LA SUPPRESSION DE DÉCOLLEMENTS DANS LES CHAMBRES D'EAU PAR L'EMPLOI DE GUIDEAUX DE FOND

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430 L A H O U I L L E B L A N C H E N° 3 - JUILLET 1955

L a suppression d e d é c o l l e m e n t s dans les c h a m b r e s d'eau

par Temploi d e g u i d e a u x d e f o n d

A e r o d y n a m i c guides used in novel f o r e b a y d e s i g n

PAR G. D. EANSFOED

I N G É N I E U R A U L A B O R A T O I R E D A U P H I N O I S D ' H Y D R A U L I Q U E D E L A S O G R E A H , G R E N O B L E

Par l'adjonction de guideaux aérodynamiques à un chenal d'amenée il fut possible d'empê- cher une séparation de l'écoulement dans la chambre d'eau, à la fois courbe, et divergente, servant à alimenter une centrale hydro- électrique. La disposition des guideaux fut déterminée par des essais sur modèle réduit;

en se basant sur les résultats obtenus et grâce à certaines formules déjà obtenues par d'autres chercheurs, l'auteur donne une ana- lyse théorique rapprochée de l'action des guideaux.

By placing guides of aerodynamic shape in a head-race canal, it was possible to prevent a breakaway of flow in the curved, diverging section at the entrance to the forebay. The location of the guides was determined by scale model investigations; on the basis of the results obtained, and availing himself of certain formulae derived by other investigators, the author outlines an approximate method of analysis which may prove useful in future studies of this type.

I N T R O D U C T I O N

L ' u n des p r o b l è m e s les plus difficiles de l ' h y d r a u l i q u e semble être la p r é v e n t i o n des d é c o l l e m e n t s dans les c a n a u x divergents, sur- tout si c e u x - c i sont c o u r b e s .

L ' i m p o r t a n c e p r a t i q u e de cette q u e s t i o n n ' é c h a p p e à p e r s o n n e . E n cas de d é c o l l e m e n t , la f o r m a t i o n de grands r o u l e a u x à axe v e r t i c a l ne p e u t être évitée. Si, dans la zone t o u r b i l l o n n a i r e , il se t r o u v e une p a r t i e des g r i l l e s destinées à p r o t é g e r une prise d'eau, la vitesse d ' é c o u l e m e n t , et donc les pertes de charge, s e r o n t augmentées dans la p a r t i e r e s t a n t e des g r i l l e s . M ê m e s'il n'en est pas ainsi, l ' é c o u l e m e n t d e v a n t les grilles d e v i e n t p l u s ou m o i n s i n c l i n é par r a p p o r t à l'axe de la prise, les pertes de charge a u g m e n t e n t c o n s i d é r a b l e m e n t , et un second dé- c o l l e m e n t peut se p r o d u i r e d e r r i è r e les grilles, dans la bâche spirale. Il en r é s u l t e une m o d i f i - c a t i o n de l'angle d'attaque du c o u r a n t absorbé

I N T R O D U C T I O N

O n e of the m o s t difficult p r o b l e m s c o n f r o n t - i n g the h y d r a u l i c e n g i n e e r is t h e p r é v e n t i o n of flow séparation f r o m the sides of d i v e r g i n g canals, p a r t i c u l a r l y i n t h e case of c u r v e d a l i g n m e n t s . T h e p r a c t i c a l i m p o r t a n c e of this q u e s t i o n is vvell k n o w n . W h e n b r e a k a w a y o c c u r s , the f o r m a t i o n of large eddies c a n n o t be avoided. P a r t of the screens placed in f r o n t of an i n t a k e m a y lie in the eddy zone, i n w h i c h case the v e l o c i t y of flow—and thus the head losses—will be increased in the r e m a i n i n g p a r t of the screens. E v e n if this is n o t the case, the d i r e c t i o n of flow at the i n t a k e b e c o m e s m o r e or less s h a r p l y i n c l i n e d t o t h e screens, t h e head tosses are g r e a t l y increased and s é p a r a t i o n of t h e flow, for a second t i m e , m a y take place b e h i n d the screens, i.e., f r o m t h e s c r o l l casing walls, and the ribs used for g u i d i n g the flow to the t u r b i n e s . T h e resuit is t o c h a n g e the angle

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955044

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par les t u r b i n e s et une baisse de r e n d e m e n t dé- cès dernières.

D ' u n autre côté, des dépôts de b o u e p e u v e n t se f o r m e r dans les zones d'eau m o r t e créées par les d é c o l l e m e n t s . O n r e n c o n t r e s o u v e n t de tels dépôts dans les a m é n a g e m e n t s vétustés où une grosse p a r t i e de la capacité de c h a m b r e d'eau f o u r n i e à u n p r i x élevé s'avère i n u t i l e .

T a n d i s q u e l ' e m p l o i des g u i d e a u x d é c r i t s ici ne peut, bien entendu, être c o n s i d é r é c o m m e u n r e m è d e u n i v e r s e l susceptible de r é s o u d r e tous les p r o b l è m e s de cette espèce, il c o n v i e n t de n o t e r les trois avantages suivants :

a) L e s g u i d e a u x p e u v e n t s'adapter à une grande variété de tracés de c h e n a u x et de c h a m b r e s de m i s e en c h a r g e ;

b) I l s sont de petites d i m e n s i o n s et p e u v e n t être choisis tous de la m ê m e f o r m e dans une a p p l i c a t i o n q u e l c o n q u e ;

c) Ils p e u v e n t être c o n ç u s de m a n i è r e à r e n d r e insignifiante l ' o b s t r u c t i o n q u ' i l s c r é e n t . Ces q u a l i t é s sont d'un i n t é r ê t p a r t i c u l i e r l o r s - q u ' i l s'agit de r é n o v e r des a m é n a g e m e n t s vétustés.

E t a n t d o n n é que la m i s e au p o i n t d'un sys- tème de g u i d e a u x r e q u i e r t une étude a p p r o f o n - die, ainsi q u ' i l ressort des détails p o r t é s sur la figure 2, on c o m p r e n d q u ' u n essai sur m o d è l e r é d u i t est nécessaire dans tous les cas.

L a t h é o r i e q u e n o u s d o n n o n s plus l o i n ne p r é - tend pas à u n e p r é c i s i o n s c i e n t i f i q u e ; i l ne s'agit q u e de d o n n e r une idée a p p r o x i m a t i v e q u a n t aux d i m e n s i o n s et à la d i s p o s i t i o n des g u i d e a u x . Les hypothèses q u e nous serons ame- nés à a d m e t t r e sont d'ailleurs assez é l o q u e n t e s à cet égard.

L A G E N È S E D U P R O C É D É

L ' é t u d e sur m o d è l e r é d u i t d'un n o u v e l aména- g e m e n t h y d r o é l e c t r i q u e au C o n g o B e l g e fut c o n - fié au L a b o r a t o i r e D a u p h i n o i s d ' H y d r a u l i q u e , G r e n o b l e , par le M a î t r e de l ' Œ u v r e , la Société des F o r c e s H y d r o é l e c t r i q u e s de l ' E s t de la C o l o - nie, B r u x e l l e s .

L e débit m a x i m u m de c h a c u n e des trois tur- bines sera de 40 m^s/ s ; en saison sèche, le f o n c - t i o n n e m e n t des g r o u p e s aux heures de p o i n t e c o n d u i r a à u n abaissement du n i v e a u de la re- tenue j u s q u ' à la cote 437, la r e t e n u e n o r m a l e étant de 440.

O n fut c o n t r a i n t , en raison de la t o p o g r a p h i e du lieu, à décaler le b â t i m e n t de la c e n t r a l e par r a p p o r t à l'axe du canal d ' a m e n é e ; par consé- q u e n t , .la c h a m b r e d'eau est à la fois c o u r b e et d i v e r g e n t e ( v o i r la fig. 1 ) . L e s essais de ce tracé p r i m i t i f , sans guideaux, m i r e n t en évidence un g r a n d r o u l e a u à axe v e r t i c a l dans la c h a m b r e

of flow e n t e r i n g the t u r b i n e s and a loss of efficiency m u s t resuit.

O n the other hand, deposits of m u d f o r m in the r é g i o n s of dead water created by the eddies.

T h è s e deposits are i n évidence i n m a n y of the older p o w e r schemes, w h e r e m u c h of t h e v o l u m e p r o v i d e d at great cost in forebays lias t u r n e d o u t to be ineffective.

W h i l e the use of the guides to be described i n Ihis a r t i c l e c a n n o t be expected to p r o v i d e a universal panacea for ail p r o b l e m s of this nature, three p a r t i c u l a r advantages m a y be n o t e d :

(1) T h e guides can be adapted to a wide v a r i e t y of canal and forebay l a y o u t s ;

(2) T h e y are small and m a y ail be m a d e of the same shape in any p a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n

— h e n c e t h e y should always p r o v e in- e x p e n s i v e ;

(3) T h e y m a y be designed and located so as to m i n i m i z e the o b s t r u c t i o n caused b y t h e m . T h è s e features m a k e t h e m of p a r t i c u l a r i n - terest for use i n ' r e n o v a t i n g ' old power schemes.

As w i l l be appreciated f r o m the p e c u l i a r i t i e s of their layout, a m o d e l test is r e q u i r e d in order to d é t e r m i n e the m o s t suilable a r r a n g e m e n t in any p a r t i c u l a r case. T h e t h e o r y g i v e n b e l o w does n o t p r é t e n d to be a n y t h i n g m o r e lhan an aid to the engineer engaged on m o d e l studies.

I t aims o n l y at g i v i n g an idea of the gênerai d i m e n s i o n s and l a y o u t of the guides, and is n o t a r i g o r o u s design m e t h o d ; this w i l l be m a d e évident by t h e a s s u m p t i o n s used.

T H E G E N E S I S O F T H E N E W D E S I G N T h e m o d e l study of a n e w h y d r o - p o w e r scheine in the B e l g i a n Congo was o r d e r e d f r o m the L a b o r a t o i r e D a u p h i n o i s d ' H y d r a u l i c , G r e - noble, by the C o n s t r u c t i n g A u t h o r i t y , L a Société des F o r c e s H y d r o é l e c t r i q u e s de l ' E s t de la C o l o - nie, of Brussels.

T h e m a x i m u m discharge of each of the t h r e e t u r b i n e s to be installed w i l l be 40 m8/ s , and, o w i n g to pondage o p é r a t i o n in the d r y season, the r é s e r v o i r level, n o r m a l l y m a i n t a i n e d at R . L . 440 ( m è t r e s ) , m a y be d r a w n down to R . L . 437.

T o p o g r a p h i c a l c o n s i d é r a t i o n s m a d e i t neces- sary to offset the p o w e r house f r o m the c e n t r e - line of the head-race canal, and the f o r e b a y is t h e r e f o r e c u r v e d and d i v e r g i n g i n plan (see fig. 1). W h e n the o r i g i n a l design, w i l h o u t guides, was testée! o u t on the m o d e l , the

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4 3 2 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - JUILLET 1 9 5 5

d'eau, près de la p a r o i c o n v e x e . Des i n j e c t i o n s d'encre de Chine r e n d i r e n t d'ailleurs visibles les c o u r a n t s de r e t o u r le l o n g de cette p a r o i (voir la fig. 3 ) . N é a n m o i n s , les essais effectués par la suite sur d'autres tracés (avec u n fond latéra- l e m e n t i n c l i n é , par e x e m p l e ) , m o n t r è r e n t q u e le

existence of a large eddy was observed on the inner side of the c u r v e d forebay. R e t u r n cur- rents along the c o n v e x wall of the f o r e b a y were m a d e visible by i n j e c t i n g I n d i a n i n k at p o i n t s on this wall (see fig. 3 ) . E v e n so, tests c o n d u c t e d on other designs of forebay (e.g., w i t h a sideways

F i o . '2 F u i . 1

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tracé p r i m i t i f était p e u t - ê t r e plus satisfaisant q u e la p l u p a r t des variantes « classiques » q u ' o n p o u r r a i t t r o u v e r .

Cet échec n o u s c o n d u i s i t alors à e n t r e p r e n d r e des r e c h e r c h e s sur des g u i d e a u x semblables à c e u x décrits dans un a r t i c l e de A . A . B O L S H A K O V . Dans cet a r t i c l e , il fut d é m o n t r é q u e la c r é a t i o n d'une c i r c u l a t i o n secondaire « artificielle » dans u n chenal d i v e r g e n t à axe r e c t i l i g n e e m p ê c h a i t le « d é c o l l e m e n t » de l ' é c o u l e m e n t des p a r o i s ; t r o i s systèmes de c i r c u l a t i o n « artificielle » f u r e n t e x p é r i m e n t é s , et les résultats obtenus s'avérèrent très p r o m e t t e u r s .

O n a m i s au p o i n t p l u s i e u r s sortes de g u i - deaux; dans le cas présent, t o u t e f o i s , l ' e m p l o i de p a n n e a u x fixés r i g i d e m e n t au fond du canal s'impose. L e s g u i d e a u x d o i v e n t épouser un tracé a é r o d y n a m i q u e , afin d'éviter des d é c o l l e m e n t s du revers des g u i d e a u x ; de m ê m e , il est peut-être p r é f é r a b l e de p r é v o i r un n o m b r e u n peu élevé de petits g u i d e a u x disposés en cascade p l u t ô t q u e les g u i d e a u x m o i n s n o m b r e u x , m a i s plus e n c o m b r a n t s , q u ' o n e m p l o i e c o u r a m m e n t dans d'autres a p p l i c a t i o n s des é c o u l e m e n t s secondaires.

Dans n o t r e a p p l i c a t i o n de cette idée à une c h a m b r e d'eau c o u r b e , nous p a r v î n m e s à la s o l u t i o n suivante : on a d m i t que la c i r c u l a t i o n secondaire « n a t u r e l l e » p e u t subsister dans une m o i t i é du canal, tandis que, dans l'autre m o i t i é , une c i r c u l a t i o n secondaire « artificielle » carac-

s l o p i n g b o t l o m ) showed thaï Ihe o r i g i n a l design was less u n s a t i s f a c t o r y lhan m o s l of the c o n - v e n t i o n a l alternatives l h a t c o u l d be suggested.

As a r e s u i t of this f a i l u r e to i m p r o v e flow c o n d i t i o n s in the forebay, it was decided to m a k e

tests on guides s i m i l a r to those described in an article by A . A . BOLSHAKOV in V o l . 30 of the P r o c e e d i n g s of the BHHHI-HM l'or 1950. I n this article it was shown that the c r é a t i o n of spiral flow in a straight, d i v e r g i n g channel h i n d e r c d flow s é p a r a t i o n ; three différent types of spiral m o t i o n artificially i n d u c e d by guide blades were tried out in a tesling f l u m e and Ihe results were m o s t p r o i n i s i n g .

M a n y différent types of guides can be devised, b u t in cases such as the présent the use of guides r i g i d l y fixed to the canal b o t t o m is i n d i c a t e d . T h e y should m o r e o v e r be s t r e a m l i n e d so as to p r e v e n t flow séparation f r o m the backs of the guides; for the same reason, the use of a f a i r l y c o n s i d é r a b l e n u m b e r of small guides a r r a n g e a in cascades is to be p r e f e r r e d to the use of fewer, b u t longer and larger, guides as is désirable in other d e v e l o p m e n t s of guided, spiral flow.

I n OUT o w n a p p l i c a t i o n of t h i s idea to a c u r v e d forebay, i t was considered thaï the n a t u r a l spiral m o t i o n due to the bend c o u l d be allowed to subsist i n one half of the c a n a l , ' w h i l e in the other half, an artificial spiral flow r o t a t i n g in the o p p o s i t e sensé should be c r e a t i n g (see fig. 5 ) . BOLSHAKOV'S tests showed t h a t i t w o u l d be désirable i n fact to create a

F I G . 3 Fin. 4

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4 3 4 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - JUILLET 1 9 5 5

térisée par un sens de r o t a t i o n c o n t r a i r e d e v r a i t être e n g e n d r é e ( v o i r la fig. 5 ) . L e s essais de M . BOLSHAKOV m i r e n t en l u m i è r e , en effet, les avantages q u e c o m p o r t e un m o u v e m e n t en v r i l l e d o u b l e , les lignes de c o u r a n t près du f o n d se d i r i g e a n t vers l'axe du canal et celles en surface, vers les berges.

Les m é r i t e s d'une telle d i s p o s i t i o n d é c o u l e n t des p r i n c i p e s p h y s i q u e s q u i sont à la base de l'effet stabilisateur des c i r c u l a t i o n s secondaires.

L ' é c o u l e m e n t en v r i l l e sert à r e m p l a c e r des masses de l i q u i d e retardées sous l ' i n f l u e n c e des parois par des masses de l i q u i d e p r o v e n a n t du c e n t r e du c h e n a l ; dans le cas d'un é c o u l e m e n t en v r i l l e d o u b l e , le t r a n s f e r t s'effectue par les lignes de c o u r a n t d i v e r g e n t e s . I l est donc d'un m e i l l e u r r e n d e m e n t de p r é v o i r des lignes de c o u r a n t d i v e r g e n t e s à la surface p l u t ô t q u e sur le f o n d ; c o m m e l ' i n d i q u e la figure 6, le t e m p s requis p o u r un t r a n s f e r t de p o i n t A (au c e n t r e du canal) à un p o i n t c r i t i q u e , tel que B , sur la p a r o i est n e t t e m e n t plus élevé, toutes choses étant égales par a i l l e u r s , p o u r la t r a j e c t o i r e 1 q u e p o u r la t r a j e c t o i r e 2.

Ce r a i s o n n e m e n t s'applique n a t u r e l l e m e n t à des c h e n a u x q u i s'élargissent sans a p p r o f o n d i s - s e m e n t n o t a b l e ; les c o n c l u s i o n s seraient i n v e r - sées dans le cas, assez i n v r a i s e m b l a b l e dans la p r a t i q u e , d'un chenal q u i s ' a p p r o f o n d i r a i t sans é l a r g i s s e m e n t .

L a figure 2 m o n t r e la d i s p o s i t i o n détaillée des g u i d e a u x , d i s p o s i t i o n q u i résulte des essais sur le m o d è l e r é d u i t ; on v o i t é g a l e m e n t sur la figure 7 une v u e générale du m o d è l e avec les g u i d e a u x en place, et sur la figure 4 une vue de l ' é c o u l e - m e n t près de la berge c o n v e x e où, aupara- vant (fig. 3) existait un c o u r a n t de r e t o u r .

F I G . 5

S o u l i g n o n s q u e la c h a m b r e d'eau mise au p o i n t par l ' a d j o n c t i o n des g u i d e a u x , f o n c t i o n n e de m a n i è r e très satisfaisante, sans d é c o l l e m e n t :

— p o u r des cotes du p l a n d'eau c o m p r i s e s entre 437 et 440, c'est-à-dire p o u r des p r o f o n - deurs d ' é c o u l e m e n t v a r i a n t de 4 à 7 m e n v i r o n ;

— p o u r tous les m o d e s d ' e x p l o i t a t i o n possibles des t u r b i n e s (avec une, deux ou t r o i s de celles-ci en f o n c t i o n n e m e n t ) et p o u r tous les débits que p e u v e n t absorber les groupes.

double spiral i l o w i n w h i c h the b o l l o m slreain- lines are d i r e c t e d i n w a r d s towards the c e n t r e - line of the canal, the surface s t r e a m l i n e s b e i n g d i v e r g e n t . T h e m e r i t of the a r r a n g e m e n t can be gauged f r o m the p h y s i c a l p r i n c i p l e s i n v o l v e d i n the f l o w - s t a b i l i z i n g effect of spiral flow. T h e spiral m o t i o n serves to r e p l a c e masses of l i q u i d slowed d o w n u n d e r the effect of b o u n d a r y f r i c t i o n by fresh, f a s t e r - m o v i n g l i q u i d c o m i n g in f r o m the c e n t r e of the c h a n n e l a l o n g the d i v e r g i n g s t r e a m l i n e s , i n . the case of d o u b l e

" c o r k s c r e w " flow. I t is o b v i o u s l y m o r e efficient to have the d i v e r g i n g s t r e a m l i n e s at the surface than on the b o t t o m — a s w i l l be seen f r o m figure G, the distance r e q u i r e d for b r i n g i n g n e w fluid f r o m the c e n t r e of the c h a n n e l ( p o i n t A ) to a c r i t i c a l p o i n t such as B on the side wall is m u c h greater i n the case of t r a j e c t o r y 1 ( d i v e r g i n g b o t t o m c u r r e n l s ) t h a n in the case of t r a j e c t o r y 2 ( d i v e r g i n g surface c u r r e n t s ) . T h u s i n the second case the r e t a r d e d flow will be replaced m u c h m o r e r a p i d l y — a n d by l i q u i d w h i c h spends on the w h o l e a v e r y m u c h shorter t i m e near the solid boudaries i n its passage.

T h i s r e a s o n i n g applies n a t u r a l l y to c h a n n e l s w h i c h w i d e n w i t h o u t d e e p e n i n g v e r y m u c h ; t h e c o n c l u s i o n s w o u l d be reversed were b r e a k a w a y to be feared f r o m the b o t t o m of a canal w h e r e the depth of flow increases w i t h o u t w i d e n i n g — a rather h y p o t h e t i c a l p r o b l e m .

F i g u r e 2 shows the detailed l a y o u t of the guides as d e t e r m i n e d by the m o d e l tests; see figure 7 for a v i e w of the m o d e l w i t h the guides installed, and figure 4 for a v i e w of the flow along the c o n v e x wall w h e r e p r e v i o u s l y (fig. 3) there was a back c u r r e n t .

F I G . 6

It should be stressed t h a t the forebay as finally designed w i t h the a d d i t i o n of guides f u n c t i o n s e x c e l l e n t l y , w i t h o u t flow séparation,

( i ) for levels r a n g i n g f r o m 437 to 440, i.e., for depths of flow v a r y i n g f r o m a p p r o x i m a t e l y 4 to 7 m è t r e s ;

(if) for ail possible flow c o m b i n a t i o n s , i.e., w i t h one, two or t h r e e t u r b i n e s in o p é r a t i o n , and for ail discharges w i t h i n the rated c a p a c i t y of the unîts.

(6)

Il faut de m ê m e s o u l i g n e r que l ' é c o u l e m e n t secondaire p e u t être c o n s i d é r é c o m m e sans effet sur les pertes de c h a r g e aux grilles et sur les r e n d e m e n t s des g r o u p e s par c o m p a r a i s o n avec ceux q u i e x i s t e r a i e n t en é c o u l e m e n t p l a n sans d é c o l l e m e n t . L e s g u i d e a u x o n t p o u r effet d ' u n i - f o r m i s e r la r é p a r t i t i o n des vitesses l o n g i t u d i n a l e s à l'entrée des g r i l l e s ; les vitesses transversales d e m e u r e n t , en général, très faibles et sont su- jettes à un a m o r t i s s e m e n t assez rapide, d o n c l'effet de ces dernières sur les pertes de c h a r g e aux grilles — et, à fortiori, sur les r e n d e m e n t s des g r o u p e s — doit être i n s i g n i f i a n t . Il y a, bien entendu, les m e i l l e u r e s raisons p o u r q u e la ran- gée aval des g u i d e a u x soit r e p o r t é e aussi l o i n en a m o n t de la centrale q u e possible, afin de faire j o u e r l ' a m o r t i s s e m e n t i n é v i t a b l e de l ' é c o u - l e m e n t secondaire.

Il c o n v i e n t de r e m a r q u e r enfin (en a n t i c i p a n t sur les résultats obtenus u l t é r i e u r e m e n t ) que l'on p e u t justifier t h é o r i q u e m e n t l'efficacité per- sistante d'un j e u donné de g u i d e a u x , dans une large g a m m e de h a u t e u r s d'eau.

A N A L Y S E

T H É O R I Q U E D E L ' É C O U L E M E N T D a n s ce q u i suit, nous d o n n e r o n s une analyse a p p r o c h é e du d é v e l o p p e m e n t de la v o r t i c i t é :

— dans des canaux courbes à s e c t i o n carrée (sans g u i d e a u x ) ;

— dans des canaux c o u r b e s et d i v e r g e n t s (sans g u i d e a u x ) ;

— dans des canaux à section c o n s t a n t e et à axe r e c t i l i g n e (avec une c i r c u l a t i o n transversale p r o v o q u é e par des g u i d e a u x ) ;

— dans des canaux d i v e r g e n t s à axe r e c t i l i g n e (avec g u i d e a u x ) ;

— dans des c a n a u x d i v e r g e n t s à axe c o u r b e (avec g u i d e a u x ) .

N o u s ferons u n e a p p l i c a t i o n n u m é r i q u e des résultats obtenus à la c h a m b r e d'eau d o n t il a déjà été q u e s t i o n . E n c o n c l u s i o n , nous e x a m i n e - rons le p r o b l è m e général de la m i s e au p o i n t de ces systèmes de guideaux.

I l should be emphasized that Ihe spiral i l o w set up i n the forebay is p r a c t i c a l l y w i t h o u t effect on the screen losses o r the t u r b i n e efficiencies as c o m p a r e d w i t h those t o be expected in n o n - r o t a t i o n a l , n o n - s e p a r a t i n g flow.

T h e effect of the guides is to ensure a v e r y u n i f o r m d i s t r i b u t i o n of f o r w a r d v e l o c i t i e s at the screens; the transversal v e l o c i t y c o m p o n e n t s are on the average v e r y small and are s u b j e c t to f a i r l y r a p i d d a m p i n g o u t , so t h a t the effect of thèse v e l o c i t y c o m p o n e n t s on the screen losses, and a fortiori, on the t u r b i n e efficiencies, should be i n s i g n i f i c a n t . T h e r e is, of course, every reason for p l a c i n g the r e a r m o s t cascade of guides as far away f r o m the screens as is c o m p a t i b l e w i t h n o n - s e p a r a t i o n , so as to benefit f r o m the d a m p i n g of the " artificial " spiral flow that i n e v i t a b l y o c c u r s .

It should be observed ( i n a n t i c i p a t i o n of results to be obtained s u b s e q u e n t l y ) that there is t h e o r e t i c a l j u s t i f i c a t i o n for the sustained efficiency of a g i v e n set of guides over a wide range of flow depths.

T H E O R E T I C A L A N A L Y S I S O F T H E F L O W

I n the f o l l o w i n g pages we w i l l give an ap- p r o x i m a t e analysis of the d e v e l o p m e n t of v o r t i - c i t y :

a) i n c u r v e d , c o n s t a n t - s e c t i o n channels ( w i t h o u t guides) ;

b) i n c u r v e d , d i v e r g i n g channels ( w i t h o u t g u i - des) ;

c) in straight, c o n s t a n t - s e c t i o n channels ( w i t h spiral flow i n d u c e d by guides) ;

d) in straight, d i v e r g i n g channels ( w i t h spiral flow i n d u c e d by guides) ;

e) i n c u r v e d , d i v e r g i n g channels ( w i t h i n d u c e d spiral flow).

A n u m e r i c a l a p p l i c a t i o n of the f o r m u l a e ob- tained in § b and § e w i l l be made to the case under c o n s i d é r a t i o n , and e x t e n s i o n to the gênerai design p r o b l e m w i l l be discussed.

S Y M B O L S S Y M B O L E S

1. SCALAIRES ET COMPOSANTES VECTORIELLES

b = largeur d'un chenal à section rectangu- laire,

b¹ — largeur d'un chenal rectangulaire au début d'un divergent,

f — ^5 degré de divergence d'un canal,

a) SCALARS AND VECTOR COMPONENTS

b = width of a rectangular canal,

b^x — width of a rectanglar canal before diverging,

f = ^1 ^ 1 , the rate of divergence of a canal, x2 — xx

(7)

436 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 3 - JUILLET 1 9 5 5

h = p r o f o n d e u r d ' é c o u l e m e n t , h* = h a u t e u r d e s g u i d e a u x d e f o n d ,

2 bh

k = • , V &2 + h*

ni, n, p = c o o r d o n n é e s s c a l a i r e s c o r r e s p o n d a n t a u x a x e s d é f i n i s p a r l e s v e c t e u r s m, « , p, r = r a y o n d e c o u r b u r e d e l ' a x e d ' u n c a n a l , s = r 6,

il = c o m p o s a n t e d e v i t e s s e s u i v a n t l ' a x e d e s x o u d e s s.

u0 = v i t e s s e « d e f o n d » , u^h = v i t e s s e e n s u r f a c e ,

û = v a l e u r m o y e n n e d e u,

v, iv = c o m p o s a n t e s d e v i t e s s e d a n s u n p l a n p e r - p e n d i c u l a i r e à u,

v" = v a l e u r m a x . d e v d a n s u n e s e c t i o n ,

v^e = r a c i n e c a r r é e d e l a m o y e n n e d e (v² + w²) d a n s u n e s e c t i o n ,

x, y, z = c o o r d o n n é e s r e c t a n g u l a i r e s , C = C o e f f i c i e n t d e G h é z y ,

V - P E -

-V +

₂ f ^U

+ —

P = p r e s s i o n , Q = i t é b i t ,

R = r a y o n h y d r a u l i q u e ,

U = f o n c t i o n d e p o t e n t i e l p o u r l e s f o r c e s e x - t é r i e u r e s ,

Y = V "² + w² + w²

a = a n g l e d e r o t a t i o n d e s l i g n e s d e c o u r a n t e n p a r c o u r a n t u n c o u d e ; a — 0 a u d é b u t d u c o u d e ,

u.

Y = c o e f f i c i e n t d ' a m o r t i s s e m e n t ( e n c a n a l à s e c t i o n c o n s t a n t e ) ,

Y* = c o e f f i c i e n t d ' a m o r t i s s e m e n t , e n c a n a l d i - v e r g e n t ,

0 = c o o r d o n n é e a n g u l a i r e , v = v i s c o s i t é c i n é m a t i q u e ,

v* = v i s c o s i t é c i n é m a t i q u e é q u i v a l e n t e e n a m o r - t i s s e m e n t t u r b u l e n t ,

o = p o i d s s p é c i f i q u e ,

9 = a n g . e d e f u i t e d e s g u i d e a u x ( a n g l e a p p a - r e n t d e d é v i a t i o n ) ,

o„, = a n g l e d e d é v i a t i o n r é e l ,

u) = c o m p o s a n t e d e v o r t i c i t é s e l o n x o u s, tixⁿ = c o m p o s a n t e d e v o r t i c i t é s e l o n m ,

« j , = c o m p o s a n t e d e v o r t i c i t é s e l o n p, ô7 = v a l e u r m o y e n n e d e co.

h = d e p t h o f f l o w , h* = h e i g h t o f g u i d e s ,

2 bh

k = — = , V ² + h"

m, n, p = s c a l a r c o o r d i n a t e s c o r r e s p o n d i n g t o a x e : ; d e f m e d b y v e c t o r s m , n, p,

r = r a d i u s o f c u r v a t u r e o f c a n a l a x i s , s = r 0, a r c l e n g t l i ,

« = v e l o c i t y c o m p o n e n t i n x— o r s - d i r e c t i o n , n⁰ = " b o t t o m " v e l o c i t y ,

uⁿ — s u r f a c e v e l o c i t y , a = m e a n v a l u e o f u,

v, w = v e l o c i t y c o m p o n e n t s p e r p e n d i c u l a r t o u, v' = m a x i m u m v a l u e o f v a t a g i v e n s e c t i o n ,

v^c = r o o t m e a n s q u a r e o f V "² + w² o v e r a c r o s s - s e c t i o n ,

x, y, z = C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s , C = c o e f f i c i e n t o f C h é z y ,

V² P

E = -—- + U + -

2 p P = p r e s s u r e ,

Q = d i s c h a r g e , R = b y d r a u l i c r a d i u s ,

U = p o t e n t i a l f u n c t i o n of e x t e r n a l f o r c e s , v = v ^ M - l y2 + w2

a = a n g l e of r o t a t i o n of s t r e a m l i n e s i n f r i c - t i o n l e s s flow ( w i t h n o n - u n i f o r m v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n ) r o u n d a b e n d ; a = 0 at t h e s t a r t o f t h e b e n d ,

Y = d a m p i n g c o e f f i c i e n t i n a c o n s t a n t - s e c t i o n c a n a l ,

Y* = d a m p i n g c o e f f i c i e n t i n a d i v e r g i n g c a n a l , 0 = a n g u l a r c o o r d i n a t e ,

v = k i n e m a t i c v i s c o s i t y ,

v* = é q u i v a l e n t k i n e m a t i c v i s c o s i t y f o r t u r - b u l e n t d a m p i n g ,

p = d e n s i t y ,

9 = t r a d i n g a n g l e o f g u i d e s ( a p p a r e n t a n g l e o f d é v i a t i o n ) ,

om = r e a l a n g l e o f d é v i a t i o n o f c u r r e n t , w = v o r t i c i t y c o m p o n e n t i n cr-or s - d i r e c t i o n ,

<>>,i = v o r t i c i t y c o m p o n e n t i n n d i r e c t i o n ,

w,, — v o r t i c i t y c o m p o n e n t i n p d i r e c t i o n , to == m e a n v a l u e of oo o v e r a c r o s s s e c t i o n .

(8)

2. VECTEURS

m = vecteur unitaire perpendiculaire à n, p , n = vecteur unitaire perpendiculaire à p, dans

un plan contenant le vecteur de vorti- cité,

p = vecteur unitaire dirigé dans le sens de V , F = force externe agissant sur une masse uni-

taire de fluide, V = vecteur de vitesse, H = (V X V ) , la vorticité.

b) VECTORS

m = unit vector perpendicular to n, p ,

n = unit vector perpendicular to p , in a plane containing the vorticity vector at each point,

p = unit vector in direction of V at each point, F = external force acting on unit mass of a

liquid,

V = vector velocity,

fl = (V X V ) , the vector vorticity,

A ) A N A L Y S E DE L'ÉCOULEMENT DANS DES CHENAUX COURBES A SECTION CARRÉE (SANS GUI- D E A U X ) .

( A ) ANALYSIS OF FLOW IN CURVED, APPROXIMATELY SQUARE CHANNELS WITHOUT GUIDES.

1° E n p r e m i e r lieu n o u s é t u d i e r o n s l ' a c c r o i s - s e m e n t de la v o r t i c i t é dans u n l i q u i d e caracté- risé par une r é p a r t i t i o n de vitesses n o n u n i - f o r m e . L ' a n a l y s e q u i fut d o n n é e p o u r la p r e - m i è r e fois par le professeur W . R . H A W T H O R N E ( v o i r R . E. K R O N A U E R , « S e c o n d a r y F l o w s i n F l u i d D y n a m i c s » — T h è s e du Massachusetts I n s t i t u t e of T e c h n o l o g y , 1951), est basée sur une e x t e n s i o n du t h é o r è m e de H E L M H O L T Z c o n c e r n a n t la v o r t i c i t é d'un fluide en é c o u l e m e n t p e r m a n e n t , t h é o r è m e d o n t la p r e u v e suit.

E n t e r m e s v e c t o r i e l s , l ' é q u a t i o n de m o u v e - m e n t d'un l i q u i d e n o n v i s q u e u x s'écrit :

( i ) T h e first p a r t of this analysis is c o n c e r n e d w i t h the é v a l u a t i o n of the rate of change of v o r - t i c i t y in an i n v i s c i d l i q u i d w i t h a n o n - u n i f o r m v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n . T h e analysis, w h i c h was first given by P r o f e s s o r W . R. H A W T H O R N E (see R. E . K R O N A U E R : " S e c o n d a r y F l o w s i n F l u i d D y n a m i c s " , M . I . T . T h e s i s , 1951), is based on a d e v e l o p m e n t of H E L M H O L T Z ' S t h e o r e m on the rate of change of v o r t i c i t y ( i n the case of steady flow of an i n v i s c i d l i q u i d ) ; this t h e o r e m w i l l first be p r o v e d .

In v e c t o r f r o m , the é q u a t i o n of m o t i o n of an i n v i s c i d l i q u i d m a y be w r i t t e n :

H + V f — \ + ( V x V ) X V = F _ - L V P

3 t \ 2 / a

N o u s supposerons que les forces e x t é r i e u r e s pos- sèdent une f o n c t i o n de p o t e n t i e l , F = — V U . N o u s p o u v o n s d o n c é c r i r e :

S u p p o s i n g that the external forces are conser- vative, w i t h F = — V U :

3 V ( V ² P

Si l'on p r e n d le r o t a t i o n n e l des deux m e m b r e s T a k i n g the c u r l of b o t h sides, and r e m e m b e r - de cette é q u a t i o n , en se r a p p e l a n t q u e le r o t a - i n g that the c u r l of a g r a d i e n t is i d e n t i c a l l y zéro, t i o n n e l d'un g r a d i e n t est nul, n o u s o b t e n o n s : we have :

4-?

^{+ v} x ( N x V) = o

a t

Les f o r m u l e s d ' e x p a n s i o n p o u r les p r o d u i t s T h e f o r m u l a e of e x p a n s i o n for v e c t o r p r o d u c t s v e c t o r i e l s d o n n e n t : give :

3 FT + ( V. v ) N = ( f t . v ) V — N ( v . V J 3 t

P o u r u n é c o u l e m e n t p e r m a n e n t , le p r e m i e r F o r the steady case, the first t e r m drops o u t ; t e r m e s'annule; le d e r n i e r s'annule é g a l e m e n t en the last drops o u t on a c c o u n t of the c o n t i n u i t y v e r t u de l ' é q u a t i o n de c o n t i n u i t é : c o n d i t i o n :

V . V = 0

7

(9)

L e t h é o r è m e de H E L M H O L T Z s'écrit alors sous la T h e s i m p l i f i e d f o r m of H E L M H O L T Z ' S t h e o r e m f o r m e : is t h e n o b t a i n e d :

( V. V ) N = ( N . V ) V ( i )

K R O N A U E R ' S analysis (based on a suggestion of L ' a n a l y s e de M . K R O N A U E R ( s u i v a n t une sugges- the late P r o f e s s o r R . v o n M I S E S ) t h e n p r o c e e d s t i o n de V O N M I S E S ) p r o c è d e c o m m e suit : as f o l l o w s .

L e d é v e l o p p e m e n t de (1) f o u r n i t l ' é q u a t i o n : E x p a n d i n g the f o r e g o i n g :

3 ( , ) 3 V , 3 V

V N ^p p + o>.n n ==^u — — + w .B — — (2)

3 p

j )

^F^{3 p on}

ou e n c o r e : or :

V - — ^ p + —-£• a = w „ — - P + <»„ - 5 — P + V — V — — - (3)

( dp dp ) ^l\ dp ) ( on an dp )

L e p r o d u i t scalaire avec p d o n n e : T h e scalar p r o d u c t w i t h p gives :

„ 3W„ 3 V , 3 V A 7 3 « . . .

D ' a u t r e p a r t : N o w : 3 V 3 V 3 o

_^JL⁼ Ji-L p + V (5)

3 n 3 ii 3 n et :

2Z

= L V | P ⁽⁶⁾

3 p 3 P 3 7J

Il s'ensuit q u e , en p a r t i c u l i e r : So that, i n p a r t i c u l a r : 3 V \ _ 3_V _3V_

3 il ) p ~ 'dlî P ~ 3 il et : and :

dp

J

ⁿ dp \dp

J

Or : N o w :

0 )M EEE 0

D o n c : so t h a t :

-—(£).

E n se s o u v e n a n t q u e : R e m e m b e r i n g t h a t :

3 n 3 p , . „ ,

— p = — ~ n (10) dp dp

on o b t i e n t , d'après (7) et ( 9 ) , que : we have, u s i n g successively (7) and (9) : 3 V / 3 V \ / 3 V \

" » 377 = ( Â T T J , = »• feX

et d'après (10) et (8) q u e : and, using (10) and ( 8 ) :

_ coK. V _ . p = « . V Â | = ( ^ (12)

(10)

P a r c o n s é q u e n t , à l'aide des é q u a t i o n s (11) et so that, w i t h the aid of (11) and (12), é q u a t i o n (4) ( 1 2 ) , l ' é q u a t i o n (4) p e u t s'écrire : t r a n s f o r m s i n t o :

II s'ensuit que :

ou e n c o r e que

3 V

It follows that 3

or : 3

DP

C o m m e M. K R O N A U E R le fait r e m a r q u e r , les dérivées partielles par r a p p o r t à p sont des d é r i - vées totales dans le sens h a b i t u e l de l ' h y d r o d y - n a m i q u e : l ' é q u a t i o n (13) s'écrira d o n c :

dp

Cette é q u a t i o n d o n n e le t a u x d ' a c c r o i s s e m e n t de la c o m p o s a n t e de la v o r t i c i t é selon p en f o n c t i o n de la vitesse d ' é c o u l e m e n t . U n e ex- p r e s s i o n semblable p o u r w,„ p e u t être établie.

2° L a seconde p a r t i e de l'analyse p o r t e sur l ' é v a l u a t i o n de l ' a c c r o i s s e m e n t de la c o m p o s a n t e de v o r t i c i t é u> dans des c h e n a u x c o u r b e s à section carrée. Cette étude, q u e n o u s devons au p r o f e s - seur W . R. H A W T H O R N E et à M. JOY ( v o i r JOY :

« E x p é r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n of Shear F l o w i n R e c t a n g u l a r Bends » — T h è s e M . I . T . , 1950) est basée sur l ' é q u a t i o n ( 1 4 ) . L e s hypothèses e m - ployées sont les suivantes :

a) N o u s r e m p l a c e r o n s p par s et t*p par « ; en d'autres t e r m e s , on suppose q u e la c i r c u l a t i o n transversale est faible par r a p p o r t à l ' é c o u l e - m e n t l o n g i t u d i n a l p r i n c i p a l ;

B) L a vitesse V sera r e m p l a c é e par la « vitesse axiale m o y e n n e » TI;

C) U n e section carrée B X B sera assimilée au c e r c l e i n s c r i t de d i a m è t r e B. L e s essais de M. K R O N A U E R v a l i d e n t cette h y p o t h è s e .

Il s'ensuit que, i c i , h = b;

d) O n a d m e t t r a q u e la r é p a r t i t i o n i n i t i a l e des vitesses l o n g i t u d i n a l e s est l i n é a i r e et q u e , i n i t i a - l e m e n t , les isotaches sont h o r i z o n t a l e s . Cette hy- pothèse, m a l g r é sa m a n i f e s t e i n e x a c t i t u d e , se j u s - tifie par l ' e m p l o i q u e n o u s en f e r o n s ; il s'agit en réalité d'évaluer la v o r t i c i t é <o„ au début du coude, et suivant n o t r e h y p o t h è s e , celle-ci est constante sur t o u t e la section m o u i l l é e et égale à:

2 <»„ 3_V

3 7 ^{( 1 3 )}

As K R O N A U E R p o i n t s out, p a r t i a l derivatives w i t h respect to p are total d e r i v a t i v e s i n the usual sensé of fluid m e c h a n i c s , so t h a t (13) m a y be w r i t t e n :

V 2

RFV

dp (14)

T h i s é q u a t i o n gives the rate of change of the v o r t i c i t y c o m p o n e n t i n the p d i r e c t i o n as a func- t i o n of the v e l o c i t y . A similar é q u a t i o n g i v i n g the rate of c h a n g e of w^m can also be f o u n d .

(iz) T h e second p a r t of the analysis is c o n - cerned w i t h the a p p r o x i m a t e analysis of the increase in the v o r t i c i t y c o m p o n e n t <o i n c u r v e d channels of square section. T h e analysis, w h i c h follows t h a t of P r o f e s s o r W . R. H A W T H O R N E and W . JOY (see JOY : " E x p é r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n

of Shear F l o w i n R e c t a n g u l a r Bends " , M . I . T . T h e s i s , 1950) is based on é q u a t i o n ( 1 4 ) , as w i l l be e x p l a i n e d :

a) W e r e p l a c e p by -s^- and % by co, i.e., i t is supposed t h a t the secondary flow is small as c o m p a r e d to the m a i n , axial f l o w ;

B) T h e v e l o c i t y V w i l l be r e p l a c e d b y the ' m e a n f o r w a r d v e l o c i t y ', TI;

C) A square cross-section of side B w i l l be assimilated, for the é v a l u a t i o n of t h e rate of t w i s t i n g of the streamlines, to the i n s c r i b e d c i r - cle of d i a m e t e r B. K R O N A U E R ' S tests s u p p o r t t h i s a s s u m p t i o n .

H e r e , h = b.

d) W e suppose that the i n i t i a l v e l o c i t y dis- t r i b u t i o n is linear, Iines of e q u a l v e l o c i t y b e i n g h o r i z o n t a l . D e s p i t e its s e e m i n g i n e x a c t i t u d e , t h i s a s s u m p t i o n can be j u s t i f i e d b y the use m a d e of i t ; o u r ai m is to evaluate w„ at the start of t h e bend, and a c c o r d i n g to this h y p o t h e s i s , c ù„ is c o n s t a n t over the w h o l e c r o s s - s e c t i o n and equal to :

(11)

440 L A H O U I L L E B L A N C H E N" 3 - JUILLET 1955

e) O n s u p p o s e r a q u e a> reste c o n s t a n t sur t o u t e la section m o u i l l é e , m a l g r é les p e t i t e v a r i a t i o n s de V, lesquelles, selon ( 1 4 ) , c o n d u i s e n t à des t a u x d ' a c c r o i s s e m e n t de o> l é g è r e m e n t différents à m e -

sure q u ' o n p a r c o u r t le c o u d e . N o u s é c r i r o n s d o n c :

e) I t w i l l be supposed t h a t o> r e m a i n s c o n s t a n t over the c r o s s - s e c t i o n of flow, despite t h e s l i g h t v a r i a t i o n s i n V w h i c h , a c c o r d i n g to ( 1 4 ) , lead to

s l i g h t l y différent rates of increase i n o> as t h e flow passes r o u n d the bend. W e m a y t h e r e f o r e w r i t e :

/ ) Sauf dans la m e s u r e où elle c o n t r i b u e à l'existence de la r é p a r t i t i o n de vitesses p r i m i t i v e , la r u g o s i t é des parois ne sera pas p r i s e en consi- d é r a t i o n . L a t h é o r i e s ' a p p l i q u e à des coudes q u i ne s o n t pas « t r o p l o n g s » .

L ' é q u a t i o n (14) p e u t s'écrire sous la f o r m e : _d_

ds

f) W a l l f r i c t i o n , e x c e p t i n a s m u c h as i t c o n - t r i b u t e s to t h e o r i g i n a l , n o n - u n i f o r m v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n , w i l l be n e g l e c t e d .

E q u a t i o n (14) m a y be w r i t t e n

2p cos a i l ds

O n n o t e r a q u e —û cos a ( d û / d s ) r e p r é s e n t e la c o m p o s a n t e selon n du g r a d i e n t des vitesses vec- t o r i e l l e s , dans l ' h y p o t h è s e q u e les lignes de c o u - r a n t et les isotaches subissent une r o t a t i o n a

« en b l o c » , l'angle de r o t a t i o n du c o u d e étant de 6 et vers la d r o i t e ( v o i r la fig. 7 ) .

Il s'ensuit q u e :

N o t e that—ïï cos a ( d ô/ds) r e p r e s e n t s t h e n—

c o m p o n e n t of the v e c t o r v e l o c i t y gradient, on the s u p p o s i t i o n t h a t the s t r e a m l i n e s (and the c o n t o u r s of e q u a l v e l o c i t y ) r o t a t e w i t h o u t dis- t o r t i n g t h r o u g h an angle a w h i l e the bend cur- ves to the r i g h t w i t h p o s i t i v e 6 (see fig. 7 ) .

It f o l l o w s t h a t :

= J - — / cos œ d6

b Jo

(15)

F i g . 7

L e signe m o i n s i n d i q u e q u e les lignes de c o u r a n t c o m m e n c e n t à t o u r n e r dans u n sens o p - posé à c e l u i de la r o t a t i o n des aiguilles d'une m o n t r e , si fi est positif (c'est t o u j o u r s le cas dans les c h e n a u x à ciel o u v e r t ) .

C o m p t e t e n u de la d é f i n i t i o n de s, n o u s t r o u - vons que, sur la c i r c o n f é r e n c e du c e r c l e de dia- m è t r e b :

T h e négative sign indicates t h a t the s t r e a m - lines start r o t à t i n g i n a c o u n t e r c l o c k w i s e d i r e c - t i o n i n a bend t u r n i n g to t h e r i g h t , if p is p o s i t i v e (as is alwâys the case in open c h a n n e l s ) .

F r o m the d é f i n i t i o n of w, on the o u t e r c i r c u m - f e r e n c e of the i n s c r i b e d c i r c l e , we find, i n t h e case we are c o n s i d e r i n g , t h a t :

(12)

Mais : B u t -,—I R, b d œ

D ' a u t r e part, p o u r R s u f f i s a m m e n t grand, on

peut é c r i r e a p p r o x i m a t i v e m e n t : ït = R ( d 6 / d f ) . A l s o u — R ( d ô / d r ) a p p r o x i m a t e l y , for large R . I l en r é s u l t e que, avec une b o n n e a p p r o x i m a -

t i o n : It f o l l o w s that, a p p r o x i m a t e l y :

DQ DE

R ( 5

2 û cos a DO (16)

A p r è s d i f f é r e n t i a t i o n et i n t é g r a t i o n , on o b t i e n t

l ' e x p r e s s i o n suivante p o u r 6 : A s i m p l e différentiation and i n t é g r a t i o n gives : d a.

V s i n a (17)

3° N o u s p o u v o n s m a i n t e n a n t évaluer a d'après (17) avec des intégrales e l l i p t i q u e s . I l v i e n t :

(IÏI) T h i s last é q u a t i o n (17) can be evaluated in t e r m s of e l l i p t i c intégrais of the l e m n i s c a t e type. W e find :

t • J L = 1 — e n [6 V ( f t / p R ) ]

8 2 i _J.cn [6 V ' ( 6 / P R ) ]

(18)

avec le p a r a m è t r e m = ( 1 / 2 ) p o u r la f o n c t i o n en.

P o u r les p r o b l è m e s d o n t nous nous o c c u p o n s i c i , o ù l ' a r g u m e n t de la f o n c t i o n en ne dépassera p r o b a b l e m e n t pas l ' u n i t é , les p r e m i e r s t e r m e s de la série (valable p o u r m = [ 1 / 2 ] ) :

w i t h the p a r a m e t e r m = 1/2 for the f u n c t i o n en.

F o r the p r o b l e m dealt w i t h here, w h e r e t h e a r g u m e n t of the en f u n c t i o n is n o t l i k e l y to exceed u n i t y , the séries a p p r o x i m a t i o n ( f o r m = 1/2).

en u = 1 — + - g - — 3 M8

80

+

⁽¹⁹⁾

p o u r r o n t f o r t bien c o n v e n i r . D o n c :

is l i k e l y to p r o v e adéquate.

T h u s :

tg -ô- =

_{1 O 0 R} 80 — 10 R ) - g » + 3 [(fr/ft R ) O²]² + • 16 — 4 (6/P R ) «² + R ) 6²]² + • • . '

(20) Cette façon d ' e x p r i m e r le r é s u l t a t f o n d a m e n t a l

de la t h é o r i e cache la p é r i o d i c i t é de la s o l u t i o n exacte, p é r i o d i c i t é q u ' o n observe d'ailleurs dans des t u y a u x f o r t e m e n t coudés ( H A W T H O R N E , J O Y ) ; a atteint u n m a x i m u m p o u r d i m i n u e r ensuite. I l ne sera t o u t e f o i s pas q u e s t i o n de ce p h é n o m è n e i c i .

L a f o r m u l e r e q u i s e p o u r nos besoins ulté- r i e u r s est c e l l e q u i d o n n e 5>. Si l ' o n p r e n d l'ex- p r e s s i o n ( 2 0 ) , l ' i n t é g r a l e de (15) p e u t s'expri- m e r :

T h i s w a y of w r i t i n g the basic resuit of the t h e o r y c l o a k s the p e r i o d i c i t y of t h e s o l u t i o n ac- t u a l l y observed i n sharp p i p e bends ( H A W - THORNE, JOY) w h e r e t h e r o t a t i o n a of the s t r e a m - lines attains a m a x i m u m and t h e n d i m i n i s h e s .

T h e i m p o r t a n t f o r m u l a for f u t u r e use is t h e one g i v i n g 73. S u b s t i t u t i o n of (20) in (15) and i n t é g r a t i o n to the same o r d e r of a c c u r a c y as i n (20) give the e x p r e s s i o n :

2 p H

8 — , fSR 40

(13)

A très p e u de chose près, dans la g a m m e de valeurs de G q u i n o u s intéresse :

Une f o r m u l e analogue fut établie par JOY, par une a u t r e m é t h o d e d'analyse. Si l ' o n c o m p a r e (21) et ( 1 5 ) , on v o i t que a. reste f o r c é m e n t p e t i t sur un c e r t a i n p a r c o u r s du c o u d e ; ce r é s u l t a t n ' é t a i t pas é v i d e n t à p r i o r i .

or, p r a c t i c a l l y speaking, w i t h i n the l i m i t s of 0 c o n s i d e r e d h è r e :

(21) A n é q u i v a l e n t f o r m u l a was f o u n d by JOY by a différent a p p r o a c h . C o m p a r i n g w i t h ( 1 5 ) , we see t h a t a m u s t r e m a i n v e r y s m a l l for some distance a r o u n d the b e n d ; this, h o w e v e r , was n o t é v i d e n t at first sight.

B ) ANALYSE DE L'ÉCOULEMENT DANS LES CHENAUX COURBES ET DIVERGENTS (SANS G U I D E S ) . L a p r i n c i p a l e difficulté i c i ( p o u r v u q u ' a u c u n d é c o l l e m e n t ne se p r o d u i s e ) s e m b l e r a i t p r o v e n i r de ce que la s e c t i o n en t r a v e r s s'écarte p l u s o u m o i n s de la f o r m e carrée. T o u t e f o i s , dans la g a m m e de c o u r b u r e s étudiées i c i , n o u s p o u v o n s j ) r e n d r e :

( B ) ANALYSIS OF FLOW IN CURVED, DIVERGING CHANNELS WITHOUT GUIDES.

T h e m a i n d i f f i c u l t y here, p r o v i d e d t h a t breakaway does n o t o c c u r , w o u l d seem to lie i n t h e d e p a r t u r e f r o m a square, or a p p r o x i m a t e l y square, section. H o w e v e r , i n t h e range of c u r v - ature of p r i m e i n t e r e s t here, we m a y take : cos a = 1

L a dérivée de l ' é q u a t i o n (21) : T h e d e r i v a t i v e of é q u a t i o n (21) dâ> 2 p It

d e ~~ h est valable en c h a q u e section du c h e n a l diver-

gent, q u e l l e q u e . soit la f o r m e exacte de cette section. E n a d m e t t a n t , c o m m e a u p a r a v a n t , q u e les isotaehes sont p r i m i t i v e m e n t parallèles au fond, n o u s o b t e n o n s :

h o l d s at each p o i n t i n the c u r v e d , d i v e r g i n g channel, i r r e s p e c t i v e of the exact shape of the s e c t i o n ; on the s u p p o s i t i o n , as before, t h a t c o n t o u r s of e q u a l v e l o c i t y are i n i t i a l l y p a r a l l e l t o t h e b o t t o m :

f û d O (22)

o

C) A N A L Y S E DE L'ÉCOULEMENT SECONDAIRE CRÉÉ DANS UN CHENAL A SECTION CONSTANTE PAR DES GUIDEAUX.

L ' a n a l y s e suivante est basée sur les t r a v a u x de BOLSHAKOV et de ses c o l l a b o r a t e u r s , c o m m e i l a déjà été m e n t i o n n é .

Des essais o n t m o n t r é q u e la r é p a r t i t i o n de vitesses c a r a c t é r i s a n t une c i r c u l a t i o n t r a n s v e r - sale s i m p l e ayant le m ê m e sens de r o t a t i o n q u e les aiguilles d'une m o n t r e était donnée, dans u n chenal r e c t a n g u l a i r e , par les f o r m u l e s suivantes ( v o i r la fig. 8) :

u = ï ï = Ct e.

v v^r cos — + - sin —^T-

h b h k . • n u % z w — — v^c sin —f- cos -—-

b b h

( C ) ANALYSIS OF SPIRAL FLOW IN STRAIGHT CONS- TANT-SECTION CHANNELS WITH GUIDES.

T h e f o l l o w i n g analysis is based on the w o r k of BOLSHAKOV (and his associâtes), as m e n t i o n e d p r e v i o u s l y .

Tests have shown t h a t the v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n i n a r e c t a n g u l a r c h a n n e l w i t h a single, c l o c k - w i s e - r o t a t i n g s e c o n d a r y c i r c u l a t i o n is given q u i t e a c c u r a t e l y b v the f o l l o w i n g f o r m u l a e (see fig. 8) : .

k

b

F I G . 8

(14)

L a valeur m a x i m u m de la vitesse h o r i z o n t a l e T h e m a x i m u m value of the h o r i z o n t a l v e l o c i t y est donnée par : is given by :

K l =

v^e (24)

et : and :

v

c = " -j-

tg

<f

^m 25)

L a v o r t i c i t é est donnée à un p o i n t q u e l c o n q u e T h e v o r t i c i t y at any p o i n t is g i v e n by : par l ' e x p r e s s i o n :

4^7T v„ %v %z

«i = — : — - cos —f- cos ——

k b h Il en résulte que : and h e n c e :

16 v^c

O) = jJL.

16 U h . /nn\

= = ^ n ^ ^t ^g ^V ^m⁽²⁶⁾

Or, p o u r plusieurs raisons (en p a r t i c u l i e r , N o w , for several reasons ( i n p a r t i c u l a r , p a r c e que les guideaux de fond « t r a v a i l l e n t » because the b o t t o m guides " w o r k " in a r é g i o n dans une r é g i o n d ' é c o u l e m e n t retardé et parce of retarded flow and because there are no surface q u ' i l n'y a pas de guides de surface) : guides) :

Des essais o n t m o n t r é que, p o u r des guides Tests have shown that for p r o p e r l y designed bien dessinés du type considéré i c i : guides of the type considered here :

t g ? „ = l,6 1 — - T p j t g ? (27)

a p p r o x i m a t i v e m e n t . a p p r o x i m a t e l y . T h e f o r m u l a we r e q u i r e is t h c r e f o r e the fol- L a f o r m u l e r e c h e r c h é e est d o n c la suivante : l o w i n g :

2 5 ù / i * ( h* ) .⁽⁰x\

Reste à e x a m i n e r l ' a m o r t i s s e m e n t de la v o r t i - T h e d a m p i n g o u t of the artificially i n d u c e d c i t é artificielle. Des essais o n t m o n t r é q u ' o n peut v o r t i c i t y r e m a i n s to be considered. Tests have a p p l i q u e r la f o r m u l e : shown that the f o r m u l a

= ( »⁰) o (29)

avec . is applicable, with :

T = J k g L ( 3 0 )

où ; and :

gh

V T T T

( u n i t é s m é t r i q u e s ) . . .

( 3 1 )

W 45^ ( m e t r i c u n i t s )

Les expressions (29) et ( 3 0 ) p e u v e n t être dé- T h e f o r m u l a e (29) and ( 3 0 ) can be derived duites par une analyse t h é o r i q u e ; t o u t e f o i s , la t h e o r e t i c a l l y ; h o w ç v e r , the k i n e m a t i c v i s c o s i t y v*

(15)

L A H O U I L L E B L A N C H E N° 3 - JUILLET 1955 114

viscosité c i n é m a t i q u e a p p a r e n t e v* s'avère q u e l - ques centaines de fois s u p é r i e u r e à la viscosité c i n é m a t i q u e réelle du fluide, p o u r peu q u e l ' é c o u - l e m e n t soit t u r b u l e n t . Des essais effectués e n t r e autres par VAGABOV c o n d u i s e n t à la f o r m u l e (31) \

Il résulte de la d é f i n i t i o n de t» que la v o r t i c i t é est régie par la m ê m e loi d ' a m o r t i s s e m e n t q u e v^c. D ) A N A L Y S E DE L'ÉCOULEMENT SECONDAIRE CRÉÉ DANS UN CHENAL RECTILIGNE DIVERGENT PAR LES GUIDEAUX.

L e t r a i t e m e n t q u i suit est basé sur les t r a v a u x de B O L S H A K O V . D ' a p r è s l ' é q u a t i o n ( 2 9 ) , on p e u t é c r i r e :

dvr

Ici, v* est d o n n é par ( 3 0 ) , avec :

b/

+

^h-

(on suppose q u e le c h e n a l s'élargit sans s'ap- p r o f o n d i r ) .

D ' a u t r e part, dans l ' é q u a t i o n (30) :

De ( 3 0 ) , (33) et ( 3 4 ) , il ressort q

A p r è s i n t é g r a t i o n de ( 3 2 ) , avec cette valeur de y*, o n o b t i e n t q u e :

Certaines e x p é r i e n c e s effectuées sur les é c o u l e - m e n t s d i v e r g e n t s t e n d e n t à m o n t r e r q u e la valeur de v* s ' a p p l i q u a n t i c i , p e u t être n o t a b l e m e n t plus élevée q u e celle f o u r n i e par l ' e x p r e s s i o n ( 3 1 ) . I c i , c e p e n d a n t , l'angle de d i v e r g e n c e est sans doute s u f f i s a m m e n t faible p o u r que cela puisse être n é g l i g é .

Enfin, on p e u t faire r e m a r q u e r que, dans le canal d'amenée q u e nous c o n s i d é r o n s i c i , la di- v e r g e n c e n'est pas u n i f o r m e ; très faible près du début du coude, elle a u g m e n t e vers la rangée aval de guideaux. P a r c o n s é q u e n t , f n'est pas cons- tant, et nous t i e n d r o n s c o m p t e de ce fait dans les calculs.

* N O T E D E L ' A U T E U R . — C e t a r t i c l e é t a i t s o u s p r e s s e l o r s q u e c e l u i d e M . F O R T I E R c o n s a c r é a u x é c o u l e m e n t s g i r a t o i r e s d a n s les t u y a u x c i r c u l a i r e s p a r u t d a n s la Houille Blanche, N » B , 1 9 5 4 .

U n e c o m p a r a i s o n des f o r m u l e s p o u r l ' a m o r t i s s e m e n t m o n t r e q u e les é c o u l e m e n t s s e c o n d a i r e s d o i v e n t e n f a i t s'éteindre b e a u c o u p p l u s r a p i d e m e n t d a n s les t u y a u x ou c a n a u x r e c t a n g u l a i r e s q u e d a n s les c o n d u i t e s c i r c u l a i r e s .

is some h u n d r e d s of t i m e s greater t h a n t h e real k i n e m a t i c v i s c o s i t y of the l i q u i d , i n t u r b u l e n t flow, and tests by VAGABOV and o t h e r s have led to the e m p i r i c a l (31) *.

It f o l l o w s f r o m t h e d é f i n i t i o n of co t h a t the v o r t i c i t y obeys t h e same law of d a m p i n g as v^c.

( D ) ANALYSIS OF SPIRAL FLOW IN STRAIGHT D I V E R G - ING CHANNELS WITH GUIDES.

T h e f o l l o w i n g t r e a t m e n t is based on the w o r k of B O L S H A K O V .

U s i n g é q u a t i o n ( 2 9 ) , we m a y w r i t e :

— y* dx (32)

w h e r e y* is defined by ( 3 0 ) , w i t h : 4 n n &¹ + / * ) 2

on the s u p p o s i t i o n t h a t the canal w i d e n s w i t h o u t deepening.

M o r e o v e r , i n é q u a t i o n (30) :

(34) , ( 3 3 ) , and (34) it f o l l o w s t h a t :

S u b s t i t u t i n g in ( 3 2 ) , we find after i n t é g r a t i o n that :

(35) E x p e r i m e n t s on d i v e r g i n g flow lia-ve s h o w n that the value of v* to be used h e r e m a y be c o n - siderably greater t h a n that g i v e n by é q u a t i o n ( 3 1 ) . I n the p r é s e n t case, h o w e v e r , the divergence is p e r h a p s s u f f i c i e n t l y g r a d u a i for this to be n e g l i g i b l e .

I n c o n c l u s i o n , a n o t h e r p o i n t needs s o m e atten- t i o n . I n the headrace canal c o n s i d e r e d here, the rate of d i v e r g e n c e is v e r y s m a l l near t h e firsl cascade, and increase as we near the s e c o n d ; / is not c o n s t a n t . A n a l l o w a n c e for t h i s has been m a d e i n the s u b s é q u e n t c a l c u l a t i o n s .

* A U T H O R ' S N O T E . — T h i s a r t i c l e w a s i n p r i n t w h e n M . F O R T I E R ' S a r t i c l e o n t h e d a m p i n g o f s w i r l i n g m o t i o n i n p i p e s a p p e a r e d i n la Houille Blanche, N ° B , 1 9 5 4 .

A b r i e f c o m p a r i s o n s h o w s t h a t s e c o n d a r y c u r r e n t s in r e c t a n g u l a r p i p e s o r c a n a l s — o u r c a s e — m u s t d i e a w a y m u c h m o r e r a p i d l y t h a n t h o s e i n c i r c u l a r p i p e s .

"° h (b, + fx) ue : F r o m (30)

1 Q ( M & i + f x ) )

(16)

E ) A N A L Y S E DE L'ÉCOULEMENT SECONDAIRE CRÉÉ DANS UN CHENAL COURBE DIVERGENT PAR LES

GUIDEAUX.

Des essais o n t m o n t r é que les vitesses axiales dans u n é c o u l e m e n t ayant subi l ' i n f l u e n c e des g u i d e a u x sont à peu près u n i f o r m e s sur t o u t e la p r o f o n d e u r de c o u r a n t ( v o i r la figure 9 q u i pré- sente q u e l q u e s résultats e x p é r i m e n t a u x m e n t i o n - nés par M . B O L S H A K O V ) .

Il est l é g i t i m e de supposer q u ' a u c u n « effet de H A W T H O R N E » n'est à c r a i n d r e dans ce cas;

( E ) ANALYSIS OF VORTICITY IN CURVED DIVERGING CHANNELS WITH GUIDES.

Tests have shown t h a t the f o r w a r d v e l o c i t i e s i n spiral flow i n d u c e d by guides are a l m o s t u n i - f o r m over the w h o l e depth of f l o w ; see fig. 9 w h i c h gives some t y p i c a l e x p é r i m e n t a l results r e f e r r e d to by B O L S H A K O V .

N o " H a w t h o r n e effect " is t h e r e f o r e to be expected i n this case, and the f o r m u l a e derived

les f o r m u l e s obtenues au § D p o u r r o n t d o n c être e m p l o y é e s c o m m e si le chenal était r e c t i l i g n e . I l est bien e n t e n d u t o u t e f o i s q u ' u n e r é p a r t i t i o n n o n u n i f o r m e de vitesses se d é v e l o p p e r a si la c i r c u l a - t i o n transversale « a r t i f i c i e l l e » v i e n t à s'éteindre.

in section D can be applied d i r e c t l y as t h o u g h the canal were s t r a i g h t . I t is t r u e of c o u r s e t h a t a n o n - u n i f o r m v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n w i l l d e v e l o p if the a r t i f i c i a l l y i n d u c e d , spiral flow is d a m p e d o u t .

A P P L I C A T I O N D E L A T H É O R I E A P P L I C A T I O N O F T H E T H E O R Y D a n s la p a r t i e finale de cet a r t i c l e , on fera une

a p p l i c a t i o n de la t h é o r i e p r é c é d e n t e au canal

I n the c o n c l u d i n g p a r t of this a r t i c l e t h e f o r e - g o i n g t h e o r y w i l l be applied t o t h e p o w e r canal

F I G . 9