16 Intervalle de fluctuation.Estimation

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16 ^Chapitre Intervalle de fluctuation.

Estimation

4 

4 a) P(9X11) ≈ 0,261 b) P(X 15) ≈ 0,048

c) u≈ 14,427 5 

5 a) L’espérance estnpet l’écart-type est np(1–p) b)E(Zn)=0 et V(Zn)=1

c)

3. Activités d’approche

• ^{Activité 1}

1 Voir fichier sur site Compagnon.

2 a) I₁= [10 ; 21]

b) I₂= [9 ; 22]

c) I₃= [9 ; 22]

d) I₄= [8 ; 23]

en prenant des valeurs entières.

3 a) I₁= [136 ; 176]

b) I₂= [135 ; 175]

c) I₃= [135 ; 175]

d) I₄= [132 ; 178]

Les intervalles sont de plus en plus proches les uns des autres. Cependant déjà avecn= 50, ils sont très proches.

• ^{Activité 2}

a) P(–uZ_nu) = P(–u< Xn–np np(1–p) <u)

=P(–u np(1–p))<Xn–np<u np(1–p)

=P(np–u np(1–p)<Xn<np+u np(1–p))

=P p–u p(1–p) n <Xn

n <p+u np(1–p) n

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

=P X

( )

nⁿ[Iⁿ

b) On sait que P(–uZ_nu) ≈ 0,95 pouru≈ 1,96 donc lim

n→+`P X

( )

nⁿ[I^{n = 95 %.}

1. Page d’ouverture

• ^Énigme

^✱

(1) A sera élu

(2) A remporte 25 duels B remporte 35 duels C remporte 41 duels C sera donc élu.

• ^Énigme

^{✱ ✱}

Les représentations graphiques des fonctions densité de X et Y sont superposables, mais décalées de 4 unités horizontalement.

Soittl’abscisse du point M d’intersection des courbes de ces fonctions densités.

On a alors par symétrie P(Xt) = P(Yt).

2. Vérifier les acquis

1 

1 a) L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est : 0,40 – 1

50 ; 0,40+ 1

⎡ 50

⎣⎢ ⎤

⎦⎥≈ [0,25 ; 0,55]

b) 17

50 = 0,34 et 0,34[0,25 ; 0,55].

On ne peut pas rejeter cette hypothèse.

2 

2 a) On peut modéliser le choix d’une personne comme une épreuve de Bernoulli. On appelle succès une personne est rousse, sa probabilité est 0,40.

Il y a une répétition de 50 épreuves identiques et indé- pendantes. L’expérience décrite est bien un schéma de Bernoulli.

La variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de succès, c’est-à-dire le nombre de personnes rousses suit la loi binomiale de paramètresn= 50 etp= 0,4.

b) a= 13 etb= 27

c) L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est : [0,26 ; 0,54].

d) 17

50= 0,34 et 0,34[0,26 ; 0,54].

On ne peut pas rejeter cette hypothèse.

3 

3 nest un nombre entier supérieur ou égal à 1.

petfsont des nombres réels de l’intervalle [0 ; 1] : p− 1

n fp+ 1 n équivaut à− 1

n <f–p< 1 n équivaut à –f – 1

n – p –f + 1 n équivaut àf + 1

n pf – 1 n

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9 

9 1. On utilise un intervalle de confiance : I= 27

81 –1 9 ; 27

81+1

⎡ 9

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= 2 9 ; 4

⎡ 9

⎣⎢ ⎤

⎦⎥≈ [0,22 ; 0,45]

La proportion de supporters de l’équipe appartient à l’intervalle ci-dessus avec une confiance de 95 %.

2. On teste l’hypothèse d’équiprobabilité, donc on utilise un intervalle de fluctuation :

I= 0,5 – 1,96 0,5²

2 470 ; 0,5+1,96 0,5² 2 470

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥≈ [0,480 ; 0,520]

1 305

2 470 ≈ 0,528. Cette proportion n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation donc on rejette l’hypothèse qu’il y a autant de nouveaux-nés garçons que de nou- veaux-nés filles.

10  10 1.

1 2 3 4 5 6

Échantillon 1 0,310 0,357 0,210 0,103 0,017 0,003 Échantillon 2 0,349 0,302 0,224 0,088 0,030 0,006 On voit que dans les deux échantillons les positions 1, 2, 3 sont beaucoup plus probables que les autres, le 6 ayant très peu de chance d’apparaître.

2. a) Échantillon 1

I₁≈ [0,25 ; 0,37] ;I₂≈ [0,29 ; 0,42] ;I₃≈ [0,15 ; 0,27]

I₄≈ [0,04; 0,161];I₅≈ [–0,030 ; 0,085] ;I₆≈ [–0,547 ; 0,061]

Échantillon 2

I₁≈ [0,339; 0,359];I₂≈ [0,292; 0,312];I₃≈ [0,241; 0,233]

I₄≈ [0,078; 0,098];I₅≈ [0,020 ; 0,040] ;I₆≈ [–0,003 ; 0,152]

b) Oui car leurs intersections ne sont pas vides.

c) Les probabilités décroissent de la position 1 à la position 6.

6. Exercices d’application

11 

11 I≈ [0,469 ; 0,531].

12 

12 I≈ [0,256 ; 0,444].

13 

13 I≈ [0,086 ; 0,114].

14  14 a) 1

b) [0,145 ; 0,189]6 34 100≈ 0,13

La fréquence observée n’est pas dans l’intervalle de fluctuation asymptotique, donc on rejette l’hypothèse que le dé est équilibré.

15 

15 a) I≈ [0,575 ; 0,625]

b) Il peut tester l’hypothèse qu’il y a effectivement 60 % de clé de capacité 4 Go dans le lot.

c) La fréquence observée est 0,55 qui n’appartient pas à I, donc le technicien doit alerter son patron.

16 

16 a) Produit A : [0,45 : 0,55]

4. Pour s’exercer

2 

2 On a au total 224 pois dont 176 jaunes : 176

224 ≈ 0,786.

L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :

I= 0,75 –1,96 0,75×0,25

224 ; 0,75+1,96 0,75×0,25

⎡ 224

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

c’est-à-direI= [0,693 ; 0,807]

0,786 appartient àIdonc ce résultat est conforme à la théorie de Mendel.

4 

4 I= 0,63 – 1

53 ; 0,63+ 1

⎡ 53

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

I≈ [0,49 ; 0,77]

5 

5 On a 2

n <0,04donc n> 2

0,04etn> 2

( )

0,04^2. On doit donc prendre un échantillon d’au moins 2 500 personnes.

6 

6 a) I= 5 9 – 1

45 ; 59+ 1

⎡ 45

⎣⎢ ⎤

⎦⎥≈[0,40 ; 0,71], 0,8 n’ap - partient pas à cet intervalle, donc on rejette l’hypothèse que 80 % des notes sont supérieures à 10.

b) 25 36 – 1

36 ; 2536+ 1

⎡ 36

⎣⎢ ⎤

⎦⎥≈[0,52 ; 0,87] 0,8 appartient à cet intervalle.

c) 2

n<0,2 ; n>10 ; n100.

Il aurait fallu un échantillon de taille 100.

5. Accompagnement personnalisé

7 

7 1. 0,5 – 1,96 0,5²

100 ; 0,5+1,96 0,5² 100

⎡

⎣⎢

⎤

≈ [0,402 ; 0,598].⎦⎥

Cet intervalle ne contient pas 0,6.

On peut rejeter l’hypothèse que la pièce est équilibrée (même si c’est de justesse…).

2. I= 0,9 – 1,96 0,9×0,1

200 ;0,9+1,96 0,9×0,1

⎡ 200

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

≈ [0,878 ; 0,922]

f= 0,8

Ceci ne confirme pas l’annonce carfn’appartient pas àI.

8 

8 1. 521 998 – 1

998 ; 521998+ 1

⎡ 998

⎣⎢ ⎤

⎦⎥≈ [0,49 ; 0,56]

Le candidat ne peut être totalement rassuré car il est possible qu’il n’obtienne que 49 % des voix.

2. 2 941 3 000 – 1

3 000 ; 2 9413 000+ 1 3 000

⎡⎣⎢ ⎤

⎦⎥≈ [0,962 ; 0,999]

La proportion de personnes ne présentant pas d’effets secondaires appartient avec un niveau de confiance de 95 % à l’intervalle ci-dessus.

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7. Objectif Bac

24 

24 1. b) 2. a) 3. c)

25 

25 1. Faux 2. Faux 3. Vrai 4. Faux 5. Faux

26 

26 A. a) On a 50 répétitions d’une expérience de Bernoulli de façon indépendanten= 50 etp= 0,02 b) P(X = 0) ≈ 0,36 et P(X = 1) ≈ 0,37

c) P(X = 2) ≈ 0,19 P(X2) ≈ 0,92 B. a) P(548L₁552) ≈ 0,95 b) P(108L₂112) = 0,95

P[(548L₁552)(108L₂112)] ≈ 0,95² ≈ 0,90 C. a) 0,94

b) I= 0,94 – 1

100 ; 0,94+ 1

⎡ 100

⎣⎢ ⎤

⎦⎥= [0,84 ; 1,04]

En pratique,I= [0,84 ; 1] car une fréquence ne peut pas dépasser 1.

c) Il faut 2

n 0,1 donc n20 etn400 27 

27 a) On doit avoir

n>30 np>5 n(1–p)>5

⎧

⎨⎪

⎩⎪

donc n31

b) I₁= 0,835 –1,96 0,835×0,165

50 ; 0,835+1,96 0,835×0,165 50

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ 0,835 –1,96 0,835×0,165

50 ; 0,835+1,96 0,835×0,165 50

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

I₁≈ [0,732 ; 0,938] ; I₂≈ [0,811 ; 0,859]

Règle de décision : sifI, on ne rejette pas l’hypothèse selon laquelle la production est dans la norme nationale, sinon on la rejette.

c) La fréquence 0,87 n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation donc on rejette l’hypothèse : on peut penser que cet échantillon est de très bonne qualité.

d) I₃≈ [0,832 ; 0,838]

La fréquence 0,82 est en dessous des fréquences de l’intervalle de fluctuation donc on rejette l’hypothèse : on peut penser que cet échantillon n’est pas d’assez bonne qualité.

28 

28 a) Groupe A :I_A≈ [0,494 ; 0,674]

Groupe B :I_B≈ [0,42 ; 0,602]

b) Non car l’intersection de ces deux intervalles n’est pas vide.

On veut que 64 125+ 1

n , 73 125− 1

n donc 2 n, 9

125 et n.250

9 ⇔n>772. 29 

29 a) 110 200 = 0,55 b) I≈ [0,479 ; 0,621]

c) Il est possible que 60 % des habitants soient inté- ressés donc le commerçant peut tenter de s’implanter.

Cependant, le taux de 60 % est au bord de l’intervalle de confiance ce qui peut le faire hésiter.

Produit B : [0,37 ; 0,47]

Produit C : [0,312 ; 0,408]

b) On peut tester l’hypothèse que le produit est efficace.

c) Les produits B et C peuvent être jugés efficaces puisque 0,5 n’appartient pas à leurs intervalles fluctua- tions.

17 

17 1. a) I≈ [0,936 ; 0,964]

b) Oui car cet intervalle ne contient pas 93 %.

2. a) I≈ [0,907 ; 0,993]

b) Il doit accepter la livraison car 93 % appartient àI.

18 

18 a) On veut tester si le fait de ne pas avoir mis de fluor dans l’eau entraîne un surcroît de caries.

b) I≈ [0,38 ; 0,479]

Proportion observée : 231

400 ≈ 0,578

c) On conclut que le fait de ne pas avoir mis de fluor dans l’eau entraîne un surcroît de caries.

19 

19 a) L’amplitude d’un intervalle de confiance est : 2

n. On veut 2

n 0,03 donc n. 2

0,07 et n817.

b) I≈ [0,330 ; 0,384]

c) I≈ [0,346 5 ; 0,368]

d) Non car un des intervalles est contenu dans l’autre donc on peut considérer que les audiences sont à peu près égales.

20 

20 a) I≈ [0,405 ; 0,469]

b) I’ ≈ [99 225 ; 114 905]

c) J≈ [0,458 ; 0,552]

d) Non car les intervallesIetJont une intersection non vide.

21 

21 a) p≈ 0,483 b) I≈ [0,45 ; 0,517]

c) Non car s’il donne l’intervalle de confiance, celui-ci montre que le candidat peut gagner.

22 

22 a) I₁≈ [0,488 ; 0,552] ; I₂ ≈ [0,484 ; 0,548] ; I₃≈ [0,491 ; 0,556]

b) Des proportions inférieures à 50 % appartiennent à ces trois intervalles.

c) I= [0,501 ; 0,529]

d) Cette fois-ci, le cap des 50 % est passé.

23 

23 a) I≈ [0,57 ; 0,83] amplitude 26 % b) 2

n <0,03⇔ n> 2

0,03⇔n> 2

( )

0,03³ ndoit être au moins égal à 4 445.

c) Non. Mais si la taille de l’échantillon dépasse le nombre total de jetons, l’échantillon n’a plus d’intérêt !

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c)I₁≈ [0,000 05 ; 0,000 55]

Cette proportion est très élevée (0,000 8), donc il peut être intéressant d’en chercher les causes.

31 

31 1. a) =si[alea()<$A$8;1;0]

b) =NB:SI(B6;B1006;1)/1 000 c) en B4 : =B3–1/racine(1 000) en B5 : =B3+1/racine(1 000) d) Voir fichier sur site compagnon.

2. a) Quasiment aucun.

b) 4 %.

c) L’estimation ponctuelle n’est que très exceptionnel- lement exacte.

9. Exercices d’entraînement

32 

32 I₁≈ [0,495 ; 0,595] ;I₂≈ [0,501 ; 0,569]

Le deuxième intervalle de confiance ne descend pas en dessous de 50 % contrairement au premier.

33 

33 a) I₁≈ [0,443 ; 0,477]

b) Oui car cet intervalle devrait contenir 0,5.

c) I₂≈ [0,415 ; 0,505]

La conclusion n’est donc pas la même.

d) 2

n 0,01 doncn40 000.

34 

34 1. I= [0,8 ; 1]

2. a) X suit(3 ;p)

b) P(G) = P(X = 0) + P(X = 1)

= (1 –p)³+ 3(1 –p)²p

= 1 – 3p+ 3p²–p³+ 3p– 6p²+ 3p³

= 2p³– 3p²+1

Soitf(p) = 2p³– 3p²+ 1 f’(p) = 6p²– 6p= 6p(p– 1) donc entre 0 et 1,fest décroissante.

f(0,8) = 0,104.

Donc le jeu n’est pas du tout équitable puisque la pro- babilité pour Caroline de gagner est compise entre 0 et 0,104.

(On pouvait s’en douter !) 35 

35 a) I₁= [0,58 ; 0,68] ;I₂= [0,64 ; 0,74]

L’intersection de ces deux intervalles de confiance n’étant pas vide, on ne peut pas considérer qu’il y a une diffé- rence entre les quartiers.

b)Il faut prendre une proportion dans l’intervalle com- mun [0,64 ; 0,68].

36 

36 IC₁= [0,108 ; 0,172]

IC₂= [0,148 ; 0,212]

L’intersection deIC₁etIC₂étant non vide, il se peut que le candidat A gagne.

d) On doit avoir 2

n 0,025 d’oùn6 400.

La taille de l’échantillon rend le sondage coûteux et long.

8. Travaux pratiques

30 

30 1. a) L’instruction permet de vérifier que les condi- tions d’utilisation de l’intervalle de fluctuation asympto- tique sont bien remplies.

b) Il faut ajouter 1,96.

c)

d) I≈ [0,000 148 ; 0,000 452]

e) On ne peut pas utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique.

2. a) _Entrée

Saisir p un nombre réel entre 0 et 1, f un nombre réel entre 0 et 1, et n un nombre entier

Traitement

Si n 30 et np 5 et n(1 – p)  5 a prend la valeur p−1,96 p(1−p)

n b prend la valeur p+1,96 p(1−p)

n si f [a; b]

Sortie « on ne rejette pas l’hypothèse que p est la proportion dans la population » Sinon

Sortie « on rejette l’hypothèse que p est la proportion dans la population » Sinon

Sortie « on ne peut pas utiliser l’intervalle de fluctuation asymptotique »

Fin si b)

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10. Exercices d’approfondissement

43 

43 a) D’après le théorème de Moivre-Laplace :

n→+lim`P –2( <Zn<2)=P –2( <Z<2)

Or P(– 2Z2) = 2 P(0Z2) = 2(P(Z2) – 0,5) donc L = 2P(Z2) – 1.

b) P(Z2) ≈ 0,977 24 donc P(Z2)0,977 2 d’où :  L0,954 4.

c) Pournn₀,a_nL –εdonca_n0,954 4 – 0,004.

D’oùa_n0,95.

d) Zn= Xn–np np(1−p) doncP –2( <Zn<2)

=P p− 2

n p(1−p)<Xn

n <p+ 2

n p(1−p)

( )

e) Sur [0; 1], on montre que (voir exo 44 44 ), p(1−p)^<1₂ doncP p− 1

n <Xn

n <p+ 1

(

n

)

>P p− 2

n p(1−p)^<X_n^n<p+ 2

n p(1−p)

( )

etP p− 1 n <Xn

n <p+ 1

(

n

)

^>an

f) Pour toutnn₀,a_n0,95 doncP p− 1

n <Xn

n <p+ 1

(

n

)

^>0,95

44 

44 a) f ’(p) = 1−2p 2 p(1−p) b)

x 0 1

2 1

f ’(p) + –

f

1 2 0

f 1

( )

2 ⁼²¹

c) Le maximum de la fonction est 1 2. d) f p( )^<1₂ d’oùf p( )

n < 1

2 net1,96f p( ) n <1,96

2 n < 1 n e) p−1,96 p(1−p)

n ;p+1,96 p(1−p) n

⎡⎣⎢ ⎤

⎦⎥est donc inclus dans p− 1

n ;p+ 1 n

⎡⎣⎢ ⎤

⎦⎥. 45 

45 a) I₁= [0,402 ; 0,598]

b) On a un risque d’environ 5 % de rejeter l’hypothèse que la pièce est équilibrée alors que c’est vrai.

c) I₂= [0,452 ; 0,648]

P_I 2(I₁) = 0,598−0,452 0,648−0,452≈ 0,75.

On commet une erreur de type II.

37 

37 a) IC = [0,81 ; 1] (on ne peut aller au-delà de 1).

b) Non, le niveau de confiance est 0,95 doncpa une probabilité d’environ 5 % d’être en dehors.

38 

38 f= 0,64

a) IF₁≈ [0,361 ; 0,639]. Commef0,639, on décide au risque de 95 % de dire que le sujet a un don particulier.

b) Commeu_0,01≈ 2,58,IF₂≈ [0,317 ; 0,683]. Comme f IF₂, on ne peut pas dire, au risque de 99 %, que le sujet a un don particulier.

39 

39 a) I≈ [0,236 ; 0,364]

b) Proportions : 0,34 ; 0,27 ; 0,37 ; 0,28 ; 0,31.

Les valeurs sont dans l’intervalle de fluctuation ou à peine au-dessus. La proportion de noisettes est correcte.

c) Il semblerait que dans la succursale la proportion de noisettes soit sous-dosée.

(Proportions : 0,24 ; 0,27 ; 0,23 ; 0,22 ; 0,23)

0,2 0,23 0,3 0,37 0,4

1 2 3 4 5

Chez le chocolatier Dans la succursale

40 

40 1. a) IF = [0,066 ; 0,134]

b) f≈ 0,133. Cette proportion n’a rien de particulière- ment exceptionnelle.

2. a) IF = [0,051 ; 0,148]

b) f ≈ 0,073. Cette proportion peut être considérée comme normale.

3. Même si sur les groupes observés, le pourcentage de notes supérieures à 16 est inférieur en 2012 à sa valeur en 2010, au seuil de 95 %, les résultats sont dans les intervalles de fluctuation. On ne peut donc pas affirmer, avec un niveau de confiance de 95 %, que les résultats de 2012 sont moins bons que ceux de 2010.

41 

41 The confidence interval at the 95 percent confi- dence level for the percentage of people prefering brand A is roughly [0,56 ; 0,64]. So you can be very certain that between 40 % and 80 % of all the people prefer brand A, but not sure that between 59 % and 61 % of the people do.

42 

42 a) Nécessaire et suffisante.

b) Nécessaire.

c) Nécessaire et suffisante.

d) Suffisante.

e) Nécessaire et suffisante.

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b) Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 90 %.

p−1,645 p(1−p)

n ; p+1,645 p(1−p)

⎡ n

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

≈ [0,481 ; 0,519]

c) La proportion de filles appartient à cet intervalle, donc cela n’indique pas une plus grande proportion de filles au seuil de 90 %.

49 

49 1. m₁≈ 4,17 ; ₁≈ 2,27.

2.m₂≈ 3,31 ; ₂≈ 1,64.

3. a) D suit (0 ; 39). (Sous l’hypothèsem₁=m₂.) P(−h,D,h)=P −h

0,39, D 0,39, h

(

0,39

)

avec D

0,39suit(0 ; 1).

P(−h<D<h)=0,95⇔ h

0,39≈1,96⇔h≈0,76 P(−h<D<h)=0,99⇔ h

0,39≈2,58⇔h≈1,01 b) Sim₁–m₂[–0,76 ; 0,76], on décide au seuil de 95 % qu’il n’y a pas de différence entre le nombre moyen de fautes dans les deux tomes.

De même, sim₁–m₂[– 1,01 ; 1,01], la décision se fait au seuil de 99 %.

c) Ici,m₁–m₂= 0,86 donc au seuil de 0,95, on décide qu’il y a une différence, mais pas au seuil de 0,99.

46 

46 IF = [0,859 ; 0,942] au seuil de 95 %.

La règle de décision est : sifest supérieure à la borne inférieure deIF, on considère que l’annonce dit la vérité au seuil de 97,5 % (on laisse de côté les 2,5 % en dessous de borne inférieure).

Icif= 0,955 donc on considère que l’annonce est correcte.

47 

47 Si on arrondit au pourcentage entier près, il faut que les intervalles de confiance autour de 0,51 et au- tour de 0,49 aient une intersection vide, donc que 0,51− 1

n .0,49+ 1 n ⇔ 2

n,0,02 doncn> 10 000.

48 

48 1. a) On teste l’hypothèse qu’il y a autant de filles que de garçons à la naissance.

Pour les relevés de Buffon :IF₁= [0,483 ; 0,517].

f₁≈ 0,479. Donc cette proportion de garçons est trop faible.

Pour les relevés de Laplace :IF₂= [0,478 ; 0,522].

f₂≈ 0,489. Là par contre la proportion appartient àIF₂. b) On arrive aux mêmes conclusions que Buffon et Laplace.

2. a) P(–uZu) = 0,9 équivaut à 2P(0Zu) = 0,9 c’est-à-dire 2P(Zu) – 1 = 0,9 donc P(Zu) = 0,95.

On trouveu≈ 1,645.