Exercice 1
:Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
1. lim 1
²
x
x xe
x est égal à :
• .
• .
• 0.
• 1.
2. f la fonction définie sur IR par f(x)= xe-x :
• f'(x)=e-x.
• f'(x)=x-e-x.
• f'(x)=e-x(1-x).
• f'(x)= e-x+xe-x
3. f est la fonction définie sur 1’intervalle ] 0; + ∞ [ par ( ) 2 1 ln x
f x x
x . La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du plan admet pour asymptote la droite d’équation :
• y = 0.
• y = 2x − 1.
• x = 2.
• y = − x + 1.
4. Le nombre 2 ln e 5ln 2 ln 8
4 e
A
est égal à :
• 1 4 ln 2 .
• 4ln 2 3 .
• 2ln 5 1 .
• 8ln 2.
Exercice 2
Une grande ville a créé un jardin pédagogique sur le thème de l’écologie, jardin qui doit être visité par la suite par la majorité des classes de cette ville.
Ce jardin comporte six zones distinctes correspondant aux thèmes :
A. Eau B. Économie d’énergies C. Plantations et cultures
locales
D. Développement durable E. Biotechnologies F. Contes d’ici (et d’ailleurs) Ces zones sont reliées par des passages (portes) où sont proposés des questionnaires.
Le jardin et les portes sont représentés par le graphe ci-dessous (chaque porte et donc chaque questionnaire est représenté par une arête).
Lycée secondaire Marsa Eriadh *******
4ème Eco 1 03/03/2009
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Prof: M.Zribi.
Devoir de synthèse N°2
Section : ECONOMIE ET GESTION
Epreuve : Mathématiques Durée : 2h
M.Maamouri
QUESTION PRELIMINAIRE :
Si un visiteur répond à tous les questionnaires, à combien de questionnaires aura-t-il répondu ?
PARTIE A
1. Donner la matrice G associée à ce graphe.
2. Le graphe est-il complet ? Est-il connexe ? Justifier.
3. Peut-on parcourir le jardin en répondant à tous les questionnaires et sans repasser deux fois devant le même questionnaire :
a) en commençant la visite par n’importe quelle zone ?
b) en commençant la visite par la zone C (plantations et cultures) ? Dans ce cas, si la réponse est positive, quelle sera la dernière zone visitée.
(Dans les deux cas, a et b, justifiez votre réponse.)
PARTIE B
Pour illustrer chaque zone et présenter légendes et commentaires, les enfants ont décidé d’utiliser des supports de couleurs différentes.
Pour limiter le nombre de couleurs, on utilise des couleurs différentes seulement si les zones sont limitrophes (avec un passage entre les deux).
1. Donner et justifier un encadrement du nombre chromatique de ce graphe.
2. Déterminer alors en utilisant un algorithme adapté le nombre chromatique de ce graphe et proposer une répartition des couleurs.
Exercice 3:
1) soit la matrice
1 1 0
2 1 1
1 0 1
M
.
a) calculer le déterminant de M; en déduire que M est inversible.
1 1 1
1
A
B
C D
E F
Exercice 4
PARTIE A
Soit g la fonction définie sur
0;
par :g x( ) 1 x2ln( )x .1. Etudier les variations de la fonction g.
2. Calculer g(1).En déduire que g(x) ≥ 0 sur ]0,1] et que g(x) 0 sur [1, [
PARTIE B
Soit f la fonction définie sur
0;
par : ( ) ln( ) 1 12 2
f x x x
x . On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , , )O i j .
1. a. Calculer la limite de f en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
b. Calculer la limite de f en + ∞.
c. Montrer que la droite D d’équation 1 1
y 2x est asymptote à la courbe Cf en + ∞.
2. a. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle
0;
, '( ) ( )22 f x g x
x . b. En déduire le signe de f '( )x puis les variations de la fonction f.
3. Tracer la droite D et la courbe Cf dans le repère ( , , )O i j .
