BAC BLANC 2BAC SM 2014-2015 Exercice (1)

(1)

BAC BLANC 2BAC SM 2014-2015

Exercice (1)

1) Résoudre dans c l'équation ^z² ^



^{5 – 7}^{i z}



^{– 6 – 13}ⁱ^⁰

2) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct



^{O; ;}^{u v}



On considère les points A , B et C d'affixes respectivement a 1 2i ; b 4 5i et c 4 i. a) calculer ^b ^a

c a



 ; puis déduire la nature du triangle ABC b) déterminer l'affixe d du point D pour que ABDC soit un carré 3) soit R la rotation de centre A et qui transforme le point B en C a) vérifier que

2

 est une mesure de l'angle de R et que l'expression complexe de R s'écrit z   iz 1 3i

b) soit M l'image de M par la rotation R montrer que



^CM^{ }

 

^BM



Exercice (2) Partie A

On rappelle que



M2;

 

R ; ; 



est un anneau unitaire et



^M^;

 

^R ^{; ;}^ ^



un espace vectoriel réel.

On considère l'ensemble

 

^; ^/

 

^; ^IR²

0

x y y

E M x y x y

x y

    

      et on pose 1 1

J 0 1

  

 

1) a) Montrer que



^E^;^



est un groupe commutatif

b) Montrer que



^E^{; ;}^ ^



est un espace vectoriel et déterminer sa dimension 2) a) Vérifier que : J²   I 2J et déduire que E est stable dans



^M^;

 

^R^;^



b) Montrer que



^E^{; ;}^{ }



est un anneau unitaire . " " est-il commutatif ? Partie B

Dans l'anneau unitaire



M3;

 

R ; ; 



on considère

1 1 0

0 1 0

0 0 1

A

 

 

  

  

 

1) a) Calculer A et vérifier queA² 2A I 0 . 0 est la matrice nulle.

b) Déduire que A admet un inverse que l'on déterminera

2) Montrer que :



^{ }ⁿ ²



^;^Aⁿ ^{ }

 

¹ ⁿ^¹



^{n A}^. ^



ⁿ^^I¹

 

⁽I la matrice unitaire).

guessmaths

(2)

Exercice (3)

Soient p un nombre premier tel que p3 et

 

^{n a}^; un couple de IN^ 1) Montrer que :



^a^¹^{ }_^pⁿ_^{ou a}^^¹^p^{ }_ ⁿ_

 

^ ^a² ^¹^p^{ }_ ⁿ_



2) On suppose a²   1 p ⁿ

a) Montrer que p a| 1 ou p a| 1

b) Montrer que si p a| 1alors (a  1) p 1 c) Déduire que a  1 p ⁿ ou a   1 p ⁿ 3) Résoudre dan IN^ l'équation ¹²¹^{ }^x ^^{1 125}

 

^.

Exercice(4) Partie(A)

Soit f la fonction définie par :

 

²

1

x x

f x e

 e

 1) Etudier les branches infinies de la courbe

 

^C^f ^.

2) Calculer ^f^

 

^x et étudier le sens de variation de f puis donner le tableau de variations 3) Tracer la courbe

 

Cf dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}



^.

4) a) Montrer que f est une bijection de IRvers IR^

b) Tracer dans le repère précédant la courbe de la réciproque f^¹. c) Déterminer ^f^¹

 

^x pour tout x de IR^

5) Soient  réel de IR^ et S_l'air du domaine limité par

 

^C^f les axes du repère et la droite d'équation xCalculer S_et déterminer lim S_

 . Partie (B)

Pour tout entier naturel n non nul et pour tout x deIR^ on pose :

 

⁰

1

nt

n x t

F x e dt

 e



 1) a) Calculer F x et déduire que 1

 

lim 1

 

ln 2

x F x

 

b) Déterminer lim 2

 

x F x



2) a) Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN^



^; 1

^{ } ^{ }  

1 1 ^nx

n n

F x F x e

   n 

b) Montrer par récurrence que F_nadmet une limite finie en  . On pose n ^lim n

 

R x F x

 

3) a) Montrer que :



^{ }^t ⁰



^;²^e^t ^{  }¹ ^e^t ²

b) Montrer que :



^{ }ⁿ ²



^;



^{ }^x ^IR^



^;₂¹_n



¹^^e^nx



^^{F x}ⁿ

^{ }

^₂

_

_n¹_₁

_ 

¹^^e^{ }ⁿ^¹^x



(3)

c) déduire un encadrement de R_n.

4) on pose G xn

   

 ¹ ⁿ



x⁰e dt^nt pour tout « de R

a) calculer G x et montrer que : n

 

x^limG xn

   

¹ ⁿ

 n

 

b) montrer que :



^{ }ⁿ ²



^;

 

1

   

1

 

1

n n

k n

k

G x F x F_ x



   



5) soit

 

un la suite définie par :

 

1

1 ^k

n n

k

u _ k





 a) montrer que : u_n ln 2 

 

1 ⁿ^¹R_n_1

b) montrer que

 

un est convergente en déterminant sa limite

BAC BLANC 2BAC SM 2014-2015 Exercice (1)











 





 





 



 

 











 









 







 





 

 



 



 

 

 

 

 





 

 

 



 

 

 





     

 

















 



 



   



 

   





 

   

 



 

 

^{ } ^{ }  

^{ }

_

_ 