Déterminer les racines quatrièmes de 4 − .

(1)

PanaMaths

[1 - 2]

Décembre 2001

Déterminer les racines quatrièmes de 4 − .

Analyse

L’exercice consiste en fait à résoudre l’équation : z⁴+ =4 0. L’approche « classique » consiste à résoudre cette équation en posant : z=reⁱ^θ, r (module) et θ (argument) étant les deux inconnues à déterminer.

On peut cependant ici avoir recours aux polynômes en considérant le polynôme

( ) 4 4

P X = X + et en menant sa factorisation sur ^ puisque l’exercice revient en fait à en trouver les racines. Cette « méthode » est fournie à titre indicatif car, en général, elle n’est pas la plus simple à mettre en œuvre.

Résolution

1

^ère

approche : la méthode classique

Nous posons donc : z=reⁱ^θ et considérons l’équation z⁴+ =4 0.

Elle se récrit :

( )

^reⁱ^θ ⁴^{+ =}⁴ ⁰^{, soit :}^{r e}^{4 4}ⁱ^θ ^{= − =}⁴ ⁴^eⁱ^π. On en tire alors le système :

4 4

4 2

r

θ π kπ

⎧ =⎨ = +

⎩

k étant un entier relatif.

Il vient :

4 2

4

4 2

r r

k π kπ

θ π π θ

⎧ = ⇔⎧ =⎪

⎨ ⎨

= + = +

⎩ ⎪⎩

Pour k =0, 1, 2 et 3, on obtient quatre valeurs de θ fournissant les quatre racines cherchées : 0

k= : ₀ 2 ⁴ 2 cos sin 1

4 4

z ei i i

π ⎛ ⎛ ⎞π ⎛ ⎞π ⎞

= = ⎜⎝ ⎜ ⎟⎝ ⎠+ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎟⎠= + 1

k = : ₁ 2 ⁴ ² 2 cos sin 1

4 2 4 2

i

z e i i

π π π π π π

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= = ⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠⎟⎠= − + 2

k= : ₂ 2 ⁴ 2 cos sin 1

4 4

i

z e i i

π π π π π π

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= = ⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠⎟⎠= − −

(2)

PanaMaths

[2 - 2]

Décembre 2001

3 k = :

3 4 2 3

3 3

2 2 cos sin 1

4 2 4 2

i

z e i i

π π

π π π π

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞

= = ⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠⎟⎠= −

Les racines quatrièmes de –4 sont donc : 1+i, 1− +i, 1− −i et 1−i.

2

^ème

approche : factorisation du polynôme P

Soit donc le polynôme P X( )= X⁴+4 dont on cherche la factorisation sur le corps des complexes.

On a d’abord : ^X⁴^{+ =}⁴

(

^X²⁺²

)

²⁻⁴^X² ⁼

(

^X²⁺²^X⁺²

)(

^X²⁻²^X ⁺²

)

^.

Soit donc les polynômes P X₁( )= X²+2X +2 et P X₂( )= X²−2X +2. On en extrait facilement les racines en écrivant par exemple :

( )

( )( )

2 1

2

2 2

( ) 2 2

1 1 2

1 1

1

1 1

P X X X

X X

X i

X i X i

= + +

= + − +

= + +

= + −

= + + + −

La factorisation de P₁ nous fournit deux racines : 1− −i et 1− +i.

On factorise P₂ de façon analogue et on obtient : P X1( )=

(

X − +1 i

)(

X − −1 i

)

. On en tire alors deux nouvelles racines : 1−i et 1+i.

( )( )( )( )

( ) 1 1 1 1

P X = X + +i X + −i X − +i X − −i On a retrouvé les quatre racines obtenues précédemment.

Résultat final

Les quatre racines quatrièmes de –4 sont : 1+i, 1− +i, 1− −i et 1−i