DIE REDUKTIONSTHEORIE DER POSITIVEN QUADRATISCHEN FORMEN
VON
B. L. VAn DV~R W A E R D E N in Ziirieh
, , O b s c h o n die r a t i o n a l e n q u a d r a t i s c h e n F o r m e n z u d e n R l t e s t e n G e b i e t e n d e r Z a h l e n t h e o r i e i i b e r h a u p t g e h 6 r e n , h a b e n sie d o c h b i s h e r n u r i m b i n ~ r e n F a l l e i n e e i n i g e r m a s s e n a b s c h l i e s s e n d e B e h a n d l u n g e r f a h r e n . W'as d a r i i b e r h i n a u s a n g e b o t e n w i r d , b e f i n d e t sich in e i n e m c h a o t i s c h e n u n b e f r i e d i g e n d e n Z u s t a n d , wie die e n z y k l o p ~ d i s c h e D a r s t e l l u n g y o n B a c h m a n n d e u t l i c h e r k e n n e n l/~sst.
N i r g e n d s b e m e r k t m a n , d a s s l e i t e n d e G e s i c h t s p u n k t e in d e n V o r d e r g r u n d gestellt u n d n e b e n s ~ c h l i c h e i h n e n u n t e r g e o r d n e t w e r d e n . "
H . BRANDT, ~-ber S t a m m f o r m e n . Ber. Verb.
sdchs. A k a d . Leipzig, 100 (1952), S. 3.
E i n l e i t u n g
Seit B r a n d t die eben zitierten Worte geschrieben hat, ist das Buch yon Eichler, Quadratische Formen und orthogonale Gruppen (Springer 1952), erschienen, in dem wirklich leitende Gesichtspunkte in den Vordergrund gestellt sind. Jedoch ist damit erst ein Anfang gemacht, denn vieles Wichtige ist bei Eichler nicht ausgeffihrt und im Ganzen ist die Theorie nach wie vor, wie B r a n d t ganz richtig sagt, in einem chaotischen Zustand.
Fragen wit z. B. ganz konkret: Was wissen wit yon den Darstellungen gegebener Zahlen dutch quatern/~re Formen? so linden wit in der Literatur einerseits die allgemeine MaBformel yon SiegeP, andererseits eine Reihe yon zerstreuten Untersuchungen mit ganz verschiedenen Methoden fiber spezielle F o r m e n wie
/ @1, x2, x3, x4,) = x~ + x~ + x~ + x~. (A)
1 C. L. SIEGEL, A n a l y t i s c h e T h e o r i e d e r q u a d r a t i s c h e n F o r m e n I. A n n a l s o/ M a t h . , 40, 52. D a z u K a p . 5 d e s B u c h e s v o n EICHLER.
266 B. L. VAN DEN WAERDEN
Von einer s y s t e m a t i s c h e n H e r l e i t u n g dieser E r g e b n i s s e aus einer a l l g e m e i n e n M e t h o d e s i n d wir n o c h w e i t e n t f e r n t . Z w a r h a t H u r w i t z d e n Z u s a m m e n h a n g m i t d e n Q u a t e r n i o n e n h e r g e s t e l l t , a b e r er h a t seine M e t h o d e n u r a u f die eine F o r m (A) a n g e w a n d t .
U m hier w e i t e r zu k o m m e n , mfisste m a n einerseits die a]lgemeine MaBformel auf q u a t e r - n~re F o r m e n spezialisieren u n d die in ihr v o r k o m m e n d e n F a k t o r e n e x p l i z i t a u s w e r t e n , a n d e r e r s e i t s die H u r w i t z s e h e Z a h l e n t h e o r i e d e r Q u a t e r n i o n e n u n d die G a u s s ' s c h e T h e o r i e d e r b i n s F o r m e n v e r a l l g e m e i n e r n . I n d e m m a n n a e h H i l b e r t s b e w ~ h r t e m R e z e p t y o n den ganz e i n f a c h e n B e i s p i e l e n a u s g e h t u n d d a b e i d o c h die a l l g e m e i n e n G e s i c h t s p u n k t e i m A u g e beh~lt, m u s s es m 6 g l i c h sein, eine b e f r i e d i g e n d e T h e o r i e a u f z u b a u e n .
E i n H i l f s m i t t e l w i r d m a n d a b e i j e d e n f a l l s b r a u c h e n , n s die R e d u l c t i o n s t h e o r i e . M a n w i r d n/~mlich in k o n k r e t e n F/fllen u n t e r s u c h e n miissen, welche F o r m e n k l a s s e n ge- g e b e n e r D i s k r i m i n a n t e es g i b t . D a s g e e i g n e t e H i l f s m i t t e l d a z u ist, wie im b i n ~ r e n F a i l , die R e d u k t i o n s t h e o r i e .
E i n e p o s i t i v e b i n g r e F o r m 1
/ (Xl' X2) = /11 x2 ~- /12 Xl X2 ~- /22 Z22
h e i s s t n a c h L a g r a n g e (siehe L i t e r a t u r v e r z e i c h n i s a m Schluss d e r A b h a n d l u n g ) r e d u z i e r t , w e n n die K o e f f i z i e n t e n d i e B e d i n g u n g e n
[/~ I -<- h~ < / ~ (B)
erffillen. J e d e p o s i t i v e F o r m / i s t / ~ q u i v a l e n t einer r e d u z i e r t e n F o r m .
Die B e d i n g u n g e n (B) sind, wie m a n l e i e h t sieht, g l e i e h b e d e u t e n d m i t d e r F o r d e r u n g , d a s s / n = / ( 1 , 0 ) = / ( % ) alas e r s t e u n d / 2 z - / ( 0 , 1 ) = / ( e 2 ) d a s z w e i t e M i n i m u m d e r F o r m / ist, d. h . / n ist d a s M i n i m u m y o n [ (s) ffir G i t t e r v e k t o r e n s * 0 u n d ]2~ i s t das M i n i m u m v o n /(s) fiir G i t t e r v e k t o r e n s, die y o n e 1 = (1,0) l i n e a r u n a b h / i n g i g sind.
I n ~hnlicher W e i s e k a n n m a n n a c h S e e b e r u n d D i r i p h l e t a u c h bei t e r n ~ r e n F o r m e n f o r d e r n , d a s s / n , /z2 u n d / a a d a s erste, z w e i t e u n d d r i t t e M i n i m u m sein sollen.
F f i r n-/~re F o r m e n ist j e d o c h diese t ~ e d u k t i o n n a c h s u l c z e s s i v e n M i n i m a n i e h t d u r c h - f~ihrbar, weil die s u k z e s s i v e n M i n i m u m v e k t o r e n im a l l g e m e i n e n k e i n e Basis des v o r g e l e g t e n G i t t e r s bilden. A n d c r s a u s g e d r f i c k t : es g i b t n i e h t in j e d e r F o r m e n k l a s s e eine r e d u z i e r t e F o r m i m Sinne y o n D i r i c h l e t . E i n Beispiel ffir n - 5 w i r d m a n in w 7 l i n d e n .
A u s d i e s e m G r u n d e h a t H e r m i t e d e n Begriff d e r r e d u z i e r t e n F o r m a n d e r s d e f i n i e r t . E i n e p o s i t i v e q u a d r a t i s c h e F o r m
1 Ich folge SEEBER und BRANDT, indem ich den Koeffizienten yon XlX 2 nicht, wie GAUSS, 2b oder 2ft 2, sondern ]12 nenne. Die arithmetische Theorie wird dadurch, wie BRANDT am Beispiel der tern~ren Formen gezeigt~ hat, sehr viel einfacher. Die Koeffizienten ]ik sind in dieser Arbeit immer reelle Zahlen.
D I E I ~ E D U K T I O N S T H E O R I E D E R P O S I T I V E N Q U A D R A T I S C I I E N F O R M E N 267
/ (x~ . . . x~) = / ~ x~ + / ~ x~ x~ + . . - + / ~ x~ 2 (C) heisst nach Hermite reduziert, w e n n / n der kleinstm6gliche W e r t des ersten Koeffizienten ffir alle zu ]/iquivalenten Formen ist, /2~ der kleinstm6gliche Weft des zweiten I)iagonal- koeffizienten ffir Mle ~quivalenten Formen mit dem gleichen Koeffizienten /n, ebenso /as minimal bei g e g e b e n e n / n und/22, etc. b i s / ~ .
Minkowski hat eine etwas einfachere Definition gegeben. Eine Form / heisst nach Minkowski reduziert, wenn folgende Ungleichungen gelten:
[ k k < _ / ( s l . . . . , S~) fiir alle ganzen Zahlen 81 . . . 8 n mit (s k .. . . . s n ) - 1 (D) Ist eine Form im Sinne yon Hermite reduziert, so auch im Sinne yon Minkowski; das folgt leicht aus den S/i, tzen des nachfolgenden w 1. Ob das Umgekehrte auch gilt, weiss ich nicht.
I)er Vollst/~ndigkeit halber m6ge hier auch noch der Reduktionsbegriff y o n Selling erwi~hnt werden. Siehe darfiber den neuen Enzyklop~dieartikel yon O. H. Keller, Geo- m e t r i e der Z a h l e n , S. 56.
Die vorliegende Arbeit besteht aus 3 Hauptteilen. Ich gebe zun/~chst eine l~'bersicht fiber den Inhalt der 3 Teile.
Teil I (w 1-10)
Die Bedingungen (D) haben die Form yon linearen Ungleichungen in den Koef{izienten /,j. Es gelang Minkowski, zu beweisen, dass alle Bedingungen (D) aus endlich vielen unter ihnen folgen. Ferner bewies Minkowski eine fundamentale Ungleichung ffir die Diskri- minante D~ einer reduzierten Form, ngmlieh
~n
h~ h~..-/nn <1)n. (E)
Ffir n = 2 und 3 hatten bereits Gauss und Seeber solche Ungleichungen (mit ~_ = ~ und 4 3 = 89 erhalten.
In seiner Geometrie der Zahlen hatte Minkowski eine /~hnliche Ungleichung ffir die sukzessiven Minima N1, N2, ... einer positiven Form / hergeleitet, n~mlich
N 1 N 2 . . . N n ~ / t n D n. (F)
Nach einer gut begrfindeten Vermutung yon H. Weyl hatte Minkowski die Absicht, seine Geometrie der Zahlen ffir die Reduktionstheorie nutzbar zu machen und insbesondere (E) aus (F) herzuleiten. Er hat aber anseheinend die Brficke zwischen (F) und (E) nieht gefunden; denn in seiner grossen Abhandlung [2] fiber die Reduktionstheorie, die 9 Jahre nach der ,,Geometrie der Zahlen" erschien, m a c h t er yon seinen eigenen geometrischen
268 B . L . V A N D E R W A E R D E N
Methoden keinerlei Gebrauch. Der Beweis der Ungleiehung (E) ist bei Minkowski in komplizierter Weise verkniipft m i t dem Endlichkeitsbeweis fiir die Reduktionsbedingungen (D).
Eine Vereinfaehung dieses Endlichkeitsbeweises gelang Bieberbaeh und Sehur. Sie spalteten den Endliehkeitssatz in zwei Teils/itze auf (Satz 8 und Satz 9 im folgenden w 8), yon denen der zweite sagt, dass nur in endlieh vielen Bedingungen (D) fiir reduzierte F o r m e n das Gleiehheitszeiehen gelten kann, und der erste, dass aus diesen Bedingungen die iibrigen folgen.
Die Ungleiehung (E) wurde yon R e m a k 1938 neu bewiesen und verseh//rft. I m gleiehen J a h r gelang Mahler der Ubergang yon (F) zu (E) in einer sehr einfaehen Weise, indem er eine Ungleiehung
bewies. Die Ungleichung (G) wurde 1940 y o n Weyl wiederentdeckt. I n w 6-7 wird sieh zeigen, dass die Ungleichung (G) durch Anwendung der Remakschen Schb;tzungsmethode ohne Mtihe so versch/~rft werden kann, dass die Ungleichung (E) mit dem yon R e m a k angegebenen Koeffizienten ~ herauskommt. Die gleiche Sch/itzungsmethode fiihrt dann in w 8 auf dem yon Bieberbach Schur und Weyl gezeigten Weg zum Beweis des Endlich- keitssatzes ffir die Bedingungen (D).
Mit derselben Methode, unter Anwendung eines zahlentheoretischen Kunstgriffes, ergibt sich in w 10 ein sehr einfaeher Beweis fiir den ,,zweiten Endlichkeitssatz", der besagt, dass nur endlich viele ganzzahlige Transformationen reduzierte F o r m e n in reduzierte F o r m e n iiberfiihren k6nnen.
U m die Darstellung leicht verst/indlich zu machen, werden in w 1-5 die Grundbegriffe yon Anfang an entwickelt. w 1 handelt yon den Basen eines Gitters und den primitiven Systemen yon Vektoren % . . . ek, die sich zu einer Basis erg/inzen lassen. I n w 2 wird eine quadratische Metrik eingefiihrt und die dazu geh6rige F o r m / als S u m m e y o n Quadraten geschrieben; im Anschluss daran wird gezeigt, dass die Diskriminante Dn der F o r m / das Quadrat des Volumens der Gittermasche ist. I n w 3 wird bewiesen, dass es in jeder Klasse yon positiven F o r m e n eine reduzierte im Sinne yon Minkowski gibt. w 4 handelt y o n den Ungleichungen yon Gauss und Seeber fiir bin/ire u n d tern/ire reduzierte Formen
D2 > a / n 122 und Da > 89
(H)
I n w 5 werden die sukzessiven Minima N1, N2 . . . . eingeffihrt und die Ungleichung von Minkowski (F) bewiesen.
DIE REDUKTIONSTHEORIE DER POSITIVEN QUADRATISCItEI~ FORMEI~ 269 Beim Beweis der U n g l e i c h u n g y o n Mahler (G) in w 6 ergibt sich gleichzeitig, dass fiir /c _~ 4 die Gleichung
/k~ = Nk (k = 1, 2, 3, 4) (I)
gilt. D a r a u s folgt, dass die reduzierten F o r m e n in hSchstens 4 Variablen auch im Sinne der sukzessiven Minima reduziert sind. Dieses Ergebnis s t a m m t v o n Julia, der auch die einzige quatern/ire F o r m b e s t i m m t hat, deren erste 4 M i n i m u m v e k t o r e n nicht n o t w e n d i g eine Basis des Gitters bilden (w 7).
I n w 8 wird der Endlichkeitssatz ffir die R e d u k t i o n s b e d i n g u n g e n (D) n a c h B i e b e r b a c h - Schur m i t der Vereinfachung v o n W e y l bewiesen. Die S c h ~ t z u n g s m e t h o d e y o n / ~ e m a k fiihrt zu recht scharfen S c h r a n k e n ffir die in (D) a u f t r e t e n d e n g a n z e n Zahlen s 1 .. . . . sn.
I n w 9 werden die ]~eduktionsbedingungen ffir bin/~re, tern/~re u n d quatern/~re F o r m e n vollst/indig ausgeschrieben. Es ist zu erwarten, dass in einer kfinftigen Theorie der quater- n/~ren F o r m e n diese R e d u k t i o n s b e d i n g u n g e n u n d die y o n Mahler [3] zuerst formulierte U n g l e i c h u n g
9 4 ~ 4 f l l 122/33 f44 1 (K)
eine i~hnliche Rolle spielen werden wie die B e d i n g u n g e n (B) u n d die Ungleichung (H) in der Gaussschen Theorie der bin/~ren F o r m e n .
I n w 10 wird der , z w e i t e En~llichkeitssatz" bewiesen. Die bisherigen Beweise, u n t e r denen der y o n Siegel h e r v o r g e h o b e n zu werden verdient, b e n u t z e n recht komplizierte Absch/~tzungen. Man k o m m t ab~r m i t den gleichen Beweismethoden aus, die beim ersten Endlichkeitssatz z u m Ziel ffihrten, indem m a n zun/~chst mittels eines zahlentheoretischen Kunstgriffes die K o o r d i n a t e n der sukzessiven M i n i m u m v e k t o r e n sl, ..., s n absch/~tzt u n d d a n n die O b e r g a n g s m a t r i x , die y o n einer reduzierten Gitterbasis (e 1 .. . . . en) zu einer a n d e r e n (e~ . . . . , e~) ffihrt, als P r o d u k t S ' S -1 darstellt, wobei S y o n den sj zu den e~ u n d S ' y o n den sj zu den e'~ fiihrt.
Tell II (w 11-13)
Die positiven q u a d r a t i s c h e n F o r m e n bilden ein Gebiet G im N - d i m e n s i o n a l e n R a u m aller q u a d r a t i s c h e n F o r m e n . Die reduzierten F o r m e n bilden in dieser offenen Menge eine ,,Zelle" Z, die d u r c h endlich viele ebene ,,W/~nde" begrenzt wird. Eine u n i m o d u l a r e T r a n s f o r m a t i o n T der Variablen xl, ..., x~ t r a n s f o r m i e r t Z in eine Zelle T Z , die in 2 ~ trivialen F/~llen m i t Z zusammenfi~llt, sonst aber m i t Z hSchstens R a n d p u n k t e g e m e i n s a m hat. Die Zellen T Z fiberdecken z u s a m m e n das ganze Gebiet G, jeder P n n k t y o n G gehSrt n u r endlich vielen Zellen an u n d die Zellen h/~ufen sich n u r gegen den R a n d y o n G. V o n jeder Zelle T o Z aus k a n n m a n jede andere T Z erreichen d u r c h U b e r g a n g zu Nachbarzellen T 1 Z , T 2 Z . . . . , T Z , y o n denen je zwei aufeinanderfolgende ein ( N - 1)-dimensionales
270 B , L . V A N D E R W A E R D E ~
Wandstfiek gemeinsam haben. Das alles hat Weyl auf Grund seiner Absehi~tzungen streng bewiesen. Man braucht die AbschKtzungen aber nicht, sondern man kann topologische Schlfisse benutzen, die im wesentlichen darauf beruhen, dass ein N-dimensionales Gebiet durch einen linearen R a u m yon weniger als 2V - 1 Dimensionen nicht zerlegt wird. Diese Schlfisse lassen sich auch in anderen F/~llen anwenden, in denen keine expliziten Ab- schiitzungen verfiigbar sind.
Der Tell der Zelle Z, der durch
]k,k+l > 0 ( k = l , 2 . . . n - - l )
(L)
bestimmt wird, ist nach Minkowski ein Fundamentalbereich fiir die Gruppe der Transfor- mationen T im Gebiet der positiven Formen.
Wenn die Formen / dureh / n + " " + / ~ = 1 normiert werden, so wird aus der Zelle Z ein besehr~nktes Polyeder im ( N - 1)-dimensionalen Raum. I m Fall n = 2 ist dieses Polyeder ein Dreieek. Man kann es in den bekannten Fundamentalbereieh der Modul- gruppe transformieren (w 13).
Teil II! (w 14-16)
Die Ungleichung (F) h/~ngt unmittelbar mit dem Problem der dichtesten gitterfSrmigen Kugelpackung im n-dimensionalen R a u m zusammen. Aus (F) folgt n/~mlich
N~ __< ~ D~. (M)
Dabei ist N 1 das erste Minimum der Form ], d. h. das Quadrat des Abstandes von 0 zum n~chsten Gitterpunkt und Dn das Quadrat des Volumens der Gittermasehe. Umgekehrt folgt auch (F) aus (M).
n
I n w 14 wird zun/~chst nach Minkowski gezeigt, dass l , / ~ eine konkave Funktion der Koeffizienten/~j ist. Daraus folgt, dass das Minimum yon Dn bei g e g e b e n e m / n = N1 nur yon einer ,,Kantenform" auf einer eindimensionalen Kante der Zelle Z geliefert werden kann. Um das Minimum effektiv zu bestimmen, hat man nach Korkine und Zolotareff zun/~chst alle
Extrem/ormen
aufzustellen. Eine Form / heisst extrem, wenn bei jeder kleinen Anderung, bei der das erste Minimum N1 gleich bleibt, die Diskriminante Dn zunimmt.Die Minimumvektoren s einer Extremform [ werden, wenn N 1 = 1 normiert wird, dureh
1 (s) = 1 ( N )
definiert. Es gibt ffir jede Form / nur endlich viele Gittervektoren s mit der Eigenschaft (N). Unter den endlieh vielen Gleichungen (N) gibt es N linear unabhgngige, welehe die
D I E t C E D U K T I O N S T t t E O R I E D E N P O S I T I V E S Q U A D R A T I S C H E N F O R M E N 271 K o e f f i z i e n t e n / ~ v o l l s t i i n d i g b e s t i m m e n (w 15, S a t z 21). D i e s e r S a t z y o n K o r k i n e u n d Z o l o -
n t a r e f f f o l g t f a s t u n m i t t e ] b a r a u s d e r K o n k a v i t ~ t d e r F u n k t i o n V ~ .
I n w 16 w e r d e n z u n K e h s t a u f G r u n d e i n e s w e i t e r e n S a t z e s v o n K o r k i n e u n d Z o l o t a r e f f d i e t e r n / i r e n u n d q u a t e r n / i r e n E x t r e m f o r m e n b e s t i m m t . F f i r n = 3 g i b t es n u r e i n e E x t r e m - f o r m , d i e z u d e r b e k a n n t e n d i c h t e s t e n g i t t e r f 6 r m i g e n K u g e l p a c k u n g f f i h r t . F f i r n = 4 g i b t es 2 E x t r e m f o r m e n m i t v e r s c h i e d e n e n D i s k r i m i n a n t e n , y o n d e n e n e i n e d a s M i n i m u m D4 = ~ 2V~ l i e f e r t . A m S c h l u s s w i r d n o c h e i n e U b e r s i c h t fiber d i e U n t e r s u c h u n g e n v o n ] 4 K o r k i n e , Z o l o t a r e f f , I t o f r e i t e r u n d C o x e t e r g e g e b e n , die z u r B e s t i m m u n g d e r quini~ren u n d s e n i i r e n E x t r e m f o r m e n g e f f i h r t h a b e n .
T E I L I
w 1. Primitive Vektorsysteme in einem Gitter
D E F I N I T I O N . E i n G i t t e r Gn b e s t e h t a u s a l l e n g a n z z a h l i g e n L i n e a r k o m b i n a t i o n e n Y = el Yl + " " + en Yn YOn n l i n e a r u n a b h / ~ n g i g e n V e k t o r e n el, . . . , e n. D i e s e n V e k t o r e n b i l d e n e i n e B a s i s d e s G i t t e r s .
D E F I N I T I O N . I r g e n d k l i n e a r u n a b h / ~ n g i g e G i t t e r v e k t o r e n sl, . . . , s k b i l d e n ffir d a s g e g e b e n e G i t t e r ein primitives System, w e n n es i n d e m y o n i h n e n a u f g e s p a n n t e n l i n e a r e n R a u m k e i n e G i t t e r v e k t o r e n a u s s e r g a n z z a h l i g e n L i n e a r k o m b i n a t i o n e n s 1 gl + " " + skgk g i b t . B e s t e h t d a s S y s t e m n u t a u s e i n e m V e k t o r s, so h e i s s t d i e s e r e i n primitiver Vektor d e s G i t t e r s .
S A T z 1. E i n primitiver Vektor s k a n n zu einer B a s i s des Gitters ergiinzt werden.
Beweis: Sei s = e 1 s1 + . . - + e n s n. ~r k 6 n n e n a n n e h m e n , d a s s d i e s i n i c h t n e g a t i v s i n d (sonst w f i r d e m a n - e~ s t a r t e i als B a s i s v e k t o r n e h m e n ) u n d d a s s s 1 d e r k l e i n s t e y o n N u l l v e r s c h i e d e n e K o e f f i z i e n t ist. I s t n u n e t w a s 2 ~= 0, also s 2 > Sl, so k a n n m a n d e n A u s d r u c k ffir s so u m f o r m e n
s = ( e x + e 2q)81 4-e 2 ( s 2 - q s l ) + e as a ~ - ' ' . -~e n s n - e ' 1 8 1 + e 282-~-e 3s a T . . . -}-e n8 n
m i t s~ -- s 2 -- q s 1. W ~ h l t m a n q so, d a s s s~ p o s i t i v o d e r N u l l , a b e r < s~ w i r d u n d v e r k l e i n e r t m a n in d e r g l e i e h e n W e i s e die i i b r i g e n K o e f f i z i e n t e n , so e r h ~ l t m a n e n t w e d e r die K o e f f i - z i e n t e n r e i h e ( % 0 . . . 0) o d e r n l a n e r h ~ l t e i n e n p o s i t i v e n K o e f f i z i e n t e n s~ < s 1. I n d i e s e m F a l l b r i n g t m a n d e n k l e i n s t e n p o s i t i v e n K o e f f i z i e n t e n d u r c h V e r t a u s c h u n g d e r B a s i s v e k - t o r e n w i e d e r a n d i e e r s t e S t e l l e u n d s e t z t d a s V e r f a h r e n f o r t . So e r h / / l t m a n n a e h e n d l i c h v i e l e n S c h r i t t e n e i n e n e u e B a s i s (e~ . . . e*) u n d e i n e n A u s d r u c k ffir s y o n d e r F o r m
s = e~'m (m > 0).
1 8 - - 563802. A c t a mathematics. 96. I m p r i m 6 le 31 d d c c m b r e 1956.
2 7 2 B . L . V A N D E R W A E R D E N
W e n n n u n s p r i m i t i v i s t , m u s s m = 1 s e i n . M a n erhi~lt a l s o s = e~ u n d d e r S a t z i s t b e ~ 4 e s e n .
K O R R O L A R 1. E i n G i t t e r v e k t o r s -- e 1 s~ + . . . + e= s= i s t d a n n u n d n u t d a n a p r i m i t i v , w e n n d e r G G T d e r K o e f f i z i e n t e n E i n s ist. D i e s e E i g e n s c h a f t b l e i b t n i i m l i c h b e i K o e f f i , z i e n t e n t r a n s f o r m a t i o n e n s~ - s~ - q s 1 e r h a l t e n .
S A T Z 2. E i n p r i m i t i v e s S y s t e m s 1, . . . , s k k a n n z u e i n e r B a s i s d e s G i t t e r s e r g i i n z t w e r d e n . B e w e i s : F i i r k = 1 h a b e n w i r S a t z 1. W i r k 6 n n e n a l s o e i n e I n d u k t i o n n a c h k a n s e t z e n . E i n p r i m i t i v e s S y s t e m s~, . . . , sk+ 1 sei g e g e b e n . N a c h d e r I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g k 6 n n e n w i r e i n e B a s i s et, . . . , en so wi~hlen, d a s s s~ = e~ . . . . , s k = e~ w i r d . W i r s e t z e n n u n
Sk+ 1 : e I 81 n L ' - " -~ e k S k "~- e k + 1 8k+1" " " -~- t~ n a n
a n . D i e K o e f f i z i e n t e n sk+l . . . . , s~ s i n d n i e h t a l l e N u l l , d e a n s o n s t w/~ren e~, . . . , ek, sk+~
l i n e a r a b h / i n g i g . W i r f o r m e n n u n d i e Z a h l e n r e i h e sk+l, . . . , sn g e n a u so u m w i e b e i m B e w e i s y o n S a t z 1 u n d e r h a l t e n .
* (m > 0).
(]
%+~ = e ~ s ~ § § k s k §
D e r V e k t o r e ~ + l i s t G i t t e r v e k t o r u n d l i e g t i n d e m l i n e a r e n R a u m , d e r v o n e 1, . . . , % , sk+ 1 a u f g e s p a n n t w i r d , m u s s a l s o e i n e g a n z z a h l i g e L i n e a r k o m b i n a t i o n d i e s e r V e k t o r e n s e i n . D a r a u s f o l g t m = 1. ) / [ a n k a n n n u n e ~ . l als B a s i s v e k t o r d u r c h
Sk+ 1 = e 1 s ! § + e k 8 k -~ e~+l e r s e t z e n . D a m i t i s t d e r S a t z b e w i e s e n .
K O R R O L A I ~ 2. E i n V e k t o r s = e I 81 + . . . + en8 n b i l d e t m i t el, . . . , e k d a n a u n d n u r d a n n e i n p r i m i t i v e s S y s t e m , w e a n d i e K o e f f i z i e n t e n sk+l, . . . , sn n i c h t a l l e N u l l s i n d u n d i h r G G T E i n s ist.
K O R R O L A R 3. S i n d el, . . . , %, %+1 l i n e a r u n a b h i ~ n g i g , so k a n n m a n u n t e r B e i b e h a l t u n g d e r B a s i s v e k t o r e n e 1 . . . . , %, d e n n ~ , c h s t e n B a s i s v e k t o r e~+l so w f i h ] e n , d a s s (1) g i l t .
w 2. Quadratische Metrik
I s t e i n e B a s i s e I . . . e~ d e s r e e l l e n V e k t o r r a u m s E ~ g e g e b e n u n d d r i i c k t m a n j e d e n V e k t o r x d u r c h d i e B a s i s a u s :
X : e l x I + . . . + e nxn~
s o d e f i n i e r ~ j e d e p o s i t i v e r e e l l e q u a d r a t ~ s c h e F o r m
D I E R E D U K T I O ~ q S T H E O R I E D E R I~OSITIVEN Q U A D R A T I S C H E N FOX, M E N 273
/ (x) = Z / . x~ + ~ / ~ x~ x~ 2 (2)
eine quadratische Metrik. Die reelle, nicht negative Zahl /(x) heisst auch N o r m des Vektors x, ihre Quadratwurzel ist die L/s Ix [:
N x =lxi e =/(x).
Mit der N o r m ist d~s S k a l a r p r o d u k t
(x, y) = ~ / . x~ y~ + 89 ~ /~k (x~ yk + xk y,)
i i < k
i n v a r i a n t verknfipft. I s t (x, y) = 0, so heissen x u n d y orthogonal oder senkrecht.
Man k a n n die F o r m (2) so schreiben:
1 -1
/(x) = 111 (Xl + 89 ll ( /le xe + " " + ~ t n / i n Xn) 2 -~ ~ (X2 . . . Xn)"
Wiederholt m a n das Verfahren, so erhglt m a n schliesslich die Jacobische Darstellung
] ( x ) = ~ + . . . + ~ (3)
m i t ~1 = hi (xl + file xe + "'" + flln x~),
~e = he (x2 + " " + fle~ x~), (4)
~ = h~ x~.
Die Diskriminante der F o r m (2) sei D . . Die D i s k r i m i n a n t e der t r a n s f o r m i e r t e n F o r m (3) ist 1. Die D e t e r m i n a n t e der U b e r g a n g s s u b s t i t u t i o n (4) ist h~ h e ... h.. Also ist
D n = ( h i . , . h n ) 2. ( 5 )
Die ~i heissen rechtwinklige Koordinaten des Vektors x. Setzt m a n in (4) speziell x k = 1 u n d die fibrigen xj = 0, so erh/~lt m a n die rechtwinkligen K o o r d i n a t e n des Basisvektors %:
ej~ =hjflj~ i f < k ) }
,2, k k ~ tl~k
t
ejk = 0 (j > k) J Die N o r m des Basisvektors e k ist nach
K o o r d i n a t e n
/ k ~ = N e ~ = hi fllk + h 2 ;~2 2 2 2 t ' 2 ~ + ' " + h ~ . Aus (7) folgt u n m i t t e l b a r die Ungleichung
h~__<&.
(6)
(3) die Q u a d r a t s u m m e der rechtwinkligen (7}
(8)
274 B . L . V A N D E E W A E R D E N
q
/
Fig. 1.
Aus (3) sieht m a n , dass die F o r m ] eine gewShnliehe E u k l i d i s e h e Metrik definiert. W i r k 6 n n e n also die u n s v e r t r a u t e n g e o m e t r i s e h e n Begriffe a n w e n d e n . S t a r t ,,Vektor" w e r d e n wir h~ufig , , P u n k t " sagen. Die L/tnge I x - y l heisst der Abstand zwisehen d e n P u n k t e n x u n d y.
I s t Ek der y o n e a . . . % a u f g e s p a n n t e T e i l r a u m des V e k t o r r a u m e s , so k a n n m a n j e d e n Vektor x a u f s p M t e n i n eine Pro]elction p i n E k u n d eine K o m p o n e n t e q s e n k r e e h t dazu:
x = p + q , p i n E k, q l E k.
S i n d ~1, ' ' "; ~ n die r e e h t w i n k l i g e n K o o r d i n a t e n y o n x, so h a b e n p u n d q die K o o r d i n a t e n (~1, -.., ~k, 0, ..., 0) u n d (0 . . . 0, ~k+l . . . ~ ) . Die Zerlegung
2 A-
~ + . . . + ~ = ( ~ + . . . + ~ ) + ( ~ + ~ , ... + ~ ) ergibt d i r e k t d e n , , P y t h a g o r a s "
N x = N p + N q .
Die V e k t o r e n y, die sieh ganzzahlig d u r e h die B a s i s v e k t o r e n e 1 .. . . , e~ ausdrficken:
y - e ~ y 1 + . . . + e ~ y ~
heissen Gitterpunlcte oder Gittervektoren. W i r b e z e i e h n e n m i t x, p, q, ... beliebige P u n k t e des R a u m e s , m i t y, s, ... G i t t e r p u n k t e .
Das V o l u m e n V, der Gittermasche, d. h. des v o n el, . . . , e n a u f g e s p a n n t e n Parallelotops, ist die D e t e r m i n a n t e der r e c h t w i n k l i g e n K o o r d i n a t e n (6) der V e k t o r e n %. D a i n dieser
D e t e r m i n a n t e u n t e r h a l b der H a u p t d i a g o n a l e l a u t e r N u l l e n stehen, erh~tlt m a n
V~ = hl h2 ... h~. (9)
Das V o l u m e n der (n - 1 ) - d i m e n s i o n a l e n G i t t e r m a s e h e , die y o n e I . . . en_ 1 i m T e i l r a u m E , _ t a u f g e s p a n n t wird, ist ebenso
V~_I = hi h2 ... hn_l. (10)
D I E I ~ E D U K T I O N S T I I E O R I E D E I ~ P O S I T I V E N Q U A D R A T I S C H E N F O R M E N 275 e2
h2
0 51 e 1
Fig. 2.
A u s (9) u n d (10) folgt V~ = V~_lh=, wie es n a c h d e r E l e m e n t a r g e o m e t r i e a u c h sein so11; d e n n V~_I ist die Basis u n d h= die H 6 h e d e r G i t t e r m a s c h e V~. A u s (5) u n d (9) f o l g t f e r n e r
O ~ = ( h i . . . h~) 2 = V ~ ( 1 1 )
u n d ebenso ffir jedes k Dk = (h 1 ... hk) 2 = V~. (12)
w 3. Reduktion
SATZ 3. I n jeder nicht leeren Menge von Gittervektoren gibt es einen Iciirzesten.
Beweis: Sei y' ein G i t t e r v e k t o r in d e r Menge. W i t b e t r a c h t e n alle G i t t e r v e k t o r e n y d e r Menge, die gleich l a n g o d e r kfirzer als y ' sind:
[Yl ~ [ Y ' [ = R .
Die Q u a d r a t s u m m e d e r r e c h t w i n k l i g e n K o o r d i n a t e n r h . . . . , ~/~ y o n y i s t _~ R 2, also ist j e d e K o o r d i n a t e d e m B e t r a g e n a c h hOchstens gleich R. Die G i t t e r k o o r d i n a t e n Yl, ..., Y=
s i n d n a c h (4) l i n e a r e F u n k t i o n e n d e r ~ ; also s i n d a u c h sie d e m B e t r a g e n a c h besehrKnkt.
D a die yg ganze Z a h l e n sein mfissen, g i b t es ftir j e d e y o n i h n e n n u r endlich viele M5glich- k e i t e n , also k o m m e n n u r e n d l i c h viele V e k t o r e n y in B e t r a c h t . U n t e r diesen k a n n m a n einen k i i r z e s t e n aussuchen.
D E F I N I T I O N . Die G i t t e r b a s i s el, . . . , e n h e i s s t reduziert in B e z u g a u f d i e Me~rik, w e n n folgende B e d i n g u n g e n erffillt sind:
1) e 1 i s t d e r kfirzeste u n t e r allen p r i m i t i v e n G i t t e r v e k t o r e n ;
2) e~ ist d e r kfirzeste u n t e r allen G i t t e r v e k t o r e n , die m i t e 1 .. . . . %-1 ein p r i m i t i v e s S y s t e m b i l d e n (/c = 2, 3 . . . n).
D a s s es in j e d e m G i t t e r eine r e d u z i e r t e Basis gibt, ist l e i c h t einzusehen. N a c h S a t z 3 g i b t es n a m l i c h einen kfirzesten p r i m i t i v e n G i t t e r v e k t o r e 1. N~ch Sa%z 1 k a n n m a n d a z u
276 B , L , VAIq D E R W A E R D E N
einen G i t t e r v e k t o r % l i n d e n , d e r m i t e 1 ein p r i m i t i v e s P a a r b i l d e t . N a c h S a t z 3 g i b t es u n t e r d i e s e n e 2 einen kfirzesten. N a c h S a t z 2 k a n n m a n zu e 1 u n d e 2 ein e a f i n d e n , etc.
D a s E r g e b n i s g i l t n i c h t n u r fiir q u a d r a t i s c h e , s o n d e r n ffir beliebige d e f i n i t e M e t r i k e n m i t b e s c h r ~ n k t e m E i c h k S r p e r .
N a c h K o r r o l a r 1 u n d 2 (w 1) k a n n m a n die B e d i n g u n g e n 1) u n d 2) a u c h so f o r m u l i e r e n : 1) % is~ der /ciirzeste u n t e r den Vektoren s = e i s 1 + . . . § e~8~ m i t (s 1 .. . . . s ~ ) = l , 2) e k ist der ]ci~rzeste unter den Vektoren s m i t (s k . . . sn) = 1 (It = 2, 3 . . . n).
Die B e d i n g u n g (sk . . . . , s~) = 1 schliesst n a t f i r l i c h ein, d a s s die sk, ..., s~ n i c h t alle N u l l sind.
Q u a d r i e r t m a n die L s d e r V e k t o r e n s u n d ffihrt die F o r m / ( s ) = N s ein, so k a n n m a n die B e d i n g u n g e n a u c h so f o r m u l i e r e n :
/(ek) =</(s) ffir alle G i t t e r v e k t o r e n s m i t (sk, . . . , s , ) = 1, o d e r g a n z a r i t h m e t i s c h :
/kk <=/(Sl . . . . , S~) fiir alle g a n z e n Z a h l e n s 1 .. . . . s~ m i t (sk . . . s~) = 1. (13) E i n e q u a d r a t i s c h e F o r m /, die alle B e d i n g u n g e n (13) erffillt, heisst n a c h M i n k o w s k i reduziert. W i t sehen also: W e n n die Gi#erbasis % . . . e~ i n B e z u g a u / die d u t c h / de/inierte M e t r i k reduziert ist, so ist die F o r m / reduziert u n d umgekehrt.
M i n k o w s k i v e r l a n g t y o n einer r e d u z i e r t e n F o r m a u c h n o c h die N o r m i e r u n g k,k+l ~-- O~
a b e r d a v o n wollen wir v o r l s absehen.
G e h t m a n y o n d e r G i t t e r b a s i s %, . . . , en a u f eine n e u e Basis d e s s e l b e n G i t t e r s fiber:
so t r a n s f o r m i e r e n die G i t t e r k o o r d i n a t e n xl, ..., xn eines V e k t o r s x sich n a c h einer ganz- zahligen, g a n z z a h l i g u m k e h r b a r e n T r a n s f o r m a t i o n
9 j = ~ tj~ x~ (14)
u n d die F o r m / ( x ) w i r d in eine dquivalente F o r m / ' (x') t r a n s f o r m i e r t : 1 (x) = t' (x').
U n t e r e i n e r T r a n s / o r m a t i o n T v e r s t e h e n wir i m f o l g e n d e n i m m e r eine g a n z z a h l i g e , g a n z z a h l i g u m k e h r b a r e T r a n s f o r m a t i o n (14). Die M a t r i x (tjk) b e z e i c h n e n wir ebenfalls m i t
T . I h r e D e t e r m i n a n t e ist +_ 1.
D I E REDUKTIOI~TSTItEORIE D E R P O S I T I V E N QIYADRATISCttE-N F O R M E I q 2 7 7
Wit haben gesehen, dass es zu jeder Gitterbasis (e 1 .. . . . e~) eine reduzierte Basis (e~ . . . e',) desselben Gitters gibt. Also gibt es zu jeder po'sitiven Form / eine gquivalente reduzierte F o r m / ' . Damit haben wir den
SATZ 4. I n ]eder Ktasse yon iiquivalenten positiven Formen gibt es reduzierte Formen.
Die l~eduktionsbedingungen 0 3 ) sind ]ineare homogene Ungleichungen f/it die Koef- fizienten /jk. Einige yon diesen Ungleichungen wollen wir gleich aufschreiben. Setzt man in (13) ein sj gleich Eins und die fibrigen Null, so erh/ilt man
1~, ~< 12~
= < =<1.~. 0 5 a )
Setzt man andererseits sj und sk gleich ~ 1 und die iibrigen Null, so erhglt man1~ --< 1. + tj~ + 1~ (j < k)
oder • lJk g / j j (J < k)
bei jeder Wahl des Vorzeichens. Man kann daffir auch schreiben
II~l<=l.
ftir j < k . (15b)w 4. Ungleichungen fiir bin;ire, tern;ire und quaterniire reduzierte Formen Ffir bingre Formen kann man die Ungleicungen (15a-b) so schreiben
J].1~1.=<122.
Daraus erh/~lt man sofort eine untere Schranke ffir die Diskriminante D2, n/imlich
1 2 _ _ 1 2
D2 = 111 /22 -- :112 ~ 111 122
:t:1.
VergrSbert man die Abschgtzung, indem man 1~1 durch 111122 ersetzt, so erh/ilt man die bekannte Ungleichung
D2 => ~11,122. (16)
Eine ghnliche Ungleichung ffir tern/ire reduzierte Formen hat Seeber experimentetl gefunden und Gauss bewiesen. Sie lautet
D3 => ~1,~ 12~ t3~. (17)
Weitere Beweise gaben Dirichlet (Werlce iI, S. 29), Hermite ((Euvres I, S. 94), Korkine und Zolotareff ((Euvres de Zolotare]/ I, S. 125), Selling (J. ]. d. reine u. ang. Math. 77, S. 143), Minkowski (Ges. Abh. II, S. 27) und Mahler [2].
278 B. L. V A ~ D E R W A E R D E ~ F i i r r e d u z i e r t e q u a t e r n / i r e F o r m e n gilt die U n g l e i c h u n g
D~ >= i111 1~ 1~ 144, (18)
dis K . Mahler [3] zuerst ausdrticklich f o r m u l i e r t u n d bewiesen hat. W i r w e r d e n sie spgter a, u n a l l g e m e i n e n S g t z e n n e u herleiten.
F i i r beliebigs n gilt eine ghnliche U n g l e i c h u n g : die , , f u n d a m e n t a l s U n g l e i c h u n g der R e d u k t i o n s t h e o r i e " (w 7).
w 5. Sukzessive Minima
N 1 sei dis N o r m eines k i i r z e s t e n y o n N u l l v e r s c h i e d e n e n G i t t e r v e k t o r s s 1. E b e n s o sei N 2 die N o r m sines kfirzesten y o n s 1 l i n e a r unabhi~ngigen G i t t e r v e k t o r s s 2. A l l g e m e i n sei N k r e k u r s i v definiert als N o r m eines kfirzesten v o n sl, ..., sk_ 1 l i n e a r u n a b h ~ n g i g e n G i t t e r - vektors.
M a n n e n n t N1, N2, N 3 . . . . die ~ukzessiven M i n i m a der F o r m / .
M a n k a n n die M i n i m a N1, N2, ... a u c h u n a b h ~ n g i g y o n der W a h l der V e k t o r e n sl, s2, ... definieren, n/imlieh so:
N k ist die kleinste reelle Zahl N ' , ]iir die es k linear unabhiingige Gittervektoren m i t N o r m e n < N ' gibt.
Diese D e f i n i t i o n ist offensichtlich m i t der v o r i g e n i i q u i v a l e n t .
Die sk b r a u e h e n keine Basis ffir das ganze G i t t e r zu bilden. F i i r n = l, 2 u n d 3 s i n d sie es wohl, aber fiir n = 4 g i b t es eins A u s n a h m e , wie wir spgter sehen werden. F i i r n > 4 b i l d e n die M i n i m a l v e k t o r e n s k i n der Regel keine Gitterbasis.
F i i r das erste M i n i m u m N 1 = [11 gilt eine y o n H e r m i t e herriihrende, y o n M i n k o w s k i u n d Bliehfeldt versch/trfte Ungleiehung~
;v~ ~ ~1)~. (~9)
Beweis (nach Minkowski): Der kleinste A b s t a n d zwisehen zwei G i t t e r p u n k t e n ist d = V - ~ . B e s e h r e i b t m a n u m j e d e n G i t t e r p u n k t sine K u g e l m i t R a d i u s r = i d, so h a b e n diess K u g e l n n u r R a n d p u n k t s g e m e i n s a m . V o n der K u g e l u m d e n N u l l p u n k t liegt s i n 1 F t i r L i t e r a t u r s i e h e e t w a d e n E n z y k l o p g d i e a r t i k e l y o n O . - H . KELLER. D i e g e n a u e n M i n i m a l w e r t e v o n P n k e n n t m a n n u t fi~r n ~ 10:
_ 4096 / ~ = ~ , / z 3 = 2 , ~ t ~ = 4 , / t 5 = 8 , /~6 - 6 4 , t t 7 = 6 4 , f t s ~ 2 5 6 , / ~ = 5 1 2 , [ t l o - 3 9
tt2 w u r d e v o n HERMITE b e s t i m m t , a b e r tt2 u n d #3 w a r e n v o r h e r s c h o n GAUSS b e k a n n t , d e n n d i e U n - g l e i c h u n g (19) f o l g t f i i r n - 2 a u s (16) u n d f i i r n = 3 a u s (17). F t i r #4 u n d it5 s i e h e KORKINE--ZOLOTAREFF [1] u n d [3]. F i i r / t 6 , tt7 u n d / t s s i e h e BLICHFELDT [4], [5[, [6] u n d [7], f i i r #9 u n d #10 T. W . CHAUNDY. D i e B e w e i s e v o n CHAUNDY s c h e i n e n a b e r n i c h t g a n z v o l l s t ~ n d i g z u s e i n ( s i e h e d a s R e f e r a t y o n C o x e t e r i n Mclth. Rev., 8 (1947), 137).
D I E t ~ E D U K T I O ~ S T I t E O R I E D E R POSITIVEN QUADRATISCHE:br FORMEN 279
Fig. 3.
Teil in d e r G i t t e r m a s c h e 0 =< x~ < 1, die i i b r i g e n Teile in v e r s c h o b e n e n G i t t e r m a s c h e n si _< xi < s~ + 1. V e r s c h i e b t m a n n u n alle Teile in die G i t t e r m a s c h e 0 =< x~ < 1 hinein, so h a b e n die v e r s c h o b e n e n Teile n u r R a n d p u n k t e g e m e i n s a m . D e r I n h a l t d e r K u g e l ist gleich d e r S u m m e d e r I n h a l t e d e r Teile, also h S c h s t e n s gleieh d e m I n h a l t d e r G i t t e r m a s c h e
Vn. g e e h n e t m a n d e n K u g e l i n h a l t aus, so erh/tlt m a n eine U n g l e i e h u n g (19) m i t
B l i e h f e l d t [I] h a t diese S e h r a n k e zu
v e r b e s s e r t . Nine V e r e i n f a e h u n g des B l i e h f e l d t s e h e n Beweises g a b R e m a k [1]. F t i r w e i t e r e V e r s e h g r f u n g e n siehe B l i e h f e l d t [2] u n d [3].
J n/(n -1)
M o r d e l l h a t b e w i e s e n #n ~ / ~ - 1 m i t G l e i e h h e i t ftir n = 4 u n d 8.
A u s (19) I o l g t die Ungleichung yon Minlcowslci
N 1 N 2 . . . N n < ~nDn. (20)
Beweis (nach H. M i n k o w s k i , Geometrie der Zahlen, w 51): E s seien s 1 . . . sn l i n e a r u n a b h ~ n g i g e G i t t e r v e k t o r e n m i t N o r m e n N s k = N k. J e d e r V e k t o r z des R a u m e s E~ k a n n als L i n e a r k o m b i n a t i o n y o n sl, ..., s~ d a r g e s t e l l t w e r d e n :
Z - - $1 Z l "~- " ' " - ~ $ n Zn"
Die N o r m y o n z ist eine q u a d r a t i s c h e F o r m in d e n z~, die w i e d e r als Q u a d r a t s u m m e g e s c h r i e b e n w e r d e n k a n n :
N-. = g ( z l . . . z~) = ~ 1 ~ + . . . + ; ~ ,
2 8 0 B . L . VAN DEI~ WAERDEN
w o b e i ~z . . . ~n F u n k t i o n e n y o n z k . . . zn allein sind. W i r b i l d e n n u n die neue F o r m /' (xl . . . xn) = g ' (z~ . . . z,~) = N ; 1 . ~ + ... + X;~.~2,~.
I n d e r neuen, d u t c h f' (x) d e f i n i e r t e n M e t r i k h a t k e i n G i t t e r v e k t o r a u s s e r d e m Null- v e k t o r eine N o r m < 1. I s t n g m l i c h z ein G i t t e r v e k t o r ~: 0 u n d ist ~k die l e t z t e y o n N u l l v e r s c h i e d e n e u n t e r d e n ~1, ..., ~ , so ist d e r V e k t o r z y o n s 1 .. . . . sk_ 1 l i n e a r u n a b h g n g i g ; s o n s t w g r e n n g m l i c h zk, ..., zn N u l l u n d d a h e r ~k, ..., ~n auch. S o m i t h a t z in d e r u r s p r i i n g - l i c h e n M e t r i k eine N o r m > N k. D a r a u s folgt a b e r
= ~ - 1 ;-2 > ~ v ~ l (~12 4- q_~2) > 1.
l ' ( x ) = g ' ( z ) N f ~ ' ~ 2 1 + " - + ~ "~k = "-" =
Die D i s k r i m i n a n t e d e r F o r m 1' (x) ist N~ 1 ... N ~ D ~ . Also e r g i b t (19) 1 <=#nN~ 1 ... N~ID~.
D a m i t ist (20) bewiesen.
D e r K o e f f i z i e n t #= in (20) ist d e r s e l b e wie in (19). J e d e V e r s c h g r f u n g y o n #~ b e i m P r o b l e m d e r d i c h t e s t e n g i t t e r f 6 r m i g e n K u g e l p a e k u n g f i i h r t also a u t o m a t i s e h zu einer Verseh/irfung d e r M i n k o w s k i s c h e n U n g l e i c h u n g (und u m g e k e h r t ) .
w 6. Die Ungleichung von Mahler und Weyl
Zwischen d e n D i a g o n a l k o e f f i z i e n t e n /ek einer r e d u z i e r t e n F o r m / u n d d e n s u k z e s s i v e n M i n i m a Nk d e r s e l b e n F o r m ] b e s t e h t i m m e r die B e z i e h u n g
N ~ < / k k .
D a s folgt u n m i t t e l b a r aus d e r z w e i t e n D e f i n i t i o n y o n Nk, weil die B a s i s v e k t o r e n el, ..., % l i n e a r u n a b h g n g i g s i n d u n d N o r m e n </kk h a b e n .
W i r wollen n u n eine U n g l e i c h u n g d e r F o r m
h e r l e i t e n , die v o n M a h l e r I l l g e f u n d e n u n d y o n W e y l [1] w i e d e r e n t d e c k t w u r d e . D a b e i soll die M a h l e r - W e y l s c h e S e h r a n k e 6k versch/~rft w e r d e n . Die Versch/trfung g i l t a l l e r d i n g s n u r in einer q u a d r a t i s c h e n M e t r i k , w/thrend die M a h l e r - W e y l s c h e A b s c h g t z u n g in einer b e l i e b i g e n M e t r i k gilt.
Zwei V e k t o r e n x u n d x' heissen kongruent (nach d e m y o n e 1 . . . e= a u f g e s p a n n t e n G i t t e r ) , w e n n ihre Differenz x - x' = y ein G i t t e r v e k t o r ist.
A u s d e n F o r m e l n (4) w 2 e r g i b t sich f a s t u n m i t t e l b a r
DIE REDUKTIO:NSTttEORIE I)ER POSITIVEN QUADRATISCItE~ FORMEN 2 8 1
S i T Z 5. Z u ]edem Ve]ctor x gibt es einen kongruenten Vektor x' = x - y, so dass die recht- winlcligen Koordinaten ~ von x' dem Betrage nach h6chstens gleich 89 h~ sind:
I ~ ; ] = [ ~ - ~ , l - < 89 (21)
Z u m Beweis fi/ngt m a n m i t der letzten Gleichung (4) an:
~'~ - ~ - ~]~ = h ~ ( x n - y ~ ) ,
u n d b e s t i m m t y~ als ganze Zahl so, dass
- 8 9 1 8 9 n
wird. D a n n b e s t i m m t m a n Yn-1 aus der vorletzten Gleichung so, dass - 89 < ~ - 1 = ~h~_l
wird, etc. bis Yl. So ergeben sich n a c h e i n a n d e r alle U n g l e i c h u n g e n (21).
Aus (21) fo]gt
N ( x - y ) = N x ' g 88 + . . . +h~). (22)
D a m i t h a b e n wir
SATZ 6. E s gibt zu ]edem P u n k t e x i n E~ einen Gitterpunlct y i m Abstand I x - y l _ < 8 9 f ~ + . . . + h ~ .
Diesen Hilfssatz h a b e n a u c h R e m a k u n d W e y l verschiedentlich a n g e w a n d t . W i r b e n u t z e n ihn zur H e r l e i t u n g u n d Versch~irfung der Ungleichung y o n Mah!er u n d Weyl.
SATZ 7. I s t /kk der K o e / / i z i e n t von x~ in einer reduzierten quadratischen F o r m / und sind N 1, N 2 .. . . . N~ die su]czessiven M i n i m a der gleichen F o r m , so gilt
/kk ----< 6k Nk. (23)
Dabei werden die 0 k dutch die Re]cursions/ormeln
~ = 1 , (~k = Max. (1, ~-~ + . . - + 88 + 88 (24)
de/iniert.
Beweis: Fiir k = 1 ist selbstversti~ndlich/11 = N1. Es sei also/c > 1. W i r b e t r a c h t e n das y o n e 1 . . . %-1 a u f g e s p a n n t e Gitter im linearen g a u m Ek_ 1. N a c h Definition y o n N k gibt es k linear unabhiingige G i t t e r v e k t o r e n s 1 .. . . . s k mit N o r m e n __< N k. Einer y o n diesen Vek- toren, n e n n e n wir ihn s, liegt nicht in Ek_ 1. N a e h K o r r o ] a r 3 (w 1) gibt es ein primitives S y s t e m (e I . . . . , e k _ i , e*) s o , dass eine Gleichung der F o r m (1) gilt:
s = (els 1 § + ek_lSk_l) + e*m (m > 0). (25)
282 B. L . V A N D E R W A E R D E N
S o w e i t s i n d wir W e y l [1] gefolgt; j e t z t g e h t es n a c h R e m a k [2] welter.
W e n n m = 1 ist, so b i l d e t s s e l b s t m i t %, . . . , %_, ein p r i m i t i v e s S y s t e m . D a N s =< Nk ist, h a t a u c h d e r kfirzeste V e k t o r , d e r m i t %, . . . , %_~ ein p r i m i t i v e s S y s t e m b i l d e t , eine N o r m
__< N k. D a h e r h a t m a n in d i e s e m F a l l
/kk --< lV~ <____ ~kNk. (26)
I s t a b e r m > 1, so ist m _> 2. W i r zerlegen e* in eine K o m p o n e n t e p in E k 1 u n d eine
e* = p + q. (27)
K o m p o n e n t e q s e n k r e c h t d a z u :
S e t z t m a n (27) in (25) ein, so erh/~lt m a n eine K o m p o n e n t e n z e r l e g u n g v o n s:
s = (els 1 + . . . + ek_lSk_l + pro) + qm.
N s >__ N ( q m ) = m 2 N q > = 4 N q ,
also N q <= 1 N s <= k Nk.
I n d e r D a r s t e l l u n g (25) s t e c k t eine gewisse Willkfir. M a n k a n n n~mlich, w e n n y ein b e l i e b i g e r G i t t e r p u n k t in Ek_l ist, e* d u r e h
e* -- y = (p - y) + q (28)
ersetzen. Diese W i l l k f i r b e n u t z e n wir, u m N (p - y) k l e i n zu m a c h e n . N a c h S a t z 6 k a n n m a n y so w/~hlen, d a s s
1 2
N ( p - y ) _< ~(h~ + . . ~ +h~_~) (29)
wird. J e t z t s i n d in (28) b e i d e K o m p o n e n t e n a b g e s e h ~ t z t . N a e h P y t h a g o r a s w i r d
N ( e * - y) = N ( p y) + iVq < ~(h~ + . . . + / ~ _ ~ ) +
kNk.
(30) D e r V e k t o r e * - y = e* - ( Y 1 % + "'" + Yk-1%-1) b i l d e t m i t el, . . . , %-1 ein p r i m i t i v e s S y s t e m , also folgt aus (30)1 2
lkk ~ ~(I~, + ... + h~ 1) +
88
(al)W e g e n (8) i s t j e d e s h~- < / z . A l s o f o l g t
/k~ <= 88 +"" + ~k-l, k-~) + k Nk. (32)
G e h t m a n n u n r e k u r s i v v o r u n d s e t z t ffir ]jj m i t )" < k die A b s e h i i t z u n g (23) v o r a u s , so folgt
/kk ~ 1(($1N1 + "'" + (Sk-lNk-a) d- 1 N k (33)
g ( 1 0 1 2[_... + l(~k_ 1_~_ 1) Nk ~.OkNk"
N a c h P y t h a g o r a s ist
DIE I~EDUKTIONSTHEORIE DER POSITIVEN QUADRATISCHEN FOItMEN 283
e" m
?
~
2p o e l
Fig. 4.
D a m i t ist (23) sowohl fiir m - 1 als a u e h fiir m > 1 bewiesen.
D e r G r n n d g e d a n k e d e r v o r s t e h e n d e n R e e h n u n g 1/~sst sieh g e o m e t r i s e h so formulieren. D a s einer y o n d e n M i n i m u m v e k t o r e n sl, ..., s k ist, ist N s klein. Also ist a u e h die K o m p o n e n t e y o n s s e n k r e e h t zu Ek_ 1 klein. Die s e n k r e e h t e K o m p o n e n t e y o n s ist n a e h (25) gleieh d e r s e n k r e e h t e n K o m p o n e n t e y o n e* r e a l m, also ist a u e h die s e n k r e e h t e K o m p o n e n t e y o n e* klein. Die K o m p o n e n t e y o n e* in Ek_l ist p. I n d e r N/ihe des P u n k t e s p l i e g t ein G i t t e r - p u n k t y. Also h a t e* - y k l e i n e K o m p o n e n t e n sowohl in Ek_ 1 als s e n k r e e h t dazu; also ist N ( e * - y ) klein. D e r B a s i s v e k t o r % a b e t h a t y o n allen V e k t o r e n , die m i t e 1 . . . . , ek_ 1 ein p r i m i t i v e s S y s t e m bilden, die k l e i n s t m 6 g l i e h e N o r m . Also ist /kk < N (e* - y) u n d d a r a u s e r g i b t sieh die Abseh/%zung (31).
Die gleiehe M e t h o d e , die hier auf d e n V e k t o r e* a n g e w a n d t w u r d e , e r g i b t , auf i r g e n d einen G i t t e r v e k t o r s u n g e w a n d t , folgendes:
E s sei j < k. W e n n ein Gittervektor s = p + q m i t el, ..., %-1 ein p r i m i t i v e s S y s t e m bildet, wobei p i n E j liegt u n d q senkrecht dazu ist, so gilt:
1 2
/kk < ~(hl + " + h~) + N q
< ~ ( I n + "'" + / j - l , j--1 + ]~') + N q .
A d d i e r t m a n zu b e i d e n S e i t e n N p u n d s u b t r a h i e r t /kk, SO erh~Llt m a n
~ P <~ 1(/11 --"'" @ /J--l, j-1 @h~) @ (x~T8 --ILk)
28~ B . ]L. V A N D E / ~ W A : E R D E N
die rechtwinkligen K o o r d i n a t e n des Vektors s, so ist N p = a~ + . - - + a~
Sind (7 n
u n d m a n erh~lt
a~ + " ' " ~ - O ' j ~ 1 ( / 1 1 - ] - ' ' " - ~ - / J - - l ' j--1 ~ - h 2 ) -~ ( N s . 2
--/kk)
1 2
<= ~(6~ + .-. + S j _ : ) N j + ~ h j + ( N s -/kk).
W e g e n
/ n + " " + / j - i , j-: ~ ( ] - :)lJJ k ~: + . . . . F ~ Oj_: < Oj _ u n d
erh/~lt m a n schliesslich
~ + . . . +,
~ g
/ . + -~ h~ + ( ~ ~- / ~ )
u n d
(34)
(35)
a: + ... + aj <= (6~ - ~) N j + 88 h~ + ( N s - I ~ ) 2 (36) Ffir )" =< 4 werden wir (35) verwenden, fiir j > 4 ist (36) etwas besser.
Die Ungleichungen (35) u n d (36) liefern besonders d a n n scharfe S c h r a n k e n fiir al . . . aj, wenn N s den Minima]wert/kk hat. Das letzte Glied rechts fgllt d a n n weg u n d m a n
2 "' '~
erhiilt ffir jedes aj eine S c h g t z u n g y o n der G r 6 s s e n o r d n u n g / z " Diese Schatzungsmevnode s t a m m t von R e m a k [2]. W i r werden sie in w 8 wieder anwenden.
m i t
w 7. Die fundamentale Ungleichung der Reduktionstheorie A u s der U n g l e i c h u n g y o n Mahler folgt
/n/22 . . . / ~ ~ 6:~2 ... ~ ' N : N 2 ... Nn.
N a c h (20) war aber
(37)
N : N 2 . . . N n <= # n D ~ . (38)
Aus (37) u n d (38) folgt d i e / u n d a m e n t a l e U n g l e i c h u n g
2~/n/22 . . - / ~ g D~ (39)
L~ = 6~ & ... ~ n / ~ " 1 (40)
:Die f u n d a m e n t a l e U n g l e i c h u n g (39) gilt natfirlich a u c h ffir das y o n e 1 .. . . . e k aufge- spannte/c-dimensionale Gitter:
~ / 1 : . . . / ~ -<- D~. (41)
DIE REDUKTI0~STItEOI~IE D:ER :POSITIVEN QUADRATISCHE]g FORMEN 285 Wie der Beweis zeigt, gilt (41) sogar d a n n noch, wenn der letzte F a k t o r /kk d u r c h 6~ Nk ersetzt wird:
~k/1! "'" /k--l, k--l(3k "Nk "< Dk" (42) Eine A b s c h g t z u n g v o n D k n a c h oben ergibt sich u n m i t t e l b a r aus (8):
= h: h ~ . . . h~ __< 1~ 1~ . . . 1~. (43)
Dk 2 2
Aus (42) u n d (43) folgt weiter
~Jk 1-- 111 ":: ] k - l . ~ - ~ --fl'k(~k'~k"
W i r h a b e n also fiir h~ die S e h r a n k e n
& 1~ < & 6~ N~ < h~ < 1~ _< 6~ 2V~. (44)
W i r berechnen n u n die 5k u n d ~k fiir die niedrigsten W e r t e v o n k.
Fiir k = 1, 2, 3 oder 4 erhglt m a n aus (24) jedesmal 5k = 1, d. h. /kk < Nk" D a auch ]kk= N k ftir k < 4 .
Nk =< ]kk war, so folgt
Ffir k > 4 vereinfacht sich (24) zu
4 6 k = ~ 1 + ' ' ' + 6 k - 1 + 1 . D a r a u s folgt, wenn beiderseits dk addiert wird,
5 0 k = 61 + " " + 6k + 1 = 4 ~.+1,
also 5k = (~)k-4 fiir k > 4. (45)
Fiir das P r o d u k t 51~2 ... ~k erh/~lt m a n aus (45)
1 ffir k < 4 ,
~1~2...
6 k = (~)~(k-a)(~-4) ffir k > 4 . Somit wird n a c h (40)I # ; 1 ffir n < 4 , Xn #;i(~)~(n-a)(=-4) fiir n > 4 . Diese S c h r a n k e n s t a m m e n y o n R e m a k [2].
Fiir n - 2, 3, 4 erh/~lt m a n aus (47) die bestmSglichen S c h r a n k e n
~ = ~, ~ = 89 ),~ = 88
(46)
(47)
286 n . L . VAN DER WAERDEN
Die E x t r e m f o r m e n , fiir die i n (39) das Gleichheitszeiehen gilt, s i n d s zu d e n f o l g e n d e n r e d u z i e r t e n F o r m e n (vgl. w 4 u n d w 16):
(n = 2) (n = 3) (n = 4)
gz = x~ + x~ + x l x2,
g~ - ~ + z~ + x,~ + (x~ + x~)x~,
g~ = z~ + x-~ + x~ + x~ + (x, + x~ + ~ ) x4.
I m Beweis des Satzes 7 w u r d e eine Zahl m eingefiihrt. N u n zeigt sich, dass ffir k - 1, 2 oder 3 n o t w e n d i g m = 1 sein muss; im F a l l m > 1 wiirde m a n n i i m l i c h aus (33) ]kk < Nk e r h a l t e n .
F i i r k - 4 ist a u c h m = 2 mSglich, a b e r n u r d a n n , w e n n i n allen A b s e h g t z u n g e n , die i m Beweis b e n u t z t w u r d e n , das Gleichheitszeichen gilt. Es m u s s also h~ = / n , h2 2 = / 2 2 u n d h~ = [3a sein, d. h. das G i t t e r i n E 3 ist r e c h t w i n k l i g . F e r n e r m u s s N 1 = N 2 = N a = N a sein, d. h. das G i t t e r i n E a ist k u b i s c h u n d der vierte B a s i s v e k t o r e 4 h a t die gleiche Lgnge wie die ersten drei. S o d a n n m u s s p - y der V e k t o r y o n einer Wiirfelecke z u m Wfirfelmittel- p u n k t sein, d a m i t i n (29) das Gleichheitszeichen gilt. So erhglt m a n das folgende vier- d i m e n s i o n a l e G i t t e r (in r e c h t w i n k l i g e n K o o r d i n a t e n )
e 1 = (1, 0, 0, O) e 2 = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) e 3 = (0, 0, 1, 0) e4 = (1, 21, +, 1)
Diese 4 B a s i s v e k t o r e n h a b e n die Lgnge ]. Es g i b t aber i n d e m y o n i h n e n a u f g e s p a n n t e n G i t t e r noch e i n e n V e k t o r s der Lgnge Eins, der m i t el, e2, e 3 k e i n p r i m i t i v e s S y s t e m bildet, n ~ m l i c h
s = - - e 1 - e 2 - e a + 2 e 4 - ( 0 , 0 , 0 , l ) .
Die zu diesem G i t t e r geh6rige F o r m ist die v o r h i n schon erw/~hnte g4 = x~ + x 2 2 + x~ + x~ + (xl + x~ + x3) x 4.
Das ist der einzige A u s n a h m e f a l l fiir k ~ 4, wie J u l i a bereits e r k a n n t hat. I n a l l e n a n d e r n Fdillen b i l d e n die ersten z w e i , drei oder v i e r s u k z e s s i v e n M i n i m u m v e k t o r e n s~, s 2, s 3, s 4 a u t o m a t i s c h e i n p r i m i t i v e s S y s t e m .
F i i r k - 5 erh~lt m a n (~6 - ~ , also
D I E R E D U K T I O N S T H E O R I E D E R t ' O S [ T I V E N Q U A D R A T I S C H E N F O R M E N 2 8 7 A u c h hier ist das Gleichheitszeiehen mSglich, n/~mlieh im f o l g e n d e n F a l l
% = (1, 0, 0, 0, 0) e 2 = ( 0 , 1, 0 , 0 , 0 )
e 3 - ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 ) e 4 - ( 0 , 0 , 0, 1 , 0 )
Die K o e f f i z i e n t e n der F o r m / sind die S k a l a r p r o d u k t e dieser 5 B a s i s v e k t o r e n . Die F o r m ist also
o o o o 5 X~.
/ = x ~ - x , ; ~ x ~ + x T - ~ ( x l T x 2 § 2 4 7 5=-~ .
Die ersten 5 M i n i m a sind N~ N 2 - X . 3 - N ~ - N ~ - 1. Die M i n i m u m v e k t o r e n e~, e2, %, e 4 u n d s = - e I - e.~ - e a - es + 2e 5 b i l d e n aber k e i n p r i m i t i v e s S y s t e m .
w 8. Die Reduktionsbedingungen
Die B e d i n g u n g e n ffir reduzierte F o r m e n l a u t e n n a e h (13):
/ ~ < / ( s l . . . s~) (4s) ffir alle g a n z z a h l i g e n sj m i t (% . . . s,,) - 1.
Setzt m a n sk gleich 1 oder - 1 u n d alle a n d e r e n s gleich Null, so erh/~lt m a n eine triviale B e d i n g u n g [kk :; /kk, in der irnmer das Zeichen - steht. Diese t r i v i a l e n B e d i n g u n g e n lassen wir weg. W e n n in alien iibrigen B e d i n g u n g e n das Zeichen < steht, heisst die F o r m / eigentlich reduziert. E i n Beispiel ist die F o r m > kx~. I m R a u m der p o s i t i v e n F o r m e n b i l d e n die r e d u z i e r t e n F o r m e n eine abgesehlossene Menge, die eigentlich r e d u z i e r t e n F o r m e n a b e t eine offene Menge, wie m a n leicht beweist.
E i n e B e d i n g u n g (48) wird gegeben d u t c h eine Zahl k u n d ein S y s t e m 8 y o n g a n z e n Z a h l e n s l , . . . , s,,. Die B e d i n g u n g heisse Bk~. W e n n es eine reduzierte F o r m / gibt, fiir welche in der B e d i n g u n g Bk. ~ das Zeiehen - gilt, so wollen wir diese B ~ d i n g u n g w i t dem Gleichheitszeichen er]iillbar oder kurz erjiillbar n e n n e n .
N a c h B i e b e r b a c h u n d Sehur gelten die folgenden zwei S/~tze:
SATZ 8. Von allen ]~r Bk~ braucht m~tn nut" die er/iillbetrert zu ber~eks'ichtige~:
alle iibrigen /olgen aus ihnen.
S AT z 9. E s gibt n u t endlich viele e r/iillbare Bedingungen Bk~.
Z u m Beweis des Satzes 8 d i e n t eine topologische L'berlegung, die W e y l sehr einfaeh d a r g e s t e l l t hat.
1 9 - 563802. Acta mathematica. 96. I m p r i m 6 le 31 d 6 e e r n b r e 1956.
2 8 8 ~ . L . V A N D E R W A E R D E N
Es sei /o eine eigentlich reduzierte F o r m . Gesetzt, es giibe eine F o r m /1, die alle er- ffillbaren B e d i n g u n g e n erfiillt u n d doch nicht reduziert ist. D a n n verbinden w i r / o m i t / 1 d u t c h eine F o r m e n s c h a r
/t=(1-t)/0+t/~ (0<ts1);
Die obere Grenze aller t, fiir welche die F o r m / t reduziert ist, sei u. Die zu diesem W e r t u geh5rige F o r m / ~ ist reduziert, weil die Menge ,der reduzierten F o r m e n abgeschlossen ist.
Also ist u < 1. Die F o r m / = ist aber nicht eigentlich reduziert, d e n n sonst w/~re/u+~ auch n o c h eigentlieh reduziert. Also gibt es eine B e d i n g u n g Bk~ , in der ffir ] u d a s Gleichheits- zeichen steht. Diese B e d i n g u n g Bk~ ist erfiillbar, weil die F o r m /= sie m i t d e m Gleich- heitszeichen erfiillt. W i r kSnnen die B e d i n g u n g Bk~ als
L (/) >_ 0
schreiben, wobei L eine Linearform in den Koeffizienten der F o r m / ist. I n dieser B e d i n g u n g B ~ gilt ffir/0 das Zeichen > u n d ffir/2 das Zeichen > . N u n ist
L(/~) = (1 - u)L(/o) § uL(/~),
also folgt L (/~) > 0. Frfiher f a n d e n wir a b e t L (/~) = 0. W i r erhalten also einen Widerspruch.
Beweis von Satz 9: Es sei Bks eine erffillbare Bedingung. D a n n gibt es also eine redu- zierte F o r m / m i t
/~
= / (s~ . . . s~) = N~.
Daffir k a n n m a n a u c h schreiben, wenn al . . . a~ die rechtwinkligen K o o r d i n a t e n des Vektors s sind,
1 ~ = o l + ' " +
~.
D a r a u s folgt fiir jedes ] die Ungleiehung
~ ~ 1~.
(49)Fiir ?' > k folgt daraus weiter
~--<
1 . (i --> k). (50)Man iiberzeugt sich leicht, dass ftir )" = k die U n g l e i c h u n g (50) zu
~ < / ~ (51)
versch/irft werden kann.
Ffir ~ < k gilt die Ungleichung (49) zwar auch, aber sie ist nicht scharf genug, weft /kk mSglicherweise gross gegen / z ist. Urn zu einer sch/~rferen Ungleichung zu k o m m e n , w e n d e n wit (35) oder (36) an, was erlaubt ist, da s m i t e 1 .. . . . %-1 ein primitives S y s t e m
D I E R E D U K T I O N S T H E O R I E D E R P O S I T I V E N Q U A D R A T I S C H E N F O R M E N 2 8 9
bildet. W e g e n N s =/ak f/illt das letzte Glied rechts in (35) oder (36) weg u n d m a n erh~lt
,~J <= /JJ + t h~ (] < ~), (52)
1 2
2 .< (6 i 88 + 4 hj (j ~5 k). ( 5 3 )
o ' j ~
ks hj bzw. (2j 5j)- 1 h~
I n den F o r m e l n (50)-(53) k 6 n n e n /jj u n d N j n a c h (44) d u r c h -1 2 abgesch/itzt werden. So erh~,lt m a n
2 2
aj _-</sJ g 271 hj (j ~ k) (54)
o~ < 2; 1 h~ (j = ~) (55)
~ ~ ,~/1 + 88 h~ (] < k) (56)
a j = 4 0 j 2 j ~-88 h ~ < 2 ; l h ~ ( j < k ) (57) Man k a n n (54)-(57) abschw/~chen zu einer einzigen Sch/~tzung, die fiir beliebige j gilt:
2 - 1 2
~ =<2j hj (58)
m i t d e m Zeichen < f o r j _< k. Se~zt m a n noeh aj
h j - r ~ u n d C j = 2 ; ~ , (59)
so k a n n m a n fiir (58) sehreiben
I r j ] < C j (mit < ffir j < k ) . (60) Will m a n feiner absch~tzen, so v e r w e n d e t m a n ffir j < k die genaueren F o r m e l n (56) u n d (57). Sie ergeben (mit neuen K o n s t a n t e n cj)
I~,1 =<c, 0"<~). (61)
Ffir j = 1, 2, 3, 4 finder m a n aus (56)
V o m V e k t o r s wurde n u r /kk = N s vorausgesetzt. Diese Gleichung gilt aber aueh ffir s = ek. Also k a n n m a n unsere Sch/~tzungen a u c h auf e k anwenden. Die rechtwinkligen K o o r d i n a t e n e m y o n ea sind n a e h (6) ffir j < k gleich hjfl m. Dividiert m a n sie d u r e h hj u n d w e n d e t (61) an, so erh/flt m~n n a c h R e m a k [2]
IflJk I g cj. (62),
19" - 563802.
