D258. Une collection de quadrilatères
Combien y a-t-il dans le plan de quadrilatères non superposables y compris par retournement, dont les quatre côtés et la distance qui sépare les milieux des deux diagonales ont pour dimensions pas nécessairement prises dans cet ordre: 2, 3, 5, 11 et 12 ?
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On va s’intéresser d’abord au cas où, ayant fixé cinq paramètres , on impose la distance entre les points-milieux des diagonales d’un quadrilatère ABCD de côtés AB = a, BC = b, CD = c et DA = d.. Naturellement il se peut qu’indépendamment de e, les valeurs fixées pour a,b,c,d soient incompatibles et mis à part des cas limites où il existe seulement des quadrilatères dégénérés, le nombre de quadrilatères peut être seulement 0 ou infini. En fait, soit l la longueur de la diagonale AC; le triangle ABC existe si et seulement si ; de façon analogue, le triangle ABD existe si et seulement si ; inversement, quelle que soit la valeur
satisfaisant la condition de compatibilité
il existe deux possibilités de choix pour les points B et D du même côté de AC (ce quadrilatère est donc non convexe, possiblement croisé) ou bien de côtés différents (ce quadrilatère pouvant parfois être non-convexe, mais il n’est jamais croisé).
On va continuer la discussion en exploitant trois possibles approches au problème.
(1) Solution « à la main »
On choisit et sur l’axe des abscisses, opposés par rapport à l’origine et on cherche les coordonnées de B et de en fonction de l’abscisse de . Si la rouille n’a pas trop affaibli nos souvenirs on n’aura pas de difficultés à trouver la formule pour les coordonnées de et de ; pour ce qui concerne les abscisses on a
tandis que pour les ordonnées , on ambigüité sur les signes:
avec par exemple:
Pour fixer les idées (et les notations) on choisira la valeur positive comme ordonnée de tandis qu’
on aura deux possibilité, et , pour ce qui concerne le point . En particulier, pour toute diagonale admissible (qui, rappelons-le, admet l’origine O comme point-milieu) on aura deux choix, et pour la deuxième diagonale dont on notera respectivement et les points- milieux correspondants.
Naturellement de nombreux programmes de manipulation symbolique pourraient nous donner sans efforts des formules équivalentes à celles qu’on vient d’établir; équivalentes car ces programmes donnent souvent des résultats peu convaincants.
C’est pour ça qu’on va travailler encore à la main pour imposer la condition sur la distance entre les points-milieu, manipulant la formule «naturelle» suivant les passages:
Une fois remplacé par leur valeurs, l’équation finale correspond à annuler un polynôme de degré 8; mais (et là le calcul symbolique exprime toute sa puissance) il y a des effacements qui
amènent tout simplement à avec (à la suite d’un peu de
cosmétique)
On va arrêter là la discussion à la main, sauf y revenir lorsque les autres traitement auront besoin des résultats ici obtenus.
(2) Solution géométrique (statique)
Ayant déjà établi à la main un bon nombre de formules, on va se servir du logiciel libre geogebra dont, plus que les capacités de manipulation symbolique, on utilisera la possibilité de dessiner automatiquement le graphe des fonctions qu’on lui donne à manipuler. Par rapport à ce qu’on vient de faire on doit uniquement écrire les premières formules qu’on a trouvées comme des fonctions de l’abscisse du point ; par exemple remplaçant par . Par ailleurs la valeur des paramètres doit être déclarée dès le départ; bien sûr, on pourra la changer dans la suite. Il ne nous reste qu’à définir deux fonctions qui donnent la différence entre la distance des points-milieux et le paramètre :
qu’on peut par exemple demander de dessiner en couleurs bleu et vert respectivement; les (éventuelles) intersections avec l’axe des abscisses nous fourniront l’abscisse du point .
Le tableau suivant regroupe les résultats; on remarquera l’absence des lignes et (le quadruplet restant ne satisfaisant pas la condition de compatibilité); et que, pour chaque choix de , on a fixé comme la plus petite des valeur restantes; ensuite on doit uniquement faire varier , le choix de et n’ayant plus d’importance.
Pour on a seulement le cas donne lieu à solutions, une de type + et une de type -; aussi pour un unique cas, donne lieu à solutions, cette fois deux solutions de type +; le cas est plus varié: encore deux solutions de type différent lorsque les côtés sont (2,3,11,12); pas de solutions pour côtés (2,11,3,12); dans le dernier cas, côtés (2,3,12,11), la situation n’est pas claire: la courbe verte est très proche de l’axe, mais on ne saurait pas dire s’il y a tangence, ou deux intersections, ou aucune ; et agrandir l’échelle n’aide pas à dirimer la question (par ailleurs: les erreurs d’arrondi pourraient fausser la réponse!)
Il ne nous reste qu’à revenir à la formulation à la main: dans ce cas le polynôme résultant vaut et donc, pour x>0, on a bien deux racines identiques.
Distance 2
Côtés 3, 5, 11, 12 Côtés 3, 5, 12, 11 Côtés 3, 11, 5, 12
Distance 3
Côtés 2, 5, 11, 12 Côtés 2, 5, 12, 11 Côtés 2, 11, 5, 12
Distance 5
Côtés 2, 3, 11, 12 Côtés 2, 11, 3, 12 Côtés 2, 3, 12, 11
(3) Solution géométrique (dynamique)
On va encore se servir du logiciel libre geogebra; cette fois on devra travailler un peu plus, mais le résultat sera sans doute plus amusant.
En fonction des paramètres (qui, rappelons-le, doivent être définis avant de pouvoir les utiliser) et faisant usage des formules vues tout au départ, on fixe sur l’axe des abscisses l’intervalle admissible; on marque un point dans cet intervalle et on nomme le point symétrique par rapport
à l’origine ; on trace les cercles et dont on nomme B
l’intersection d’ordonnée positive; et on cache l’autre intersection, ainsi que les deux cercles désormais inutiles. On procède de façon analogue avec les cercles et
dont on garde les deux intersections, qu’on nomme et
On peut maintenant tracer les quadrilatères et ; pour une meilleure visibilité on ne trace pas les diagonales et et on se borne à dessiner les points-milieux correspondent, et , qu’on colorie en bleu et en vert respectivement. Finalement on trace (en rouge, pour une meilleure visibilité) le cercle de rayon centré à l’origine: c’est sur ce cercle que, déplaçant le point
, on voudrait faire tomber le point bleu ou le point vert.
C’est fini, et il ne nous reste qu’à bien choisir les valeurs de ; par exemple en s’appuyant au tableau construit au point (2) pour choisir les cas intéressants; ici aussi, ça va sans dire, le cas de côtés (2,3,12,11) resterait mystérieux sans les instruments du point (1).
Pour ceux qui n’ont pas installé geogebra (ou qui n’ont pas envie d’y jouer avec) il faut donner un
peu plus. Malheureusement il faut renoncer à tout aspect dynamique; mais, choisissant bien les éléments à visualiser et ceux à cacher, on peut quant même arriver à montrer les solutions.
En s’appuyant au tableau du paragraphe précédant, on sait que, lorsque la distance vaut 2, on a deux solutions, une croisée et l’autre convexe; comme évident aussi à partir de la figure du paragraphe 2, la position du point est très proche à et respectivement. Encore deux solutions, mais toutes deux de type croisé, existent dans le cas de distance 3; tandis que le cas de distance 5 donne lieu à un couple de solutions (dont une seule convexe) plus une troisième solution convexe
correspondant au cas de tangence.
Figure 1:côtés 3-11-5-12, distance 2
Figure 2:côtés 3-11-5-12, distance 2
Figure 3:côtés 2-11-5-12, distance 3
Figure 4:côtés 2-11-5-12, distance 3
Figure 5: côtés 2-3-11-12, distance 5
Figure 6: côtés 2-3-11-12, distance 5
Figure 7: côtés 2-3-12-11, distance 5
