Puissances et fonctions de référence

Chap.8 :

Puissances et fonctions de référence

Partie 1 : les puissances

a) Puissances d’un nombre réel :

Soit 𝑎 un nombre réel et 𝑛 un entier (𝑛 ≥ 2). On pose : 𝑎^&= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎*+++++,+++++-

& /0123456

Exemples : 5⁸=5 × 5 × 5 × 5 = 625 (−6)^< =−6 × (−6) × (−6) = −216

Conséquence : si 𝑚 et 𝑛 sont deux nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 et 𝑎 un réel, on a : 𝑎^?× 𝑎^& =𝑎^?@&

Éléments de démonstration :

𝑎^?× 𝑎^& =𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎*+++++,+++++-

? /0123456

× 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎*+++++,+++++-

& /0123456

= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎*+++++,+++++-

?@& /0123456

= 𝑎^?@&

Exemple : 2^<× 2^A=2^<@A= 2^B= 32

Remarques : par extension de l’égalité précédente à tous les 𝑛 entiers, on obtient :

𝑎^D× 𝑎^&= 𝑎^D@&= 𝑎^& donc on pose naturellement : 𝑎^D=1

𝑎^E× 𝑎^& = 𝑎^E@& = 𝑎 × 𝑎^& donc on pose naturellement : 𝑎^E=𝑎

𝑎^&× 𝑎^F& = 𝑎&@(F&) = 𝑎^D= 1 donc on pose naturellement : 𝑎^F& = ^E

0^G (pour 𝑎 ≠ 0).

Par commodité, on prendra donc pour la suite 𝑎 réel non-nul.

Propriétés : propriétés algébriques sur les puissances Soient 𝑎 un réel et 𝑚 et 𝑛 deux entiers relatifs. Alors :

𝑎^?× 𝑎^&=𝑎^{?@& 0}₀^J_G =𝑎^?F& (𝑎^?)^&=𝑎^?&

Éléments de démonstration :

0^J

0^G = 𝑎^?× ^E

0^G= 𝑎^?× 𝑎^F& = 𝑎^?@(F&)= 𝑎^?F&

(𝑎^?)^&= 𝑎*+++++,+++++-^?× 𝑎^?× … × 𝑎^?

& /0123456

= 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎*+++,+++-

? K0L4326 M3 & /0123456

= 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎*+++,+++-

?×& /0123456

= 𝑎^?&

Exemples : 2^B× 2^F8= 2^B@(F8)= 2^E= 2 ^N_N^O_P= 7^BF<= 7^A= 49 (20^A)^<= 20^A×<= 20^T

Rappels : en l’absence de parenthèses, on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions. En revanche, en présence de parenthèses, les calculs entre elles sont prioritaires. Ainsi 2 + 5^<= 2 + 125 = 127 mais (2 + 5)^<= 7^< = 343

Propriété : soient 𝑎 et 𝑏 deux réels et 𝑛 un entier relatif.

Alors 𝑎^&× 𝑏^& =(𝑎 × 𝑏)^&

Éléments de démonstration : 𝑎^&× 𝑏^& = 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎*+++,+++-

& /0123456

× 𝑏 × 𝑏 × … × 𝑏*+++,+++-

& /0123456

=𝑎 × 𝑏 × 𝑎 × 𝑏 × … × 𝑎 × 𝑏*+++++++,+++++++-

& /0123456

en réorganisant les facteurs.

=(𝑎 × 𝑏)^&

Exemple : 11⁸× 3⁸=(11 × 3)⁸= 33⁸

b) Les puissances de dix :

En tant que cas particulier pour 𝑎 = 10, les règles découlent évidemment de la partie I. Ainsi :

10^?× 10^& =10^{?@& ED}_ED^J_G =10^?F& (10^?)^&=10^?&

10^D=1 10^E=10 10^F& = ^E

ED^G

• 10^F< n’est pas négatif. En effet, 10^F<=

ED^P= 0,001> 0. En revanche, −10^F< est bien négatif.

• 10^T correspond à un million, 10^Y correspond à un milliard.

Définition : écriture scientifique

L’écriture scientifique d’un réel strictement positif est la seule écriture de ce nombre sous la forme : 𝑎 × 10^K

avec 𝑎 un nombre décimal de l’intervalle [1; 10[ et 𝑝 un entier relatif.

Exemples : 4 120 000 peut s’écrire 412 × 10⁸ ou 4120 × 10^< ou 0,412 × 10^N mais son écriture scientifique est 4,12 × 10^T

0,005 = 5 × 10^F<

0,000 478 = 4,78 × 10^F8 3,14 = 3,14 × 10^D Remarques :

• 0 est le seul réel qui n’a pas d’écriture scientifique.

• L’écriture scientifique d’un réel strictement négatif se définit sensiblement de la même manière, mais avec 𝑎 ∈ ]−10; −1].

Exemple : recherchons l’écriture scientifique et décimale de 𝐴 = 7,5 × 10^B× 32,8 × (10^FB)^A 𝐴 =7,5 × 10^B× 32,8 × (10^FB)^A d donc 𝐴 =7,5 × 32,8 × 10^B× (10^FB)^A

D’où 𝐴 =246 × 10^B× 10^FED donc 𝐴 =246 × 10^FB

Ainsi 𝐴 =2,46 × 10^F< (écriture scientifique) ou encore 𝐴 =0,00246 (écriture décimale)

Dans toute la suite, on va s’intéresser à des fonctions de référence définies grâce à des puissances : les fonctions affines (puissance 1), la fonction carré (puissance 2), les fonction cube (puissance 3) et la fonction inverse (puissance… −1)

Partie 2 : fonctions affines

Définition : une fonction affine est une fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑝 (𝑚 et 𝑝 étant réels).

Propriété : on considère deux nombres réels 𝑎 et 𝑏.

§ Si 𝑚 > 0, alors 𝑚𝑎 + 𝑝 et 𝑚𝑏 + 𝑝 sont rangés dans le même ordre que 𝑎 et 𝑏.

§ Si 𝑚 < 0, alors 𝑚𝑎 + 𝑝 et 𝑚𝑏 + 𝑝 sont rangés dans l’ordre inverse de 𝑎 et 𝑏.

§ Si 𝑚 = 0, alors 𝑚𝑎 + 𝑝 = 𝑚𝑏 + 𝑝 = 𝑝 donc 𝑚𝑎 + 𝑝 et 𝑚𝑏 + 𝑝 ont même valeur.

Démonstration : supposons que 𝒂 < 𝒃

1^er cas : si 𝒎 > 𝟎, alors 𝒂 < 𝒃 implique 𝒎𝒂 < 𝒎𝒃 donc 𝒎𝒂 + 𝒑 < 𝒎𝒃 + 𝒑.

2^ème cas : si 𝒎 > 𝟎, alors 𝒂 < 𝒃 implique 𝒎𝒂 > 𝒎𝒃 donc 𝒎𝒂 + 𝒑 > 𝒎𝒃 + 𝒑.

3^ème cas : si 𝒎 = 𝟎, alors 𝒎𝒂 + 𝒑 = 𝒑 = 𝒎𝒃 + 𝒑.

Rappel : 𝑚 est appelé coefficient directeur et 𝑝 ordonnée à l’origine.

Conséquence : variations des fonctions affines

Une fonction affine de coefficient directeur strictement positif est strictement croissante sur ℝ.

Une fonction affine de coefficient directeur strictement négatif est strictement décroissante sur ℝ.

Une fonction affine de coefficient directeur nul est constante sur ℝ.

Démonstration : cette propriété est une conséquence immédiate de la propriété précédente.

Jusqu’à 05 :35

Variations Courbe représentative

Exemple : 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑝

Variations Courbe représentative

Exemple : 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3

Partie 3 : fonction carré

Définition : la fonction carré est la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥^A.

Propriété : on considère deux nombres réels 𝑎 et 𝑏.

§ Si 𝑎 et 𝑏 sont tous les deux positifs, alors 𝑎^A et 𝑏^A sont rangés dans le même ordre que 𝑎 et 𝑏.

§ Si 𝑎 et 𝑏 sont tous les deux négatifs, alors 𝑎^A et 𝑏^A sont rangés dans l’ordre inverse de 𝑎 et 𝑏.

Démonstration : supposons que 𝒂 < 𝒃 soit 𝒂 − 𝒃 < 𝟎.

On sait que 𝒂^𝟐− 𝒃^𝟐 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃).

1^er cas : si 𝒂 et 𝒃 sont tous les deux positifs alors 𝒂 + 𝒃 est positif.

On en déduit que 𝒂^𝟐− 𝒃^𝟐= (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃) est négatif. Finalement, 𝒂^𝟐< 𝒃^𝟐. 2^ème cas : si 𝒂 et 𝒃 sont tous les deux négatifs, alors 𝒂 + 𝒃 est négatif.

On en déduit que 𝒂^𝟐− 𝒃^𝟐= (𝒂 − 𝒃)(𝒂 + 𝒃) est positif. Finalement, 𝒂^𝟐> 𝒃^𝟐.

Remarque : lorsque 𝑎 et 𝑏 ne sont pas du même signe, leurs carrés peuvent être rangés dans le même ordre ou dans l’ordre inverse. Le carré le plus petit est celui du nombre ayant la plus petite distance à zéro.

00 :00à02 :04

𝑥

Variations de 𝑓

𝑥

Variations de 𝑓

Cas 𝒎 > 𝟎

Cas 𝒎 < 𝟎

Démonstration : cette propriété est une conséquence immédiate de la propriété précédente, en effet, on a démontré que la fonction carré conserve l’ordre sur [0 ; +∞[ et change l’ordre sur ] − ∞ ; 0].

Variations Courbe représentative

La fonction carré est strictement décroissante sur l’intervalle ] − ∞ ; 0] et strictement croissante sur

l’intervalle [0 ; +∞[.

Définition : représentation graphique

On dit que la courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommet 𝑶.

Propriété : symétrie

La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Remarque : la fonction carré est donc une fonction paire : en effet, elle est définie sur un ensemble symétrique par rapport à l’origine du repère et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)^A= 𝑥^A = 𝑓(𝑥).

Partie 4 : fonction cube

Définition : la fonction cube est la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥^<.

Propriété : on considère deux nombres réels 𝑎 et 𝑏.

𝑎^< et 𝑏^< sont rangés dans le même ordre que 𝑎 et 𝑏.

Conséquence : variations de la fonction cube.

La fonction cube est strictement croissante sur ℝ.

Démonstration : cette propriété est une conséquence immédiate de la propriété précédente, en effet, la fonction cube conserve l’ordre sur ℝ.

𝑥

Variations de 𝑓

03 :58à06 :51

Variations Courbe représentative

La fonction cube est strictement croissante sur ℝ.

Propriété : symétrie

La courbe représentative de la fonction cube est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Remarque : la fonction cube est donc une fonction impaire : en effet, elle est définie sur un ensemble symétrique par rapport à l’origine du repère et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)^<= −𝑥^<= −𝑓(𝑥).

Partie 5 : fonction inverse

Définition : la fonction inverse est la fonction 𝑓 définie sur IR ^* par 𝑓(𝑥) =^E_m .

Propriété : on considère deux nombres réels 𝑎 et 𝑏 non nuls et de même signe.

E

0 et ^E_n sont rangés dans l’ordre inverse de celui de 𝑎 et 𝑏.

Démonstration : supposons que 𝒂 et 𝒃 soient non nuls, de même signe et que 𝒂 < 𝒃 alors 𝒃 − 𝒂 > 𝟎.

On sait que ^𝟏_𝒂−^𝟏_𝒃=_𝒂𝒃^𝒃 −_𝒂𝒃^𝒂 =^𝒃F𝒂_𝒂𝒃.

De plus, on a supposé que 𝒂 et 𝒃 sont de même signe donc 𝒂𝒃 est positif. Finalement, ^𝟏_𝒂>^𝟏

𝒃.

Remarque : l’inverse d’un nombre étant du même signe que ce nombre,

l’inverse d’un nombre négatif est toujours inférieur à l’inverse d’un nombre positif.

Conséquence : variations de la fonction inverse

La fonction inverse est strictement décroissante sur ] − ∞ ; 0[ ainsi que sur ]0 ; +∞[.

Démonstration : cette propriété est une conséquence immédiate de la propriété précédente, en effet, on a démontré que la fonction inverse change l’ordre sur ]0 ; +∞[ et change l’ordre sur ] − ∞ ; 0[.

𝑥

Variations de 𝑓

06 :51à09 :28

La fonction inverse est strictement décroissante sur l’intervalle ] − ∞ ; 0[ et sur l’intervalle

]0 ; +∞[.

Définition : courbe représentative

On dit que la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole de centre 𝑶.

Propriété : symétrie

La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Remarque : la fonction inverse est donc une fonction impaire : elle est définie sur un ensemble symétrique par rapport à l’origine du repère et, pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓(−𝑥) =_Fm^E = −^E

m= −𝑓(𝑥).

Partie 6 : position relative

a) Cas général

Propriété : positions relatives

On considère deux fonctions 𝑓 et 𝑔 définies sur un intervalle 𝐼 et on note 𝐶/ et 𝐶s leurs courbes représentatives respectives dans un repère (𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗).

§ Si, pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à 𝐼, 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) alors 𝐶_/ est en dessous de 𝐶_s.

§ Si, pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à 𝐼, 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) alors 𝐶_/ est au-dessus de 𝐶_s.

Méthode pratique pour étudier la position relative de deux courbes :

Il est bien souvent plus simple d’étudier le signe d’une expression que de comparer deux expressions.

En conséquence, pour faciliter l’étude de la position relative de deux courbes 𝐶_/ et 𝐶_s, il suffit d’étudier le signe de 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) :

• Si, pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à 𝐼, 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) < 0 alors 𝐶_/ est en dessous de 𝐶_s.

• Si, pour tout nombre réel 𝑥 appartenant à 𝐼, 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) > 0 alors 𝐶/ est au-dessus de 𝐶s. 𝑥

Variations de 𝑓

b) Exemple des fonctions identité, carré et cube

Propriété : pour tout nombre réel 𝑥 positif, on a :

§ Si 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, alors 𝑥^<≤ 𝑥^A≤ 𝑥.

§ Si 𝑥 > 1, alors 𝑥 ≤ 𝑥^A ≤ 𝑥^<. Démonstration :

Comparaison de 𝒙 et 𝒙^𝟐 :

Pour tout nombre réel 𝑥, on a : 𝑥^A− 𝑥 = 𝑥(𝑥 − 1).

- Si 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 alors 𝑥 ≥ 0 et 𝑥 − 1 ≤ 0.

On en déduit que 𝑥(𝑥 − 1) ≤ 0 soit 𝑥^A− 𝑥 ≤ 0 ou encore 𝑥^A≤ 𝑥.

- Si 𝑥 > 1 alors 𝑥 ≥ 0 et 𝑥 − 1 ≥ 0.

On en déduit que 𝑥(𝑥 − 1) ≥ 0 soit 𝑥^A− 𝑥 ≥ 0 ou encore 𝑥^A≥ 𝑥.

Comparaison de 𝒙^𝟐 et 𝒙^𝟑 :

Pour tout nombre réel 𝑥, on a : 𝑥^<− 𝑥^A = 𝑥^A(𝑥 − 1).

- Si 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 alors 𝑥^A≥ 0 et 𝑥 − 1 ≤ 0.

On en déduit que 𝑥^A(𝑥 − 1) ≤ 0 soit 𝑥^<− 𝑥^A ≤ 0 ou encore 𝑥^<≤ 𝑥^A. - Si 𝑥 > 1 alors 𝑥^A≥ 0 et 𝑥 − 1 ≥ 0.

On en déduit que 𝑥^A(𝑥 − 1) ≥ 0 soit 𝑥^<− 𝑥^A≥ 0 ou encore 𝑥^< ≥ 𝑥^A.

On en déduit la propriété suivante : Propriété : positions relatives

On considère les fonctions 𝑓, 𝑔 et ℎ définie sur [0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥^A et ℎ(𝑥) = 𝑥^<. En notant 𝐶_/, 𝐶_s et 𝐶_• leurs courbes représentatives respectives, on a :

Si 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, alors 𝐶_• est en dessous de 𝐶_s qui est en dessous de 𝐶_/. Si 𝑥 > 1, alors 𝐶_/ est en dessous de 𝐶_s qui est en dessous de 𝐶_•.

A LA CALCULATRICE

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