FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – TD 1 Page 1
TD1 : Probabilités et dénombrement
Exercice 1 :
Dans une entreprise, il y a 800 employés.
300 sont des hommes, 352 sont membres d’un syndicat, 424 sont mariés, 188 sont des hommes syndiqués, 166 sont des hommes mariés, 208 sont syndiqués et mariés, 144 sont des hommes mariés syndiqués.
Combien y a-t-il de femmes célibataires non syndiquées ?
Exercice 2 :
Combien y a-t-il de mains au poker (5 cartes d’un jeu de 32 cartes) contenant exactement : 1)Un carré ;
2) Un full (3 cartes de même hauteur + 2 cartes de même hauteur) ;
3)Un brelan (3 cartes de même hauteur + 2 cartes de hauteurs différentes) ; 4) Une double paire ;
5) Une paire.
Exercice 3 :
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80% de ses boîtes chez le fournisseur A et 20% chez le fournisseur B.
10% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :
— évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
— évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
— évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides ».
1) Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2) a) Quelle est la probabilité de l’évènement ∩ ̅ ?
b) Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0,88.
3) On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
Exercice 4 :
Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement « l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ?
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – TD 1 Page 2 Exercice 5 :
Dans un jeu de 32 cartes, on en tire 4 au hasard.
Déterminer les probabilités des événements suivants : 1) L’une au moins des cartes est un as
2) Les 4 cartes sont de la même couleur 3) Les 4 cartes sont de la même hauteur 4) Les 4 cartes ont des hauteurs distinctes
Exercice 6 :
Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
• La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
• La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l’évènement « La personne est contaminée par le virus » et T l’évènement « le test est positif ».
V et T désignent respectivement les évènements contraires de V et T.
1) a) Préciser les valeurs de P(V), PT, PT.
Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
b) En déduire la probabilité de l’évènement V∩T.
2) Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
3) a) Justifier par un calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40% de « chances » que la personne soit contaminée ».
b) Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
Exercice 7 :
Un numéro de sécurité sociale est composé de 13 chiffres.
Le premier chiffre est fixé : c’est un 1 si l’assuré est un homme ou un 2 si l’assuré est une femme.
Les autres sont des chiffres de l’ensemble 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
1) Combien existe-t-il de numéros de sécurité sociale différents pour un homme ?
a) 10 b) 13! c) 10" d) 12!
2) En fait les deux numéros qui suivent le 1 (ou le 2) correspondent à l’année de naissance et les deux suivants au rang du mois de naissance.
On s’intéresse dorénavant aux femmes nées en mars 1998.
a) Combien existe-t-il de numéros de sécurité sociale de ce type ?
b) Combien existe-t-il de numéros de sécurité sociale de ce type ne comportant aucun 7 ?
c) Un étudiant affirme qu’il y a 9#numéros de sécurité sociale de ce type comportant exactement un 5.
Corriger son erreur en expliquant votre démarche.
d) Combien de numéros de ce type comportent moins de 2 chiffres 5 ?
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – TD 1 Page 3 Exercice 8 :
Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.
A et B sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient :
$A = 0,4, $' B = 0,7 et $ ' B = 0,1.
Proposition : La probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé est égale à )
).
Exercice 9 :
Un fournisseur d’accès internet effectue une enquête de satisfaction sur un panel de 2000 clients, dont l’abonnement a plus de 12 mois d’ancienneté.
Parmi eux :
• 900 n’ont jamais subi de coupure prolongée de connexion.
• 500 clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion dans les douze derniers mois.
• Les autres clients ont connu leur dernière coupure prolongée de connexion il y a plus d’un an.
L’enquête révèle que :
• 95% des clients n’ayant jamais subi de coupure prolongée se déclarent satisfaits du service fourni.
• 50% des clients ayant subi une coupure prolongée dans les douze derniers mois se déclarent satisfaits du service fourni.
• 70% des clients ayant subi une coupure prolongée de connexion il y a plus d’un an se déclarent satisfaits du service fourni.
On choisit au hasard un client parmi ceux qui ont été interrogés. On considère les évènements suivants :
J : « Le client n’a jamais subi de coupure prolongée de connexion »
R : « La dernière coupure prolongée de connexion du client est survenue au cours des douze derniers mois » (elle est « Récente »)
A : « La dernière coupure prolongée de connexion du client date d’il y a plus d’un an » (elle est
« Ancienne »)
S : « Le client se déclare satisfait » S désigne l’évènement contraire de S.
1)Construire un arbre pondéré décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
2)Calculer la valeur exacte de la probabilité que le client soit satisfait et n’ait jamais subi de coupure prolongée de connexion.
3)Démontrer que la probabilité que le client choisi se déclare satisfait est égale à 0,7625.
4) Le client choisi se déclare satisfait du service fourni.
Quelle est la probabilité à 10+" près qu’il ait subi une coupure prolongée de connexion au cours des douze derniers mois.
FA Vaz – DUT GEA CHAM2 – M 22 06 – TD 1 Page 4 Exercice 10 :
On étudie ici l'impact d'un médicament pour le traitement d'une maladie donnée.
On travaille à partir d’un échantillon d’individus tous atteints de cette maladie.
Afin de tester l’efficacité du médicament M, on classe les individus atteints de cette maladie en fonction de l’âge, répartis en 3 sous-populations :
• 20% sont dans la catégorie , (18-40 ans)
• 30% sont dans la catégorie ," (40-60 ans)
• 50% sont dans la catégorie , (plus de 60 ans) Le médicament M est donné à :
• 65% de malades parmi ceux de la catégorie A1
• 70% de malades parmi ceux de la catégorie A2
• 50% de malades parmi ceux de la catégorie A3
Les autres malades reçoivent un placebo, qui a le même emballage que le médicament précédent mais dont le contenu est sans effet.
Suite à cette étude, la probabilité conditionnelle d’amélioration de l’état du malade au bout de 3 jours (événement noté -) est estimée par les valeurs indiquées dans le tableau ci-dessous, pour un malade d’une catégorie donnée et ayant ou n’ayant pas reçu le médicament :
./ .0 .1
Ayant reçu le médicament M 0,3 0,6* 0,3
Ayant reçu le placebo 0,1 0,2 0,2
*par exemple : 0.6 = 2-|,"∩ 4
1) Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre. Donner la signification et la traduction mathématique de chaque probabilité (intersection, conditionnement, ...). Expliquer par quels calculs l'arbre a été complété.
2) Calculer la probabilité qu'un malade ait reçu le médicament.
3) Quelle est la probabilité qu'un malade ait entre 40 et 60 ans et ait reçu le placebo (au lieu du médicament M) ?
4) Quelle est la probabilité d'amélioration de l'état dans le cas d'un tel malade (entre 40 et 60 ans et ayant reçu le placebo) ?
5) Calculer la probabilité d’amélioration de l’état du malade au bout de 3 jours.
6) Quelle est la probabilité qu'un malade ait reçu le vrai médicament M et que son état s'améliore au bout de 3 jours ?
7) Pour un malade ayant reçu le médicament M, calculer la probabilité avec laquelle son état s’est amélioré au bout de 3 jours.
8) Calculer et traduire 2- ∩ 4 ∩ ,".
