Chapitre 8 : Successions d’épreuves indépen- dantes et schéma de Bernoulli
I. — Conditionnement et indépendance (rappels)
Dans tout ce paragraphe, tous les évènements sont liés à une même expérience aléatoire modélisée par une probabilité P sur son univers Ω.
1) Définition
Définition 1
SoitAun évènement de probabilité non nulle et soitB un évènement quelconque. On définit la probabilité de B sachant A, notéePA(B), par
PA(B) = P(A∩B) P(A) .
Exemple 2. On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité que le chiffre obtenu soit 6 sachant que ce chiffre est pair ?
Propriété 3
Soit A etB deux évènements.
1. Si P(A)6= 0 alors P(A∩B) = P(A)×PA(B).
2. Si P(B)6= 0 alors P(A∩B) =P(B)×PB(A).
3. Si P(A)6= 0 et P(B)6= 0 alors P(A)×PA(B) = P(B)×PB(A).
Exemple 4. On considère une urne qui contient des boules numérotées. On sait que 34 des boules sont rouges et que 13 des boules rouges portent un numéro pair. On tire une boule au hasard dans l’urne. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule rouge portant un numéro pair ?
Propriété 5
Soit A un évènement de probabilité non nulle. Alors, la fonctionPA qui à tout évènement B de Ω associe la probabilité conditionnellePA(B) est une loi de probabilité sur Ω.
En particulier, pour tout évènement B, 06PA(B)61 et PA(B) = 1−PA(B).
Exemple 6. On reprend la situation de l’exemple 4. Quelle est la probabilité d’obtenir une boule portant un numéro impair sachant que cette boule est rouge ?
2) Arbres pondérés
Exemple 7. On considère une urne qui contient exactement 5 boules : 3 boules rouges et deux boules noires. On effectue successivement et sans remise deux tirages d’une boule dans l’urne.
Considérons les évènements R1 : « la première boule tirée est rouge » et R2 : « la seconde boule tirée est rouge ».
On peut représenter cette expérience à l’aide d’un arbre appelé arbre pondéré ou arbre de probabilités.
Propriété 8. — (Règles de calculs sur les arbres pondérés)
Règle 1. (Loi des nœuds) La somme des probabilités des branches partant d’un même nœud est égale à 1.
Règle 2. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui composent ce chemin.
3) Formule des probabilités totales
Définition 9
On dit que deux évènements A et B sont incompatibles (ou disjoints) si A∩B =∅.
Définition 10
Soit un entier n>2. On dit que n évènements A1, A2, ..., An sont mutuellement incompa- tibles (ou deux à deux incompatibles) si, pour tous entiers i et j entre 1 et n tels quei6= j, Ai etAj sont incompatibles.
Exemple 11. On lance un dé cubique. Les évènements A1 : « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 2 », A2 : « Obtenir un multiple de 3 » et A3 : « obtenir 4 ou 5 » sont mutuellement incompatibles.
En revanche, les évènements B1 : « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 2 », B2 : « Obtenir un multiple de 3 » et B3 : « obtenir un chiffre supérieur ou égal à 4 » sont pas mutuellement incompatibles car 6∈B2∩B3.
Propriété 12
Soit un entier n >2. Si A1, A2, ..., An sont des évènements mutuellement incompatibles alors
P(A1∪A2∪ · · · ∪An) =P(A1) +P(A2) +· · ·+P(An).
Définition 13
Soit un entier n>2. On dit que des évènements A1, A2, ...,An forment une partition de l’univers (ou un système complet d’évènements) si
1. les évènements A1, A2, ..., An sont mutuellement incompatibles.
2. La réunion des évènements A1, A2, ..., An est égale à Ω.
Exemple 14.
1. On lance un pièce de monnaie. Les évènements A : « Obtenir pile » et B : « Obtenir face » forment une partition de l’univers.
2. On lance un dé cubique. Les évènementsA : « Obtenir un chiffre pair » et B : « Obtenir un chiffre impair » forment une partition de l’univers.
3. De manière générale, si A est un évènement alors A et A forment une partition de l’univers.
4. On choisit un nombre entier au hasard entre 1 et 9999. On note, pour tout entier i ∈ {1,2,3,4}, Ai l’évènement « le nombre choisi possède i chiffres dans son écriture décimale ». Alors, les évènementsA1,A2, A3 et A4 forment une partition de l’univers.
Théorème 15
Soit un entier n >2. Soit A1,A2, ...,An des évènements formant une partition de l’univers.
Alors, pour tout évènement B,
P(B) =P(B∩A1) +P(B ∩A2) +...+P(B∩An) Si, de plus, P(Ai)6= 0 pour tout i∈ {1,2, ..., n} alors
P(B) = P(A1)PA1(B) +P(A2)PA2(B) +...+P(An)PAn(B).
Exercice 16. On dispose de 2 urnes. La première contient 3 boules rouges et 2 boules noires et la seconde 4 boules rouges et 7 boules noires. On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne au hasard.
1. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
2. On a tiré une boule rouge. Quelle est la probabilité qu’elle provienne de la première urne ?
Propriété 17. — Règle de calcul sur les arbres pondérés (suite)
Règle 3. Si plusieurs chemins d’un arbre mènent au même évènement E alors la probabilité de E est la somme des probabilités de tous les chemins qui mènent à E.
4) Indépendance d’évènements
Définition 18
On dit que deux évènements A et B sont indépendants si P(A∩B) =P(A)×P(B).
Exemple 19. On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On considère les évènements A : « On obtient un chiffre pair »,B : « On obtient un chiffre supérieur ou égal à 4 » et C : « On obtient un chiffre inférieur ou égal à 4 ».
Propriété 20
Soit A et B deux évènements tels que P(A) 6= 0. Alors, A et B sont indépendants si et seulement si P(B) =PA(B).
Théorème 21
Soit A etB deux évènements indépendants. Alors, A et B sont également indépendants.
II. — Modèle de successions d’épreuves indépendantes
Définition 22
On considère une succession de n expériences aléatoires modélisées par des probabilités P1, P2, ..., Pn sur des univers respectifs Ω1, Ω2, ..., Ωn.
On dit que ces expériences sont indépendantes si, pour chaque expérience, la probabilité d’une issue ne dépend pas des résultats obtenus lors des expériences précédentes.
Exemple 23.
1. On lance une pièce de monnaie équilibrée puis on lance un dé cubique équilibré. Cela constitue la succession de deux expériences aléatoires indépendantes puisque la probabilité de l’issue obtenue lors du lancer du dé ne dépend pas du résultat obtenu avec le pièce.
2. On lance 10 fois de suite la même pièce équilibrée. Cela constitue la succession de 10 expériences aléatoires indépendantes car le résultat obtenu lors d’un lancer ne dépend pas des résultats précédents. Ici, les 10 expériences sont identiques : on parle dans ce cas d’une répétition d’expériences identiques et indépendantes.
3. Tirer successivement et avec remise 5 boules dans une urne contenant 3 boules rouges et 7 boules blanches constitue une répétition d’expériences identiques et indépendantes.
4. En revanche, les expériences de l’exemple 7 ne sont pas indépendantes car le choix de l’urne influe sur les probabilités lors du tirage de la boule. De même, des tirages successifs sans remise dans une urne constituent une succession d’expériences qui ne sont pas indépendantes.
Définition 24
On considère une succession de n expériences aléatoires modélisées par des probabilités P1, P2, ..., Pn sur des univers respectifs Ω1, Ω2, ..., Ωn. On suppose que ces expériences sont indépentantes.
On peut considérer cette succession d’expériences comme une expérience aléatoire sur l’univers Ω = Ω1 ×Ω2 × · · · ×Ωn. Ainsi, une issue de cette expérience est un n-uplet (x1, x2, ..., xn) avec xi ∈Ωi pour tout entier ientre 1 et n.
On convient de plus de modéliser cette expérience par la probabilité P définie sur Ω par
∀(x1, x2, ..., xn)∈Ω P((x1, x2, ..., xn)) =P1(x1)P2(x2)· · ·Pn(xn).
Remarque 25.
1. Autrement dit, on modélise la succession d’épreuves indépendantes par une probabilité égale au produit des probabilités sur chaque expérience.
2. On peut montrer qu’on définit bien ainsi une probabilité sur Ω.
Exemple 26.
1. On lance une pièce de monnaie équilibrée puis on lance un dé cubique équilibré. Ici, en notantP pour « pile » etF pour « face », on a Ω1 = {P, F}et Ω2 ={1,2,3,4,5,6}donc Ω ={(P,1),(P,2),(P,3),(P,4),(P,5),(P,6),(F,1),(F,2),(F,3),(F,4),(F,5),(F,6)}.
De plus, P1 est l’équibrobabilité sur Ω1 et P2 est l’équibrobabilité sur Ω2 donc, par exemple,
P((F,5)) = P1(F)P2(5) = 1 2× 1
6 = 1 12. On peut remarquer que P est en fait l’équiprobabilité sur Ω.
2. On lance 10 fois de suite la même pièce équilibrée. Ici, pour touti∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, Ωi ={P, F} donc Ω = {P, F}10 et Pi est l’équibrobabilité sur {P, F} donc, pour tout (x1, x2, ..., x10)∈Ω,
P(x1, x2, ..., x10) =
1 2
10
= 1 210. Là encore, P est l’équiprobabilité sur Ω.
3. On tire successivement et avec remise 5 boules dans une urne contenant 3 boules rouges et 7 boules blanches. Ici, en notantR pour « rouge » etB pour « blanche », on a, pour touti∈ {1,2,3,4,5}, Ωi ={R, B}donc Ω ={R, B}5 et Pi est définie par Pi(R) = 3
10 et Pi(B) = 7
10. Ainsi, par exemple,
P((B, R, R, B, R)) =P1(B)P2(R)P3(R)P4(B)P5(R)
= 7 10× 3
10× 3 10× 7
10× 3 10
= 72×33 105
= 1323 10000. Remarque 27.
1. Si chaque probabilité Pi est l’équiprobabilité sur Ωi alors P est l’équiprobabilité sur Ω.
2. On peut représenter une succession d’expériences indépendantes par un arbre pondéré.
Les règles de calcul sont les mêmes que pour les arbres du paragraphe I.
III. — Variables aléatoires (rappels)
1) Un exemple pour commencer
Exemple 28. — On considère le jeu suivant. On lance un dé équilibré et on fixe la règle suivante : si on obtient 1, 2 ou 3, on perd 1 euro, si on obtient 4, on ne gagne rien, si on obtient 5, on gagne 1 euro et si on obtient 6, on gagne 2 euros.
Ainsi, en fixant la règle, on donne un procédé qui permet d’associer, à chaque évènement élémentaire de l’expérience, un nombre (qui est, dans cet exemple, la somme d’argent gagnée ou perdue).
Il y a ici deux ensembles à bien distinguer : l’univers de l’expérience aléatoire Ω = {1,2,3,4,5,6}
et l’ensemble des sommes d’argent associées E ={−1,0,1,2}. D’un point de vue mathématique, fixer la règle ci-dessus revient à définir une fonction de Ω dansE : à chaque élément de Ω, on associe un et un seul nombre appartenant à E.
2) Définition et notations
Définition 29
On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble Ω. Une variable aléatoire (réelle) sur Ω est une fonction de Ω dans R.
Notation 30. L’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire X sur un univers Ω se note X(Ω).
Exemple 31. — Dans l’exemple 28, la variable aléatoire est définie sur l’univers Ω ={1,2,3,4,5,6}
par X(1) =X(2) =X(3) = −1, X(4) = 0,X(5) = 1 et X(6) = 2. L’ensemble des valeurs prises par X est doncX(Ω) ={−1 ; 0 ; 1 ; 2}.
Définition 32
On considère une variable aléatoire X définie sur un univers Ω. Soit a un réel quelconque.
On définit
1. l’évènement {X = a}: c’est l’ensemble des éléments t de Ω tels que X(t) = a; autrement dit, c’est l’ensemble de toutes les issues de l’expérience pour lesquelles la variable aléatoire X vauta.
2. l’évènement {X 6 a}: c’est l’ensemble des éléments t de Ω tels que X(t) 6 a; autrement dit, c’est l’ensemble de toutes les issues de l’expérience pour lesquelles la variable aléatoire X prend une valeur inférieure ou égale àa.
On définit de façon analogue les évènements {X < a},{X >a}et {X > a}.
Exemple 33. En reprenant la variable aléatoire X de l’exemple 31, déterminer {X = −1}, {X = 2}, {X = 5}, {X >0} et {X 62}.
Notation 34. Si l’expérience aléatoire étudiée est modélisée par une probabilité P sur Ω alors, pour tout réel x, on note P(X = a) la probabilité de l’évènement {X = a} (au lieu de P({X =a}). On note de mêmeP(X 6a), P(X < a), P(X >a) et P(X > a) les probabilités des évènements {X 6a},{X < a}, {X >a} et{X > a}.
Propriété 35
Soit X une variable aléatoire définie sur un univers fini Ω. SiX(Ω) ={x1, x2, ..., xk} alors les évènements {X =x1}, {X=x2}, ..., {X =xk} forment une partition de l’univers.
3) Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Définition 36
Soit X une variable aléatoire associée à une expérience aléatoire modélisée sur un univers fini Ω par une probabilité P. La loi de probabilité de X est la donnée des probabilités P(X =a) lorsque a prend toutes les valeurs possibles dans X(Ω).
Exemple 37. Déterminer la loi de la variable aléatoire X définie dans l’exemple 31.
Propriété 38
Soit X est une variable aléatoire définie sur un univers Ω muni d’une probabilité P. Si X(Ω) ={x1, x2, ..., xk} alors
P(X =x1) +P(X =x2) +· · ·+P(X =xk) = 1.
4) Espérance, variance, écart-type
Définition 39
Soit X une variable aléatoire définie sur un univers fini Ω muni d’une probabilité P. On suppose que la loi de X est donnée par le tableau suivant :
xi x1 x2 . . . xk p(X =xi) p1 p2 . . . pk On définit l’espérance deX, notée E(X), par
E(X) =p1×x1+p2 ×x2 +· · ·+pk×xk =
k
X
i=1
xiP(X =xi)
Remarque40. L’espérance est l’équivalent en probabilité de la moyenne en statistique. L’espérance d’une variable aléatoire s’interprète comme la valeur moyenne de la variable X. Ainsi, si X représente un gain à un jeu alors E(X) représente le gain moyen.
Exemple 41. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X définie dans l’exemple 31.
Définition 42
On considère un jeu dans lequel le gain algébrique (i.e. la différence entre le gain et la mise) est une variable aléatoire X. On dit que le jeu est équitable sur E(X) = 0, favorable au joueur si E(X)>0 et défavorable au joueur si E(X)<0.
Exemple 43. Ainsi, le jeu de l’exemple 28 est équitable.
Définition 44
Soit X une variable aléatoire définie sur un univers fini Ω muni d’une probabilité P. On suppose que la loi de X est donnée par le tableau suivant :
xi x1 x2 . . . xk p(X =xi) p1 p2 . . . pk On définit la variance deX, notée V(X), par
V(X) = E((X−E(X))2) =
n
X
i=1
pi×(xi−E(X))2
On définit l’écart-type deX, noté σ(X), par σ(X) =qV(X).
Remarque 45.
1. La variance représente « la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ». Elle mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Plus la variance est grande, plus les valeurs sont dispersées et inversement.
2. On considère l’écart-type plutôt que la variance pour des raisons d’homogénéité.
Exemple 46. Calculer la variance et l’écart-type de la variable aléatoire X définie sur un univers Ω telle que X(Ω) ={−2 ;−1 ; 0 ; 4}et dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :
xi −2 −1 0 4 p(X =xi) 0,1 0,5 0,2 0,2
Théorème 47. — Formule de König-Huygens
Soit X une variable aléatoire. On note X2 la variable définie sur Ω par X2(t) = [X(t)]2 pour tout t∈Ω. Alors, V(X) =E(X2)−E(X)2.
Exemple 48. Retrouver le résultat de l’exemple 46 à l’aide de la formule de König-Huygens.
Propriété 49
Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω fini. Soit a et b deux réels. Alors, 1. E(aX+b) = aE(X) +b (linéarité de l’espérance)
2. V(aX+b) = a2V(X) et σ(aX+b) =|a|σ(X)
Exemple 50. SoitX une variable aléatoire telle queE(X) = 1 et σ(X) = 2. Comment modifier X pour obtenir une variable Y telle queE(Y) = 0 et σ(Y) = 1 ?
IV. — Schéma de Bernoulli et loi binomiale
1) Épreuve et loi de Bernoulli
Définition 51
Une expérience (ou une épreuve) de Bernoulli de paramètre p est une expérience aléatoire ayant exactement deux issues appelées succès (notéeS) et échec (notée S) et telle que la probabilité de S soit égale à p.
Exemple 52.
1. Lancer une pièce de monnaie en prenant, par exemple, commesuccès S : « Obtenir pile».
Si la pièce est parfaitement équilibrée, le paramètre de cette épreuve estp= 12.
2. En fait, n’importe quelle expérience aléatoire peut être considérée comme une épreuve de Bernoulli. Il suffit pour cela de choisir un évènement commesuccès. Par exemple, lancer un dé équilibré en prenant comme succès S : « Obtenir 6 » constitue une épreuve de Bernoulli de paramètrep= 16 mais lancer une pièce en prenant S : « Obtenir un nombre impair » constitue une autre épreuve de Bernoulli de paramètre p= 36 = 12.
Définition 53
Étant donnée une expérience de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X égale à 1 en cas de succès et à 0 en cas d’échec est appelée variable de Bernoulli de paramètre p et sa loi est appelée la loi de Bernoulli de paramètre p.
Ainsi, par définition, X est une variable aléatoire qui ne prend que deux valeurs : 0 et 1 et telle que P(X = 1) =P(S) =p et P(X = 0) =P(S) = 1−p. La loi deX est donc donnée par le tableau ci-contre.
xi 0 1
P(X =xi) 1−p p
Propriété 54
Soit X une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre p. Alors, E(X) = p et V(X) = p(1−p).
2) Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définition 55
On appelle schéma de Bernoulli (de paramètres n et p) la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre pidentiques et indépendantes.
Exemple 56. Représentation par un arbre dans le cas où n= 2 ou n= 3.
Définition 57
La variable aléatoire X égale au nombre de succès obtenus est alors appelée une variable aléatoire binomiale et la loi de X est appelé la loi binomiale de paramètre n et p. On la note B(n, p).
Propriété 58
Si X suit une loi binomiale de paramètresn etp alors l’ensemble des valeurs prises parX est J0, nK et
∀k ∈J0, nK P(X =k) = n k
!
pk(1−p)n−k.
Exemple 59. On lance simultanément 6 dés cubiques bien équilibrés. On appelleX la variable aléatoire égale au nombre de 6 obtenus.
1. Déterminer la loi deX.
2. Calculer les probabilités des évènements suivants : a. obtenir exactement trois 6 ;
b. obtenir entre trois et cinq 6 ; c. obtenir au moins un 6.
Propriété 60
Soit X variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p. Alors, E(X) = np et V(X) =np(1−p).
Exemple 61. Un Q.C.M. comporte 5 questions. Pour chaque question, 4 réponses sont proposées dont une seule est exacte. On suppose qu’on répond au hasard à ce Q.C.M. On note X la variable aléatoire égale au nombre de réponses correctes.
1. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Déterminer la probabilité d’obtenir exactement 2 bonnes réponses.
3. Déterminer la probabilité d’obtenir au plus 2 bonnes réponses.
4. Déterminer l’espérance de X et en donner une interprétation.
