Solutions TD 3

Solutions TD 3

Exercice 1.28

1. f g:

e_{f g}(x) = x(f g)⁰ f g

=x(f⁰g+f g⁰) f g

=e_f(x) +e_g(x) 2. f /g:

e_{f /g}(x) = x(f /g)⁰ f /g

=x(f⁰g−f g⁰) f g

=e_f(x)−e_g(x) 3. g◦f:

eg◦f(x) = x(g◦f)⁰(x) (g◦f)(x)

=xg⁰[f(x)]f⁰(x) g[f(x)]

=xf⁰(x)

f(x)f(x)g⁰[f(x)]

g[f(x)]

.=ef(x)eg(f(x)) Exercice 1.29

On recherche f tel que e_f(x) = k avec k constante. On utilise la d´efinition d’´elastict´e

xf⁰(x) f(x) =k

(ln(f(x)))⁰ =k(ln(x))⁰

Ensuite on peut integrer

ln(f(x)) =kln(x) +a aveca constante, et on exponentie

f(x) = cln(x^k) avecc=e^a toujours constante.

Exercice 1.31

1

1. Soit p=F⁻¹(x) la demande inverse

2. Soit x=kp^−r, en inversant la relation on obtient p= (x/k)^−1/r pourk, r >0.

Exercice 2.32

1. Soit f⁰(x) = −²_xe^−x2(_x¹ + 2x), alors l’´elasticit´e est e_f(x) =−2(x²+ 1)

2. Pour ∆x= 5% eta = 1 une valeur approch´ee de la variation relative est e_f(1)∆x=−15%

3. On cherche ∆x tel que f⁰(1)∆x= 1%, c’est `a dire ∆x=−2,2%.

4. L’´elasticit´e de f²(x) est donn´ee par e_f²(x) = x(f²)⁰(x)

f²(x) = 2xf⁰(x)

f(x) = 2e_f(x)

2