Propriétés géométriques de <span class="mathjax-formula">$h^{p}({\mathbb{D}},X)$</span> et généralisations

(1)

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

MOHAMMAD DAHER

Propriétés géométriques deh^p(D, X)et généralisations

Tome XX, n^o2 (2011), p. 439-463.

<http://afst.cedram.org/item?id=AFST_2011_6_20_2_439_0>

L’accès aux articles de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques » (http://afst.cedram.org/), implique l’ac- cord avec les conditions générales d’utilisation (http://afst.cedram.org/

legal/). Toute reproduction en tout ou partie cet article sous quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l’utilisation à fin strictement person- nelle du copiste est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou im- pression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

cedram

Article mis en ligne dans le cadre du

(2)

pp. 439–463

Propri´ et´ es g´ eom´ etriques de

h^p(D, X)

et g´ en´ eralisations

Daher Mohammad⁽¹⁾

R^ÉSUMÉ.— Nous montrons queh²(D^{, L}¹⁽T)) admet une norme équivalen- teLU R,ce qui répond négativement à une question de Dowling, Hu et Smith. Puis nous obtenons une propriété de stabilité des opérateurs de Radon-Nikodym analytique. Motivés par l’identification entreh^p(D^{, X)}

etV B^p(T^{, X) o`}û ^X est un espace de Banach, pour un groupe abélien compact métrisableG, son dual Γ, et Λ2⊂Λ1⊂Γ, nous prouvons que, si l’espaceV B^p_Λ

1(G, X)/V B^p_Λ

2(G, X) a la propriétéKadec−Klee−β−ω, alors il coincide avecL^p_Λ₁(G, X)/L^p_Λ₂(G, X), 1 ^{p <} ^∞.^{Enfin, nous}

montrons que siL¹_Λc 2(G)/L¹_Λc

1(G) a la propri´et´eI−(Λ1\Λ2)−RN P, alors il coincide avecM_Λ^c

2(G)/M_Λ^c

1(G).

ABSTRACT.— We show thath²(D^{, L}¹⁽T)) admits an equivalentLU R− norm,which gives a negative answer to a problem mentioned by Dowl- ing, Hu and Smith. Then we get a stability property for analytic Radon- Nikodym operators. Since, for every Banach space X, h^p(D^{, X) and}

V B^p(T, X) can be identiﬁed, for a metric compact abelian groupG, its dual Γ, and Λ2 ⊂ Λ1 ⊂ Γ, we show that, if the space V B_Λ^p

1(G, X)/

V B^p_Λ

2(G, X) has theKadec−Klee−β−ωproperty, then it coincides with L^p_Λ

1(G, X)/L^p_Λ

2(G, X),1 ^{p <} ∞.Finally we show that, if L¹_Λc 2(G)/

L¹_Λc

1(G) has theI−(Λ1\Λ2)−RN P,then it coincides withM_Λ^c

2(G)/M_Λ^c

1(G).

(∗) Re¸cu le 08/09/2010, accept´e le 13/12/2010

(1) Departement de math´ematiques, Universit´e de Paris VII m.daher@orange.fr

(3)

1. Introduction

Dans la deuxième partie nous considérons le lien entre certaines pro- priétés de l’espace de BanachX et celles des espacesh^p(D, X) de fonctions harmoniques vectorielles, ou des sous espacesH^p(D, X) de fonctions analy- tiques.

D’après [DZS, theorem 3.8], sih²(D, X) est localement uniformément convexe (LU R), alors X a la propriété de Radon-Nikodym. Ce n’est plus vrai si on suppose seulement que h²(D, X) admet une norme équivalente LU R, ce qui répond négativement au problème posé à la fin de [DZS] : en effet nous vérifions que h²(D, L¹(T)) admet une norme équivalente LU R ; or il est bien connu queL¹(T) n’a pas la propriété de Radon-Nikodym.

Nous étudions ensuite la stabilité des opérateurs de Radon-Nikodym analytique. Lorsque l’opérateur est l’identité, cela se réduit à la stabilité de la propriété de Radon-Nikodym analytique, dans le style de [RaS].

La troisième partie est consacrée aux propriétés de type Kadec-Klee.

Rappelons [W] que l’espace de HardyH¹(D) possède la propriété suivante : soit (fn)n0 une suite dans la sphère unité de H¹(D), convergeant uni- formément sur tout compact K ⊂ D vers une fonction f de la sphère unité ; alors (fn)n0 converge versf en norme dansH¹(D). [DL] et [DZS]

étudient la géométrie des espacesX tels que h^p(D, X) v érifie la propriété dite de Kadec-Kleeβ− . : soit (fn)n0 une suite dans la sphère unité de h^p(D, X) telle que, pour tout compactK⊂D, sup_z_∈_Kfn−fX→0, avec fh^p(D^,X) = 1 ; alors fn−fh^p(D^,X)_n→+∞→ 0. Cette propriété implique d’après [DL] l’identification entreh^p(D, X) etL^p(T, X),1< p <∞,c’est à dire que X a la propriété de Radon-Nikodym. Motivés par l’identification [Bl] entre h^p(D, X) et V B^p(T, X) 1< p ∞, nous introduisons des pro- priétés de Kadec-Klee pour les espacesV B^p(G, X) introduits dans [Din] et les quotientsWp=V B_Λ^p₁(G, X)/V B_Λ^p₂(G, X).Nous montrons que, siWp a la propriété de Kadec-Klee diteβ−ω,alorsWpcoincide avec son sous espace L^p_Λ₁(G, X)/L^p_Λ₂(G, X).Ici G est un groupe abélien compact métrisable, Γ le groupe dual et Λ2⊂Λ1⊂Γ.

Dans la quatrième partie, nous considérons les propriétésI−Λ−RN P et I−Λ−CCP d’un espaceX,définies à l’aide des espaces V B_Λ^∞(G, X), et étudiées entre autres dans [E], [Do], [RS], [D2].Nous les appliquons aux espaces X=L¹_Λ^c

1(G)/L¹_Λ^c

2(G).

Notations. — Les espaces de Banach considérés ici sont complexes. Le dual d’un tel espaceX est notéX^∗. Pour un sous-espace ferméY ⊂X, et x∈X,on note [x] l’image dexpar l’application quotient dans X/Y.Dans

(4)

les parties 3 et 4,Gdésigne un groupe compact abélien métrisable. On note dtla mesure de Haar deG,en particulier la mesure de Lebesgue normalisée sur le toreT.

2. Stabilit´e des op´erateurs de Radon-Nikodym analytique

Rappels sur les espaces de fonctions harmoniques `a valeurs vectorielles

On noteD⊂C le disque unit´e ouvert. La restriction au cercle|z| =r d’une fonction u:D→X est not´eeur:T→X.

Une fonction u: D → X est harmonique s’il existe une suite (xk)_k∈Z dansX telle que

u(z) =

k∈Z

r^|k|e^ikθxk, z=re^iθ∈D,

cette s´erie convergeant en norme dans X, uniform´ement sur tout compact deD.En particulieruest continue : D→X.

Une fonction u : D→X est holomorphe si elle est harmonique et si xk= 0 pour toutk <0.

h^p(D, X), 1 p < ∞, d´esigne l’espace des fonctions harmoniques u:D→X telles que

sup0<r<1

T

u(re^it)^p_Xdt <+∞.

h^∞(D, X) d´esigne l’espace des fonctions harmoniquesu:D→X telles que sup_z_∈_Du(z)X <∞.

H^p(D, X), 1 p ∞, d´esigne le sous espace de h^p(D, X) form´e des fonctions holomorphes.

H^p(T, X),1p∞,d´esigne le sous espace de L^p(T, X) des fonctions f telles quef(−k) =

Teîktf(t)dt= 0 pour toutk∈N^∗. Lenoyau de PoissonPz au pointz=reîθ∈Dest défini par

Pz(t) = Re(e^it+z/e^it−z) = 1−r²/1−ze^−it²

= pr(θ−t) =

k∈Z

r^|k|e^ik(θ−t), t∈[0,2π[.

(5)

Rappelonsl’in´egalit´e maximale de Hardy-Littlewood [HL, theorem 26]:

Soit 1< p <∞.Il existe une constanteCp telle que, pour toute fonctionv sous harmonique continue :D→R⁺,v´eriﬁantsupr<1vrL^P(T⁾<∞,on a

sup

r vr

L^P(T⁾Cpsup

r vrL^P(T⁾. (2.1) Les faits suivants sont montr´es dans le cas scalaire dans [HL], voir aussi [Ru, chapter 11,17] ; les preuves sont analogues dans le cas vectoriel.

a) Soitf ∈L^p(T, X), 1p∞. Alors

(i) f ∗pr →r→1⁻ f en norme L^p(T, X) si p < ∞ ou si p = ∞ et f continue.

(ii) si p = 1, la fonction maximale sup_rfX∗pr est dans L¹−faible [Ru, theorem 11.23].

(iii) si 1p∞, pour presque toutt∈T,

f∗pr(t)−f(t)X →r→1⁻0. (2.2) (Il suffit de le voir pour p= 1 et cela résulte alors de la densité des points de Lebesgue de f ∈L¹(T, X), cf [Ru, theorem 7.6]).

(iv) si 1< p <∞,on déduit de (2.1) les inégalités de Hardy-Littlewood

sup

r<1f ∗prX

L^P(T⁾ sup

r<1fX∗pr

L^P(T⁾CpfXL^P(T⁾, (2.3) en notant que la fonction :z=re^iθ→ fX∗pr(θ) est sous harmonique.

Sip=∞la deuxième inégalité est clairement vraie avec constante 1.

(v)L^p(T, X) s’identifie isométriquement à un sous-espace fermé deh^p(D, X), 1p∞,via l’applicationf →u= (P⊗IX)f où

(P⊗IX)(f)(z) = 2π

0

f(t)Pz(t)dt

2π =f∗pr(θ), z=re^iθ∈D. (On utilise (i)).

Rappelons que P est un isomorphisme isom´etrique : L^p(T) → h^p(D), 1< p∞,etH^p(T)→H^p(D),1p∞,[Ru, theorem 11.30].

(6)

b) Si u ∈ h^p(D, X), 1 p ∞, la fonction z → u(z)X est sous harmonique continue surD.En particulier

– la fonction r → urL^P(T^,X) est croissante, donc uh^p(D^,X) = lim_r→1urL^P(T^,X⁾.

– si 1< p∞,on a l’in´egalit´e de Hardy-Littlewood

sup

r<1urX

L^P(T⁾Cpuh^p(D^,X). (2.4) qui résulte de (2.1) sip <∞,et de la définition sip=∞(avecC_∞= 1).

c) Si 1< p∞, l’image de L^p(T, X)par P⊗IX coincide avec le sous espace F ⊂h^p(D, X)form´e des fonctionsutelles que, pour presque tout t, (ur(t))r converge en norme dans X vers une limite f(t)lorsque r→1⁻.

En effet,P⊗IXenvoieL^p(T, X) dansFd’après a) (v) et (iii), 1p∞. Réciproquement, soitu∈F,associée àf.Alorsf est fortement mesurable à valeurs dansX etf est dansL^p(T, X) par (2.4), 1< p∞. A nouveau par (2.4) et le théorème de convergence dominée, f−urL^p(T^,X) →^r→1⁻ 0 si 1< p <∞,tandis quef−ur→^r→1⁻0 pour la topologie de la convergence forte d’opérateur : L¹(T) → X si p = ∞. Par l’argument classique de semi-groupe [Ru, theorem 11.30] , on a u = (P ⊗IX)f. En effet, pour tout r <1, f∗pr−uρ∗prL^p(T^,X) →^ρ→1⁻ 0 si 1 < p <∞, tandis que f∗pr−uρ∗pr→ρ→1⁻ 0 pour la topologie de la convergence forte d’opérateur.

D’autre part uρ∗pr=uρr,et uρr−ur_C(T^,X) →ρ→1⁻ 0, donc, pour tout r <1, ur=f∗prdansC(T, X).

d) Pour un espace de BanachY, notonsL^p(T, Y^∗),1p∞,l’espace des fonctions préfaiblement mesurables f : T → Y^∗ telles que fY^∗ est mesurable et appartient à L^p(T). L^p(T, Y^∗) est isomé triquement un sous espace fermé deL^q(T, Y)^∗, ¹_p +¹_q = 1 (sip= 1, L^q(T, Y) est remplacé par l’espaceC(T, Y)).

Les applications f → f ∗pr sont définies par dualité et f ∗pr → f préfaiblement dansL^q(T, Y)^∗.Donc

fL^q(T^,Y⁾^∗ = sup

r f∗prL^q(T^,Y⁾^∗. (2.5) Pour f ∈ L^p(T, Y^∗) on d´eﬁnit

[(P⊗IY^∗)(f)](r.) =f∗pr, r <1.

(7)

L’application P⊗IY^∗ est une isométrie :L^p(T, Y^∗)→h^p(D, Y^∗), 1 p∞,en particulier la deuxième inégalité de (2.3) reste vraie si 1< p∞.

En eﬀet, pour touty∈Y,on a Pf, y ∈h^p(D),donc (Pf, y)(re^iθ) =

k∈Z

r^|^k^|eîkθak(y) où les fonctionsak sont des formes linéaires surY .. Comme

akY^∗ = sup

y _Y=1

f, y ∗pr(k)fY^∗L^p(T⁾, k∈Z, la fonction u(re^iθ) =

k∈Zr^|^k^|e^ikθak est dans C(D, Y^∗) et coincide avec (P⊗IY^∗)f.Par (2.5)f_L^p(T^,Y^∗⁾=uh^p(D^,Y^∗⁾.

e) Si Y est séparable, L^p(T, Y^∗), 1 < p ∞, est le dual de l’espace séparableL^q(T, Y) [Die] et, pourf ∈ L^p(T, Y^∗), la mesurabilité de fY^∗

est automatique. AlorsP⊗IY^∗ est surjective et permet d’identifier isométri- quementh^p(D, Y^∗)àL^p(T, Y^∗).

En effet, siu∈h^p(D, Y^∗) et sif est une valeur d’adhérence préfaible de (ur)r<1 dansL^p(T, Y^∗) on voit comme en c) queu= (P⊗IY^∗)f, puisque uρ∗pr→ρ→1⁻ f∗pr préfaiblement dansL^p(T, Y^∗).

On verra au lemme 2.10 que la même conclusion découle d’une hy- pothèse plus faible surY.

f)On a l’identiﬁcation

h^p(D, X) = (P⊗IX)L^p(T, X)

pour un p∈]1,+∞] si et seulement si on l’a pour tout p∈]1,+∞] et cela est vérifié si et seulement si X a la propriété de Radon-Nikodym.

En effet, d’après c) l’identification pour unp∈]1,+∞] implique l’identification analogue pour tout q ∈]p,+∞]. Si elle a lieu pour p=∞, alors X a la propriété de Radon-Nikodym [Bl, theorem 2.2] définie dans [DU, def- inition 3 p. 61, theorem 5 p. 63]. Réciproquement, si X a cette propriété, l’identification est vraie pour tout p ∈]1,+∞] [BD, theorem 2, proposition 3].

De même, suivant la définition de [BD], X a la propriété de Radon- Nikodym analytique (cf définition 2.5 ci-dessous) si pour un (tout) p ∈ [1,+∞]

H^p(D, X) = (P⊗IX)H^p(T, X).

(8)

Rappelons qu’un treillis de Banach a la propri´et´e de Radon-Nikodym analytique si et seulement s’il ne contient pasc0isomorphiquement [BD, theorem 1].

Définition 2.1. — Un opérateur borné V : X → Y est (resp. faiblement) localement uniformément convexe, ce qu’on note LU R (resp.

ω−LU R), si, pour toute suite(xn)n0 dansX telle que xn²/2 +x²/2− (xn+x)/2²→ⁿ→∞0,

alors V xn →ⁿ→∞ V x dans Y (resp. faiblement). Un espace X est LU R (resp.ω−LU R) si l’identit´e deX est LU R(resp. ω−LU R).

Par un raisonnement analogue à celui de [DGZ, proposition 1.2, p 42], on peut se limiter aux suites (xn)n0 dans la sphère unité de X telles que limn→∞xn+x= 2, etx= 1.

Rappelons [DGL, corollary 1.3] qu’un treillis de Banach qui ne contient pasc0 isomorphiquement admet une norme ´equivalenteLU R.

Proposition 2.2. — L’espaceh²(D, L¹(T))admet une norme ´equivalen- teLU R.

Démonstration. — Il suffit de plonger isomorphiquement h²(D, L¹(T)) dans un treillisT qui ne contient pasc0isomorphiquement. Par [LT, theorem 1.c.4], il suffit de voir que toute suite croissante bornée en norme dans T converge en norme.

Or h²(D, L¹(T)) est un sous espace de h²(D, M(T)), qui s’identifie par e) au treillisT =L²(T, M(T)),dual du treillis séparableL²(T, C(T)).Il est facile de voir que toute suite croissante bornée en norme dansL²(T, M(T)) converge en norme.

On peut aussi conclure en invoquant le théorème 2.11 ci-dessous : comme M(T) a les propriétés de Radon-Nikodym analytique et de Radon-Nikodym préfaible, h²(D, M(T)) a la propriété de Radon-Nikodym analytique, donc ne peut contenirc0isomorphiquement.

L’espaceL¹(T) n’ayant pas la propriété de Radon-Nikodym, la proposition 2.2 répond négativement au problème de [DZS, p 282]. CommeL¹(T) a la propriété de Radon-Nikodym analytique, nous posons le problème suivant :

Problème 2.3. — Si H^p(D, X), p 1, admet une norme équivalente LU R, X a-t-il la propriété de Radon-Nikodym analytique ?

(9)

Remarque 2.4. — SiX est un treillis de Banach la r´eponse est positive.

En effet, il suffit de montrer que X ne contient pas c0 isomorphiquement. Si au contraire X contient c0, H^p(D, c0) est isomorphe à un sous- espace fermé de H^p(D, X).Comme -^∞ n’admet aucune norme équivalente LU R [DGZ, corollary 7.13],il suffit de montrer queH^p(D, c0) contient -^∞ isomorphiquement.Or l’opérateurU :-^∞→H^p(D, c0),défini par

U((xn)n0)(z) = (zⁿxn)n0, z∈D, est isom´etrique.

Soit V : X → Y un opérateur borné. On note I⊗V : h^p(D, X) → h^p(D, Y) l’opérateur défini par (I⊗V)(f)(z) =V(f(z)), z∈D.

Définition 2.5. — Un opérateur borné V :X → Y est un opérateur de Radon-Nikodym (resp.de Radon-Nikodym analytique) si, pour toute u∈ h²(D, X) (resp.u∈H²(D, X)), (I⊗V)(u) admet presque partout sur T une limite radiale (en norme) dansY.

L’espaceX a la propriété de Radon-Nikodym analytique si l’identité de X vérifie la deuxième propriété ...

Notons que, d’après le rappel f), l’espaceX a la propriété de Radon- Nikodym si et seulement si l’identité deX vérifie la première propriété.

Remarque 2.6. — CommeI⊗V envoie h²(D, X) dans h²(D, Y), V est, d’apr`es le rappel c), un op´erateur de Radon-Nikodym si et seulement si

(I⊗V)h²(D, Y) = (P⊗IY)L²(T, Y).

De mêmeV est un opérateur de Radon-Nikodym analytique dès que (I⊗V)H²(D, Y) = (P⊗IY)H²(T, Y).

En particulier, siT :Z →X est borné,V ◦T est un opérateur de Radon- Nikodym (analytique) dès queV l’est.

Comme dans le rappel f), on obtient une définition équivalente en rempla¸cantp= 2 par 1< p∞ dans le premier cas, par 1p∞ dans le deuxième.

Proposition 2.7. — SoitV :X →Y un opérateur borné. SiV^∗ est un opérateur ω−LU R,alors c’est un opérateur de Radon-Nikodym.

(10)

On retrouve ainsi un résultat de [DF] : si l’espaceX^∗est ω−LU R,il a la propriété de Radon-Nikodym.

Démonstration. — Soitu∈ h²(D, Y^∗) ; par la remarque 2.6 il suffit de montrer que (I⊗V^∗)u= (P⊗IX^∗)(I⊗V^∗)f oùf ∈L²(T, Y^∗).

Soit une suite (ρn)n0dans ]0,1[ telle queρn_n→+∞→ 1.On note un(z) =uρn(z) =u(ρnz) =ur∗pρn(e^iθ), z=re^iθ∈D, n1.

Il est clair que limn

un+u

2

_h₂_(D,Y_∗₎1

2uh²(D,Y^∗)+1 2sup

n unh²(D,Y^∗)=uh²(D,Y^∗). D’autre part, commeu∈ C(D, Y^∗),un−uY^∗ →ⁿ→∞0 uniform´ement sur les cercles|z|=r. Le lemme de Fatou implique alors

lim_n(un+u)/2²h²(D,Y^∗) = lim_n sup

0<r<1

T

un(re^it) +u(re^it)

/2²_Y_∗dt

sup

0<r<1lim_n

T

un(re^it) +u(re^it)

/2²_Y_∗dt

sup

0<r<1

Tlim_n u_n(re^it) +u(re^it) /2²

Y^∗dt

= u²h²(D,Y^∗). Cela entraine

(un+u)/2²h²(D,Y^∗)_n_→→₊_∞u²h²(D,Y^∗), ou encore, commeuh²(D,Y^∗)= limnunh²(D,Y^∗),

1

2un²h²(D,Y^∗)+1

2u²h²(D,Y^∗)− un+u

2

h²(D,Y^∗)

n→+∞→ 0. (2.6)

Supposons maintenantY séparable. Par le rappel e) on au= (P⊗IY^∗)f oùf ∈ L²(T, Y^∗). Alorsun(z) = ((P⊗IY^∗)fn)(z) où fn(t) =f ∗pρn(t) = uρn(t).Par 2.6 et le rappel d)

T(1

2fn(t)²Y^∗ +1

2f(t)²Y^∗−

fn(t) +f(t) 2

2

Y^∗

)dt_n →

→+∞0.

(11)

L’expression `a int´egrer est positive car dans tout Banachx+yx+ y √

2(x²+y²)¹² ; il existe donc une sous-suite (fnk)k0 telle que, pour presque toutt∈T,

1

2fnk(t)²Y^∗+1

2f(t)²Y^∗ − (fnk(t) +f(t))/2²Y^∗_k →

→+∞0.

CommeV^∗ estω−LU R,pour presque toutt∈T, V^∗(fnk(t))→V^∗(f(t)) faiblement dansX^∗. Les fonctions (I⊗V^∗)fnk= (I⊗V^∗)uρ_nk ∈ C(T, X^∗) prennent leurs valeurs dans un sous espace s´eparableE⊂X^∗.Pour presque tout t ∈ T, V^∗(f(t)) est aussi dans E. Comme (I⊗V^∗)f ∈ L²(T, X^∗), (I⊗V^∗)f est fortement mesurable `a valeurs dansX^∗[DU, Corollary 4, ch.

II] et ﬁnalement (I⊗V^∗)f est dansL²(T, X^∗). Or

(I⊗V^∗)u= (I⊗V^∗)(P⊗IY^∗)f = (P⊗IX^∗)(I⊗V^∗)f.

Dans le cas général, comme u ∈ C(D, Y^∗), u(D) est séparable, ainsi que V^∗(u(D))⊂X^∗.Il existe un sous-espace fermé séparableX1⊂X, normant pourV^∗(u(D)) ; doncV^∗(u(D)) se plonge isométriquement dansX₁^∗. Soient Y1la fermeture de V(X1) dansY et V1la restriction deV :X1→Y1. V1∗

est encore un op´erateurω−LU R, etu∈h²(D, Y₁^∗) isom´etriquement.

Rappelons qu’un Banach Z est W.C.G si et seulement s’il existe un espace réflexif R et un opérateur borné d’image dense T : R →Z [DGZ, corollary 8.10]. Un espace dual X^∗ qui est W CGpossède la propriété de Radon-Nikodym [DGZ, corollary 3.7]. La proposition suivante généralise cet

´enonc´e.

Proposition 2.8. — Soit V : X → Y un op´erateur born´e. Supposons que la fermeture (en norme) de V^∗(Y^∗) dans X^∗ est un espace W.C.G.

AlorsV^∗ est un op´erateur de Radon-Nikodym.

D´emonstration. — Supposons d’abordX, Y s´eparables. Soitu∈h²(D, Y^∗).

Par le rappel e) il existef ∈ L²(T, Y^∗) telle queu= (P⊗IY^∗)f,et, comme dans la preuve de la proposition 2.7, il suffit de voir que ϕ = (I⊗V^∗)f est dans L²(T, X^∗). Par définition ϕ ∈ L²(T, X^∗) prend ses valeurs dans F =V^∗(Y^∗)^.^X∗.

Supposons montré que, pour toutξ∈F^∗,la fonctionϕ(.), ξest mesurable. Comme F est W.C.G, le résultat de D.R.Lewis [DU, p 88] entraine l’existence d’une fonctionϕmesurable à valeurs dansF telle que, pour tout ξ ∈F^∗, en particulier tout x∈X, ϕ(.), ξ= ϕ(.), ξp.s. Comme X est séparable,ϕ=ϕp.s. dans L²(T, X^∗). Donc ϕest bien dansL²(T, X^∗).

(12)

Pour voir queϕest faiblement mesurable, posons

L={ξ∈F^∗; l’applicationt→(ϕ(t), ξ) est mesurable} ⊃X.

CommeX est préfaiblement dense dansX^∗∗, le sous espaceLest préfaible- ment dense dansF^∗.Montrons que L est préfaiblement fermé dansF^∗, ce qui impliqueraL=F^∗.D’après le théorème de Banach-Dieudonné, il suffit de montrer que la boule unité de L est préfaiblement fermé dans celle de F^∗.Soient une suite généralisée (x^∗_α)α∈I dans la boule unité deLetx^∗dans la boule unité deF^∗,tels quex^∗_α→x^∗préfaiblement dansF^∗. CommeF est W.C.G, il existe un espace réflexif Ret un opérateurT :R→F borné d’ image dense. DoncT^∗(x^∗_α)→T^∗(x^∗) faiblement dans R^∗. Il existe alors une suite (s^∗_n)n0 dans l’enveloppe convexe de (x^∗_α)_α∈I,donc dans la boule unité de L,telle que T^∗(s^∗_n)→T^∗(x^∗) fortement dans R^∗. On conclut que s^∗_n →x^∗ pour σ(F^∗, T(R)), donc préfaiblement dans F^∗ .. Comme L est préfaiblement séquentiellement fermé dansF^∗, on a bienx^∗∈L.

SiX, Y ne sont pas séparables, on définitX1, Y1, V1comme à la fin de la preuve précédente et on noteρ:X^∗→X₁^∗la restriction àX1, π:Y^∗→Y₁^∗ la restriction àY1.Il est immédiat par dualité queV1∗◦π=ρ◦V^∗.Vérifions que F1 = (V1)^∗(Y₁^∗) ^.^X∗¹ est encore W.C.G. Par hypothèse, il existe un espace réflexifRet un opérateurT :R→F =V^∗(Y^∗) ^. ^X∗ borné d’ image dense. Alors ρ◦T est borné R → X₁^∗. Vérifions que son image est dense dansF1 : par hypothèseρ(F) est dense dansρ◦T(R) ^.^X∗¹ etρ◦V^∗(Y^∗) = V1∗◦π(Y^∗) est dense dansρ(F),doncF1=ρ◦T(R) ^.. ^X∗¹.

Introduisons la d´eﬁnition suivante :

Définition 2.9. — L’espace dualX^∗ a la proprieté de Radon-Nikodym préfaible s’il existe un espace de Banach E et un opérateur borné d’image denseV :E→X, tel queV^∗ soit un opérateur de Radon-Nikodym. Autre- ment dit, par la remarque 2.6, pour toute u ∈ h^p(D, X^∗), 1 < p ∞, il existe f ∈L^p(T, E^∗)telle que (I⊗V^∗)u= (P⊗IE^∗)f.

Si X est un espace W CG, en particulier si X est séparable, X^∗ a la propriété de Radon-Nikodym préfaible : en effet on peut alors supposerE réflexif, doncE^∗ W CG,et appliquer la proposition 2.8.

Lemme 2.10. — SoitX un espace de Banach tel que X^∗ a la propriété de Radon-Nikodym préfaible. Alors, pour1< p∞,on a isométriquement

h^p(D, X^∗) = (P⊗IX^∗)L^p(T, X^∗).

(13)

D´emonstration. — Par le rappel d)P⊗IX^∗ est une isom´etrie :L^p(T, X^∗)

→ h^p(D, X^∗), 1 p ∞. Il s’agit donc de voir que, pour toute u∈h^p(D, X^∗),il existeϕ∈ L^p(T, X^∗) telle queu= (P⊗IX^∗)ϕ.

Traitons d’abord le cas p=∞. Soient E et V :E →X donnés par la propriété de Radon-Nikodym préfaible deX^∗.

Soitu∈h^∞(D, X^∗).Comme V^∗ est un op´erateur de Radon-Nikodym, il existe un ensemble Ω ⊂T de mesure 1 sur lequel (I⊗V^∗)u admet des limites radiales en norme deE^∗,not´eesf(t) et (I⊗V^∗)u= (P⊗IE^∗)f. La fonctionf est fortement mesurable : Ω→E^∗et, pour tout y∈E,

rlim→1⁻

u(re^it), V y

=f(t), y=hV y(t)uh^∞(D^,X^∗⁾V yX, t∈Ω.

(2.7) Soitx ∈ X, xX = 1 ; comme V(E) est dense dans X, il existe une suite (yn)n1 dans E telle que V yn_n→∞→ x. D’après (2.7) la suite de fonctions mesurables (hV yn)n1est de Cauchy dans l^∞(Ω),donc converge uni- formément sur Ω vers une limite notée hx, mesurable sur Ω, et vérifiant hxl^∞(Ω) uh^∞(D^,X^∗⁾xX . Par définition, pour t ∈ Ω, x → hx(t) est dans X^∗. On obtient ainsi une fonction ϕ : Ω → X^∗, préfaiblement mesurable sur Ω, telle que ϕ(t), x = hx(t), t ∈ Ω, x ∈ X, donc, sur Ω, ϕ(t)X^∗ uh^∞(D^,X^∗⁾. De plusϕ(t), V y=f(t), y, t∈Ω, y∈E.

D’après le théorème d’Egoroff vectoriel [DU, p 41], la fonctionf est en fait, pour tout ε > 0, continue sur un Ωε ⊂ Ω, de mesure 1−ε. En particulier les fonctionshV y, y∈E,sont continues sur Ωε.

Si V yn_n→∞→ x, comme les hV yn sont continues sur Ωε, hx l’est aussi, c’est-`a-direϕest pr´efaiblement continue : Ωε→X^∗.La fonctionϕ(.)X^∗ = sup_x

X=1|ϕ(.), x|est donc semi-continue inf´erieurement sur Ωε, et mesurable sur la r´eunion croissante des Ωε qui est de mesure 1. Finalement ϕ∈ L^∞(T, X^∗) etf = (I⊗V^∗)ϕ∈L^∞(T, E^∗)⊂L¹(T, E)^∗.

Alors, poury∈E,etr <1,

ur(.), V y=f∗pr(.), y=(I⊗V^∗)ϕ∗pr(.), y=ϕ∗pr, V y, d’où ur =ϕ∗pr dans L¹(T, X)^∗. On a donc bien u = (P ⊗IX^∗)ϕ, d’où l’isométrie

h^∞(D, X^∗) = (P⊗IX^∗)L^∞(T, X^∗). (2.8) Or l’espace h^∞(D, X^∗) est dense en norme dans h^p(D, X^∗), 1 < p < ∞, d’apr`es [D1, proposition 1] et l’identiﬁcation du lemme 3.3 ci-dessous. Soient u∈h^p(D, X^∗) et une suite (un)n1dansh^∞(D, X^∗) telle queu−unh^p(D^,X^∗⁾

(14)

n→→∞0. D’après (2.8) un = (P ⊗IX^∗)ψn où ψn ∈ L^∞(T, X^∗). Par le rappel d) un−umh^p(D^,X^∗⁾ = ψn−ψmL^p(T^,X^∗⁾. Donc (ψn)n1 converge dans L^p(T, X^∗) vers une fonction ψ et u = (P ⊗IX^∗)ψ, ce qui achève la

preuve.

Théorème 2.11. — Soient V :X →Y un opérateur borné et 1< p <

∞. Supposons que V^∗ : Y^∗ → X^∗ est un op´erateur de Radon-Nikodym analytique. Alors

a) l’op´erateur I⊗V^∗ : L^p(T, Y^∗)→ L^p(T, X^∗) est aussi un op´erateur de Radon-Nikodym analytique.

b) Si de plusY^∗ a la propriété de Radon-Nikodym préfaible, l’opérateur I⊗V^∗ : h^p(D, Y^∗) → h^p(D, X^∗),1 < p < ∞, est aussi un opérateur de Radon-Nikodym analytique.

En particulier, si Y^∗ a la propriété de Radon-Nikodym analytique, L^p(T, Y^∗)la conserve ; h^p(D, Y^∗) la conserve si de plusY^∗ a la propriété de Radon-Nikodym préfaible.

On sait que si un Banach X a la propri´et´e de Radon-Nikodym analytique,L^p(T, X),1p <∞,la conserve [Do1] [RaS].

Démonstration. — a) Soit ϕ ∈ H^p(D,L^p(T, Y^∗)). Il s’agit de montrer que (IH^p⊗I⊗V^∗)ϕadmet pour presque toutθ∈Tune limite radiale α oùα∈H^p(T,L^p(T, Y^∗)).L’argument est similaire à celui du rappel c), en un peu plus compliqué.

Par les th´eor`emes de Fubini, Fatou et la croissance des moyennes des fonctions sous harmoniques,

ϕH^p(D,L^p(T^,Y^∗⁾⁾=sup0<r<1

T[

T

ϕ(re^iθ, t)^p_Y_∗dt]dθ

= sup0<r<1

T[

T

ϕ(re^iθ, t)^p_Y_∗dθ]dt

Tlim inf

r [

T

ϕ(re^iθ, t)^p_Y_∗dθ]dt

=

Tsup

r [

T

ϕ(re^iθ, t)^p_Y_∗dθ]dt. (2.9)

Pour presque toutt,sup_r[

T

ϕ(re^iθ, t)^p

Y^∗dθest donc ﬁni et ainsiϕ(., t) est dansH^p(D, Y^∗).

(15)

Par l’hypoth`ese surV^∗, pour un telt, pour presque toutθ∈T, il existe α(θ, t) tel queα(., t)∈H^p(dθ, X^∗) et

V^∗ϕ(re^iθ, t)−α(θ, t)

X^∗ →r→10. (2.10)

La fonction α(., .)X^∗ est donc mesurable car limite p.s. sur T² de V^∗ϕ(r., .)X^∗. D’autre part, (2.4) appliqu´e `a V^∗ϕ(., t) ∈ H^p(D, X^∗) et (2.9) impliquent

sup

r

V^∗ϕ(re^iθ, t)^p_X_∗dθdt =

[

sup

r

V^∗ϕ(re^iθ, t)^p_X_∗dθ]dt

C_p^p

sup

r [ V^∗ϕ(re^iθ, t)^p_X_∗dθ]dt C_p^pV^∗^pϕ^pH^p(D^,L^p⁽T^,Y^∗⁾⁾.

Alors, par (2.10), la fonction α(., .)X^∗ sup_rV^∗ϕ(r., .)X^∗ est dans L^p(T²) ; par (2.10) et le théorème de convergence dominée

V^∗ϕ(re^iθ, t)−α(θ, t)^p

X^∗dtdθ

=

[ V^∗ϕ(re^iθ, t)−α(θ, t)^p

X^∗dt]dθ_r→

→10. (2.11) Donc il existe une sous suitern →1 telle que, pour presque toutθ,

V^∗ϕ(rne^iθ, t)−α(θ, t)^p_X_∗dt→_n 0.

Comme (V^∗ϕ)(r., .)∈H^p(dθ,L^p(T, X^∗)),on en d´eduit que la fonctionθ→ α(θ, .) est fortement mesurable : (T, dθ)→L^p(T, X^∗)).Alors (2.11) implique queαest dansH^p(dθ,L^p(T, X^∗)),et c’est bien la limite radiale cherch´ee.

b) SiY^∗ a la propriété de de Radon-Nikodym préfaible, le lemme 2.10 permet de remplacerL^p(T, Y^∗) parh^p(D, Y^∗) dans le résultat de a).

3. La propriété de Kadec-Klee-β−ω dans V B^p(G, X) Dans [DL], la topologie surC(D, X) de la convergence en norme dansX, uniformément sur tout compact deD, est notée β . La remarque suivante est mentionnée sans preuve (et non exploitée) dans [DZS, p. 276].

Lemme 3.1. — Sur les parties born´ees de h^p(D, X), 1 < p ∞, la topologie β coincide avec la topologie de la convergence simple.

(16)

Démonstration. — a) Touteu∈h^p(D, X) peut être vue dansh^p(D, Y^∗), où Y ⊂X^∗ est un sous espace fermé séparable, normant pour l’ensemble séparable u(D) ⊂ X. Par le rappel e) il existe f ∈ L^p(T, Y^∗), de même norme queu,telle que u(z) =

Tf(t)Pz(t)dt, d’o`u

u(z)−u(z)X uh^p(D^,X)Pz−Pz_C(T⁾. (3.1) b) Soit (un)n0une suite de fonctionsD→X,uniformément bornée par C en normeh^p(D, X),vérifiantun(z)−u(z)X→0, z∈D.

Vérifions queun(z)−u(z)X→ⁿ→∞0 uniformément sur tout compact K⊂D.

L’applicationz→Pz,D→C(T) étant continue, l’ image du compactK par cette application est compacte dansC(T).Pour toutε >0,cette image est recouverte par des boules Bi = {Pz;z ∈ K, Pz−PziC(T) < ε}, où zi∈K,etim.D’autre part il existen0∈Ntel que, pour toutnn0,et toutimun(zi)−u(zi)< ε.Soitz∈Ktel quePz∈Bi0.Pournn0, d’après (3.1),

un(z)−u(z)X

un(zi0)−u(zi0)X+un(z)−un(zi0)X+u(zi0)−u(z)X

ε(1 + 2C).

Proposition 3.2. — Soit X un espace de Banach et 1 < p < ∞. Si h^p(D, X)est un espaceLU R,alors il a la propriétéKadec−Klee−β−.. Démonstration. — Il s’agit de voir que, si une suite (un)n0 converge simplement vers u, avecunh^p(D^,X) = uh^p(D^,X) = 1 pour toutn, alors un−uh^p(D^,X) →ⁿ→∞ 0. Par définition de la propriété LU R il suffit de montrer que limn→+∞un+uh^p(D,X)= 2. Commeun+uh^p(D,X)2, il suffit de montrer que lim_n_→₊_∞un+uh^p(D,X)2.

Par le lemme 3.1, un → uuniform´ement sur Cr = {z ∈ D, |z| r}. Pour r∈]0,1[,on a donc

lim_n_→₊_∞un+u^ph^p(D,X) lim

n

T

u_n(re^it) +u(re^it)^pdt

= 2^p

T

u(re^it)^pdt, ce qui implique

lim_n_→₊_∞un+u^ph^p(D,X)2^p sup

0<r<1

T

u(re^it)^pdt= 2^p.

(17)

Rappelons que

a)h^p(D, X) est un espace LU Rsi et seulement siX a les propriétés de Radon-Nikodym et LUR [DZS, theorem 3.8], c’est-à-dire si et seulement si h^p(D, X) = (P⊗I)L^p(T, X) et X est LU R.

b)h^p(D, X) a la propriétéKadec−Klee−β− .si et seulement siX a la propriété de Radon-Nikodym et, pour tout pointxde la sphère unité de X et tout ε, x n’est pas adhérent en norme à Co(BX\B(x, ε)) [DZS, theorem 3.7], c’est-à-dire si et seulement siX a cette dernière propriété et h^p(D, X) = (P⊗I)L^p(T, X).

SoientGun groupe ab´elien compact m´etrisable,X un espace de Banach,

1

p +¹_q = 1.L^p+(G) désigne le cône des fonctions de L^p(G) à valeurs dans R⁺.

Alors [Din]V B^p(G, X), 1 < p +∞, désigne l’espace des opérateurs T :L^q(G)→X, tels qu’il existe g^T ∈L^p+(G),vérifiant

T fX

G|f(t)|g^T(−t)dt, f∈L^q(G), (3.2) avec la norme

TV B^p(G,X)= infg^T

L^p

.

V B¹(G, X) est d´eﬁni de fa¸con analogue en rempla¸cantL^q(G) parC(G).

V B^∞(G, X) coincide avec l’espace des opérateurs bornés : L¹(G)→X et V B¹(G, X) avec l’espace des opérateurs 1-sommant :C(G)→X.

L^p(G, X) s’identifie isométriquement à un sous espace fermé deV B^p(G, X) [Bl1, corollary 4].

V B^p(G, X^∗) est le dual deL^q(G, X), 1< p∞ [Din], V B¹(G, X^∗) est le dual deC(G, X).

Le lemme suivant am´eliore [Bl, theorem 2.1] (qui obtient seulement un isomorphisme).

Lemme 3.3. — V B^p(T, X)est isométriquement isomorphe àh^p(D, X), 1 < p ∞, par l’application : T → u^T où la fonction u^T : D → X est définie paru^T(z) =T(Pz), z∈D.

(18)

Démonstration. — SoitT ∈V B^p(T, X) associé àg^T ∈L^p+(G) v érifiant (3.2).La fonctionu^T vérifie, pourz=reîθ∈D,

u^T(z)

X

TPz(t)g(t)dt=g∗pr(θ).

De plusu(z) =

n∈Z

r^|n|e^inθT(e^−in.) etT(e^−in.)_Xg^T

∞g^T_Lp(G). Doncu^T est harmonique etu^T_h_p_(D,X)TV B^p(T,X),1p∞.

Réciproquement, d’après (2.2) et l’identification entreh^p(D) et L^p(T), touteu∈h^p(D, X),1< p∞,vérifie, pourx^∗∈X^∗,

u(z), x^∗=

T lim

r→⁻1

u(re^it), x^∗

Pz(t)dt, z∈D. Posons

Tu( n

i=0

αiPzi) = n

i=0

αiu(zi), αi∈C, zi∈D,

puis g(t) = lim_ru(re^it)_X si 1 < p < ∞ et g(t) = sup_ru(re^it)_X si p=∞. Directement sip=∞, par le lemme de Fatou sinon,

gL^p(T⁾sup

r urL^p(T⁾=uh^p(D^,X),1< p∞. Alors, si ¹_p+¹_q = 1,

Tu(

n

i=0

αiPzi) X

= sup

x^∗ =1

T

n

i=0

αiPzi(t)limr→⁻1

u(re^it), x^∗ dt

T

αiPzi(t)g(t)dt.

Comme l’ensemble{Pz;z∈D} est total dansL^q(T),on a TuV B^p(G,X) uh^p(D^,X),ce qui termine la preuve.

Pour Λ⊂Γ (le groupe dual deG) d´esignons par L^p_Λ(G, X) =

f ∈L^p(G, X);

G

λ(t)f(t)dt= 0,∀λ /∈Λ

,

et parV B^p_Λ(G, X) l’espace des ´el´ementsT ∈V B^p(G, X), tels queT(λ) = 0, pour toutλ /∈Λ.

Rappelons qu’il existe une suite (Kn)n0 de norme 1 dans L¹(G), telle que, pour toutef ∈C(G),la suite (f∗Kn)n0converge versf dansC(G),

(19)

et pour toutef ∈L^p(G),on a la convergence dansL^p(G), p∈[1,+∞[.On peut choisir lesKn sym´etriques.

Pour T ∈ V B^p(G, X), 1 p ∞, et g ∈ L¹(G), on d´eﬁnit T ∗g ∈ V B^p(G, X) par (T ∗g)(f) = T(f ∗g), pour f ∈ L^q(G) (resp. C(G) si p= 1).

On aura besoin du lemme g´en´eral suivant, qui est certainement bien connu :

Lemme 3.4. — Soient X un espace de Banach et E un sous espace ferm´e et pr´efaiblement dense de X^∗. Alors il existe une constante C telle que

xXC sup

e _E=1|x, e|=CxE^∗ CxX.

Démonstration. — L’isométrie xX = sup _x∗ X∗=1|x, x^∗| implique immédiatement l’inégalité de droite. SoitV :X →E^∗ la contraction cano- nique. Montrons que V^∗ : E^∗∗ → X^∗ est surjective. Par hypothèse, tout x^∗∈X^∗ est limite préfaible d’une suite généralisée (eα)_α∈AdansE.Par le théorème de Banach-Steinhaus, cette famille est bornée dansX^∗ donc dans E. Par le theorème de Banach-Alaoglu, elle admet une valeur d’adhérence préfaiblee^∗∗dansE^∗∗,qui coincide nécessairement avecx^∗surV(X),donc x^∗=V^∗(e^∗∗). Alors, par le théorème de l’application ouverte, il existe une constanteC >0 telle que tout x^∗ dans la boule unité de X^∗ provient d’un e^∗∗ dans la boule de rayonC deE^∗∗. D’où

xX= sup

x^∗ _X∗<1|x, x^∗| sup

e^∗∗ _E∗∗<C|x, V^∗(e^∗∗)|CV(x)E^∗. Lemme 3.5. — Soient Λ2⊂Λ1⊂Γ.On note

Yp = L^p_Λ₁(G, X)/L^p_Λ₂(G, X), Wp = V B_Λ^p₁(G, X)/V B^p_Λ₂(G, X),

Zq = L^q_Λ^c

2(G, X^∗)/L^q_Λ^c

1(G, X^∗), ces espaces ´etant munis des normes quotients. Alors

a) [D1] Yp s’identifie isométriquement à un sous espace de Wp, 1 p

∞.

b)Wp,1< p∞, est isomorphe `a un sous espace de Z_q^∗=V B_Λ^p₁(G, X^∗∗)/V B_Λ^p₂(G, X^∗∗), 1

p+1 q = 1.