Problème 1 : Étude d’un appareil photographique

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MPSI2, Louis le Grand

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3 : Optique géométrique

Pour le lundi 4 novembre

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Problème 1 : Étude d’un appareil photographique

On étudie quelques caractéristiques de la conception d’un appareil photographique dont le but est de former une image réelle d’un objet sur un capteur photographique (pellicule ou capteur CCD), au moyen d’un système optique dioptrique nommé objectif.

Toutes les lentilles utilisées seront considérées minces et utilisées dans les conditions de Gauss sauf men- tion explicite du contraire.

On rappelle les formules de conjugaison de Descartes et de Newton.

Soit une lentille minceLde centreO, de foyers objet et imageFetF⁰dont on notef⁰la distance focale.

SiA⁰etAsont deux points de l’axe optique conjugués parL, on a : 1

OA⁰ − 1 OA = 1

OF⁰ = 1

f⁰ etF A·F⁰A⁰=−f⁰².

On rappelle également les formules du grandissement transversalγt. SiBetB⁰sont deux points conju- gués, hors de l’axe optique, dans les plans conjugués contenantAetA⁰, on a :

γt=−F⁰A⁰ f⁰ = f⁰

F A=OA⁰ OA.

I Objectif assimilé à une lentille unique

On modélise dans cette partie l’objectif comme une unique lentille, mince, notéeL, de distance focalef⁰et de centre optiqueO. Elle peut être translatée devant le capteur, notéC. On notedla distance variable entre l’écran et la lentille.

I.1. (a) Préciser si la lentille doit être convergente ou divergente pour for- mer une image réelle d’un objet réel. Illustrer par un schéma.

(b) Quelle doit être la valeur de la distanced, notéed∞pour que l’image d’un objet à l’infini en amont de l’objectif soit nette sur l’écran ?

L

O

C

d

I.2. On souhaite maintenant former une image nette d’un objet situé à une distancex(positive) finie en amont de l’objectif,ie« faire la mise au point ». On doit pour cela déplacer l’objectif par rapport à l’écran.

(a) Déterminer l’expression de la nouvelle distanced(x)entre l’objectif et l’écran. Préciser si on doit rapprocher ou éloigner l’objectif de l’écran.

(b) On nommetirage, notét, la translation de l’objectif entre deux valeursd(x2)etd(x1). Calculer le tirage pour une mise au point entre l’infini et une distancex = 100f⁰puis entrex = 100f⁰et x= 10f⁰. Commenter.

(c) Quelle est la plus petite valeur dexnotéexminpermettant de former une image sur l’écran si le tirage est limité à une valeurtmax? Calculerxminpourtmax=1 cm.

I.3. On nommeangle de champ, notéα0, l’angle au sommet du cône dans lequel doivent être situés des points pour que leur image par l’objectif puisse se former sur le capteur photographique. Il est donc limité par la diagonale du capteur (rectangulaire) utilisé, notéel.

L

O

C

f⁰ l α0

(a) Déterminer l’expression deα0quandd=f⁰et calculer sa valeur pour l’objectif à lentille unique considéré et un capteur de dimensions24×36 mm (pellicule argentique). Peut-on encore consi- dérer qu’on est dans les conditions de Gauss ?

(b) Comment doit-on choisir la distance focale d’un objectif à lentille unique pour observer des détails plus fins sur une photographie ?

(c) On dit qu’un objectif de distance focalef⁰ =50 mm reproduit sur une pellicule24×36 mm le champ de vision de l’œil humain. En déduire une estimation de la taille de la rétine correspondant à une vision précise.

(d) Les appareils photographiques numériques sont le plus souvent équipés de capteurs plus petits que le format24×36 mm. Que peut-on dire des images formées par un appareil numérique et un appareil argentique équipés du même objectif ?

II Objectif bifocal

Pour créer un effet de « zoom » on peut utiliser un objectif dit « à focale variable » formé en ajoutant en amont de la lentilleLprécédente un système constitué de :

• deux lentilles divergentesL1 etL3identiques. On désigne parf_d⁰ la valeur absolue de leur distance focale image commune.

• une lentille convergenteL2placée entre les deux lentilles divergentes, de distance focale imagef_c⁰.

L1

O1

L2

O2

L3

O3

D

II.1. Dans une première configuration, on accole les lentillesL1etL2(on les a représentées légèrement séparées pour faciliter la lecture sur la figure ci-dessus).

(a) Montrer que l’ensemble des deux lentillesL1etL2forme une lentille mince dont on précisera la nature convergente ou divergente et dont on donnera la distance focale.

(b) À quelle distance en aval du système des deux lentillesL₁etL₂doit-on placer la lentilleL₃pour que le système des trois lentillesL₁,L₂etL₃soit afocal ? On considère cette condition réalisée dans toute la suite et on noteDla distanceO1O3correspondante.

(c) On considère un faisceau collimaté incliné d’un angleαpar rapport à l’axe optique incident sur la lentilleL1. Construire sur un schéma sa marche à travers le système des trois lentilles (on repré- sentera les lentilles accolées comme une seule lentille) et en déduire l’expression et la valeur du grossissementG=α⁰/αavecα⁰l’angle formé par le faisceau émergent avec l’axe optique.

Julien Cubizolles, sous licencehttp ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/. 1/4 2019–2020

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II.2. On ajoute enfin la lentilleLdu I après ce système de trois lentilles pour former de nouveau d’un objet réel à l’infini une image réelle sur le capteur.

(a) Quelle doit être la distancedentre la lentilleLet le capteur ? Que peut-on dire de la distance entre LetL3?

(b) Déterminer le nouvel angle de champα⁰₀. Quelle devrait être la distance focale d’un objectif à lentille unique pour obtenir le même angle de champ ?

II.3. On considère une deuxième configuration dans laquelle ce sont désormais les lentillesL2etL3qui sont accolées, les positions relatives des lentillesL1et L3étant inchangées.

(a) Montrer que le système des trois lentillesL1,L2etL3est de nouveau afocal et donner son grossissement.

(b) En déduire le nouvel angle de champα⁰₀quand on ajoute la lentilleLen aval de ces trois lentilles. Quel est l’intérêt du dispositif bifocal ?

L1

O1

L2

O2

L3

O3

D

II.4. On considère une situation intermédiaire entre les deux cas précédents, où la lentilleL2est déplacée entre les lentillesL1etL3, celles-ci restant fixes à la même distance que précédemment. Pour simplifier, on considérera que la lentilleLreste dans toute la suite accolée à la lentilleL₃.

(a) On considère une lentille convergente de distance focalef₀⁰ et de foyers objet et imageF0etF₀⁰ formant d’un objet réelAsur son axe optique une image réelleA⁰. Déterminer la mesure algébriqueAA⁰en fonction deF0Aetf₀⁰. Tracer l’allure de la courbe deAA⁰en fonction deF0A.

L₁

O1

L₂

O2

L₃

O3

L O D

(b) Le système des trois lentillesL1,L2,L3reste-t-il afocal quand on translate la lentilleL2entreL1

etL₃? En déduire si le système optique doit s’allonger ou se raccourcir lors de la mise au point sur l’infini. Justifier cependant que pour les paramètres du problème ce déplacement restera faible.

Données :Distance focale de l’objectif à lentille uniquef⁰ =50 mm. Valeur absolue de la distance focale des lentilles divergentes de l’objectif bifocalf_d⁰ =60 mm. Distance focale de la lentille convergente de l’objectif bifocalf_c⁰=35 mm.

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Correction du problème 1

I Objectif assimilé à une lentille unique

1. (a) Une lentille doit être convergente pour former une image réelle d’un objet réel.

(b) Par définition, l’écran doit être dans le plan focal image de la lentille, soitd∞=f⁰.

2. (a) Selon la relation de conjugaison de Descartes, on a :

1 x+ 1

d(x)= 1

f⁰ →d(x) = xf⁰ x−f⁰.

Cette distance est supérieure àf⁰, on doit donc éloigner l’objectif de l’écran.

(b) On calcule :

t=d(100f⁰)−d∞= f⁰²

100f⁰−f⁰ t=d(10⁰)−d(100⁰) =f⁰ 10

9 −100 99

= f⁰

99=5,0·10⁻¹mm =5,0 mm.

Il n’y a pas de mise au point à faire entre l’infini et100f⁰en revanche le déplacement n’est plus négligeable entre100f⁰et10f⁰.

(c) La relation de Descartes donne :

1

x_min+ 1

f⁰+t_max = 1

f⁰ →x_min=f⁰(f⁰+tmax)

t_max =30 cm.

3. (a) On calculel = √

24²+ 36² = 43 mm puisα0 = 2arctan

l 2f⁰

= 46,5°. Cet angle est trop important pour qu’on considère être dans les conditions de Gauss. On utilisera malgré tout les relations de conjugaison établis dans leur cadre dans la suite.

(b) Pour qu’un objet vu de l’objectif sous un angle donné forme une image plus grande sur l’écran, il suffit d’utiliser un objectif de plus grande distante focalef⁰, au prix cependant d’un plus grand encombrement.

(c) On peut estimer la distance focale de l’œil à son diamètre, de l’ordre de 3 cm. Pour une même valeur deα, la longueur correspondante sur la rétine sera30/50×l=2,6 cm.

(d) Pour un objectif de même distance focale, un objet vu sous un même angle occupera une portion plus importante du petit capteur d’un appareil numérique : l’image semblera donc « zoomée ».

II Objectif bifocal

1. (a) Pour tout objetA, notonsA1son image parL1etA⁰l’image deA1parL2:A−→

L₁ A1 −→

L₂ A⁰. Les relations de Descartes s’écrivent :

1 O1A1

− 1 O1A=−1

f_d⁰

1 O2A⁰− 1

O2A1

= 1 f_c⁰

CommeO1=O2pour des lentilles accolées, on en déduit :

1 O1A⁰− 1

O1A= 1 f_c⁰ − 1

f_d⁰ ≡ 1 f₁₂⁰ .

L’ensemble de ces deux lentilles est donc équivalent à une lentille mince de distance focalef₁₂⁰ =

f_c⁰f_d⁰

f_d⁰−f_c⁰ =84 mm. Dans toute la suite, on désignera avec l’indice12les paramètres relatifs à cette lentille.

(b) Le système sera afocal si le foyer image deL1+L2est confondu avec le foyer objet deL3. On doit donc avoirD=O1O3=O1F₁₂⁰ +F₁₂⁰ O3=f₁₂⁰ −f_d⁰=24 mm.

(c) On réalise ainsi une lunette de Galilée.

On a tanα = O12M/f₁₂⁰ et tanα⁰ = O12M/f_d⁰. On ne peut pas ici utiliser l’approximation tanα'α. On calcule doncα⁰=arctan f₁₂⁰ /f_d⁰

αsoitα⁰= 55,9° etG= α⁰/α = 1,20. L’expression est identique à celle d’une lunette astronomique au signe près, positif ici.

α α^′

b

F₁₂

b

O₁₂

b

O₃

b

M

b

N

b

F′ 3

b

F₁₂^′ =F₃

b

F_12α

b

F_3α^′ _′

b F_3α_′

2. (a) L’image d’un objet à l’infini parL₁L₂L₃est un objet à l’infini pourL. On doit donc de nouveau avoird=d∞ =f⁰. En revanche la distance entreL3etLpeut être quelconque. On la choisira cependant la plus petite possible pour réduire l’encombrement de l’objectif.

(b) Un faisceau collimaté initialement vu sous l’angleαest vu par la lentilleLsous l’angleα⁰tel que tanα⁰ =Gtanα. On a alors tanα⁰₀ =l/f⁰soit tanα0 = _f0^lG. Il a été réduit d’un facteurG, on a donc réalisé un « zoom »×G. Il faudrait une distance focale égale àf⁰f₁₂⁰ /f_d⁰ pour réaliser le même grossissement avec une lentille unique soit un dispositif de longueurf₁₂⁰ /f_d⁰ =72 mm.

3. (a) D’après le principe du retour inverse ce système est le symétrique du précédent. Il est également afocal et son grossissement est l’inverse du précédentG= 1/1,2 = 0,83.

(b) En adaptant le raisonnement précédent, l’angle de champ est désormaisα⁰₀= 1,2α0. En transla- tant la lentilleL₂deL₁àL₃on fait varier le « zoom » de×0,83à×1,20.

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4. (a)

La formule de conjugaison de Newton donne : F0A·F₀⁰A⁰=−f₀⁰²→F A·

F⁰F+F A+AA⁰

=−f₀⁰²

→AA⁰=−f₀⁰²

F A+F F⁰−F A= f₀⁰² F A

+

F A + 2f₀⁰,

pour un objet réel dont l’image est réelle,iepourF A60. f₀⁰ 4f₀⁰ D+ 2f_d⁰

F A AA⁰

(b) On applique l’étude précédente à la lentilleL₂, l’objetAétant l’image d’un objet à l’infini parL₁ ieF₁⁰. Sur la figure ci-dessus, les points représentent les deux situations précédentes oùL2est en O1ouO3et où l’image deF₁⁰parL2est donc enF3, distant deF₁⁰deD+ 2f_d⁰. On constate que pour toutes les positions intermédiaires deL2l’image qu’elle forme deF₁⁰sera à une distance de F₁⁰inférieure,ieen amont deF3. Le système n’est alors plus afocal. L’objet pour la lentilleL₃étant en amont de son foyer objet, son image sera réelle à distance finie. Cette image constitue enfin un objet virtuel pour la dernière lentilleLdont l’image sera en amont de son foyer imageF⁰. Comme l’écranCétait précédemment sur ce même foyer image, il désormais rapprocherCdeLpour que l’image s’y forme : le système optique est raccourci.

On remarque cependant que dans les deux positions extrêmes la distanceAA⁰ = D+ 2f_d⁰ = 144 mm est très proche de son minimumAA⁰= 4f_c⁰=140 mm. L’image formée parLsera certai- nement très proche deF3durant toute la translation deL.