Faisceauxquasi-cohérents ChapitreVI

Chapitre VI

Faisceaux quasi-cohérents

1. Faisceaux de modules sur un espace annelé

1.1.

Soientf:Y →X une application continue d’espaces topologiques. On rap- pelle que le foncteurf_∗:Fai(Y,Ab)→Fai(X,Ab)est adjoint à droite du foncteurf⁻¹:Fai(X,Ab)→Fai(Y,Ab). Doncf_∗préserve les limites pro- jectives etf⁻¹ préserve les limites inductives. En outre, la construction du foncteurf⁻¹(comme limites inductives filtrantes) montre quef⁻¹préserve les limites projectives finies. En particulier,f⁻¹ préserve les noyaux et co- noyaux, etf_∗préserve les noyaux ;f⁻¹préserve les monomorphismes et les épimorphismes, tandis quef_∗préserve les monomorphismes. En particulier, si

E−→F−→G

est une suite exacte de faisceaux en groupes abéliens surX, alors f⁻¹E−→f⁻¹F−→f⁻¹G

est une suite exacte de faisceaux en groupes abéliens surY. Si 0 //A //B //C

est une suite exacte de faisceaux en groupes abéliens surX, alors 0 //f_∗A //f_∗B //f_∗C

est une suite exacte de faisceaux en groupes abéliens surY.

1.2.

SoientXun espace topologique etϕ:F→Gun morphisme de faisceaux en groupes abéliens surX. Pour toutx∈X, on désigne parϕxle morphisme

– 93 –

de groupesj_x⁻¹(ϕ) :j_x⁻¹F→j_x⁻¹G, où jx:{x} →X est l’application d’in- clusion.

1.3. Proposition. SoitX un espace topologique.

(1) SoitF un faisceau en groupes abéliens surX. Si, pour tout x∈X on aFx={0}, alors F=0.

(2) Soitϕ:F→Gun morphisme de faisceaux en groupes abéliens surX. Alorsϕ est un monomorphisme (resp. épimorphisme) dans la catégo- rie de faisceaux Fai(X,Ab) si et seulement si ϕx:Fx→Gx est un monomorphisme (resp. épimorphisme) pour toutx∈X.

(3) SoitE−→^ϕ F−→^ψ Gun diagramme de morphisme de faisceau en groupes abéliens sur X. Il est un diagramme commutatif si et seulement si, pour toutx∈X, le diagramme Ex

ϕx

−→Fx ψx

−→Gx est une suite exacte de groupes abéliens.

Démonstration.(1) Soient U un sous-ensemble ouvert de X et s∈F(U).

Pour toutx∈U, on as_x= 0. Il existe donc un voisinage ouvertU_xdextel queU_x⊂U et ques|Ux= 0. CommeF est un faisceau, on obtients= 0.

(2) On applique (1) aux noyau et conoyau deϕ.

(3) On applique (1) à l’image deψϕpour montrer queψϕ= 0. Ensuite, on applique (2) au morphisme canoniqueIm(ϕ)→Ker(ψ) pour montrer que

ce morphisme est un isomorphisme.

1.4.

Soient X un espace annelé et f :Y →X une application continue d’es- paces topologiques. Pour toutO_X-moduleF, le faisceau en groupes abé- liens f⁻¹F est canoniquement muni d’une structure de f⁻¹O_X-module.

En effet, le foncteur f⁻¹ est adjoint à gauche (cf. la proposition ??) et donc préserve les limites inductives. En particulier, on af⁻¹(OX×F)∼= f⁻¹(OX)×f⁻¹(F)(on utilise ici le fait queOX×F est aussi le coproduit deOX etF dans la catégorie abélienneFai(X,Ab), cf. la proposition??).

Donc la structure deOX-module sur F induit par la fonctorialité def⁻¹ une structure def⁻¹(OX)-module surf⁻¹(F).

En particulier, sixest un point dex, alors le groupe abélienFxest canoni- quement muni d’une structure deO_X,x-module. SiY est un sous-ensemble deX, alorsF|_Y est canoniquement muni d’une structure de O_Y-module, oùOY est la restriction deOX à Y.

1.5.

SoientF et GdeuxOX-modules. SiU est un ouvert deX, on désigne par ϕ|U l’homomorphisme j⁻¹_U ϕ:F|U →G|U, oùjU:U→X est l’application

§1. Faisceaux de modules sur un espace annelé 95

d’inclusion. C’est un homomorphisme deOU-modules. SiV etU sont des ouverts de X, V ⊂U, alors on a (ϕ|U)|V =ϕ|V. Donc la correspondance U7→Hom_OU(F|U, G|U)définit un préfaisceau en groupes abéliens que l’on noteHom_O

X(F, G).

Soient U un ouvert de X, ϕun homomorphisme de OU-modules de F|U

dans G|U, et a∈ OX(U). On désigne par aϕ l’homomorphisme de OU- modules deF|_U dansG|_U tel que, pour tout ouvertV contenu dansU, on a

(aϕ)V :=a|VϕV :F(V)→G(V).

On obtient ainsi un morphisme de préfaisceaux OX×Hom_OX(F, G) qui définit une structure de préfaisceau deOX-modules surHom_OX(F, G).

1.6. Proposition

SoientX un espace annelé etF etG deuxOX-modules. Le préfaisceau en groupes abéliensHom_OX(F, G)est un faisceau.

Démonstration.Soient U un ouvert de X et (U_i)_i∈I un recouvrement de U par des ouverts de X contenus dans U. Montrons que, si pour tout i∈I, on dispose d’un morphisme deOU_i-modulesϕi:F|U_i→G|U_i, de telle sorte queϕi|U_i∩Uj=ϕj|U_i∩Uj pour tout(i, j)∈I², alors il existe un unique morphismeϕ:F|U→G|U tel queϕ|Ui=ϕi pour touti∈I.

SoientV un ouvert de X contenu dansU, etsun élément deF(V). Pour touti∈I, soitti=ϕi|U_i∩V(s|U_i∩V)∈G(Ui∩V). Pour(i, j)∈I² on a

ti|_{(Ui∩V)∩(Uj∩V)}=ϕi|U_i∩Uj∩V(s|U_i∩Uj∩V)

=ϕj|Ui∩Uj∩V(s|Ui∩Uj∩V) =tj|(U_i∩V)∩(Uj∩V), où la deuxième égalité provient de la relationϕi|U_i∩U_j =ϕj|U_i∩U_j. On en déduit l’existence d’un uniquet∈G(V)tel quet|_Ui∩V =t_i pour touti∈I.

Soitϕ_V :F(V)→G(V)l’application qui associe à tout s∈F(V)l’unique élément t∈G(V)tel que t|U_i∩V =ϕi|U_i∩V(s|U_i∩V) pour tout i∈I. Cette unicité montre aussi que, pour tout ouverts V et W de X tels que W ⊂ V ⊂U, le diagramme

F(V)

|W

ϕ_V //G(V)

|W

F(W) _ϕ

W //G(W)

est commutatif. Autrement dit, les ϕ_V (V ouvert de X qui est contenu dans U) forment un morphisme de faisceaux de F|U dans G|U, qui est l’unique morphisme tel queϕ|U_i =ϕi pour touti∈I. La proposition est

donc démontrée.

1.7.

SoientX un espace annelé etF unOX-module. Si U est un ouvert deX, on appellesection deF au-dessus deU tout élément deF(U). Les sections deF au-dessus de X sont appelées dessection globale de F. Sis est une section de F au-dessus deU et siV est un ouvert de X contenu dansU, on désigne pars|V l’image desdansF(V)par l’application|V.

1.8.

SoientXun espace annelé etF unOX-module. Sif est un homomorphisme deOX-module deOX dansF, alors l’image de l’élément unité de OX(X) parf définit un élément deF(X). Réciproquement, étant donnée une sec- tion globalesdeF, il existe un unique homomorphismef:OX→FdeOX- modules qui envoie l’élément unité deOX(X)surs: pour toute partie ou- verteU deX, cet homomorphisme envoiea∈ OX(U)suras|U∈F(U). Ainsi on peut identifier l’espace F(X) des sections globales à Hom_OX(OX, F) et considérer les sections globales comme des homomorphismes de OX- modules deOX dansF.

1.9.

SoientF etGdeuxOX-modules. On désigne parG⊗_OXF leOX-module associé au préfaisceau deOX-modules

G⊗_OX,PfF:U7→G(U)⊗_OX(U)F(U),

appelé le produit tensoriel deGetF. Il s’avère queG⊗OXF représente le foncteur de OX-Mod dans Ens qui envoieH ∈ OX-Modsur l’ensemble des homomorphismesOX-bilinéaires deG×F dansH.

Soit O⁰_X une OX-algèbre, si F est muni d’une structure de O_X⁰ -module, alorsF⊗O_XGest naturellement muni d’une structure deO⁰_X-module.

1.10. Proposition. SoientX un espace topologique,OXun faisceau d’an- neaux sur X et O⁰_X une OX-algèbre. Soit F un O⁰_X-module. Le foncteur Hom_O0

X(F,−)deO⁰_X-ModdansOX-Modest adjoint à droite du foncteur

−⊗_OXF.

Démonstration.SoientGunOX-module et H unO_X⁰ -modules. Pour tout ouvertU deX, on a une bijection naturelle induite par l’adjonction entre les foncteursHom_O⁰

X(U)(F(U),−)et − ⊗_OX(U)F(U): Hom_OX(U)(G(U),Hom_O⁰

X(U)(F(U), H(U)))

Hom_O⁰

X(U)(G(U)⊗_OX(U)F(U), H(U))

(VI.1)

§1. Faisceaux de modules sur un espace annelé 97

Soientϕ:G⊗O_XF→H un homomorphisme deO⁰_X-modules qui détermine une famille fonctorielle (enU)

ϕU :G(U)⊗_OX(U)F(U)→H(U)

d’homomorphismes deO_X⁰ (U)-modules. Par les bijections (VI -VI.1) on ob- tient une famille d’homomorphismes deOX(U)-modules

ϕeU :G(U)−→Hom_O⁰

X(U)(F(U), H(U)).

Pour tout ouvert U deX et tout éléments∈G(U), les homomorphismes deO_X⁰ (V)-modules (oùV est un ouvert contenu dansU)ϕeV(s|V) :F(V)→ H(V)définit un homomorphisme deO_X⁰ -modulesψ_U(s) :F|_U→H|_U. On obtient ainsi un homomorphismeψ:G→Hom_O⁰

X(F, H).

Réciproquement, tout homomorphisme deO⁰_X-modulesG→Hom_O0 X(F, H) détermine, pour chaque ouvert U de X, un homomorphisme de O⁰_X(U)- modules

G(U)−→Hom_O0

X|U(F|U, H|U)−→Hom_O⁰

X(U)(F(U), H(U)), qui correspond à un homomorphisme de OX(U)-modules G(U)⊗_OX(U) F(U)→H(U). Par passage au faisceau associé, on obtient un morphisme

de faisceauxG⊗_OXF→H.

1.11.

Soient X et Y deux espaces annelés et f :X→Y un morphisme d’es- paces annelés. SiF est unOY-module, on désigne parf^∗(F)leOX-module OX⊗_f−1(O_Y)f⁻¹(F). C’est unOX-module, appelé l’image réciproque du faisceau deOY-modulesF par l’applicationf. AinsiF7→f^∗(F)définit un foncteur de la catégorie O_Y-Mod dans la catégorie O_X-Mod. En outre, si G est un OX-module, alors le faisceau f∗(G) est naturellement muni d’une structure de f_∗(OX)-module. Comme f_∗(OX) est une OY-algèbre, on obtient quef_∗définit un foncteur deOX-ModdansOY-Mod.

1.12. Proposition. Soit f:X→Y un morphisme d’espaces annelés. Le foncteurf^∗:OY-Mod→ OX-Modest adjoint à gauche du foncteurf∗. Démonstration.Soient F un OY-module et G un OX-module. On a des isomorphismes fonctoriel enF et G

Hom_OY(F, f∗(G))∼= Homf⁻¹OY(f⁻¹(F), G)∼= HomOX(OX,Hom_f−1OY(f⁻¹(F), G)).

D’après la proposition VI -1.10, on obtient un isomorphisme fonctoriel HomOX(OX,Hom_f−1OY(f⁻¹(F), G))∼= HomOX(f^∗(F), G),

d’où le résultat.

1.13. Définition. Soient A un anneau et M un A-module. Soit pt l’es- pace annelé d’un seul point muni du faisceau constante de valeursA. On peut alors considérer M comme un faisceau de module sur pt. On a un morphisme canoniqueπ:A→pt d’espaces annelés. On désigne par Mf le A-modulee π^∗(M). Par définition,Mfest le faisceau associé au préfaisceau

U7−→S_U⁻¹A⊗AM ∼=S_U⁻¹M.

2. Faisceaux quasi-cohérents

2.1. Définition.SoientX un espace annelé etF unOX-module. SiI est un ensemble, on a un isomorphisme fonctoriel (cf. le corollaire??)

Hom_OX(O^⊕I_X , F)−→^∼ Hom_OX(OX, F)^I.

Toute famille (si)_i∈I de sections globales de F correspond donc à un ho- momorphisme de OX-modules de O_X^⊕I dans F. Si cet homomorphisme O^⊕I_X →F est un épimorphisme dans la catégorie OX-Mod, on dit que leOX-moduleF estengendré par les sections (si)i∈I.

2.2. Proposition. Soit f :X→Y un morphisme d’espaces annelés. Si F est un OX-module engendré par ses sections globales, alors l’homomor- phisme canoniqueπ:f^∗(f_∗(F))→F est un épimorphisme dans la catégorie O_X-Mod.

Démonstration.Tout homomorphisme deOX-moduless:OX→F se fac- torise par f^∗(f_∗(F)). En effet, s correspond à un élément dans F(X) = f_∗F(Y), qui détermine un homomorphisme deO_Y-moduleses:O_Y →f_∗(F).

L’homomorphismesse factorise de façon unique parf^∗(es) :OX→f^∗(f_∗(F)).

Soit (s_i)_i∈I une famille d’éléments de F(X) telle que l’homomorphisme p:O^⊕I_X →Fcorrespondant à(s_i)_i∈I soit un épimorphisme dans la catégorie O_X-Mod. Soit

pe=M

i∈I

f^∗(esi) :O_X^⊕I−→f^∗(f∗(F)).

On ap=πp. Commee pest un épimorphisme, il en est de même deπ.

2.3. Définition. Soit(X,OX)un espace annelé. On dit qu’unOX-module F estquasi-cohérentau pointx∈X s’il existe un voisinage ouvertU dex et deux ensembles d’indicesIetJ tels queF |U soit le conoyau de l’homo-

§2. Faisceaux quasi-cohérents

morphisme

(OX|U)^⊕I−→(OX|U)^⊕J.

Si pour tout x∈X, F est quasi-cohérent à x, on dit que F est un OX- modulequasi-cohérent.

2.4. Proposition. Soitf:X→Y un morphisme d’espaces annelés. Si G est un OY-module quasi-cohérent, alors f^∗(G) est un OX-module quasi- cohérent. SiG est engendré par ses sections (resp. un nombre fini de ses sections) au-dessus de Y, alorsf^∗(G) est engendré par ses sections (resp.

un nombre fini de ses sections) au-dessus deX.

Démonstration.SoientV un sous-ensemble ouvert deY, U=f⁻¹(V). On a

f^∗(G)|U=f|^∗_U(G|V).

Notons quef|^∗_U est un foncteur adjoint à gauche, donc commute avec les limite inductives. SiG|V est le conoyau de

(OY|V)^⊕I−→(OY|V)^⊕J,

alorsf^∗(G)|U est le conoyau de l’homomorphisme correspondant (OX|U)^⊕I−→(OX|U)^⊕J.

De même, s’il existe un homomorphisme surjectifu:O^⊕I_Y →G, alors l’ho- momorphisme correspondant

f^∗u:O_X^⊕I−→f^∗(G)

est surjectif.

2.5. Théorème. SoientA un anneau commutatif et F un A-module sure SpecA. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.

(1) F est quasi-cohérent.

(2) Il existeg₁,· · ·, g_m∈Atels queSpecAsoit recouvert par(D(g_i))_16i6m et que, pour tout16i6m,F|_D(gi)∼=F(D(g_i))^∼.

(3) Pour toutf ∈A,

i) si t∈F(SpecA) est tel que t|_D(f)= 0, alorsfⁿt= 0 pourn suffi- samment positif,

ii) pour tout s∈F(D(f)), il existe n∈N et t∈F(SpecA) tels que fⁿs=t|D(f);

(4) Il existe unA-moduleM tel queF∼=Mf.

Démonstration.“(1)=⇒(2)" : Pour tout p∈SpecA il existe f∈Atel que p∈D(f)tel qu’on ait les suites exactes suivantes

(A|eD(f))^{⊕I α} //(A|eD(f))^⊕J //F|D(f) //0.

CommeD(f)est un schéma affine d’anneauf, on a A|e_D(f)=Aef et donc A|e^⊕I_D(f)∼=Ae^⊕I_f ∼= (A^⊕I_f )^∼.

De même, on a

A|e^⊕J_D(f)∼=A^⊕J_f ∼= (A^⊕J_f )^∼.

Soitϕ:A^⊕I_f →A^⊕J_f le morphisme deA_f-modules correspondant àα. Soit N le conoyau de ϕ. Alors Ne est le conoyau de α, et donc est isomorphe àF|_D(f), d’oùF(D(f))∼=N etF|_D(f)∼=F(D(f))^∼. Enfin, commeSpecA est quasi-compact, on obtient le résultat.

“(2)=⇒(3)" : Pour touti∈ {1, . . . , m},

(t|D(g_i))|D(f g_i)=t|D(f g_i)= (t|D(f))|D(f g_i)= 0.

Comme F|_D(gi)∼=F(D(gi))^∼, il existe N ∈N tel que (f^N/1)(t|_D(gi)) = 0 pour touti∈ {1, . . . , m}. Doncf^Nt|_D(gi)= 0pour touti∈ {1, . . . , m}. On en déduit quef^Nt= 0.

Pour touts∈ F(D(f))il existen∈Net dess_i∈ F(D(g_i))tels quefⁿs|D(f g_i)= s_i|_{D(f gi)}. Soient s_ij=s_i|_D(gigj). Alors s_ij|_{D(f gigj)}=s_ji|_{D(f gigj)}. Donc il existe M >0 tel que (f^M/1)(sij−sji) = 0 pour tout (i, j)∈ {1, . . . , m}². Soient ti= (f^M/1)(si). Alors il existe t∈F(SpecA) tel que t|D(g_i)=ti. Donct|_D(f)=f^n+Ms.

“(3)=⇒(4)" : Soit M =F(Spec(A)). Pour tout s∈ F(D(f)), il existe t∈ M et n∈N tels que fⁿs=t|_D(f). On construit un homomorphisme Φf: F(D(f))→M_f parΦ_f(s) =t/fⁿ. On vérifiera que cette définition ne dé- pend pas de choix det et de n. Supposons qu’on ait f^ms=t⁰|_D(f). Alors (fⁿt⁰−f^mt)|_D(f)= 0, c’est-à-dire qu’il exsite N ∈N tel que f^N(fⁿt⁰− f^mt) = 0, donct/fⁿ=t⁰/f^m. D’après (3) on sait que cette homomorphisme est injectif. Et t/fⁿ= Φf((1/fⁿ)t|_D(f)), c’est-à-dire que Φf est surjectif.

Enfin, si fⁿs=t|D(f), alors (f g)ⁿ(s|D(f g)) =gⁿt|D(f g), donc Φ commute avec les restrictions. DoncF∼=Mf.

“(4)=⇒(1)" : En effet, il existe des ensembles d’indicesIetJ tels qu’on ait la suite exacte

A^(I) //A^(J) //M //0.

§3. Faisceaux de type fini 101

Par conséquent on a la suite exacte suivante

Ae^(I) //Ae^(J) //Mf //0.

2.6. Proposition. Soientf:X→Y un morphisme d’espaces annelés,F unOX-module tel que l’homomorphisme caonique

f^∗f_∗(F)−→F

soit surjectif. Si Y est affine et si f_∗F est quasi-cohérent, alorsF est en- gendré par ses sections.

Démonstration.Soit A l’anneau de Y. Comme f_∗(F) est quasi-cohérent, il existe un A-module M tel que f_∗(F) =Mf. Notons que M est l’image d’unA-module libre A^(I). Comme N→Ne est un foncteur exact, on a un homomorphisme surjectif

Ae^(I)−→f_∗(F).

Enfin, le foncteur f^∗ est adjoint à gauche, donc on obtien un homomor- phisme surjectif

O^(I)_X −→f^∗(f_∗(F)).

Cela implique queF est engendré par ses sections.

3. Faisceaux de type fini

3.1.

SoitX un espace annelé etF unOX-module. On appellesupport deF le sous-ensemble deX des pointsxtels que Fx6={0}, notéSupp(F).

3.2. Définition

Soient X un espace annelé. UnOX-moduleF est dit de type finisi pour toutx∈X il existe un voisinage ouvertU dextel queF|_U soit un faisceau quotient d’un faisceau de la forme(OX|U)^p, oùp∈N.

3.3. Proposition.SoientX un espace annelé etF unOX-module de type fini.

(1) Soitx∈X. Si(si)i∈{1,...,n} sont des sections deF au-dessus d’un voi- sinage ouvert U de x et si s_i,x engendrent F_x, il existe un voisinage ouvertV ⊂U dextel que lessi,y engendrentFy pour touty∈V. (2) Le support deF est fermé.

(3) Si G est un OX-module, u:F→G est un homomorphisme de OX- modules tel queux= 0, il existe un voisinageU dextel queu|U= 0.

(4) Si v:G→F est un homomorphisme de OX-modules tel que vx soit surjectif, il existe un voisinageV dextel quev|V soit un épimorphisme.

Démonstration.(1) Il existe un voisinage ouvertU1⊂U dexet un nombre fini de sectionstj∈ F(12),j∈ {1, . . . , p}, tels que(tj)^p_j=1 engendrentF |W. CommeF_xest engendré par les (s_i,x)ⁿ_i=1, il existe un voisinage ouvertU₂ dextel queU₂⊂U₁, et une famille (a_ij)(i,j)∈{1,...,n}×{1,...,p} dans OX(U) tels que

∀j∈ {1, . . . , p}, t_j,x=

n

X

i=1

a_ij,xs_i,x.

On en déduit l’existence d’un voisinage ouvertV dexcontenu dansU2 tel que

∀j∈ {1, . . . , p}, tj|V =

n

X

i=1

aij|Vsi|V,

d’où

∀j∈ {1, . . . , p}, t_j,y=

n

X

i=1

a_ij,ys_i,y.

pour touty∈V.

2) On prendn= 1 ets1= 0 dans 1).

3) Notons que l’image de F paru est de type fini, donc son support est fermé.

4) Notons que le conoyau deuest de type fini, donc son support est fermé.

3.4.

Soit X un espace localement annelé. Si x est un point de x, on désigne parιx: Specκ(x)→X le morphisme d’espace localement annelé qui envoie l’unique point deSpecκ(x)surx∈X et tel queι^#:ι⁻¹_x OX=OX,x→κ(x) soit l’homomorphisme de projection.

SiF est unOX-module, on désigne parF(x)l’image réciproqueι^∗_xF. Rap- pelons que l’on aF(x) =Fx⊗O_X,xκ(x).

3.5. Proposition.SoientX soit un espace localement annelé etF soit un OX-module de type fini, alors

Supp(F) ={x∈X|F(x)6={0}}.

Démonstration.En effet,F(x)est unOX(x)-module de type fini, on utilise

alors le lemme de Nakayama.

§4. Faisceaux de présentation finie 103

3.6. Corollaire. Soient X un espace localement annelé, et F et G deux OX-modules de type fini, alors

Supp(F⊗_OXG) = Supp(F)∩Supp(G).

4. Faisceaux de présentation finie

4.1. Définition. SoitX un espace annelé, on dit qu’un A-moduleM est de présentaion finiesi pour toutx∈X il existe un voisinage ouvertU deX et des entiersp, q∈Ntels queM|U soit le conoyau d’un homomorphisme deO_U^⊕p dansO^⊕q_U .

4.2. Proposition. Soient X un espace annelé et F un OX-module de représentation finie. Alors pour toutOX-moduleG et tout x∈X l’homo- morphisme canonique

(Hom_OX(F, G))x−→Hom_OX,x(Fx, Gx) est un isomorphisme.

Démonstration.Localement F s’écrit comme le conoyau d’un homomor- phisme de la forme

ϕ:O_X^p −→ O_X^q . Par conséquent on a la suite exacte suivante :

0 //Hom_OX(F, G) //G^{q Φ} //G^p,

oùΦ = Hom_OX(ϕ, G). En passant à la limite inductive, on a la suite exacte 0 //Hom_OX(F, G)_x //G^q_x ^Φx //G^p_x.

Mais la suite exacte

O_X,x^{p ϕx} //O_X,x^q //Fx //0 induit la suite exacte :

0 //Hom_OX,x(F_x, G_x) //G_x^{q Ψx} //G_x^p, oùΨx= Hom(ϕx,Gx). Donc on a

(Hom_OX(F, G))x∼= HomOX,x(Fx,Gx)

d’après le lemme des cinq.

4.3. Corollaire. SoientX un espace annelé et F et Gdeux OX-modules de représentation finie. Soit x∈X. Si Fx et Gx sont isomorphes comme OX,x-modules, alors il existe un voisinage ouvertU dextel queF|U etG|U

sont isomorphes commeO_X|_U-modules.

Démonstration.Il existe un voisinage ouvertV dexet deux sections u∈Hom_A(V)(F(V),G(V)), v∈Hom_A(V)(G(V),F(V))

tels queu(x)et v(x)sont inverses l’un de l’autre. Par conséquent il existe un ouvertU tel queu|U etv|U sont inverses l’un de l’autre, i.e.,F |U etG|U

sont isomorphes en tant queOX|U-modules.

4.3.1. Faisceaux cohérents

4.4. Définition

Si(X,A)est un espace annelé, on dit que unA-moduleF est cohérentsi 1) F est de type fini ;

2) Pour tout sous-ensemble ouvertU deX et toutA|U-module homomor- phismeθ: (A|U)^m→ F |U (m >0), le noyau deθest unA|U-module de type fini.

UnA-module cohérent est évidemment quasi-cohérent. UnA-moduleFest cohérent si et seulement s’il existe un recouvrement ouvert{Ui}_i∈I de X tel que pour touti∈I,F |U_i est unA|U_i-module cohérent.

4.5. Lemme

Soient (X,A) un espace annelé etF, G, Htrois A-modules. Si F est un sous-module deH et en même temps un A-module quotient de G et si G est de type fini etHest cohérent, alorsF est cohérent.

Démonstration.CommeFest unA-module quotient deGon sait queFest de type fini. Soientθ: (A|U)^m→ F |U un homomorphisme eti:F |U→ H|U

l’homomorphisme canonique de l’inclusion. Alors i◦θ est un homomor- phisme de(A|U)^mdansH|U, etKerθ= Ker(i◦θ)est de type fini.

4.6. Théorème

[Serre] Soient(X,A)un espace annelé et

0 //F ^f //G ^g //H //0

une suite exacte deA-modules etA-module homomorphismes. Si deux des trois modulesF,G,Hsont cohérents, le troisième l’est aussi.

Démonstration.1) Supposons d’abord que G,H soient cohérents. Il suffit de vérifier queF est de type fini. CommeGest de type fini, pour tout point

§4. Faisceaux de présentation finie 105

x∈X, il existe un voisinage ouvertU dexet un épimorphisme ϕ: (A|U)^m−→ G.

CommeHest cohérent,I= Ker(g|Uϕ)est de type fini. Notins que l’image de I dans G est le noyau de g, i.e., l’image de F dans G, donc F est de type fini.

2) Supposons que F et G soient cohérents. Comme la cohérence est une propriété locale on suppose que F soit engendré par s1,· · ·, sn∈ F(X).

Si θ: (A|U)^k→ H|U est un homomorphisme, alors il existe un relèvement ϕ: (A|_U)^k→ G|_U tel queθ=gϕ. Soit

ψ: (A|_U)^k⊕(A|_U)ⁿ−→ G|_U

l’homomorphisme défini parψ(a, e_i) =ϕ(a) +s_i, oùe₁,· · · , e_n sont les gé- nérateurs canoniques de(A|U)ⁿ. Notons queθ=g|Uψi1, où

i1: (A|U)^k−→(A|U)^k⊕(A|U)ⁿ

est l’inclusion canonique. On aKerθ=π1(I), oùI est le sous-faisceau de (A|U)^n+k engendré pare1,· · · , en et Kerψ,

π1: (A|U)^k⊕(A|U)ⁿ−→(A|U)^k

est la projection. CommeGest cohérent, on sait queKerψest de type fini.

Par conséquent,I est aussi de type fini.

3) Supposons que F et H soient cohérents. Alors G est de type fini. Si θ: (A|U)^k→ G|U est un homomorphisme, soit (M, i) le noyau de g|U◦θ, alorsM est de type fini puisque H est cohérent. Notons que θ◦i est un homomorphisme deM dansF |U, doncKer(θ◦i) = Kerθ est de type fini

puisqueF est cohérent.

4.7. Corollaire

Soit(X,A)un espace annelé. Si F1

u //F2 //F3

v //F4 //F5

est une suite exacte deA-modules telle queF₁,F₂,F₄etF₅soient cohérent, alorsF3 est aussi cohérent.

Démonstration.En effet, on a la suite exacte suivante : 0 //Imu //F₃ //Imv //0.

4.8. Corollaire

Soient(X,A)un espace annelé etF,G deuxA-modules.

1) Si θ:F → G est un homomorphisme de A-modules, et si F et G sont cohérents, alorsKerθet Cokerθsont aussi cohérents ;

2) F ⊕ G est cohérent si et seulement siF etG sont cohérents ;

3) SiFet Gsont cohérents, alorsF ⊗_AG etHom_A(F,G)sont aussi cohé- rents.

Démonstration.1) Considérons d’abord Imθ, il est un sous-faisceau de G et en même temps un faisceau quotient de F, donc il est cohérent (Voir lemme VI -4.5). En fin, on a les suite exactes suivantes :

0 //Kerθ //F //Imθ //0, 0 //Imθ //G //Cokerθ //0.

2) F et G sont tous sous-faisceau et en même temps faisceau quotient de F ⊕ G, et on a la suite exacte suivante :

0 //F //F ⊕ G //G //0.

3) Pour toutx∈X il existe un voisinage ouvertU dexet une suite exacte (A|U)ⁿ //(A|U)^m //F |U //0.

Donc on a la suite exacte

(G|U)ⁿ //(G|U)^m //F |U⊗_A|UG|U //0.

Comme (G|_U)ⁿ et (G|_U)^m sont des A|_U-modules cohérents, on sait que FU⊗_A|U G|U = (F ⊗AG)|U est cohérent. Par conséquent F ⊗AG est un A-module cohérent.

Similairement, on a la suite exacte :

0 //Hom_A|U(F |_U,G|_U) //(G|_U)^m //(G|_U)ⁿ

qui implique la cohérence deHom_A(F,G).

4.9. Proposition

Soit(X,A)un espace annelé de telle sorte queAsoit cohérent comme un A-module. Alors

1) Pour qu’unA-module soit cohérent, il faut et il suffit qu’il soit de pré- sentation finie.

2) Pour qu’un sous-module deA^p (p∈N) soit cohérent, il faut et il suffit qu’il soit de type fini.

§4. Faisceaux de présentation finie 107

3) SoitF un faisceau cohérent deA-modules. Pour tout x∈X, soitI(x) l’idéal deA(x)formé desa∈ A(x)tels que af= 0pour toutf ∈ F(x).

LesI(x)forment un faisceau cohérent d’idéaux (appelé l’annulateur de F).

Démonstration.1) La necessité est triviale.

Suffisance : Localement F est le conoyau de deux A-modules cohérents, doncF est aussi cohérent.

2) F est de type fini si et seulement si localement il est image de A^q (q∈N). CommeF est un sous-faisceau deA^p, cela équivaut le fait queF est cohérent d’après le lemme VI -4.5.

3) A/I est un sous-faisceau deF qui est unA-module de type fini (Voir lemme VI -4.5), donc il est cohérent. Par conséquentI lui-même est aussi cohérent d’après le théorème de Serre (théorème VI -4.6).

4.9.1. Faisceaux cohérents sur un spectre premier

4.10. Lemme

Soit A un anneau. Si ϕ:N→M est un homomorphisme surjectif de A- modules tel queKerϕsoit de type fini. Alors pour tout homomorphisme ψ:A^p→M de A-modules, le noyau d’homomorphisme Φ = (ϕ, ψ) :N⊕ A^p→M est unA-module de type fini.

Démonstration.Supposons que (e_i)_1≤i≤p est une base canonique de A^p, alors pour touti∈ {1,2,· · ·, p}il existefi∈N tel quegi=ei−fi∈Ker Φ, cela entraîne queKer Φest engendré parKerϕet lesg_i.

4.11. Lemme

SoientAun anneau et{fi|i∈I} une famille d’un nombre fini d’éléments deAde sorte queX

i∈I

Afi=A, etM unA-module.

1) Pour queM= 0, il faut et il suffit que, pour tout i∈I,Mf_i= 0.

2) Pour queM soit de type fini, il faut et il suffit que, pour touti∈I,M_fi soit de type fini comme unAf_i-module.

3) Pour queM soit de présentation finie, il faut et il suffit que, pour tout i∈I,Mf_i soit de présentation finie comme unAf_i-module.

Démonstration.1) Six∈M, alors il existeN∈Ntel que pour touti∈I, f_i^Nx= 0. Notons que

rad X

i∈I

Af_i^N

!

⊃X

i∈I

Af_i=A,

donc il existea_i∈Atels que X

i∈I

a_if_i^N = 1, i.e., on ax= 0.

2) On suppose queMf_i soit engendré parxij/1 (j∈ {1,· · ·, ni}), oùxij∈ M. Posons N=X

i∈I

ni, et ϕ:A^N →M l’homomorphisme de sorte que ϕ envoie la base canonique deA^N en{xij |i∈I, j= 1,· · · , ni}. Alors pour touti∈I,

(Cokerϕ)fi= Coker(ϕfi) = 0, i.e.,ϕest surjectif.

3) D’aprés lemme VI -4.10 on sait qu’il existe n∈N et pour tout i∈I un homomorphisme surjectifϕi:Aⁿ_f

i→Mf_i tels que Kerϕi soient de type fini. Si (e_ij)_1≤j≤n est une base canonique de Aⁿ_f

i, et ϕ_i(e_ij) =x_ij/f_i^nij, considérons l’homomorphisme

ϕ⁰_i:Aⁿ_fi−→Mf_i, eij7→xij/1.

ϕ⁰_iest surjectif, etKerϕ⁰_i∼= Kerϕ_i. Donc on peut supposer quen_ij= 0pour touti∈I,1≤j≤n. SoitΦ :A^ncard(I)−→M l’homomorphisme qui envoie la base canonique deA^ncard(I)en{xij|i∈I,1≤j≤n}. D’après lemme VI -4.10 on sait que(Ker Φ)_fi est de type fini quel que soiti∈I. DoncKer Φ

est aussi de type fini.

Comme une conséquence du lemme VI -4.11, on a le théorème suivant : (Notons que le spectre premier d’un anneau est quasi-compact)

4.12. Théorème

Soient A un anneau et M un A-module. Pour que Mf soit un A-modulee de type fini (resp. de présentation finie) il faut et il suffit queM soit un A-module de type fini (resp. de présentation finie).

4.13. Lemme

Soient A un anneau noethérien et M unA-module de type fini, alorsMf est cohérent comme unA-module.e

Démonstration.Comme A est noethérien, un A-module de type fini est toujours de présentation finie. EtAeest un module cohérent sur lui-même puisque pout tout f ∈A, Af est un anneau noethérien (base d’Hilbert).

D’après proposition VI -4.9 on sait queMfest unA-module cohérent.e

4.14. Théorème

SoitA un anneau noethérien et F un A-module, alors les conditions sui-e vantes sont équivalentes :

§4. Faisceaux de présentation finie 109

1) F est cohérent.

2) F est quasi-cohérent et de type fini.

3) F ∼=Mf, oùM est unA-module de type fini.

Démonstration.“1)=⇒2)” est évident.

“3)=⇒1)” est le lemme VI -4.13.

“2)=⇒3)” : D’après le théorème VI -2.5 il existe un A-module M tel que F ∼=Mf. CommeF estA-module de type fini, on sait quee M estA-module

de type fini d’après le théorème VI -4.12.

4.15. Définition

SiAest un anneau noethérien, on dit que(SpecA,A)e est unshéma affine noethérien.

4.15.1. Faisceaux localement libres

4.16. Définition

Soit(X,OX)un espace annelé. On dit qu’unOX-moduleF est localement libre si pour toutx∈X il existe un voisinage ouvert U de xtel que F |U

soit unO_X|_U-module libre. Si pour toutU,F |_U est unO_X|_U-module libre de rang fini (resp. de rangn), on dit queF est unO_X-module localement libre de rang fini (resp. de rangn).

4.17. Proposition

Soient(X,OX)un espace annelé et F unOX-module localement libre de rang fini. Alors pour toutx∈X,F(x)est unO_X(x)-module libre de rang n(x)<+∞, et l’application n:X→Z est continue, où Z est muni de la topologie discrète.

Démonstration.D’après la définition on sait queF(x)est unOX(x)-module de rang fini, et pour toutx∈X il existe un voisinageU dextel queF |U

soitOX|U-module de rangn(x).

4.18. Définition

Soit(X,OX)un espace annelé. On appelleOX-module inversible toutOX- module localement libre de rang1.

4.19. Définition

Soit(X,OX) un espace annelé. Si F est un OX-module, on définit Fˇ:=

Hom_OX(F,OX), appelé le dual deF.

4.20. Proposition

SiE etFsont deuxOX-modules, alors on a un homomorphisme canonique E ⊗ˇ _OXF −→ Hom_OX(E,F).

SiE ouF est localement libre de rang fini, alors cet homomrphisme est un isomorphisme.

Démonstration.On se ramène au cas oùE=O_Xⁿ ouF=O^m_X. SiE=O_Xⁿ, alorsEˇ=O_Xⁿ,

E ⊗ˇ O_XF=Fⁿ=HomO_X(OX,F)ⁿ=HomO_X(O_Xⁿ,F).

SiF=O_X^m, alors

E ⊗ˇ O_XF= ( ˇE)^m=HomO_X(E,OX)^m=HomO_X(E,F).

4.21. Corollaire

SiE est inversible, il en est de même de son dual, et on a l’isomorphisme : E ⊗ˇ _OXE −→ OX.

4.22. Définition

SiLest unOX-module inversible, posons L^⊗n:= ( ˇL)^⊗(−n) pourn <0.

Le Corollaire VI -4.21 montre que lesL^⊗n forment un groupe.

Soit(X,OX)un espace annelé,LunOX-module inversible. On désigne par Γ_∗(L)le group commutatif

Γ∗(L) =M

n∈Z

Γ(X,L^⊗n).

Si s∈Γ_n(L) et t∈Γ_m(L)sont deux sections, alors s⊗t∈Γ(X,L^⊗n⊗OX

L^⊗m) se correspond canoniquement à une section dasn Γ(X,L^⊗(m+n)).

Γ_∗(L)est ainsi muni d’une structure d’anneau gradué. Maintenant siF est unOX-module, posons

Γ_∗(L,F) :=M

n∈Z

Γ(X,F ⊗OXL^⊗n).

AlorsΓ_∗(L,F)est canoniquement muni d’une structure de Γ_∗(L)-module gradué.

§4. Faisceaux de présentation finie 111

Soit(X,OX)un espace localement annelé. Pour toutx∈X, on désigne par m(x)l’idéal maximal deO_X(x), etκ(x)son corps résiduel. SiFest unO_X- module et sest une section de F, on désigne par s(x) l’image canonique des(x)dansF(x)/m(x)F(x).

4.23. Proposition

Soient(X,OX)un espace localement annelé,F unOX-module localement libre de rang fini. Sisest une section deFau-dessus deX, alors l’ensemble

X_s:={x∈X|s(x)6= 0}

est ouvert.

Démonstration.On se ramène au cas oùF=OX. Sis(x)6= 0, il est inver-

sible dans un voisinage dex.

4.24. Proposition

Soient(X,OX)un espace annelé,F unOX-module de présentation finie, xun point deX. Alors F est localement libre enxsi et seulement siF(x) est unOX(x)-module libre.

Démonstration.La necessité est triviale.

“Suffisance” : Il existe unOX-module libreG et deux éléments α∈Hom_OX(x)(F(x),G(x)), β∈Hom_OX(x)(G(x),F(x))

tels queαβ= 1_G(x),βα= 1_F(x). D’après la Proposition VI -4.2 on sait qu’il existe un voisinage ouvertU dexdansX et deux sections

u∈ HomOX(F,G)(U), v∈ HomOX(G,F)(U)

tels que uv= 1_G|U, vu= 1_{F |U}. Par conséquent F est localement libre en

x.

4.25. Théorème.SoientAun anneau etM unA-module de présentation finie. Pour queMfsoit unA-module localement libre, il faut et il suffit quee M est unA-module projectif.

Démonstration.“Suffisance :” Si M est un A-module projectif, pour tout p∈SpecA, M_p est un A_p-module projectif de type fini, donc est un A_p- module libre carAp est un anneau local.

“Necessité” : Pour tout idéal premierp de A, Mp est un Ap-module libre, donc projectif, i.e.,Hom_Ap(M_p,−)est un foncteur exact. Si

0 //N⁰ //N //N⁰⁰ //0

est une suite exacte deA-modules, alors

0 //N_p⁰ //Np //N_p⁰⁰ //0 est une suite exacte deAp-modules, donc la suite

0 //Hom_Ap(M_p, N_p⁰) //Hom_Ap(M_p, N_p) //Hom_Ap(M_p, N_p⁰⁰) //0 est exacte. Comme M est un A-module de présentation fini, cette suite exacte n’est rien d’autre que

0 //HomA(M, N⁰)p //HomA(M, N)p //HomA(M, N⁰⁰)p //0. Comme p est arbitraire, on sait que HomA(M,−) est un foncteur exact,

i.e.,M est unA-module projectif.

4.25.1. Comportement sous image réciproque

On suppose quef:X→Y soit un morphisme d’espaces annelés.

4.26. Proposition

SoitG unOY-module,F=f^∗G.

1) SiG est de type fini (resp. de présentation finie, localement libre, quasi- cohérent), alors il en est de même deF.

2) SiGest cohérent et siOX est cohérent commeOX-module, alorsF est aussi cohérent.

Démonstration.1) Cela résulte du fait quef^∗est un foncteur exact à droite.

2) Une conséquence de 1) et de la Proposition VI -4.9 1).

4.27. Proposition

SiE est unO_Y-module localement libre, alors f^∗(E)^∨=f^∗( ˇE).

Démonstration.f^∗étant adjoint à gauche, on se ramène au cas oùE=O_X.

Dans ce cas, la proposition est évidente.

SiFest un faisceau de baseY, alors pour toutx∈X,f⁻¹(F)(x) =F(f(x)).

Par conséquent, on a la proposition suivante.

§4. Faisceaux de présentation finie 113

4.28. Proposition

SiF et Gsont deux OY-modules, alors on a un isomorphisme canonique f⁻¹(F)⊗_f−1(OY)f⁻¹(G)−→f⁻¹(F ⊗_OY G),

et par conséquent, on a l’isomorphisme suivant : f^∗(F)⊗_OXf^∗(G)−→f^∗(F ⊗_OY G).

Particulièrement siLest unOY-module inversible, alors f^∗(L^⊗n) =f^∗(L)^⊗n.

4.29. Proposition

SiF et Gsont deux OY-modules, alors on a l’homomorphisme canonique f^∗(Hom_OY(F,G))−→ Hom_OX(f^∗(F), f^∗(G)).

Si de plusF est localement libre de rang fini, alors il est un isomorphisme.

Démonstration.L’homomorphisme se résulte de l’isomorphisme canonique f⁻¹(Hom_OY(F,G))−→ Hom_f−1(O_Y)(f⁻¹(F), f⁻¹(G)).

Pour la deuxième assertion, on se ramène au cas oùF=OX.

4.30. Proposition

SiF et E sontOX-modules, alors on a l’homomorphisme canonique : f∗(F)⊗OY E −→f∗(F)⊗OY f∗(f^∗(E))−→f∗(F ⊗OXf^∗(E)).

Si de plusE est localement libre de rang fini, alors il est un isomorphisme.

Démonstration.On se ramène au cas oùE=OX.