Les quadripôles
Christian PETER
&
Pascal MASSON
(christian.peter@unice.fr pascal.masson@unice.fr) quadripôle
I
1I
2V
1V
2I
1V
1= 0
V
2Y
1Y
3Y
2I
2I
1I
2V
1V
2I
1’I
2’V
1’Q
’V
2’I
1’ ’I
2’ ’V
1’ ’Q
’’V
2’ ’Q
Edition 2008-2009
Sommaire
I. Généralités
II. Le quadripôle en représentation impédance
II.1. Les paramètres impédances
III. Le quadripôle en représentation admittance IV. Le quadripôle en représentation hybride
V. Le quadripôle en représentation transfert
II.3. Schéma équivalent
II.2. Grandeurs fondamentales
II.4. Association en série
VI. Lien entre tous les paramètres
I.1. Définition
I. Généralités
Un quadripôle est un composant ou un circuit (ensemble de composants) à deux entrées et deux sorties qui permet le transfert d’énergie entre deux dipôles.
Les signaux électriques en entrée et en sortie peuvent être de nature différente (tension, courant, puissance)
On distingue deux types de quadripôles : actifs et passifs
I.2. Représentation
quadripôle
I
1I
2V
1V
2I.3. Origine
On doit les premières études sur les quadripôles au mathématicien Allemand Franz BREISIG (1868 – 1934) dans les années 1920.
Par convention, on donne le sens
positif aux courants qui pénètrent
dans le quadripôle
I.4. Intérêt de la représentation quadripôle
La représentation quadripôle a pour principal intérêt de considérablement simplifier l’étude des circuits électroniques.
Exemples : le filtre sélectif passe bas du 5
èmeordre
I. Généralités
C R
V
EV
SR R R R
C1 C1
C2 C2
I.5. Rappel sur les matrices 2×2
Multiplication
=
2 1 2
1
X . X d c
b a Y
Y
+
=
+
=
2 1
2
2 1
1
X . d X
. c Y
X . b X
. a Y
Inversion
−
−
= −
=
−
2 1 2
1 1 2
1
Y . Y a c
b d
c . b d . a
1 Y
. Y d
c b a X
X avec a . d − b . c ≠ 0
+ +
+
= +
h . d f
. c g . d e . c
h . b f
. a g . b e . a h
g f . e
d c
b
a ! Ce produit n’est
pas commutatif.
I. Généralités
II. Représentation impédance
II.1. Les paramètres impédances
On exprime les tensions en fonction des courants. Les éléments de la matrice ont la dimension d’impédances (résistances).
quadripôle
I
1I
2V
1V
2
Définition
Représentation matricielle
=
2 1 22
21
12 11
2 1
I . I Z
Z
Z Z
V V
+
=
+
=
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
I . Z I
. Z V
I . Z I
.
Z
V
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Z Z
Z Z
Détermination de Z
11: Si I
2= 0 alors V
1= Z
11.I
12
2 1 1
11 1 R R
0 I
I
Z V = +
= =
Détermination de Z
21: Si I
2= 0 alors V
2= Z
21.I
1I
1V
1V
2R
1R
3R
2I
2= 0
V
2I
1
Exemple : association de résistances en étoile (1
èreméthode)
=
= V
Z 2
II.1. Les paramètres impédances
II. Représentation impédance
0 1 I I
Z V
2
12 = 1 =
Détermination de Z
12: Si I
1= 0 alors V
1= Z
12.I
2Détermination de Z
22: Si I
1= 0 alors V
2= Z
22.I
2I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Z Z
Z Z
V
1V
2R
1R
3R
2I
2I
2V
1I
1= 0
Exemple : association de résistances en étoile (1
èreméthode)
= =
= I I 0 Z V
2 1 22 2
II. Représentation impédance
II.1. Les paramètres impédances
+
= +
3 2
2
2 2
1 22
21
12 11
R R
R
R R
R Z
Z
Z Z
Écriture de la matrice :
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Z Z
Z Z
I
1V
1V
2R
1R
3R
2I
2I
1+ I
2
Exemple : association de résistances en étoile (1
èreméthode)
II. Représentation impédance
II.1. Les paramètres impédances
( ) ( )
=
+
= +
+
= +
+
=
V
I . Z I
. Z I
. R I
. R R
I I
. R I
. R V
2
2 12 1
11 2
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1
Autre méthode : on écrit la loi des mailles en entrée et en sortie:
Exemple : association de résistances en étoile
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Z Z
Z Z
I
1V
1V
2R
1R
3R
2I
2I
1+ I
21 2
1 2
Exemple : association de résistances en étoile (2
èmeméthode)
II. Représentation impédance
II.1. Les paramètres impédances
Quand le quadripôle est attaqué par un générateur (E
G, R
G) et qu’il est fermé sur une charge (R
C), il existe un état électrique du quadripôle qui dépend du générateur et de la charge.
Il est possible de définir des grandeurs caractéristiques comme l’impédance d’entrée, l’impédance de sortie, les gains en courant, tension et puissance.
I
1V
2I
2V
1R
GE
GR
CGénérateur Charge
quadripôle
II. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
C 22
21 11 12
1 E 1
R Z
Z . Z Z
I R V
− +
=
=
Si le quadripôle n’est pas chargé (R
C→ ∞ ) alors R
E= Z
11.
R
Eest l’impédance vue en entrée quand la sortie est chargée par une impédance R
C. La matrice impédance permet d’écrire :
−
= +
=
+
=
2 C 2
22 1
21 2
2 12 1
11 1
I . R I
. Z I
. Z V
I . Z I
. Z V
I
1V
2I
2V
1R
GE
GR
CR
Equadripôle
II. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
Impédance d’entrée R
EI
1V
2I
2V
1R
GE
GR
CR
Squadripôle
II. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
Impédance de sortie R
SR
Sest l’impédance vue en sortie quand l’entrée est fermée par l’impédance du générateur R
G. La matrice impédance permet d’écrire :
+
=
−
= +
=
I
. Z I
. Z V
I . R I
. Z I
. Z V
2 22 1
21 2
1 G 2
12 1
11
1 = =
2 S 2
I
R V
I
1V
2I
2V
1R
GE
GR
ER
CII. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
Gain en courant A
i2 C 2
22 1
21
2 Z . I Z . I R .I
V = + = − = =
1 i 2
I
A I
I
1V
2I
2V
1R
GE
GR
ER
CII. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
Gain en tension A
V=
=
1 v 2
V
A V
I
1V
2I
2V
1R
GE
GR
ER
CII. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
Gain composite en tension A
VGG E
v E G
1 1
2 G
vg 2
R R
. R E A
. V V V E
A V
= +
=
=
Si le quadripôle n’est pas chargé (R
C→ ∞ ) alors :
11 21 G
E vg E
Z Z R
R A R
= +
I
1V
2I
2V
1R
GI
GR
ER
CII. Représentation impédance
II.2. Les grandeurs fondamentales
Gain composite en courant A
iGE G
i G G
1 1
2 G
ig 2
R R
. R I A
. I I I I
A I
= +
=
=
Ce gain n’a de sens que si la charge est présente : I
2≠ 0
I
1V
2I
2V
1R
GE
GR
ER
CR
GSE
GSII. Représentation impédance
Pour cette représentation équivalente du quadripôle on a :
+
=
+
=
2 22 1
21 2
12 1
11 1
I . Z I
. Z V
I 2 . Z I
. Z V
+
=
−
=
2 GS GS
2
1 G G
1
I . R
E V
I . R E
V
avec :
− + + +
= + +
= −
−
= +
=
G 2 11
21 22 12
G G 11
2 21 G 22
11
12 21 G
2
1 G G
12 1
11 1
I R .
Z
Z . Z Z
R .E Z
I Z . R Z
Z
I 2 . Z . E
Z V
I . R 2 E
I . Z I
. Z V
II.2. Les grandeurs fondamentales
I
1V
2I
2V
1R
GE
GR
ER
CR
GSE
GSII. Représentation impédance
Pour cette représentation équivalente du quadripôle on a :
=
=
− +
=
=
− +
=
21
G 11
21 22 12
S GS
C 22
21 11 12
E
E . A Z .E
E
R
Z
Z . Z Z
R R
R Z
Z . Z Z
R
II.2. Les grandeurs fondamentales
II. Représentation impédance
II.3. Schéma équivalent
Il est parfois commode de remplacer le quadripôle étudié par son schéma équivalent donné par la matrice du quadripôle.
La connaissance de ce schéma équivalent est particulièrement utile lorsque le réseau réel n’est pas connu et que la détermination des paramètres résulte de mesures.
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Z Z
Z Z
I
1V
1V
2Z
11Z
22Z
12.I
2I
2Z
21.I
1II. Représentation impédance
II.3. Schéma équivalent
Schéma équivalent en étoile (en T) uniquement si Z
12= Z
21
+
= +
3 2
2
2 2
1 22
21
12 11
R R
R
R R
R Z
Z
Z Z
I
1V
1V
2R
1R
3R
2I
2I
1+ I
2avec :
Il est parfois commode de remplacer le quadripôle étudié par son schéma équivalent donné par la matrice du quadripôle.
La connaissance de ce schéma équivalent est particulièrement utile lorsque
le réseau réel n’est pas connu et que la détermination des paramètres résulte
de mesures.
II. Représentation impédance
On utilise les matrices impédances [Z’] et [Z’’] des deux quadripôles associés.
II.4. Association série
=
' I
' . I ' Z ' Z
' Z ' Z '
V ' V
2 1 22
21
12 11
2 1
et
Comme et
=
' ' I
' ' . I ' ' Z ' ' Z
' ' Z ' ' Z '
' V
' ' V
2 1 22
21
12 11
2 1
=
=
=
=
' ' I ' I I
' ' I ' I I
2 2
2
1 1
1
+
=
+
=
' ' V ' V V
' ' V ' V V
2 2
2
1 1
1
[ ] [ ] ( [ ] [ ] ) [ ]
=
+
=
+
=
+
=
2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
I . I I Z
. I ' ' Z '
' Z ' I
' ' . I ' ' ' Z
I ' . I ' ' Z
' V
' ' V '
V ' V V
alors : V
I
1I
2V
1V
2I
1’I
2’I
1’ ’I
2’ ’Q
’’Q
Q
’I
1’I
2’V
1’V
2’V
1’ ’V
2’ ’I
1I
2III. Représentation admittance
III.1. Les paramètres admittances
Définition
On exprime les courants en fonction des tensions. Les éléments de la matrice ont la dimension d’admittances.
quadripôle
I
1I
2V
1V
2
Représentation matricielle
=
2 1 22
21
12 11
2 1
V . V Y
Y
Y Y
I I
+
=
+
=
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
V . Y V
. Y I
V . Y V
.
Y
I
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Y Y
Y Y
Détermination de Y
11: Si V
2= 0 alors I
1= Y
11.V
12
2 1 1
11 1 Y Y
0 V
V
Y I = +
= =
Détermination de Y
21: Si V
2= 0 alors I
2= Y
21.V
1I
1V
1V
2= 0
Y
1Y
3Y
2I
2
Exemple : association de résistances en triangle (1
èreméthode)
= =
= V V 0 Y I
2 1
21 2
III. Représentation admittance
III.1. Les paramètres admittances
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Y Y
Y Y
Détermination de Y
12: Si V
1= 0 alors I
1= Y
12.V
2Détermination de Y
22: Si V
1= 0 alors I
2= Y
22.V
2=
= I
Y 2
I
1V
1= 0
V
2Y
1Y
3Y
2I
2
Exemple : association de résistances en triangle (1
èreméthode)
III. Représentation admittance
III.1. Les paramètres admittances
= =
= V V 0 Y I
1
2
12 1
+
−
−
= +
3 Y Y
Y
Y Y
Y Y
Y
Y Y
2 2
2 2
1 22
21
12 11
Écriture de la matrice :
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Y Y
Y Y
I
1V
1Y
1Y
3V
2Y
2I
2
Exemple : association de résistances en triangle (1
èreméthode)
III. Représentation admittance
III.1. Les paramètres admittances
Autre méthode : on écrit la loi des noeuds en entrée et en sortie:
( ) ( )
=
+
=
− +
=
− +
=
I
V . Y V
. Y V
. Y V
. Y Y
V V
. Y V
. Y I
2
2 12 1
11 2
2 1
2 1
2 1
2 1
1 1 1
2
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Y Y
Y Y
I
1V
1Y
1Y
3V
2Y
2I
21 2
Exemple : association de résistances en triangle (2
èmeméthode)
III. Représentation admittance
III.1. Les paramètres admittances
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Y Y
Y Y
I
1V
1V
2Y
11Y
22I
2Y
12.V
2Y
21.V
1
+
−
−
= +
3 Y Y
Y
Y Y
Y Y
Y
Y Y
2 2
2 2
1 22
21
12 11
I
1V
1Y
1Y
3V
2Y
2I
2avec :
III. Représentation admittance
III.2. Schéma équivalent
Schéma équivalent avec admittances et sources de courant
Schéma équivalent en triangle (en π π π) uniquement si Y π
12= Y
21.
III.3. Association parallèle
I
2’V
1’V
2’I
1’ ’I
2’ ’V
1’ ’Q
’’V
2’ ’Q
Q
’I
1’V
1V
2I
1I
2On utilise les matrices admittances [Y’] et [Y’’] des deux quadripôles associés.
=
' V
' . V ' Y '
Y
' Y '
Y '
I ' I
2 1 22
21
12 11
2 1
et
Comme et
=
' ' V
' ' . V ' ' Y '
' Y
' ' Y '
' Y '
' I
' ' I
2 1 22
21
12 11
2 1
+
=
+
=
' ' I ' I I
' ' I ' I I
2 2
2
1 1
1
=
=
=
=
' ' V '
V V
' ' V '
V V
2 2
2
1 1
1
[ ] [ ] ( [ ] [ ] ) [ ]
=
+
=
+
=
+
=
2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
V . V V Y
. V ' ' Y '
' Y ' V
' ' . V ' ' ' Y
V ' . V ' ' Y
' I
' ' I '
I ' I I
alors : I
III. Représentation admittance
Pour des raisons de simplicité, la détermination de la matrice admittance peut passer par la détermination de la matrice impédance .
III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances
=
2 1 22
21
12 11
2 1
I . I Z
Z
Z Z
V
V
=
=
−
2 1 1
22 21
12 11
2 1 22
21
12 11
2 1
V . V Z
Z
Z Z
V . V Y
Y
Y Y
I I
−
−
= −
11 12
21 22
21 12
22 11
22 21
12 11
Z Z
Z . Z
Z . Z Z
. Z
1 Y
Y
Y Y
avec
III. Représentation admittance
Exemple : association de résistances en étoile I
1V
1I
2I
1+ I
2I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Y Y
Y Y
Détermination de Y
11: Si V
2= 0 alors I
1= Y
11.V
1( )
3 2 3
1 2
1
3 2
3 2
1
1 3
2 2
1 11 1
R . R R
. R R
. R
R R
Y Y
Y
Y . Y Y
0 V
V Y I
+ +
= + +
+
= +
= =
V
2= 0
Détermination de Y
21: Si V
2= 0 alors I
2= Y
21.V
1= =
= V V 0 Y 21 I 2
Y
1= 1/R
1Y
3= 1/R
3Y
2= 1/R
2III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances
III. Représentation admittance
La matrice admittance s’obtient plus rapidement à partir de la matrice impédance (plus simple à déterminer) :
Exemple : association de résistances en étoile
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
Y Y
Y Y
V I
1V
1I
2I
1+ I
2V
2
+
−
− +
+
= +
+
= +
−
2 1
2
2 3
2 3
2 3
1 2
1 1
3 2
2
2 2
1 22
21
12 11
R R
R
R R
. R R . R R
. R R
. R
1 R
R R
R R
R Y
Y
Y Y
Y
1= 1/R
1Y
3= 1/R
3Y
2= 1/R
2III.4. Lien entre les paramètres impédances et admittances
III. Représentation admittance
IV.1. Les paramètres hybrides
On exprime le courant de sortie et la tension d’entrée en fonction du courant d’entrée et de la tension de sortie. C’est une représentation utilisée pour l’étude des transistors.
quadripôle
I
1I
2V
1V
2
Définition
Représentation matricielle
=
2 1 22
21
12 11
2 1
V . I h
h
h h
I V
+
=
+
=
2 22 1
21 2
2 12 1
11 1
V . h I
. h I
V . h I
. h V
h
11est une impédance, h
22une admittance, h
12et h
21sont des nombres.
IV. Représentation hybride
Exemple : association de résistances en triangle (1
èreméthode)
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
h h
h h
Détermination de h
11: Si V
2= 0 alors V
1= h
11.I
12 1
2 1 2
1 11 1
R R
R . R 0
V I
h V
= +
= = I
1V
1V
2= 0
R
1R
3R
2I
2Détermination de h
21(gain en courant): Si V
2= 0 alors I
2= h
21.I
1= =
= I V 0 h I
1 2 21 2
IV.1. Les paramètres hybrides
IV. Représentation hybride
Exemple : association de résistances en triangle (1
èreméthode)
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
h h
h h
Détermination de h
12(gain en tension inverse): Si I
1= 0 alors V
1= h
12.V
2I
1= 0
V
1R
1R
3V
2R
2I
2Détermination de h
22: Si I
1= 0 alors I
2= h
22.V
2=
= I
h 2
IV.1. Les paramètres hybrides
IV. Représentation hybride
= =
= V I 0 h V
1
2
12 1
( )
+
+ +
+
−
+
= +
3 2
1
3 2
1 2
1 1
2 1
1 2
1
2 1 22
21
12 11
R . R R
R R
R R
R R
R R
R R
R
R . R h
h
h h
Écriture de la matrice :
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
h h
h h
I
1V
1R
1R
3V
2R
2I
2
Exemple : association de résistances en triangle (1
èreméthode)
IV.1. Les paramètres hybrides
IV. Représentation hybride
On écrit la loi des mailles en entrée et des noeuds en sortie:
I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
h h
h h
I
1V
1R
1R
3V
2R
2I
2
Exemple : association de résistances en triangle (2
èmeméthode)
1
2
1 2
−
+
=
2 1 1 2
1
1 R
V I V
. R V
2 = I
IV.1. Les paramètres hybrides
IV. Représentation hybride
−
= +
=
+
=
C 2 2
22 1
21 2
2 12 1
11 1
R V V
. h I
. h I
V
. h I
. h V
R
Eest l’impédance vue en entrée quand la sortie est chargée par une impédance R
C. La matrice impédance permet d’écrire :
I
1V
2I
2V
1R
GE
GR
CR
Equadripôle
IV.2. Les grandeurs fondamentales
Impédance d’entrée R
E22 C
21 11 12
1 E 1
R h 1
h . h h
I R V
+
−
=
=
IV. Représentation hybride
+
=
−
= +
=
V . h I
. h I
I . R V
. h I
. h V
2 22 1
21 2
1 G 2
12 1
11 1
IV.2. Les grandeurs fondamentales
I
1V
2I
2V
1R
GE
GR
CR
Squadripôle
Impédance de sortie R
SR
Sest l’impédance vue en sortie quand l’entrée est fermée par l’impédance du générateur R
G. La matrice impédance permet d’écrire :
=
=
2 S 2
I R V
IV. Représentation hybride
IV.2. Les grandeurs fondamentales
I
1V
2I
2V
1R
GE
GR
ER
C
Gain en courant A
iC 22
21 1
i 2
R . h 1
h I
A I
= +
=
IV. Représentation hybride
2 C 22
1 21 2
22 1
21
2 h . I h . V h . I h . R . I
I = + = −
IV. Représentation hybride
I
1V
2I
2V
1R
GE
GR
ER
CIV.2. Les grandeurs fondamentales
Gain en tension A
V=
=
1 v 2
V
A V
IV.3. Schéma équivalent
Le circuit équivalent est composé d’une impédance (h
11), d’une admittance (h
22), d’une source de tension (h
12.V
2) et d’une source de courant (h
21.I
1).
I
1I
1I
2V
1 V
2
22 21
12 11
h h
h
h V
2h
22I
2h
21.I
1V
1h
11h
12.V
2IV. Représentation hybride
IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires
Les composants actifs utilisés en électronique sont très souvent non linéaire.
C’est le cas notamment des transistors bipolaires et MOS.
Les valeurs des éléments de la matrice du quadripôle équivalent ne sont valables que pour le point de fonctionnement : ils dépendent des potentiels et courants en entrée du quadripôle.
Le quadripôle équivalent n’est utilisable qu’en régime petit signal (petit signal alternatif ajouté à la polarisation continue).
On obtient les paramètres de la matrice par la connaissance des équations qui régissent le fonctionnement du composant ou par l’utilisation des caractéristiques (courbes) de ce composant.
IV. Représentation hybride
Exemple : le transistor bipolaire en régime petit signal
i et v correspondent à de petites variations de I et V i
Bv
CEh
22i
Ch
21.i
Bv
BEh
11h
12.v
CELa matrice hybride s’écrit :
+
=
+
=
CE 22
B 21 C
CE 12
B 11 BE
v . h i
. h i
v . h i
. h v
V
CE+ v
CEI
C+ i
CI
B+ i
BV
BE+ v
BEC B E
i
Bi
Cv
BE v
CE
22 21
12 11
h h
h h
IV. Représentation hybride
IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires
On détermine le paramètre h
11à partir de la courbe I
B(V
BE) qui correspond ici à la caractéristique d’une diode.
V
CEest considéré comme constant.
Exemple : le transistor bipolaire en régime petit signal
V
BEI
B0 V
BE-PI
B-PV B V
11 BE
I h V
∂ =
= ∂
h
11est égale à l’inverse de la pente de cette courbe au point de polarisation :
IV. Représentation hybride
IV.4. Cas particulier des quadripôles non linéaires
IV.5. Association série parallèle
I
2’V
1’V
2’I
1’ ’I
2’ ’V
1’ ’Q
’’V
2’ ’Q
Q
’I
1’V
2I
2I
1V
1I
1’I
1’ ’I
1On utilise les matrices hybrides [h’] et [h’’] des deux quadripôles associés.
=
' V
' . I ' h ' h
' h ' h '
I ' V
2 1 22
21
12 11
2 1
et
Comme et
=
' ' V
' ' . I ' ' h ' ' h
' ' h '
' h '
' I
' ' V
2 1 22
21
12 11
2 1
=
=
=
=
' ' V '
V V
' ' I ' I I
2 2
2
1 1
1
+
=
+
=
' ' I ' I I
' ' V ' V V
2 2
2
1 1
1
[ ] [ ] ( [ ] [ ] ) [ ]
=
+
=
+
=
+
=
2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
V . I V h
. I ' ' h '
' h ' V
' ' . I ' ' ' h
V ' . I ' ' h
' I
' ' V '
I ' V I
alors : V
IV. Représentation hybride
On exprime les grandeurs de sortie en fonction des grandeurs d’entrée
quadripôle
I
1I
2V
1V
2
Définition
Représentation matricielle
−
=
1 1 22
21
12 11
2 2
I . V T
T
T T
I V
−
=
−
=
1 22 1
21 2
1 12 1
11 2
I . T V
. T I
I . T V
. T V
T
12est une impédance, T
21une admittance, T
11et T
22sont des nombres.
V. Représentation transfert
V.1. Les paramètres transferts
