1
Séquence 1 : Arithmétique
Plan de la séquence :
I- Les nombres entiers
1) Déterminer les diviseurs d’un nombre entier a) Division Euclidienne
b) Diviseurs et Multiples
c) Propriété : Critères de divisibilité 2) Reconnaitre un nombre premier
3) Décomposer un entier en produit de facteurs premiers
II- Les différents ensembles de nombres
2
Séquence 3 : Arithmétique
I- Les nombres entiers. (Activité centurion)
1) Déterminer les diviseurs d’un nombre entier
a) Division Euclidienne :
Définition :
La division euclidienne d’un entier positif ou nul m par un entier n > 0, c’est de trouver les entiers positifs appelés quotients q et le reste R tel que
m = q × n + R avec 0 ≤ R ≤ n.
Dividende = quotient × diviseur + reste avec reste < diviseur
b) Diviseurs et multiples Définition :
Soient m, n deux entiers naturels avec n ≠ 0, on dit que : n est un diviseur de m ou que m est un multiple de n
S’il existe un entier naturel q tel que : m = q × n.
Conséquence : q est alors un autre diviseur de m
3
Exemple : 48 = 4 × 12 donc 4 est un diviseur de 48 (4 divise 48)
48 est un multiple de 4 (48 est divisible par 4) 12 est un diviseur de 48
48 est un multiple de 12.
Remarque :
Si n est un diviseur de m, alors le reste de la division euclidienne de m par n est nul.
Le nombre 1 n’a qu’un seul diviseur : lui-même.
Tout nombre entier est divisible par 1 et par lui-même.
c) Critères de divisibilité Un nombre est divisible par :
0 : Jamais ! 1 : Toujours !
2 : si et seulement si le chiffre des unités est pair
3 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 9 : si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 5 : si et seulement si le chiffre des unités est 0 ou 5
10 : si et seulement si le chiffre des unités est 0 6 : si et seulement si il est divisible par 2 et par 3
4 : si et seulement si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4 Ex : 00 ; 04 ; 08 ; 12 ; … ; 80 ; 84 ; 88 ; 92 ; 96
Pour déterminer tous les diviseurs d’un nombre entier N, on teste la divisibilité de N par tous les nombres entiers ≤ √𝑵.
Exemple :
Pour trouver les diviseurs de 18, on calcule √18 :
√18 ≈ 4,2 : il faut donc tester la divisibilité par 1, par 2, par 3 et par 4.
18 = 1 × 18 = 2 × 9 = 3 × 6 : les diviseurs de 18 sont donc 1, 2, 3, 6, 9 et 18.
Séries d’exercices : voir dossier TD section exercices page 24 exercices 9/11/12 (oralement en classe) 18/19/24 (au tableau)
4
2) Reconnaître un nombre premier
Définition : on dit qu’un nombre est premier quand il a exactement 2 diviseurs, 1 et lui- même (distincts).
Exemple : 13 est un nombre premier, ses seuls diviseurs sont 13 et 1.
Il existe une infinité de nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 …
Attention: 1 n’est pas un nombre premier car il admet un seul diviseur, lui même Séries d’exercices : voir dossier TD section exercices page 25 exercices 31/32/33 (oralement) 35’au tableau)
3) Décomposer un entier en produits de facteurs premiers
Propriété : un nombre entier ≥ 2 se décompose en un unique produit de facteurs premiers.
(Si l’on ne tient pas compte de l’ordre de ces facteurs)
Méthode :
Pour décomposer un nombre N en produits de facteurs premiers, on cherche le plus petit nombre premier qui divise le nombre N.
On divise N par ce nombre premier et si le quotient obtenu est différent de 1, on recommence… jusqu’à obtenir pour quotient 1.
Exemple :
La décomposition en produit de facteurs premiers de 2088 est : 2 × 2 × 2 × 3× 3 × 29 = 23 × 32 × 29
5
Application : Fractions irréductibles Trouver la fraction irréductible de 84
30
:
84 30
=
22× 3 × 7
2 × 3 × 5
=
2 × 2 × 3 × 72 × 3 × 5
=
2 × 75
=
145
Séries d’exercices : voir dossier TD section exercices page 25 exercices 38/39 (oralement) et 46(au tableau)
Faire le problème 78 page 31
II- Les différents ensembles de nombres
Ensemble des... Définition Notation Exemple
Entiers naturels Ensemble des entiers positifs N 0 ; 1 ; 2 ou √4 ;16
4
Entiers relatifs Ensemble des entiers positifs et négatifs
Z
Nombres décimaux Ensemble des nombres positifs ou négatifs possédant un nombre fini de décimales
D 2 ; -0,123 ; 9,12 ; 5
Nombres rationnels Ensemble des nombres pouvant s'écrire sous forme d'une fraction d'entiers relatifs
Q 2 ; -0,123 ; 9,12 ; 5
Nombres réels Ensemble de tous les nombres que vous connaissez.
R
Compléter le tableau ci-dessous : Cocher la ou les bonnes cases :
3,5 7 7
3
1 2
230 5
π √2 √100 Entier
Naturel Décimal Rationnel Irrationnel