Les probabilités conditionnelles Exercice 1

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Correction des exercices de révision (vacances de février)

Les probabilités conditionnelles

Exercice 1

1) Recherche d’une relation de récurrence

a) Déterminons ݌_ଵ c’est-à-dire la probabilité que Pierre gagne la première partie.

Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie, nous sommes donc dans une situation d’équiprobabilité. Etant donné que cette expérience a deux issues, on déduit que ࢖_૚ =^૚_૛ .

Déterminons à présent ݌_ீ_భሺܩଶሻ c’est-à-dire la probabilité que Pierre gagne la 2^ème partie sachant qu’il a gagné la 1^ère partie.

Lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7.

Ainsi ࢖_ࡳ_૚ሺࡳ_૛ሻ = ૙, ૠ.

Déterminons à présent ݌_௉_భሺܩ_ଶሻ c’est-à-dire la probabilité que Pierre gagne la 2^ème partie sachant qu’il a perdu la 1^ère partie.

Lorsque Pierre perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,8.

Ainsi ࢖_ࡼ_૚ሺࡳ_૛ሻ = ૚ − ࢖_ࡼ_૚ሺࡼ_૛ሻ = ૙, ૛.

b) Au tennis, il ne peut y avoir de match nul ; ainsi, pour tout entier naturel n non nul, les évènements ࡳ_࢔ ࢋ࢚ ࡼ_࢔ forment une partition de l’univers (ils sont incompatibles, de probabilité non nulle et leur réunion est l’univers).

Par conséquent, ݌ሺܩ_௡ሻ + ݌ሺܲ௡ሻ = 1 à savoir ࢖_࢔+ ࢗ_࢔ = ૚.

c) Soit n un entier naturel non nul, démontrons que ݌_௡ାଵ = 0,5݌_௡+ 0,2.

On cherche ainsi à déterminer la probabilité que Pierre gagne la (n+1)ième partie, soit ݌ሺܩ_௡ାଵሻ.

ࡳ_࢔ା૚ = ሺࡳ_࢔ځ ࡳ_࢔ା૚ሻ ڂሺࡼ࢔ځ ࡳ_࢔ା૚ሻ

ࡳ_࢔ ࢋ࢚ ࡼ_࢔ étant incompatibles, ࡳ_࢔ځ ࡳ_࢔ା૚ࢋ࢚ ࡼ_࢔ځ ࡳ_࢔ା૚ le sont également donc

࢖_࢔ା૚ = ࢖ሺࡳ_࢔ځ ࡳ_࢔ା૚ሻ + ࢖ሺࡼ_࢔ځ ࡳ_࢔ା૚ሻ

݌ሺܩ_௡ځ ܩ_௡ାଵሻ = ݌_ீ_೙ሺܩ_௡ାଵሻ × ݌ሺܩ_௡ሻ soit ݌ሺܩ_௡ځ ܩ_௡ାଵሻ = 0,7 × ݌_௡ d’où ࢖ሺࡳ_࢔ځ ࡳ_࢔ା૚ሻ = ૙, ૠ࢖_࢔.

݌ሺܲ_௡ځ ܩ௡ାଵሻ = ݌௉೙ሺܩ௡ାଵሻ × ݌ሺܲ௡ሻ soit ݌ሺܲ_௡ځ ܩ௡ାଵሻ = ቀ1 − ݌௉೙ሺܲ௡ାଵሻቁ × ݍ௡

d’où ࢖ሺࡼ_࢔ା૚ځ ࡳ࢔ሻ = ૙, ૛ࢗ_࢔. Ainsi ࢖_࢔ା૚ = ૙, ૠ࢖_࢔+ ૙, ૛ࢗ_࢔.

Or ݍ_௡ = 1 − ݌_௡donc ݌_௡ାଵ = 0,7݌_௡+ 0,2ሺ1 − ݌_௡ሻ à savoir ࢖_࢔ା૚ = ૙, ૞࢖_࢔+ ૙, ૛. Remarque : la suite ሺ݌_௡ሻ est appelée suite arithmético-géométrique.

2) Etude de la suite ሺ݌_௡ሻ.

a) Soit n un entier naturel non nul, on pose ݒ_௡ = ݌_௡−^ଶ_ହ .

ݒ_௡ାଵ = ݌_௡ାଵ−^ଶ_ହ donc ݒ_௡ାଵ = 0,5݌_௡+ 0,2 −^ଶ_ହ d’où ݒ_௡ାଵ = 0,5݌_௡−^ଵ_ହ. Ainsi ࢜_࢔ା૚= ^૚_૛࢜_࢔.

ሺ࢜_࢔ሻ est donc la suite géométrique de raison ^૚

૛ et de premier terme ࢜_૚ =_૚૙^૚ . Ainsi pour tout entier naturel non nul n, ࢜_࢔ =_૚૙^૚ × ቀ^૚_૛ቁ^࢔ି૚ donc ࢜_࢔ =^૚_૞× ቀ^૚_૛ቁ^࢔

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b) Soit n un entier naturel non nul, on a ݒ_௡ = ݌_௡−^ଶ_ହ donc ࢖_࢔ = ^૚_૞× ቀ^૚_૛ቁ^࢔+^૛_૞ . c) Déterminons lim_௡→ାஶ݌_௡.

−૚ <^૚_૛< 1, donc ܔܑܕ_࢔→ାஶቀ^૚_૛ቁ^࢔ = ૙.

Ainsi, par opérations algébriques sur les limites, ܔܑܕ_࢔→ାஶ࢖_࢔ = ^૛_૞. Exercice 2

1) Déterminons ܽ_௞, ܾ_௞, ݁ݐ ܿ_௞ pour k entier naturel tel que 1 ≤ ݇ ≤ 3.

Pour parvenir à ceci, établissons un arbre pondéré afin de mieux illustrer la situation :

ܣ_ଵ: « la puce est en A à l’instant 1 »

ܣ_ଵ = ∅ donc ࢇ_૚= ૙.

ܤ_ଵ: « la puce est en B à l’instant 1 »

࢈_૚= ^૚_૜ .

ܥ_ଵ: « la puce est en B à l’instant 1 »

ࢉ_૚= ^૛_૜ .

ܣ_ଶ : « la puce est en A à l’instant 2 »

࡭_૛ = ሺ࡭_૚ځ ࡭_૛ሻ ڂሺ࡮૚ځ ࡭_૛ሻ ڂሺ࡯૚ځ ࡭_૛ሻ .

Par incompatibilité, on a donc ࢖ሺ࡭_૛ሻ = ࢖ሺ࡭_૚ځ ࡭_૛ሻ + ࢖ሺ࡮_૚ځ ࡭_૛ሻ + ࢖ሺ࡯_૚ځ ࡭_૛ሻ.

Or ࡭_૚ځ ࡭_૛ est l’évènement impossible ainsi que ࡯_૚ځ ࡭_૛ donc ࢖ሺ࡭_૛ሻ = ࢖_࡮_૚ሺ࡭_૛ሻ × ࢖ሺ࡮_૚ሻ à savoir

࢖ሺ࡭_૛ሻ =^૚_૟ .

On procède de même pour ܤ_ଶ ݁ݐ ܥ_ଶ. On obtient :

࢖ሺ࡮_૛ሻ =0 et ሺ࡯_૛ሻ =^૞_૟ .

ܣ_ଷ : « la puce est en A à l’instant 3 »

࡭_૜ = ሺ࡭_૛ځ ࡭૜ሻ ڂሺ࡮૛ځ ࡭૜ሻ ڂሺ࡯૛ځ ࡭૜ሻ .

Par incompatibilité, on a donc ࢖ሺ࡭_૜ሻ = ࢖ሺ࡭_૛ځ ࡭_૜ሻ + ࢖ሺ࡮_૛ځ ࡭_૜ሻ + ࢖ሺ࡯_૛ځ ࡭_૜ሻ. Or ࡭_૛ځ ࡭૜ est l’évènement impossible ainsi que ࡮_૛ځ ࡭૜ ࢋ࢚ ࡯_૛ځ ࡭૜ donc ࢖ሺ࡭_૜ሻ = ૙ .

k=3 k=2

k=1 k=0

A

B

A B

C C

C

1 3 23 1

2 12 23

1 3

(3)

On procède de même pour ܤ_ଷ ݁ݐ ܥ_ଷ. On obtient :

࢖ሺ࡮_૜ሻ =_૚ૡ^૚ et ࢖ሺ࡯_૜ሻ =^૞_૟+^૛_૜×^૚_૟ soit ࢖ሺ࡯_૜ሻ =^૚ૠ_૚ૡ . 2)

a) Soit n un entier naturel.

࡭_࢔, ࡮_࢔, ࢋ࢚ ࡯_࢔ forment une partition de l’univers donc ࢇ_࢔+ ࢈_࢔+ ࢉ_࢔ = ૚. ܣ_௡ାଵ = ሺܣ_௡ځ ܣ௡ାଵሻ ڂሺܤ௡ځ ܣ௡ାଵሻ ڂሺܥ௡ځ ܣ௡ାଵሻ .

Par incompatibilité, on a donc ࢖ሺ࡭_࢔ା૚ሻ = ࢖ሺ࡭_࢔ځ ࡭࢔ା૚ሻ + ࢖ሺ࡮࢔ځ ࡭࢔ା૚ሻ + ࢖ሺ࡯࢔ځ ࡭࢔૚ሻ.

Or ࡭_࢔ځ ࡭_࢔ା૚ est l’évènement impossible ainsi que ࡯_࢔ځ ࡭_࢔ା૚ donc ࢖ሺ࡭_࢔ା૚ሻ = ࢖_࡮_࢔ሺ࡭_࢔ା૚ሻ × ࢖ሺ࡮_࢔ሻ à savoir ࢇ_࢔ା૚ =^૚_૜࢈_࢔ .

Un raisonnement similaire permet de montrer que ࢈_࢔ା૚ = ^૚_૜ࢇ_࢔ . b) Soit n un entier naturel.

ࢇ_࢔ା૛ = ࢇ_{࢔ା૚ା૚}

= ^૚_૛࢈_࢔ା૚ d’après la question précédente = ^૚_૛×^૚_૜ࢇ_࢔ d’après la question précédente soit ࢇ_࢔ା૛ =^૚_૟ࢇ_࢔ .

c) Démontrons par récurrence, que pour tout entier ݌ ≥ 0, ൝ܽ^ଶ௣ = ቀ^ଵ_଺ቁ^௣

ܽ_ଶ௣ାଵ = 0 Soit ࢔ ∈ ℕ, ࢔࢕࢓࢓࢕࢔࢙ ൫ࡼ_࢖൯: ൝ܽ^ଶ௣ = ቀ^ଵ_଺ቁ^௣

ܽ_ଶ௣ାଵ= 0 Initialisation :

ܽ_଴ = 1 ݀݋݊ܿ ܽ_଴ = ቀ^ଵ_଺ቁ^଴ .

ܽ_ଵ = 0 .

Donc ሺࡼ_૙ሻ est vraie, la propriété est initialisée.

Hérédité :

Supposons la propriété vraie pour un certain rang p et montrons qu’elle est encore vraie pour le rang p+1, c’est-à-dire montrons que ൝ܽ^{ଶሺ௣ାଵሻ}= ቀ^ଵ_଺ቁ^௣ାଵ

ܽ_{ଶሺ௣ାଵሻାଵ} = 0 c’est-à-dire ൝ܽ^ଶ௣ାଶ = ቀ^ଵ_଺ቁ^௣ାଵ

ܽ_ଶ௣ାଷ = 0 .

Démontrons tout d’abord que ࢇ_૛࢖ା૛= ቀ^૚_૟ቁ^࢖ା૚.

(H.R) : ࢇ_૛࢖ = ቀ^૚_૟ቁ^࢖ et on sait d’après b, pour tout entier n, ࢇ_࢔ା૛ = ^૚_૟ࢇ_࢔.

Donc pour n = 2p, on a ܽ_ଶ௣ାଶ =^ଵ_଺ܽ_ଶ௣ et par suite, ܽ_ଶ௣ାଶ =^ଵ_଺× ቀ^ଵ_଺ቁ^௣ d’où ܽ_ଶ௣ାଶ = ቀ^ଵ_଺ቁ^௣ାଵ. Démontrons que ࢇ_૛࢖ା૜ = ૙ .

(H.R) : ࢇ_૛࢖ା૚ = ૙ et on sait d’après b, pour tout entier n, ܽ_௡ାଶ =^ଵ_଺ܽ_௡.

Donc pour n = 2p+1, on a ܽ_ଶ௣ାଷ =^ଵ_଺ܽ_ଶ௣ାଵ et par suite, ܽ_ଶ௣ାଷ =^ଵ_଺× 0 d’où ܽ_ଶ௣ାଷ = 0. Donc ൫ࡼ_࢖ା૚൯ est vraie et la propriété est héréditaire.

La propriété est initialisée et héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout

࢖ ∈ ℕ.

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On démontre aussi par récurrence le résultat suivant : pour tout entier naturel p : ൝ ࢈_૛࢖ = ૙

࢈_૛࢖ା૚ =^૚_૜ቀ^૚_૟ቁ^࢖ en se servant du résultat qui vient d’être démontrée et de la relation ࢈_࢔ା૚ =^૚_૜ࢇ_࢔ vraie pour tout entier naturel n.

3) Montrons que ܔܑܕ_࢖→ାஶࢇ_࢖ = ૙.

lim_௣→ାஶܽ_ଶ௣ = lim_௣→ାஶቀ^ଵ_଺ቁ^௣

−૚ <^૚_૟< 1, donc ܔܑܕ_࢖→ାஶቀ^૚_૟ቁ^࢖ = ૙.

࢖→ାஶܔܑܕ ࢇ_૛࢖ = ૙

࢖→ାஶܔܑܕ ࢇ_૛࢖ା૚ = ૙

On peut alors déduire que ܔܑܕ_࢖→ାஶࢇ_࢖ = ૙.

Remarque : on dit que les suites (ܽ_ଶ௣) (constituée des termes pairs) et (ܽ_ଶ௣ାଵ) (constituée des termes impairs) sont des suites extraites de la suite (ࢇ_࢖). Elles convergent vers la même limite (0) donc la suite (ࢇ_࢖) converge également vers 0.

Pour tout entier naturel n, ࢉ_࢔ = ૚−ࢇ_࢔− ࢈_࢔. Or ܔܑܕ_࢔→ାஶࢇ_࢔ = ܔܑܕ_࢔→ାஶ࢈_࢔ = ૙.

Ainsi d’après les règles opératoires sur les limites, ܔܑܕ_࢔→ାஶࢉ_࢔ = ૚