Tounsi Riadh (Lycée 9 Avril 1938 sfax ) 25 800 668
- 1 - Exercice 1 : (3 points)
Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse correcte vaut 0,75 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse vaut 0 point.
1) Les nombres complexe z1 et z2 tels que z1+ =z2 2i et z z1 2 = −1 isont les solutions de l’équation : La réponse exacte est : c) z²−2iz 1 i+ − =0 . Car ( la somme des racines d’une équation de second degré est b
S 2i
= − =a ; le produit est c
P 1 i
= = −a , L’équation est z² Sz− + =p 0) . 2) Soit x un réel. Le nombre complexe Z défini par x i
Z x i
= −
+ a pour module : La réponse exacte est : b) 1 car (x – i et x + i sont deux nombres complexes conjugués)
3)
On donne ci-contre la courbe représentative d’une fonction f définie sur l’intervalle
]
0,+∞[
. Soit (U )n la suite définie par :U0 =1et pour tout n∈INpar Un 1+ =f (U )n alors la suite
(U )n est :
c) ni croissante ni décroissante car 3
Si n est paire Un = 2
Si n est impaire , un =1 U0 U1
f(U )0 f(U )1
U2 =
x y
o 1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5
-1
4) Soit (U )n la suite définie pour tout n∈INpar : Un =2n+3. La suite
( )
Vn définie par : Vn =eUn : La réponse correcte est : b) est géométrique car Vn =e2n 3+ =e . e3( )
2 n .( )
Vn est une suite géométrique de raison e et de premier terme e2 3. Exercice 2 : (7 points)Soit la fonction f définie sur
]
0,+∞[
par : f (x) x 3 3ln(x)x
= + + .
On désigne par (CCCC) sa courbe représentative dan un repère orthonormé
(
o, , r ri j)
(unité graphique 1 cm).1)
{
{ {
3
x x
x 0 x 0
1 0
0
x 3 3ln(x)
x 3 3ln(x)
lim f (x) lim lim f (x) lim 1.
x et que x x
+ +
+
→ →−∞
→+∞ →∞
→ →
→ →
+ +
+
= = −∞ = + =
123
123
La courbe (CCCC) admet la droite x = 0 comme asymptote verticale au voisinage de 0 et La droite y = 1 comme asymptote horizontale au voisinage de +∞.
REPUBLIQUE TUNISIENNE
MINISTAIRE DE L’EDUCATION ET DE LA FORMATION
CORRECTION / EXAMEN DU BACCALAUREAT SESSION PRINCIPALE : juin 2009
SESSION DE JUIN 2009
SECTION : ECONOMIE ET GESTION
EPREUVE : MATHEMATIQUES DUREE :2h COEFFICIENT : 2
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- 2 - 2) a) Pour tout
] [
1 3 x x 3 3ln(x)
x 3 x 3 3ln(x) 3ln(x) x 0, f '(x) x
x² x² x²
,
+ − − −
+ − − − −
∈ +∞ = = = .
b) Tableau de variation de f.
0 1 +8
x f '(x) f(x)
0
-
+
4 -8
1
3) a) ∀ ∈ +∞x
[
1,[
, f (x)>0car f 1( [
+ ∞ =[ ) ] ]
1, 4 donc sur[
1,+∞[
l’équation f(x) = 0 n’admet pas desolution.
La restriction de f à l’intervalle
] [
0,1 est continue strictement croissante donc elle réalise une bijection de] [
0,1 sur]
−∞, 4[
puisque 0∈ −∞]
, 4[
, il existe donc un seul réel α∈] [
0,1 tel que f ( )α =0doncl’équation f(x) = 0 admet une unique solution α. On a : f(0,32) = - 0,307 et f(0,34) = 0,304 . Conclusion : f est continue sur
]
0.32; 0.34[
de plus f(0.32).f(0.34) < 0 donc la solution]
0.32; 0.34[
α∈ . b) Tracer (CCCC) dans le repère
(
o, , r ri j)
.x y
o i
j y = 1
4
4) a) Le bénéfice réalisé par l’usine est x B(x) f
1000
=
. Le bénéfice est maximale si la fonction f atteint son maximum 4 en 1, donc x
1 x 1000 objets
1000 = ⇒ = . Le bénéfice maximale réalisé par
l’usine est donc 4 milles dinars.
b) Le bénéfice réalisé pour une fabrication de 4000 objets est 4000 7 3ln(4)
f f (4)
1000 4
+
= =
. Le
bénéfice réalisé pour une fabrication de 4000 objets soit proche de 2789 dinars.
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- 3 - Exercice 3 : (5 points)
Une usine fabrique en grande série de climatiseurs susceptibles de présenter deux défauts a et b.
Une étude statistique de la production conduit aux résultats suivants :
• 3 % des présente le défaut a.
• Parmi les climatiseurs présente le défaut a 8 % présente le défaut b.
• Parmi les climatiseurs ne présente pas le défaut a 2 % présente le défaut b.
On prélève au hasard un climatiseur dans la production. On désigne par A et B les événements suivants : A « le climatiseurs présente le défaut a ».
B « le climatiseurs présente le défaut b ».
1) L’arbre pondéré ci-contre représente cette situation
2) Pour cette question on donnera les résultats à quatre chiffres
après la virgule.
a) La probabilité que ce climatiseur présente à la fois les deux défauts a et b c’est
p(AIB)=p(B / A) p(A)× =0.03 0.08× =0,0024. b) La probabilité que le climatiseur présente le défaut b est :
p(B)=p(BIA) p(B+ IA)=0.0024 0.02 0.97+ × =0,0218 c) La probabilité que le climatiseur ne présente aucun défaut
est : p(AIB)=p(B / A) p(A)× =0, 97 0, 98× =0,9506.
A
A
B B
B B
0,03
0,08
0,97 0,02
0,98 0,92
Exercice 4 : (5 points)
Un facteur doit, dans sa journée, prendre le courrier du central C et ce rendre à six localités de la ville qu’on note A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 et A .6 Les tronçons des route qu’il peut emprunter sont représentés par les arêtes du graphe G ci-dessous. Sur chaque arête est indiquée la longueur, en mètres, du troçon correspondante.
A1
A2
A6
A5
A4 C
A3
1000
900
800 900
700 1300
900 1000
800
600
500
1)
Sommets C A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6
degré 3 2 4 3 4 2 4
2) Il est possible d’emprunter tous les tronçons de route en parcourant une et une seule fois chacun d’eux. Car tous les sommets du graphe sont de degré paire, sauf C et A . Le facteur peut donc partir 1 du central C pour arriver au sommet A en empruntant une fois et une seule tous les tronçons du 3 route
3) Le facteur ne peut pas partir du central C et d’y revenir en empruntant une fois et une seule tous les tronçons du route car le graphe n’est pas un cycle Eulérien.
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- 4 - 4) Déterminer le plus chemin menant du central C à la localité A 5
On applique l’algorithme de Dijkstra
C A1 A2 A3 A4 A5 A6 On garde
0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ C
1000(C) 900(C) 900(C) ∞ ∞ ∞ A2
1000(C) 900(C) 1700(A2) ∞ 1600(A2) A3
1000(C)
1500(A3) ∞ 1600(A2) A4 1000(C)
2000(A4) 1600(A2) A6
2000(A4) A5
La plus courte chaîne menant du central C à la localité A5 est C-A3-A4-A5 de poids 2000
