Table des matières I.

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Table des matières

I. EXERCICE N° 1 : EQUATION DIFFERENTIELLE

II. EXERCICE N° 1 : PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE ET PRODUIT VECTORIEL III. EXERCICE N° 2 : NOMBRES COMPLEXES .

IV. EXERCICE N° 3 : PROBABILITE

V. EXERCICE N° 4 : FONCTION LOGARITHME NEPERIENNE ET SUITE DE LA FORME

n 1

 

n

u

_

 f u

.

01

01.

Résoudre l’équation différentielle suivante :

 

1

 

y'= 2 1 4x x

E :

y 1 7

  

 

  



.

02.  

2

_{ }

2y'+14y=5 E :

y 0 1

 

 ^.

03.  

2

_{ } _{ }

y"+y' 2y 0 E :

y 0 0 ; y ' 0 3

 

   

 ^.

02

Dans l’espace

 

E est rapporté au repère orthonormé

 ^{O, i, j} 

on considère :

 La droite

  ^D

passant par le point A dont le vecteur directeur u  i j k .

 Les deux points

^{A 3,1, 2}  

^et

^{B 2,1, 0}  

^.

01.

Déterminer les cordonnés du point C tel que

AC  u

.

02.

Donner une représentation paramétrique de la droite

  ^D

^.

03.

Déterminer une équation cartésienne du plan

  ^P

passant par A et orthogonale à la droite

  ^D

^.

04.

^Calculer^AB^^u puis déduis la distance du point B à la droite

  ^D

^.

05.

Calculer : la surface du triangle

ABC

.

06.

Soit la sphère

  ^S

de centre B et tangente à la droite

  ^D

; le point H la projection de B sur le plan

  ^P

^.

a. Déterminer l’équation cartésienne du sphère

  ^S

^.

b. Déterminer les cordonnés du point H . c. Déterminer l’intersection de

  ^S

^et

  ^P

^.

03

01.

^..

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a. Résoudre dans l’ensemble l’équation z²4z 7 0. b. Résoudre l’équation differentielle suivante : y" 4y ' 7y  0.

02.

On considère le polynome suivant :

^{P z}   ^ ^z

³

^ ^3z

²

^ ^3z ^ ⁷

dont z est un complexe . a. Calculer :

^P   ^ ¹

^.

b. Déterminer a et b de tel que pour tout z de on a : ^{P z}

  

^ ^{z 1}^

 

^z² ^^az^^b



^.

c. Résoudre dans l’équation suivante :

^{P z}   ^ ⁰

^.

03.

Dans le plan complexe

  ^P

rapporté a un repére orthonormé direct

 ^{0,u, v} 

; unité de mesure est 2 cm .

a. Donner le module et l’argument le nombre complexe suivant :

1 3

z i

2 2

 

_.

b. Donner la forme algébrique de z⁶ .

c. On considère les points A et B et C d’affixes respectivement

a   1

et

b   2 i 3

et

c   2 i 3

. Calculer la distance AB .

d. Donner la forme trigonométrique puis la forme exponentielle du nombre complexe :

b a c a



^. e. On déduit la nature du triangle

ABC

.

04.

On considère la rotation R de centre le point Aet d’angle

3 

. a. Graphiquement déterminer l’image du point C par la rotation R . b. Prouver ce résultat en utilisant les quetions précédentes .

c. Donner l’écriture complexe de la rotation R ; puis vérifie une autre fois de l’image de C par R . d. Verifier que

c    2 9i

et

d   1 2i

les affixes des points C et D tel que :

^{R A}   ^ ^C

^et

 

R B  D

.

e. Montrer que :

    ^AD ^ ^BC

^et

^AD ^ ^BC

^.

05.

^..Soit

  ^C

l’ensemble des points M du plan complexe

  ^P

^d’affixe^z^{ }^x ^yi^avec^x^ ^et^y^

tel que : x²y²4x2 3y 5 0

a. Montrer que

  ^C

est un cercle on précise l’affixe de son centre et son rayon . b. Montrer que : ^M_{ }_z ^

 

^C ^^x²^^y²^^{10x 4y}^ ^²⁵^⁰^.

c. Soit

  ^C'

l’image de

  ^C

par la rotation R ; déterminer la nature de

  ^C'

^.

d. Montrer que les points A et C appartiennent à

  ^C'

^.

04

Un sac contient huit boules indiscernables au touche dont :

 Cinq boules blanches numérotées : 0 ; 1 ; 2 ; 2 3

 trois boules noires numérotées : 0 ; 1 ; 2 .

 On tire au hasard et simultanément 3 boules du sac .

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01.

On considère les événements suivants :

 A « on obtient seulement deux boules blanches »

 B « la somme des nombres des trois boules tirées est 6 » a. Montrer que :

^{p A}   ¹⁸

 35

et

^{p B}   ¹

 35

. b. Calculer :

^{p A}  ^B 

^.

c. Est-ce que les événements A et B sont indépendants .

02.

On considère la variable aléatoire X « qui associe à chaque tirage de trois boules le nombre des boules blanches tirées ».

a. Donner l’ensemble

^X   ^

( ensemble des valeurs de X ) . b. Montrer que :

^{p X}  ²  ³

  10

et

^{p X}  ³  ³

  10

.

c. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

d. Calculer

^{E X}  

l’espérance mathématique de la variable aléatoire X .

03.

On répète l’expérience précédent cinq fois tel que chaque fois on remet les trois boules tirées au sac avant de répéter l’expérience une autre fois .

 On considère la variable aléatoire Y définie par « le nombre de fois l’événement A est réalisé lorsqu’on répète l’expérience précédent cinq fois »

a. Comment on appelle la variable aléatoire Y et on précise ses paramètres . b. Donner l’ensemble

^Y   ^

( ensemble des valeurs de Y ) .

c. Donner

^{p Y}  ^ ^k 

^avec

^k ^ ^X   ^

^.

d. Calculer : l’espérance mathématique

^{E Y}  

; la variance

^{V Y}  

et l’écart-type

^   ^Y

^.

05

PARTIE 1 :

On considère la fonction f définie de vers par :^{f x}

 

^{ }^{x ln 1 x}



^ ²



^.

01.

^..

a. Vérifier que :

 

2

f x x 2 ln x ln 1 1 x

 

     

 

b. Calculer :

 

x

lim f x

 et

 

x

lim f x

 . c. Calculer

 

x

lim f x

 x puis

 

x

lim f x x





donner une interprétation géométrique des résultats obtenus .

d. Etudier la branche infinie de f au voisinage de  . e. Etudier le signe de ^{f x}

 

^^x^sur ^.

02.

^..

f. Calculer la fonction dérivée de f et vérifie que

   

²

2

f ' x x 1

1 x

 

 ^. g. Donner le tableau de variation de g .

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h. Donner l’équation de la tangente

  ^T

à la courbe

  C

f de f au point d’abscisse x₀ 0.

03.

^..

a. Vérifier que la fonction dérivée seconde de f est :

 

2 2 2

x 1 f " x 2

1 x

 



^.

b. Etudier le signe f "puis donner la concavité de

  C

f et précisé les points d’inflexions de la courbe . c. Construire la courbe

  C

f de f et la tangente

  ^T

dans un repère orthonormé

 ^{O, i, j} 

^{unité de}

mesure

1 cm

. ( sur l’annexe 2 voir page 4 ) .

04.

Soit g la restriction de f sur l’intervalle

^I ^{ }  ^,1 

a. Montrer que la restriction g admet une fonction réciproque g^¹ définie sur l’intervalle J on le détermine .

b. Construire la courbe

  ^C

^g^¹ de la fonction réciproque g^¹dans le même repère

 ^{O, i, j} 

^.

c. Calculer

^{g 0}  

; puis montrer que g^¹est dérivable en 0 et calculer

  ^g

^¹ ^'

^{ } ⁰

^.

PARTIE 2 :

01.

On considère la suite

  u

n définie par : n 1⁰ n



²n



u e

u

_

u ln 1 u ; n

 

     



^.

a. Montrer que ^f

 

^0,^{ }

  

^0,^



^.

b. Montrer que :  n ; u_n 0. c. Etudier la monotonie de la suite

  u

n .

d. On déduit que

  u

n est une suite convergente . e. Déterminer la limite de la suite

  u

n .

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