), -1 appartient à G(n, 0,^(1)) et n'appartient pas à G(n, 0, E(-l)).

• Quand (f>(vn,Vn) = -1 (l'espace Y est de type -), -1 est dans G(n,(f), E(-l)) et non dans G(n,(f), E(l)).

Comme les vecteurs de longueur 1 pour (f) (resp. -1) sont exactement les vecteurs de longueur -1 pour -^ (resp. +1), on a :

G^^E(l))=G(n^-^E(-l))^

G(n, ^ E(-l)) = G(n, -^ E(l)).

Posons, pour e G {+, —} :

G+(n, 3) = G(n, ^ ^(1)), G-(n^ 3) = G{n, -^ ^(1)), D = E(l).

Alors :

(i) G+(n,3) = (e) x f2 avec e dans D;

(ii) 1 -^ ^ -^ G~(n,3) -^ (e) -^ 1 (où e e .D) est une extension non scindée.

0.2.3. Supposons n pair.—Les groupes G(n, 0, E(l)) et (7(n, ^, ^(-1)) sont isomorphes.

• Quand (f)(vn,Vn) = 1 (V est de type +), on pose G+(n,3) = G(n,(f), E(l)) et D = E(l) : l'élément -1 appartient à f2; le groupe

^/(-l) est simple et on a l'extension non scindée :

1 —— ^ —— G^(n^) —— (e) —— 1 (e e D).

• Quand 0(î;n,^) = -1 (V est de type -), on pose G~(n,S) = G(n,(f),E(l)) et D = E{1) : -1 n'est ni dans f2, ni dans G-(n,S). Le groupe f2 est un groupe simple et l'extension

1 ^ n ^ G-(n,3) -^ (e) ^ 1 (e e D) est non scindée.

Observons que l'indice de la forme 0 est maximal pour ^(-l)⁷¹/² = 1 et non maximal pour ^(-l)71/2 = -1, e désignant le type de l'espace V.

Faisons d'abord quelques remarques. Si V est un plan, ou bien c'est un plan hyperbolique (on a donc e = -1), l'indice de (j) est alors maximal, ou bien c'est un plan anisotrope (on a donc e = +) et l'indice de (f) est non

maximal. Si V est de dimension 4, c'est la somme orthogonale de deux plans anisotropes (on a donc e = +) ou d'un plan anisotrope et d'un plan hyperbolique (on a donc e = —). Dans le second cas, l'indice de (j) n'est pas maximal; dans le premier cas, l'indice de <j) est maximal : si ^1,^25^35^4 est une base orthonormale de Y, {v-i + ^3 — Ui, v^ + vs + ^4} est un plan isotrope.

• Supposons dimV = 2 (mod4) et V de type + (resp. —). Alors V est une somme orthogonale de sous-espaces de dimension 4 de type + et d'un plan U de type + (resp. —) : l'indice de la forme (p est alors non maximal (resp. maximal).

• Supposons dimV = 0 (mod4) et V de type + (resp. —). Alors V est une somme orthogonale de sous-espaces de dimension 4 et de type +, d'un plan anisotrope (type +) et d'un plan hyperbolique (type —). L'indice de (/) est alors maximal (resp. non maximal).

0.2.4. Table de notations; liens avec les groupes simples associés. — (Voir le tableau page suivante.) On pose ^ = 7){0(n, 0)) et

D=E{l)={t^ \(/)(v,v)=l, v ç V } v € { + , - } .

Type de V : V est de type + si V admet une base formée de vecteurs orthogonaux Vi pour 1 < i < n avec (f)(vi,Vz) = 1 et de type — sinon.

Pour n pair, l'indice de la forme est maximal si et seulement si l'on a e(-ir/2 = 1 (cf. [3], [4], [5], [6], [7] et [10]).

3. La méthode.

Soit G un groupe avec une présentation (X,7^). Le premier résultat donne des conditions sous lesquelles G admet une classe de Fischer E con- tenant X , sachant que G possède un sous-groupe «assez gros» engendré par une classe de Fischer.

0.3.1. THÉORÈME. — Soit G un groupe donné avec une présen- tation {X,K) où X est un ensemble d'involutions, \X\ > 3, et soit b un élément de X tel que :

(i) il existe un élément XQ dans X — {b} avec {xob)3 = 1,

(ii) pour toutx dans X—{b} on a: ou bien (xb)2 = 1 ou bien (xb)3 = 1, (iii) le sous-groupe K = (X —{b}} est distinct de G et admet une classe de Fischer D(K) contenant X — {b}.

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+ r—l

+

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g i n

x

" 1

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î ' 1

+ x

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1 + 1

CM ^

+ + ^

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^- ^ À ^ ^

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^

^ ^ ^ ii a g

G ^ Ss

Table des notations.

Si les conditions C.O et C.l ci-dessous (resp. C.O, C.2) sont satisfaites, alors E = D(K) U { ^ | k e K} (resp. E = D(K) U {b^} U {^ | A- ç K}, pour 2^ voir C.2) est une classe de Fischer de G et l'on a :

\E\= \D{K)\^\K:CK{b}\

(resp. \D(K)\^l+\K:CK(b)\).

C.O Le centralisateur B de b dans J^ opère transitivement (par conjugai- son) sur D(K) - B ;

C.l Pour tout élément k dans K, il existe des éléments d et d7 dans D(K) tels que k ç BdU Bdd' ;

C.2 Le centre de Jf contient une involution z ne centralisant pas b telle que (bb^)³ == 1 et (.r^)² == 1 pour tout rr dans X - {b}. Pour tout élément k dans .RT, il existe des éléments d et d' dans D(K) tels que k ç BdU Bdz U Bd^ U B^ [12, 1.3.1].

0.3.2. — Soit G = (X,7^) un groupe satisfaisant aux hypothèses du théorème ci-dessus et pour lequel les conditions C.O et C.l (resp. C.O et C.2) sont remplies. Supposons X fini, X = {xi \ 1 < z < n}, et notons E la classe de Fischer de G.

Soit H un groupe de la famille G^n^), SU(n,4), avec n ^> 5, des groupes étudiés ici; soit D = D(H) la classe de Fischer de H. Supposons que H admette des générateurs yi (1 < i < n) satisfaisant aux relations 7^, on démontre alors le résultat suivant :

(i) il existe un homomorphisme ^ de G sur H qui applique Xi sur yi pour 1 < i ^ n ;

(ii) si |£'| = |7^|, l'extension 1 —> ker'0 ^ G —> H —^ 1 est centrale (voir. [12, 1.3.2]).

Observons que le groupe H est presque simple (i.e. T>(H/Z(H)) est simple non abélien). Posons H = H / Z ( H ) . Dans la situation ci-dessus et sous l'hypothèse \E\ = [D|, on a une extension centrale :

(e) : 1 -> Z —> G —> H -^ 1.

Posons Z ' == P(G) D Z ; on démontre les assertions suivantes :

(1) Si \H : V(H)\ = 2, alors Z = Z ' , l'extension (e) est non scindée,

\G : "D(G)\ = 2 et \Z\ est un diviseur de l'ordre du multiplicateur de Schur du groupe simple X>(H\

(2) Si \H : V(îî)\ = 1, alors \G : V(G)\ = \Z : Z ' \ < 2, G ^ Z° x G", où Z° est un sous-groupe central de G et où G' est une extension

TOME 121 — 1993 — N° 2

centrale non scindée de Z ' par H ; \ Z ' divise l'ordre du multiplicateur de Schur du groupe simple V(îî). (On rappelle que : |G : P(G)| < 2, que Z(V(G)) C Z(G) et que P(G) est engendré par les produits ce' d'éléments de E, cf. [6] et [12, 1.3.3]).

Multiplicateur de Schur du groupe simple V(H). — (Avec les notations ci-dessus.)

H

G + ( 2 p + l , 3 ) , p > 4 G+(2p,3), p > 4 G+(6,3)

G'(7,3)

G~(n,3) n ^ 6, n ^ 7 SU(n,4) n > 4 , n ^ 6 SU(6,4)

^ : V(H) 1 2 2 2 2 1 1

mult. de Schur de P(-tf)

C2 X C 2 C 2 X C 2

Gi x Ça x C'a

C'3XC'2 C2

1 C'a x C'a x £2 (cf. [8] et [12]).

On peut alors établir la proposition suivante :

0.3.3. — Soit (e) :1 -^ Z -^ G -^ H -> 1 une extension centrale d'un couple fischérien (H, D) pour laquelle G admet une classe de Fischer E telle que \^(E)\ == \D\. Alors :

(1) Pour H ^ SU(n,4) (avec n > 4 et n ^ 6) l'extension (e) est scindée, on a |Z| < 2 et G ^ Z x H.

(2) Pour ^ c± G^n.S) (avec n > 8 ou (n = 6 et e = -)), l'exten- sion (e) est triviale : G ^ H.

(3) Pour 7ï ^ G^?^), l'extension (e) est ou bien triviale, ou bien non scindée, et dans ce cas |Z| = 3 [12, 1.3.7].

0.3.4. — Pour chaque groupe H des familles 0^e (n^ 3) pour n > 6, (n = 6, e = + excepté) et SU(n,4) pour n > 5, on détermine un ensemble générateur X contenu dans la classe de Fischer D == D(H) de H de telle sorte que XQ = X — {b} engendre le stabilisateur K dans H d'un vecteur de longueur -1. Le centralisateur B de b dans K et K satisfont aux conditions C.O et C.l du THÉORÈME 0.3.1 (cf. [12, 1.4.6 et 1.4.7, cas 3 et 4]). Les groupes K et B sont respectivement isomorphes à G-^n - 1,3) et à G^n - 2,3) si H désigne G^n, 3), et à SU(n - 1,4) et SU(?z-2,4) si H désigne SU(n, 4). On a \D(K)\ + \K : B\ = \D(H)\.

Dans le cas d'exception, on est conduit à faire des choix différents pour K et B puisque G+(4,3) (isomorphe à W(D^)) n'est pas le stabilisa- teur dans H d'un plan anisotrope. On détermine un ensemble générateur XQ = X - {b} où (Xo) est le stabilisateur dans K d'un vecteur v de longueur 1 ; ty est alors un élément central de K ne centralisant pas b.

Le stabilisateur B de b dans K est le stabilisateur d'un vecteur isotrope.

On a K ^ G+(5,3) et B ^ 7^4. Ces groupes satisfont aux condi- tions C.O et C.2 ci-dessus et l'on a : \D(K)\ + 1 + \K : B\ = \D(H)\

[12, 1.4.6, 1.4.7 cas 3']).

0.3.5. Systèmes générateurs pour G£(n,S). — Le groupe 0e (n, 3) est engendré par des éléments di (1 < i < n) de sa classe de Fischer sur lesquels on a les relations fn si ^(-l)71 = -1 et n > 5, et les relations gn si eÇ-l)71 = 1 et n > 6 :

Soient n et e tels que ^(-l)71 = -1 (resp. ^(-l)71 = 1). Par récurrence sur la dimension n de l'espace vectoriel V associé à G, on définit une base Vj pour 1 < j < n de V de vecteurs de longueur 1 de telle sorte que les réflexions t^ qui leurs sont associées satisfassent aux relations fn (resp. gn) :

• pour n = 5 :

r 0 ( ^ , ^ + i ) =0(^3^5) =(^^5) = l ^ 2 ^ i < 5,

1 </)(^,^) = 0 , 1 < z < j < 5, (z,j) ^ {(1,5), (3,5), (z,z + 1)} ;

• pour n = 6 :

F (^, ^+1) = (f)(v3, Vs) = 1, 1 ^ Z ^ 5,

1 ^v,) = 0 , 1 < z < j < 6, (z,^) ^ {(3, 5), (z, z + 1)}.

Pour n > 5 (resp. n > 6), on sait construire par récurrence une base de (n- 1) vecteurs de longueur 1 engendrant un sous-espace V de dimen- sion (n - 1) et de type -E tel que l'on ait les relations fn-i (resp. gn-i) ;

TOME 121 — 1993 — ? 2

l'orthogonal de V est un vecteur an de longueur —1, on pose alors :

Vn = CLn + ^1 + ^4 - Z^~1 ^ (reSp. Vn = dn + ^4 - ^5 - ^6 - Z^T1 ^).

(Dans tout ce numéro, (f) désigne une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur Y, pour laquelle V est de type e.)

0.3.6. Systèmes générateurs pour SU(n,4). — On note (/) une forme non dégénérée antihermitienne sur V, espace vectoriel de dimension n sur F4. On construit par récurrence une base de V formée de vecteurs non isotropes vi pour 1 < i < n satisfaisant :

d^ d'2 C?3 C?4 (ÎQ d^

On choisit les vi de la manière suivante :

• ^(^,^+1) == (f)(v^vo) = (^2^5) = <^4^5) = l s i l < z ' < n - l et i ^ 5 ;

. ^(v^v,) = 0 si 1 < i < j < n et (ij) i { ( 2 , 5), (3, 5), (z, i + 1)} ;

• (f){v^,v^} = uj avec {uj^} = ¥4, — {1,0}.

Soit V le sous-espace engendré par vi pour 1 < i < n — 1 ; c'est un sous-espace non dégénéré dont l'orthogonal est une droite portée par :

n-l Un = Vl + ù;Z»3 + V4 + Ct)^5 + Y ^ -

p o u r n > 6 (cf. [5], [12]).

1. Groupes orthogonaux sur Fg 1. Enoncés des résultats. Notations.

1.1.1. — Le groupe (^(S^) admet un système générateur di pour 2 < i < 6 formé d'éléments de sa classe de Fischer D sur lequel

d'2 ds c?5 dç FW ——\^——'

Vd4

est une formule de présentation. L'involution centrale p est le produit de cinq éléments de D commutant deux à deux :

p = d^d^d^xx'

avec x = d^2^6^5^ et xf = d^^3 [10, chap. 4].

1.1.2 THÉORÈME. — Soient n ^ 6 un entier et e ç {+,-} tels que eÇ-l)71 = -1. Le groupe GE(n,S) admet sur le système générateur dj (avec 1 < j <, n) la formule de présentation

fdi

F(n) ^ ^ J ^ ^ - - - ^ , (cW=l, z = l s z n > ^ Vd4

s et z étant définis ci-dessous en 1.1.3 et 1.1.5.

1.1.3. — On pose s = (û^o^o^)² ; s est un élément central du sous- groupe Ho engendré par d^ d^ ^5 ; on a s3 = 1 et {s) = Z(Ho), (0.1.1.).

1.1.4. — Les relations (c^de)2 = 1 et (did|)2 = 1 sont équivalentes.

En effet, \ab\ désignant l'ordre du produit ab, on a

|^de| = ^^^^de} = Idf⁵^⁴^!

= l^^^^dsl = l^^^^dil

= l ^ i h ce qui entraîne l'assertion.

1.1.5. — Soit n ^ 7 sous les hypothèses 1.1.2. On pose dÇ = ^d7 et on désigne par (p) le centre du groupe P = {dj \ 2 < j < 6) (1.1.1). On a les assertions suivantes :

(i) ( ^ 6 ) 2 = 1 ;

(ii) H = {dj,d^ \ 3 < j < 7) ^ H^ [10, chap. 3, 0.1.2] ; (iii) pd'j centralise dj pour 2 < j < 7.

En effet, comme d^ et ^4 centralisent dy, on a d^7 = d^^7. Le sous-groupe de G engendré par d^.dç.x et x ' est isomorphe à ^(^4) (ou à W(D^)/Z(W(D^)) puisque (dy^)³ = (d^x)³ = (d^)³ = 1 et que dg, a; et .r⁷ commutent deux à deux. On a

de x x ' d^⁷

^^

^d7

et l'assertion (i) en résulte immédiatement. En outre, comme p et dy centralisent c?2, c?3, c?4 et c?5, on a la formule stricte :

ds ^6 ^7 ^

ce qui établit (ii).

TOME 121 — 1993 — ? 2

Enfin, pd^ centralise dy pour 2 < j < 6 et l'on a : d^7 = ^(d7cw = d^

ce qui montre que pd'j centralise dj pour 2 ^ j ^ 7, d'où (iii).

1.1.6. — Avec les notations 1.1.5. On pose :

Z == (^3^4)(^3^4)d5(^3^4)d5d6?^4)d5d6d7(^4^4)d5d6d74

(z) est le centre de H (1.1.5 (ii)), on a z3 = 1 (cf. [7] et [10, 0.1.2]).

1.1.7. — Le groupe (7~(5,3) admet un système générateur formé d'éléments dj^ 1 < j <^ 6, de sa classe de Fischer D sur lequel on a la formule de présentation :

di û?2 ^3 d^ dg

Les groupes G~(5,3) et W(Eç) sont isomorphes (cf. [1] et [10, chap. 3]).

1.1.8. THÉORÈME. — Soient n > 6 et e G {+, -} tels que eÇ-l)71 = 1.

Le groupe 0e(n^ 3) admet un système générateur dj pour 1 < j < n sur lequel

fde

di ^2 ^3 [d^ dj dn

G{n) 9 l \ H / " ~ - - ^ , (d^e)2^ /z = 1

e5^ ?zne formule de présentation'^ s étant défini en 1.1.3 et z étant un élément tel que z3 = 1, déterminé en 1.1.10.

1.1.9. — Avec les notations de 1.1.8, soit P le sous-groupe de G engendré par dj pour 2 < j < 6. Son centre est engendré (1.1.1) par p = d^d^d^xx'. Posons do = ûÇ . On a les assertions suivantes :

(i) (do^)2^;

(ii) ^ = ( ^ , d o | l < j < 5 ) ^ 3 , 6 ; (iii) dop centralise do et dj pour 1 <, j < 5.

Ces assertions se démontrent mutans mutandis comme dans (1.1.5).

1.1.10. — On pose :

Z = (d5^4)(^^4)^?^4)c^3d2(^^4)d3d2dl(^5^4)ri3d2dldo.

Alors z engendre le centre du groupe H défini en 1.1.9 (ii) ; on a z3 = 1.

2. Démonstrations.

On démontre chacun des THÉORÈMES 1.1.2 et 1.1.8 par récurrence sur l'entier n.

• Dans le cas eÇ-l^ = -1, on établit d'abord le résultat pour n = 6 (LEMME 1.2.1). Puis pour n = 7, on montre qu'en supprimant la rela- tion z = 1, on obtient une présentation pour l'extension centrale non scindée

l - ^ ( z ) — . G - ^ G + ( 7 , 3 ) ^ l ,

où z est un groupe d'ordre 3 (LEMME 1.2.2) ; certains calculs, un peu longs sont reportés en appendice. Enfin, on établit le résultat 1.1.2 pour n = 8 (resp. n > 9) (LEMME 1.2.4).

• Dans le cas eÇ-l)⁷¹ = 1, on montre tout d'abord que pour n = 6, si l'on supprime la relation z = 1, le groupe G est l'extension centrale non scindée

1-^)-^C7-^G+(6,3)^1,

où z est un groupe d'ordre 3 (LEMME 1.2.5). Pour n = 7, on montre que si l'on remplace la relation z = 1 par d^dj = 1, le groupe G est l'extension centrale non scindée (LEMME 1.2.6)

1 -> (z) —> G —> G~ (7,3) -^ 1.

Enfin, on établit le THÉORÈME 1.1.8 pour n = 8 et n > 9 (LEMME 1.2.7).

Comme me l'a fait remarquer le référée, en m'indiquant l'existence d'une extension non scindée G = 3⁷ • G" (7,3) (où G est engendré par une classe de Fischer) dans FÎ24 (cf. [3]), la relation d^d^ = 1, dans le cas e = — et n = 7 est nécessaire, alors que dans le cas e = + et n = 7 elle est conséquence des autres relations (1.2.3).

Je donne, en appendice la preuve du lemme suivant :

Soit (K,D) un couple fischérien avec une présentation (X,K) fisché- rienne (i.e. X c D^ les éléments de 7^ étant du type (xy^^ = 1, x2 = 1 avec x et y dans X, k dans K et m = 2,3).

Alors, toute extension 1 —^ N -^ G —> K —^ 1 telle que G admette une classe de Fischer E avec f(E) = D, est scindée (appendice 7).

1.2.1. LEMME. — Soit G un groupe engendré par des éléments dj pour 1 <, j < 6 sur lesquels on a la formule de présentation F(6). Alors le groupe G admet une classe de Fischer E de cardinal 117, contenant dj pour 1 < j < 6 ; G est isomorphe à G~(6,3).

TOME 121 — 1993 — N° 2

Preuve. — II existe un homomorphisme ^ de G sur G° = G~(6,3) appliquant di sur ^ pour 1 < % < 6 (0.3.5). Soit K le sous-groupe de G engendré par dj pour 2 < ^ < 6; K est un quotient de G^(5,3) (1.1.1)

et son image par '0 est contenue dans le stabilisateur dans G° d'un vecteur de longueur —1 :

^(K) C SÇae) où aç = VQ — v^ + ^4.

Comme ip applique le système générateur de K sur un système générateur de S(aç) (0.3.5), nous en déduisons que K est engendré par une classe de Fischer D(K) et que la restriction de ^ à K est un isomorphisme.

Soit B le centralisateur de di dans K. Posons d' = ^2^4 ^ ^ ^ ^ élément de B pour lequel on a :

d^ ds ^4 d ^6.

En effet, d^d^ et d^ sont dans B\ on a les assertions suivantes :

|^| = \d^\ = \ded^ \d'd3\ = l^^l = \dçd^

d'où (d'd2)2 = (^^s)2 = 1. En outre

\d'd^\ = Id^⁴] = l^^^^⁵^] = l^e^l,

|dU| = |^^6| = l^^3^^5] = |^3^4! = |^^4|,

d'où (d'de)3 = (d7^)3 = 1, ce qui établit l'assertion.

Le sous-groupe B¹ = (d^.d^, d^d! ,do) est isomorphe à Se et son im- age ^{B1) (isomorphe à B')^ isomorphe aussi à (7~(4,3), est le stabilisa- teur dans ^(K) d'un vecteur de longueur —1 ; en particulier c'est un sous- groupe maximal de ^(K). On a donc ï^(B) = ^{B') et par suite B = B ' . Les conditions C.O et C.l du THÉORÈME 0.3.1 sont satisfaites pour K et B (0.3.4), le groupe G admet donc une classe de Fischer -E, avec E = D(K) U [d^ \ k C K} dont le cardinal est

I ^e ''^^l^ ⁴ ^ ⁷² ' ¹¹⁷ -

Comme ^((^"(ô^))! = 117, G est une extension centrale de G~(6,3) et par suite G est isomorphe à G~(6,3) (0.3.2 et 0.3.3).

1.2.2. LEMME. — Soit G un groupe engendré par des éléments dj pour 1 < j < 7 sur lesquels on a la formule de présentation

f(7) .^{d2 d3} l^⁵ ^ ^7 ^ ( ^ ) 2 = ^ (5 d^m en 1.1.3)

Alors le groupe G admet une classe de Fischer E contenant dj pour 1 < j <^ 7; G est une extension centrale non scindée de G^~{7^3) par un sous-groupe (z), z3 = 1. Le centre de G est d'ordre 6 ; il est engendré par z et 777.7, m7 étant le produit de 7 éléments de E commutant deux à deux.

L'expression de z est donnée en 1.1.6, celle de 777,7 en appendice 2.

Preuve. — II existe un homomorphisme ^ de G sur G° = G"^?, 3) qui applique dz sur ^ pour 1 < i < 7 (notations 0.3.5). Posons :

K={d, l ^ z < 6 ) .

L'image de K dans G° fixe un vecteur 07 = ^1+^4—^5 ^j ^e longueur —1 ; le fixateur S(aj) de 07 dans G° est isomorphe à G~(6, 3), il est engendré par ^{di) pour 1 < i < 6 (0.3.5). Il résulte alors de 1.2.1 que K est isomorphe à ^{K) = S'(07), donc à G~(6,3). La classe de conjugaison de ai dans K est alors une classe de Fischer D(K) de K.

Soit B le centralisateur de 07 dans K. Observons que B contient le sous-groupe B ' engendré par di pour 1 < i < 5 ; B ' est isomorphe à son image par ^. On a donc :

^ ( B/) ^ B/^ G + ( 5 , 3 ) .

Comme ^{B') est un sous-groupe maximal de ^(K), on a :

^ ( B ' ) = ^(B) d'où B = B ' .

Les conditions C.O et C.l du THÉORÈME 0.3.1 sont satisfaites pour K et B (0.3.4). Le groupe G admet donc une classe de Fischer E telle que E = D(K) U {07 [ k € K}. Le cardinal de E est 117 + 2 x 9 x 31 = 351 (cf. [12, 1.4.7 L3]). Par suite G est une extension centrale de G° (0.3.2).

Ainsi on a la suite exacte

1 ^ ^ _ G ^ G° ^ 1,

où ^o est un sous-groupe central dont l'ordre divise celui du multiplicateur deSchurdePG+(7,3).

TOME 121 — 1993 — N° 2

1.2.3. Détermination de ZQ. —Conservons les notations 1.1.5 et 1.1.6;

z désigne le générateur

Z = (d3d4)(^^4)d5(^^4)d5ri6(^^4)d5d6d7?^)d5d6d7d7

du centre du groupe H engendré par d'j et dj pour 3 < j < 7. Cet élément z appartient à "D(G\ son image par ^ engendre le centre de ^(H). Or ip(H) est isomorphe à ^3,6/^(^3,6)5 car GJr(7,3) ne contient pas de sous-groupe isomorphe à 7^3,6 ; on a donc ^{z) = 1 et z est un élément central de G.

On peut aussi démontrer « à la main » que z centralise di et d-z (appen- dice 3) ; z centralise alors les générateurs de G : c'est un élément de Z(G).

Ainsi, {z) est contenu dans ZQ ; comme \ZQ\ < 3, on a : ZQ == (z).

Pour déterminer l'involution centrale de G il suffit de sélectionner sept éléments dans E commutant deux à deux; leurs images par ^ correspondent alors à des réflexions orthogonales déterminées à partir d'une base orthonormale de l'espace vectoriel V associé à G°.

Pour les expressions explicites voir appendice 2.

1.2.4. LEMME. — Soit n > 8. Soit G un groupe engendré par des éléments dj pour 1 < j < n sur lesquels on a la formule de présentation :

fW

dn

(d^i)2 = 1 s défini en 1.1.3, [ (d^ds)2 = 1 z défini en 1.1.6.

Alors le groupe G admet une classe de Fischer E de cardinal

• i3m-l(3m + (-l)771) si n = 2m,

• ^3m(3m+(-l)m) 5 2 n = 2 m + l ;

E contient dj pour 1 < j < ^ n ; G est isomorphe à G~ (n, 3) si n est pair et à (^(n, 3) si n est impair.

Preuve. — Soit e ç {+, -} tel que ^(-l)7' = -1. Posons G° = G(n, 3).

Il existe un homomorphisme '0 de G sur G° qui applique dj, sur ty^ pour 1 < i < n (0.3.5). Soit K == {dj | 1 < j < n — 1) ; l'image du système générateur de K engendre le stabilisateur S (an) dans G° du vecteur a^ = v>\ + V4 — ^^ Vj de longueur — 1.

Démontrons 1.2.4 par récurrence sur n.

Soit n = 8. Le sous-groupe K de G est isomorphe à un quotient de l'extension centrale de G^(7^3) par (z) ^ €3 (1.2.2) ; compte tenu de ce qui précède, K admet une classe de Fischer D(K) et l'on a :

1 -. (z) —— K ^ S(as) -^ 1

où (z) est le centre du sous-groupe H de K engendré par d'-j et les dj pour 3 ^ j < 7 construit en (1.2.3). Observons que l'hypothèse d^ds = 1 impose que z soit un élément central dans G.

Soit B le centralisateur de ds dans K\ B contient le sous-groupe B' engendré par dj pour 1 < j < 6. Comme l'image de B' par ip est isomorphe à G~(6,3) (1.2.1), c'est un sous-groupe maximal de ^{K). On a donc

^{B) = ^(B') et par suite B = (z)B^f (car z ^ B ' ) . Les conditions C.O et C.l du THÉORÈME 0.3.1 sont satisfaites pour K et B (0.3.4) ; le groupe G admet alors une classe de Fischer E telle que E = D(K) U {dJ | k ç K}

dont le cardinal est :

I p\ _ 0^1 i 1(^)1 x \G (7,3)| _ a 3 _

^ ' - ^ - ^ ^ ^ ^ ( M ^ -3 5^2 x 3 x 7-1 1 0 7- Comme 1107 est aussi le cardinal de la classe de Fischer de G~(8^ 3), on voit que G est isomorphe à G" (8, 3) (0.3.2, 0.3.3) et l'on a z = 1.

Supposons n > 9. Le groupe K est un quotient de G~^E(n — 1,3) (hypothèse de récurrence) dont l'image par ^ est S(dn) ^ G~E(n — 1,3).

La restriction de ip à K est donc un isomorphisme.

Soit B le centralisateur de dn dans K ; B contient le D(.K)-sous-groupe B ' engendré par dj pour 1 < j <^ n — 2. Si n = 9, K est isomorphe à G~ (8,3) et z = 1; le sous-groupe B' est donc isomorphe à G" (7,3).

Si n > 9, B' est isomorphe à 0^e {n — 2,3). Dans toutes les situations,

^{B') est un sous-groupe maximal de ï/^(K) ; on a donc ^(B) = ipÇB') et par suite B = B ' . Les conditions C.O et C.l du THÉORÈME 0.3.1 sont satisfaites pour K et B (0.3.4) ; le groupe G admet une classe de Fischer E telle que E = D(K) U {< | k e K}. On a :

•

n = 2

-

1

I^WI-,^^

= ^3^m-^l(3^m + (-1)"¹) + S"¹-¹^"¹ + (-1)"¹)

= ^3^m(3^m+(-l)^m),

TOME 121 — 1993 — N° 2

.n=2m \E\= \D(K}\ + ^(^-M)!

1 1 ' v / 1 |G-(2m-2,3)|

= j3m-l(3m-l+(-l)m-l)

4-3^-1(3^-1 _ ç_^m-l^

= ^-^^(-l)^.

Donc |^| = ^(G^n^))! avec ^(-1)^ = -1. Le groupe G est donc une extension centrale de G° et l'on a G ^ G° = 0e(n, 3) (0.3.2 et 0.3.3).

1.2.5. LEMME. — Soit G un groupe engendré par des éléments dj (1 < J < 6) sur lesquels on a la formule de présentation :

9W

Alors, le groupe G admet une classe de Fischer E de cardinal 126 contenant dj pour 1 < j ^ 6 ; G est une extension centrale non scindée de G+(6,3) par (z), z étant défini en 1.1.10.

Preuve. — II existe un homomorphisme -^ de G sur G° = G+(6,3) (0.3.5) qui applique d, sur ty, pour 1 < i < 6. Posons P = (dj \ 2 < j < 6).

Soit S le fixateur du vecteur u = v^ - ^3 + v^ de longueur +1 (nota- tions 0.3.5). On a alors S ^ G+(5,3) et les générateurs de P s'envoient sur des éléments de S engendrant S, d'où ^(P) = S. Il résulte de (1.2.1) que la restriction de ^ à P est un isomorphisme. Notons D(P) la classe de conjugaison de ^ dans P; c'est une classe de Fischer de P. Soit (p) le centre de P, on a :

p = d^dçxx^ x = d^2^6^^3, x ' = d^^3. Posons do = û^1 ; on a les assertions suivantes :

(1) (cWi)3 = 1 = (dod,)2 pour 2 < j < 6;

(2) mo = pdo est une involution centrale dans G ; (3) ^ = ( ^ | 0 < j < 5 ) ^ 3 , 6 ;

(4) Z(H)=(z)et | ^ | = 3 ; (5) ^(z) = 1 avec z e Z(G\

Les quatre premières assertions résultent de 1.1.9. Comme G+(5,3) n'admet aucun sous-groupe isomorphe à ^3^, ^(H) est isomorphe à ^3,6/^(^3,6). Le centre de H est donc contenu dans le noyau de ^.

Pour établir (5), il suffit de prouver l'égalité zdç, = dçz, avec z explicité en 1.1.10. Pour ce calcul, voir l'appendice 3.

Soit B le centralisateur de di dans P; il contient le D(P)-sous- groupe B1 engendré par d, pour 3 ^ % < 6; B ' ^ 7^4 (cf. [8, chap. 3] et [10, 1.1.2]). L'image de B1 par -0 est le stabilisateur dans ^(P) de la droite isotrope v^ — 1:4, c'est donc un sous-groupe maximal de '0(P). On a :

^{B') = ^(B) et par suite B = B ' .

Les conditions C.O et C.2 du THÉORÈME 0.3.1 sont donc remplies pour les groupes P et B (0.3.4) ; le groupe G admet une classe de Fischer E telle que E = D(P) U {do} U {d^ k e P} dont le cardinal est

\E\= 4 5 + 1 + ^ - ^ = 1 2 6 .

\j=>\

Le groupe G est donc une extension centrale de G^(6, 3) : 1 ^ Zo — G ^ G° -^ 1.

Or, toute extension centrale de G4" (6,3) admet une représentation com- plexe irréductible de degré 6 (cf. [13, chap. 6]) et il résulte de la classifica- tion des groupes finis possédant certaines représentations de degré 6 que le centre de G est au plus de cardinal 6 (cf. [9]). Soit mç le produit de six involutions de E commutant deux à deux dont les images par '0 sont des réflexions orthogonales définies par les vecteurs d'une base orthonormale de l'espace vectoriel V associé à G°. Les éléments z et mç sont centraux dans G et contenus dans le groupe dérivé de G ; on a donc Z(G) = (z, m^) et l'extension

1 ^ {z} -^ G ^ G° -. 1 est non scindée.

Remarquons que ^(mç) opère sur V par v \—^ —v et que mç engendre le centre de tout ^-sous-groupe de G isomorphe à WÇDç) puisque G° ne contient aucun D-sous-groupe isomorphe à W{Do)/Z(W(Do)).

1.2.6. LEMME. — Soit G un groupe engendré par des éléments di pour 1 < i < 7 sur lesquels on a la formule de présentation :

9(7)

(d^)2 =1, s défini en 1.1.3, l (0^7) =1, z défini en 1.1.10,

TOME 121 — 1993 — N° 2

Alors le groupe G admet une classe de Fischer de cardinal 378, con- tenant di pour 1 < i ^ 7; G est une extension centrale non scindée de G-(7,3) parCs :

1 -^ (z) —>G —> G~(7,3) -^ 1 avec z3 = 1.

Preuve. — II existe un homomorphisme ^ de G sur G° = G~(7,S) qui applique ^ sur ty, pour 1 ^ î < 7 (0.3.5). Soit K le sous-groupe de G engendré par di pour 1 < i < 6 ; K est engendré par une classe de Fischer D(K). C'est un quotient de l'extension de G+(6,3) par €3 (1.2.5) et de plus, son image par '0 stabilise le vecteur 07 = vr - vç + ^5 - 1:4 de longueur —1 (notations loc. cit.).

Posons P = {di | 2 < % ^ 6) et (p) = Z(P). Rappelons que p est le produit de cinq involutions de D(K) commutant deux à deux; on a p == d^dçxx' (1.1.9). Désignons par do l'élément d^¹. On a :

dp d\ d^ d3 c?5 dç

w

Vd4

⁹ '

Soit z un générateur du centre du groupe H = (dj 0 < j < 5) (on a H ^ ^3,6 d'après 1.1.9(ii)). On a alors d^dç = 1 (appendice 3); de plus ï^(z) = 1 car ^{H) est isomorphe à ^3,6/^(^3,6) car il n'y a pas de sous-groupe isomorphe à U^ç dans G~(7,3) (cf. '[10, chap. 3]). Compte tenu de la relation dfdy = 1, l'élément z de K est donc central dans G.

On a K / { z ) ^ G~^{6,3) ; K est une extension centrale non scindée de 8(07) par (z), SÇa^) désignant le stabilisateur de 07 dans G°, 5'(ar) ^ (^(ô^).

Notons 5 le centralisateur de dj dans J^. Par hypothèse (d^dj)2 == 1, donc B contient le D(^)-sous-groupe B' = (dç, d^ di\ 1 < i < 4). On a :

fdi

^6 ^6 [d^ d^ d^

En effet, cela résulte des définitions suivantes :

\d^s^\=\d^^l\=\dQd^ j = l , 3 , 4 ;

\W = [d^d^ = \d^d^\ = \d^ ,

\d^\ = {d^^d^ = l^3^4! = \d^\.

En conséquence, B' est isomorphe à W{Eo), (on a W(Ee) ^ G-(5,3)).

Observons que ^(B') est isomorphe à son image dans G° et que ^(B') est

un D{K)-so\is-gïo\ipe maximal de ^(K) ; on a alors ^(B) = ^(B7). Par suite B = B'{B Ç} Ker'0). Comme (2:) est le noyau de la restriction de '0 à K et comme 2^ centralise ûÎ7, on en déduit : B = B ' { z } .

Les conditions C.O et C.l de (0.3.1) sont remplies pour K et B', le groupe G admet une classe de Fischer E, avec E = D(K) U {d^ \ k 6 K}^

dont le cardinal est :

w^^^-i^x^x 7= 378.

Comme 378 = |D(G~(7,3))|, G est une extension centrale de G~(7,3) d'après (0.3.2). L'élément z appartient à T>(G) D Z(G) ; l'extension

1 -^ (^ _, G? -^ G0 -> 1, G° = G-(7,3), est donc non scindée.

1.2.7 LEMME. — Soit n > 8. 5'rn^ G zm groupe engendré par des éléments d j , avec 1 < j^ < n, 5?zr lesquels on a la formule de présentation :

d\ ^2 Ç^3 1^5 ^7 (^n

9{n)

(d^dj)² =1, 5 de/tm en 1.1.3, [ (dW² =1, 5 défini en 1.1.10.

Alors, le groupe G admet une classe de Fischer E contenant les dj pour 1 < J< ^ dont le cardinal est :

. \ 377^(3m+l + (-l)^1 si n = 2m + 2,

• ^^^ 4- (-l)^ ^ n = 2m + 1.

Le groupe G est isomorphe à G^n, 3) avec ^(—l)71 = 1 ; on a z = 1.

Preuve. — II existe un homomorphisme ^ de G sur G° = G^n^) (avec £ G {+, —} et ^(—l)^{7 1} = 1) appliquant di sur ^ pour 1 ^ î < n, avec les notations et les conventions (0.3.5). Démontrons les assertions par récurrence sur n.

Observons que si n = 7, la formule g(7) est une formule de présentation pour l'extension centrale G de G~ (7,3) par un sous-groupe {z} d'ordre 3 (cf. 1.2.6).

Supposons n = 8 (resp. n > 9). Posons K = (dj | 1 < j < n — 1).

D'après l'hypothèse de récurrence, K est un quotient central du groupe

TOME 121 — 1993 — ? 2

0e (n- 1,3) et admet pour classe de Fischer la classe de conjugaison de di dans K\ on la note D(K). L'image de K par -0 stabilise le vecteur dn = -V4+V5-V6+^Vj de longueur -1 (n > 8). Comme l'image par ^ du système générateur de K est un système générateur du fixateur S(an) de dn dans G°, le groupe K est une extension centrale de G'8^ - 1,3).

En conséquence, pour n ^ 9, ^ est un isomorphisme ; pour n = 8, on a K / Z ( K ) c± G~(7,3) et le noyau de '0 est engendré par (z), centre du groupe K. Rappelons que z engendre le centre du sous-groupe H = (dj | 0 ^ j < 5) et que z centralise dç (1.2.5, appendice 3). Par hypothèse, on a d^dy = 1 et par suite z est central dans G.

Notons B le centralisateur de dn dans K ; B contient le sous-groupe B^f', engendré par dj pouri < j < n - 2.

Si n = 8, on a K / ( z ) ^ ^(K) = S{as) ^ G-(7, 3) ; B^/ est une extension centrale de ^(G.3) par {z) (1.2.5). Son image ^(B1) est alors un sous- groupe maximal de ^(K). On a donc ^(B) = ^(B') et par suite B = B' (avec z appartenant à B). Les conditions C.O et C.l (0.3.1) sont remplies pour K et B ; le groupe G admet donc une classe de Fischer E telle que E = D(K) U {4 | k (E K} dont le cardinal est :

1^1 = 378+ ^+^ô l G ^ ^ b , ^ !3?! = 378+2 x 33 x 13 = 1080.

Comme 1080 est aussi le cardinal de la classe de Fischer de G~^(8,3), le groupe G est une extension centrale de G+(8,3) (0.3.2). Il résulte alors de (0.3.3) que l'élément z, central dans G et appartenant à G, est trivial.

Pour n ^ 9, le groupe K est isomorphe à G~E(n -1,3) pour e tel que

^(-l)71 = 1. On a alors z = 1. Ainsi le sous-groupe B' de B est isomorphe à 0^e {n - 2,3) et son image par '0 est un sous-groupe maximal de ^(K) ; on a ^(B) = ^{B'} et par suite B = B' ^ 0e (n- 2, 3). Les conditions C.O et C.l ci-dessus sont remplies pour K et B; le groupe G est engendré par une classe de Fischer E telle que E = D(K) U {d^ k e K} dont le cardinal est :

•si n=2m+l, \E\ = JS"¹-^"¹ - (-l)™) + ^^^

_ 1 om/om / 1 \m\

— 2 " '•" — l•—-l•') '' !

.si n = 2 m + 2 , |£'| = ^(^ - (-1)"1) + ^2m^ u)l

^ j3^(3»"+i+(_!)»).

On a donc |£'| = ^(G'^n^))! avec £(-!)" = 1. Il s'ensuit que G est une extension centrale de G^n^); l'élément z est donc trivial et l'on a G^G^n^S] (0.3.2 et 0.3.3).

2. Groupes unitaires sur F4

^ Dans toute cette section SU(n,4) désigne le groupe des isométries de déterminant 1 d'un espace vectoriel V de dimension n sur F4, muni d'une forme bilinéaire hermitienne non dégénérée 0.

1. Énoncés des résultats. Notations.

2.1.1. — Rappelons tout d'abord que le groupe orthogonal G^{^,Ï) (2.1.1 et 0.2.2) est isomorphe à l'extension centrale scindée [10, chap. 4] :

1 -, C2 —> G —> SU(4,4) -^ 1

Ce groupe G admet donc un système générateur formé d'éléments dj pour 1 < J < 5 satisfaisant à la formule de présentation :

5(4)

La classe de conjugaison de di dans G est une classe de Fischer de G; le centre de G est engendré par l'involution

P = d^d^dd!

où d = ^d4d2d5dld4d3d^ et d! = d^⁵^ (1.1.1).

Quand on adjoint à 5(4) la relation p = 1, on obtient une formule de présentation pour le groupe simple SU(4,4).

2.1.2. PROPOSITION. — Le groupe SU(5,4) admet un système géné- rateur dj pour 1 < j < 5 satisfaisant à la formule de présentation :

d^ d'2 ûb d^

SW < ^d,

[ (d^⁴^)³ = 1 , q = 1, q défini ci-après en 2.1.4.

2.1.3. — (Avec les notations ci-dessus.) On pose Q = (^2,^3,^4^5);

Q est un groupe isomorphe à J ou à J / Z ( J ) . Le centre de Q est engendré par q = d^d^yy' où

y == ^3d5d4d3d5 et î/ = ^^2^5 ^

les éléments d ^ , d ^ y , y ' commutent deux à deux (appendice 4).

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2.1.4. — On désigne par q le produit doq où do = d^1 (notation 2.1.3).

On a les relations suivantes :

dp c?i cb ds d^

(r) V

En effet, q centralise dj pour 2 < j < 5 et di centralise ^3, Ai et d^. Pour établir (r), il suffit donc de prouver (dodi)3 = 1 = (do^)2. Rappelons que d ^ . y . y ' sont des éléments qui commutent deux à deux (2.1.3), de plus, on a :

1^|=|^2| et \d^y^/\=\d^di^3d5d2\=\d^d2\.

Ainsi le sous-groupe W = { d ^ , d ^ , y ' , y ) est isomorphe à W(D^) (ou à W(D^/Z(W(D^))) ; on a alors :

d2 y y ' df^

"^^

^di

Comme d^ ^dl = d^¹, l'assertion en découle immédiatement.

2.1.5. THÉORÈME.—Le groupe SU(6,4) admet un système générateur dj pour 1 < j < 6 sur lequel

S(6)

, dl C?2 ^3 ^4 d^

^y'

(^^ds)³ = 1, (d^df²^⁴)² = 1, [ ç = ^ ( ^ ) = m ( J ? 2 ) = l .

e5^ nne formule de présentation, les éléments q et q étant donnés en 2.1.3 e^ 2.1.4 ; m(J?i) e^ m{R^) étant le produit de six conjugués de d\ commu- tant entre eux (2.1.6).

Le centre de G est engendré par un élément z d'ordre 3 :

z = ?^)(^^)

d2

?^)

d2dl

?^)

d2dldo

?^)

d2dldod6

.

2.1.6. — (Avec les notations ci-dessus.) On pose :

/. _ ,79^2 ^3^4 _ ^Qd^d-idsdQ^d^^^dsds

u — u-^ , e — a^ ,

^ = e^3^2^5, y'^ = d^5^^5, î/2 = d^2^1.

Pour i = 1, 2,3, on définit m(Ri) comme le produit m(Ri) = fidebxiX^,

où fi=d<2, f-2= x^ )y2 , /3 = x^ )y2 et où x^x'{ et x, sont donnés par :

^ _ f^\f,bdQ{d^d^ il _ ^bfid^ _ ,x[x'^ f,d^

^z — ^"'4 y . a - ^ — a ^ , Xi — d^ 2 = 1,2, o.

(Pour plus de détails sur m(7?i), voir 2.1.7.)

2.1.7. — (Notations 2.1.5 et 2.1.6.) On a les relations :

(r')

di d^ d^ c?4 df,

^T

En effet :

=\dÏld2d3d4d,\=\dod^

\bd^ = ^f^d^ = \d,d^

\bd, | = ^d^²} = Idid^²! = \d^ ,

\bd^\=\dïdi3d2\=\d,d<i3d2 = \d,d^

\bdd,4\=\dq,di3d2 =\d,di3d2\=\d^.

\bd,

Par hypothèse, (bdo)2 = 1 ; les relations (r') sont donc établies.

Il résulte de la section 1 (1.2.5) que le sous-groupe R^ engendré par di, ^2, c?5, û?4, dç, b est une extension centrale de G~^(6,3)/^(G^Î+(6,3)) ; les éléments d^, ^5, de, x[, x ' [ , x\ commutent deux à deux, leur produit m(R\}

est un élément central de R\ tel que m(J?i)2 = 1.

2.1.8. THÉORÈME. — Soit n > 7. Le groupe SU(n, 4) admet un système générateur dj pour 1 < j < n sur lequel on a la formule de

S{n)

^ di d2 d^ d^ dç dn

\ H \ H / ^ - - - - 5

^5

(^2d4^)3 = 1, (dedf2^)2 = 1, t q = m(R^ = m(R^ == 1,

où q est défini en 2.1.3, où q est défini en 2.1.4 et où m(J?i), m{R^) sont définis en 2.1.6.

TOME 121 — 1993 — ? 2

Pour n = Omod3, le centre de G est engendré par l'élément :

z=(d^(d3d,)d2(d^)d2dl(d^d2dldo [J (^5)d2dldo^6^<A

6<j^n

2. Démonstrations.

La PROPOSITION 2.1.2 a été établie en [10, chap. 4] et [13, chap. 6]). Pour que l'exposé soit complet, nous en donnons ici une démonstration (2.2.2).

Si dans la formule 5'(6), (2.1.5), on omet les relations q = m(R^) = m{R^) == 1, on obtient alors une formule de présentation s{6) sur dj, où

1 <: J ^ 6, pour l'extension centrale 62 x G où G est l'extension centrale non scindée de SU(6,4) par 62 x C^ (2.2.3).

On démontre ensuite le théorème (2.1.8) par récurrence sur n pour n ^> 7; on omet la relation q = 1, le groupe obtenu est une extension centrale scindée de SU(?2,4) par 62 (2.2.9) :

1 -^ €2 —> G —> SU(n, 4) -^ 1.

Observons que les groupes G considérés ci-après en 2.2.3 et 2.2.9 admettent des images homomorphes d'ordre 2. Au cours des démons- trations, on établit qu'ils sont engendrés par une classe de Fischer; ils satisfont donc à \G : 'D(G)\ = 2. Comme PSU(n,4) est un groupe simple, on obtient toujours G comme extension centrale scindée de la forme 62 x G\ où G\ est une extension centrale non scindée

1 -. Zi —>G^ —> PSU(n, 4) -^ 1,

|Zi | divisant l'ordre du multiplicateur de Schur de PSU(n, 4) (0.3.2 et 0.3.3).

2.2.1 PROPOSITION. — Soit G un groupe engendré par des éléments dj pour 1 < j < 5 satisfaisant à la formule de présentation :

S(5) dl d2 d3 d4, (^2d4^)3 = 1.

Alors le groupe G admet une classe de Fischer de cardinal 165 contenant dj pour 1 < j < 5 ; il possède un sous-groupe central (q) tel que q2 = 1 (avec q défini en 2.1.4) ; G est l'extension scindée

1 -> C2 —> G —> SU(5,4) ^ 1 deSU(5,4) parC2.

BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE

Preuve. — II existe un homomorphisme '0 de G sur G° = SU(5,4) qui applique dj sur ty^ pour 1 < j < 5 avec les notations et conven- tions (0.3.6). Soit D la classe de Fischer de G°. Posons Q = (d^, ^3, d^ d^) ; Q est isomorphe à J ou a J / Z ( J ) (appendice 4) : il admet une classe de Fischer D{Q) et son centre est {q) (2.1.3). Comme G° ne con- tient aucun D-sous-groupe isomorphe à J / Z { J ) , on a ^(Q) == J et par suite ^(q) ^ 1 ; donc Ç est isomorphe à J et g n'est pas trivial [10, 3.1.3e et 3.1.6].

Soit q = doq avec do = d^ (2.1.3). Observons que q centralise di car d\ = df09 = c^19 = di. Comme do et q centralisent Q, l'élément q est central dans G.

Posons B = Cç(di). Le D ((^-sous-groupe 5' de Ç engendré par ^3, c4 et ^5 est isomorphe à 7Y (0.1.2); il centralise di. Les images de Q et de 5' dans G° sont respectivement isomorphes à J et à 7^, elles correspondent aux stabilisateurs dans G° d'une droite isotrope (w) et d'un plan non dégénéré contenant w ; ^{B') est donc un D-sous-groupe maximal de ^(Q). Or la restriction de '0 à Q est un isomorphisme, NQ(B'} = Z(ff)B' \ comme Z(Q) ne centralise pas di (d^ 7^ di) on en déduit B = B ' .

Les conditions C.O et C.2 du théorème principal (0.3.1) sont remplies pour Q et B (0.3.4). Le groupe G admet donc une classe de Fischer E telle que E = D(Q) U {do} U {d^ \ k e Q} dont le cardinal est :

\E\ = 36 + 1 + {Q!- = 36 + 1 + 27 = 165.

\^D\

II résulte alors de l'étude générale ([12], (0.3.2)) que G est une extension centrale de SU(5,4). Le multiplicateur de Schur de SU(5,4) est trivial [5, 0.3.2] ; l'extension 1 -. (q) -^ G -^ G° -^ 1, avec G° = SU(5,4), est scindée.

2.2.2. Preuve de la proposition 2.1.2. — C'est une conséquence immédiate de 2.2.1.

2.2.3. PROPOSITION. — Soit G un groupe engendré par des éléments dj pour 1 < j < 6 sur lesquels

(

d i d - 2 ^3 ^4 dg ' \H\H/ • '

^(6) \l4

(d^ds)3 = 1, (dedf^3^)2 = 1 (q défini en 2.1.3), est une formule de présentation.

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