DM3 : représentation graphique d’une suite ; centre de symétrie

DM3 : représentation graphique d’une suite ; centre de symétrie

Exercice 1.

Première partie

Soit

(

^{O i j; ,G G}

)

un repère du plan. Soit la fonction f définie par 1 ( ) 3 f x x

x

= +

− et soit (H) la courbe représentant la fonction f dans ce repère. Prouver que le point I(3; 1)− est centre de symétrie de la courbe (H).

Deuxième partie

On admet qu'on définit une suite u en prenant u₀=0 et pour tout entier naturel n, ₁ 1 3

n n

n

u u

+ u

= +

−

1. Calculer la valeur exacte de u u₁, ₂,u₃ puis, à l’aide de la calculatrice, donner la valeur approchée décimale arrondie à 10⁻5 près du terme de rang 50.

2. Dans un repère orthonormé (unité 5 cm), tracer (sans justification) la courbe représentant la fonction f définie par ( ) 1

3 f x x

x

= +

− sur l’intervalle

[ ]

^{0; 2}

A l'aide de cette courbe, placer (et laisser les traits de construction) sur l’axe des abscisses le plus possible de termes consécutifs de la suite u. Quel semble être le sens de variation de la suite u ? Et sa limite ?

3. On pose, pour tout entier naturel n, 1

n 1

n

v =u

− et on admet que v_nest défini pour tout n.

a) Montrer que la suite v est arithmétique et préciser sa raison.

b) Exprimer v_n puis u_n en fonction de n.

c) Justifier alors la conjecture faite à la question 2, concernant le sens de variation de la suite u.

Exercice 2 pour chercher…

A quoi est égale la somme S suivante ? S= 1 + 1 1² + 1

2² + 1 + 1 2² + 1

3² + .... + 1 ₂ 1 ₂ 1+2004 +2005 On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible et on le justifiera.

Eléments de corrigé du DM3 Exercice 1

Première partie : On remarque que l’ensemble de définition de la fonction f Df =R^{\ 3}

{ }

est bien centré sur la valeur 3.

On calcule pour tout réel h, (h≠0), (3 ) (3 ) 2

f +h + f −h

et on trouve (3 ) (3 ) 2 1

f +h + f −h = − . Le point I(3; 1)− est bien centre de symétrie de la courbe (H).

Deuxième partie :

1. ₁ 1 ₂ 1 ₃ 3 ₅₀

, , , 0.96154

3 2 5

u = u = u = u ≈ arrondie à 10⁻⁵ près

2. On conjecture que la suite u est croissante et converge vers 1.

3.a) De 1

n 1

n

v =u

− on déduit (×) 1

n 1

n

u = +v . ₁

1

3 3

1 1

1 1 1 (3 ) 2 2

3 1

n n

n

n n n n n

n

u u

v u u u u u

u

+ +

− −

= = = =

− + − + − − −

−

En utilisant

(×), on a ₁

3 (1 1)

2 1 1

1 2 2

2(1 ) 2

n n

n n

n

v v

v v

v

+

− + −

= = = −

+ −

La suite v est donc arithmétique de raison 1

r= −2, de 1^er terme

0 1

v = − b) D’après le cours on a ₀ 1

, 1

n 2

n v v n r n

∀ ∈N = + = − − , alors (×) 1

, 1

1 2

1 2

n

n u n

n n

∀ ∈ = + =

− − + N

c) En calculant u_n+1−u_n, on trouve ₁ 1 2 3 2 ( 3)( 2) 0

n n

n n

u u

n n n n

+

− = + − = >

+ + + + pour tout entier naturel n, ce qui

prouve que la suite u est bien (strictement) croissante. On retrouverait aussi que lim lim lim 1

n 2

n n n

n n

u n n

→+∞ = →+∞ = →+∞ =

+ Exercice 2

On a 1 + 1 1² + 1

2² = 1 + 1 + 1 4 = 9

4 = 3

2 ; 1 + 1 2² + 1

3² = 1 + 1 4 + 1

9 = 36 + 9 + 4

36 = 49

36 = 7 6 1 + 1

3² + 1

4² = 144 + 16 + 9

144 = 169

144= 13 12

On peut alors conjecturer que chacune des expressions 1₂ 1 ₂ 1+n +(n 1)

+ peut s'écrire sous la forme ( 1) 1 ( 1) n n

n n + +

+ .Pour justifier ceci, cherchons à simplifier 1₂ 1 ₂

1+n +(n 1)

+ pour tout entier naturel n, n≠0.

2 2 2 2 4 3 2

2 2 2 2

1 1 ( 1) ( 1) 2 3 2 1

1 ( 1) ( 1) ( 1)

n n n n n n n n

n n n n n n

+ + + + + + + +

+ + = =

+

+ + ^.

Développons

(

^{n n( + +1) 1}

)

^{2=n n2( +1)2 +2 (n n+ + =1) 1 n4+2n3+3n2+2n+1 .}

On a donc ^{n4+2n3+3n2+2n+ =1}

(

^{n n( + +1) 1}

)

^{2 =n n( + +1) 1}

Ainsi pour tout entier naturel n non nul 1₂ 1 ₂ 1+n +(n 1)

+ ⁼

( 1) 1 ( 1) n n

n n + +

+

Or ( 1) 1 1 1 1 1

1 1 1

( 1) ( 1) ( 1) 1

n n n n

n n n n n n n n

+ + + −

= + = + = + −

+ + + + ^{d’où 2 2}

1 1

1+n +(n 1) + ⁼

1 1

1+ −n n 1 + On en déduit que : 1 + 1

1² + 1

2² + 1 + 1 2² + 1

3² + .... + 1 ₂ 1 ₂ 1+2004 +2005 =

1 1 1 1 1 1

1 1 ... 1

1 2 2 3 2004 2005

⎛ + − ⎞ ⎛+ + − ⎞+ + +⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⁼

2 4 020024

1 2005 1 2004 2006 2004 1

2005 2005 2005 2005

− ×

+ − = = =

On a donc S= 4 020024

2005 (fraction bien irréductible :2005= ×5 401et ni 5 ni 401(nombre premier) ne divisent 4020024

….ou encore 2005 premier avec 2004 et 2006, entiers consécutifs de 2005)