E566 - Le tournoi [*** à la main]
Problème proposé par Augustin Genoud
Les cinq équipes A, B, C, D, E disputent un tournoi dans lequel chacune joue une seule fois contre les quatre autres équipes. On sait que l’équipe A a battu C par 3 à 2 et qu’il n’y a pas eu deux scores identiques sur toutes les parties du tournoi (4 à 2 est identique à 2 à 4). Pour chaque match, on a attribué 2 points à l’équipe gagnante, 0 point à la perdante et 1 point à chacune en cas de match nul.
Dans le tableau ci-dessous, on trouve, par ligne, pour chacune des équipes, les informations suivantes :
Dans la première colonne, l’équipe;
Dans la deuxième colonne, le rang;
Dans la troisième colonne, le nombre de buts marqués;
Dans la quatrième colonne, le nombre de buts reçus;
Dans la dernière colonne, le nombre de points obtenus.
E 1 6 5 5
C 2 8 4 4
A 3 6 7 4
B 4 4 6 4
D 5 4 6 3
Quels sont les scores de tous les matches ? Solution proposée par Bernard Vignes
Les cinq équipes ont joué C(5,2) = 10 parties. Par hypothèse, les scores sont tous différents et l'un d'eux est 3-2. Il s'agit donc de trouver neuf scores distincts n'incluant pas le score 3-2 dont la somme des buts est égal à 28 ‒ 3 ‒ 2 = 23. Or la séquence des neuf premiers scores distincts classés par ordre croissant du nombre total de 0 à 4 des buts marqués par les deux équipes est:
0-0, 1-0, 2-0, 1-1, 3-0, 2-1, 4-0, 3-1, 2-2 avec un total de buts marqués = 23.
La séquence unique des dix scores est donc : 0-0, 1-0, 2-0, 1-1, 3-0, 2-1, 4-0, 3-1, 2-2, 3-2 parmi lesquels il y a trois matches nuls (0-0, 1-1, 2-2).
Avec cinq points l'équipe E a obtenu:
(H₁) : deux victoires, une défaite et un match nul ou bien
(H₂): une victoire et trois matches nuls
Avec quatre points, chacune des trois équipes C,A et B a obtenu:
(H₃) : deux victoires et deux défaites ou bien
(H₄) : une victoire,une défaite et deux matches nuls.
Enfin avec trois points l'équipe D a obtenu:
(H₅) : une victoire,deux défaites et un match nul ou bien
(H₆) : une défaite et trois matches nuls
Les hypothèses (H₂) et (H₆) sont à exclure car cela signifierait que E ou D ont obtenu au moins deux matches nuls avec deux des trois équipes C,A et B. Il y aurait au total quatre matches nuls. Contradiction.
L'équipe C a perdu son match contre A sur le score de 2-3. Il lui est impossible d'avoir obtenu deux matchs nuls car seule une victoire avec cinq points d'écart aurait permis d'obtenir une balance 8 ‒ 4 = + 4 des buts marqués/encaissés. L'hypothèse (H₄) est à exclure. Comme C a encaissé 4 buts au total, la deuxième défaite a été obtenue sur le seul score de 1-0. Les deux victoires dont le nombre total de buts marqués est 6 sans un seul but encaissé ont été acquises sur les scores 4-0 et 2-0.
Comme il y a eu trois matches nuls sur l'ensemble du tournoi, les équipes A et B ont réalisé l'une et l'autre deux matches nuls selon la seule hypothèse (H₄).
Compte tenu de sa victoire 3-2 sur l'équipe C, des 6 buts marqués et des 7 buts encaissés,les deux couples de matches nuls 0-0 et 1-1 d'une part et 1-1 et 2-2 d'autre part sont impossibles pour l'équipe A. Celle-ci a nécessairement obtenu les deux matches nuls 0-0 et 2-2 et donc une défaite sur le score 1-3.
Les matches nuls obtenus par l'équipe B sont alors (H₇) :0-0 et 1-1 ou bien (H₈) : 1-1 et 2-2.
(H₇) D'où pour B : 3 buts marqués et 5 buts encaissés pour une victoire et une défaite. Seul cas possible : une victoire 3-1 et une défaite 0-4.
Il reste 8 scores à répartir entre E et D: 1-0,0-2,2-1,2-1,3-0,0-3,1-1,2-2. Or pour obtenir les quatre scores 2-1,2-1,3-0,0-3 il faudrait que E et D se soient rencontrées deux fois.
Contradiction.
(H₈) D'où pour B : 1 but marqué et 3 buts encaissés pour une victoire et une défaite. Seul cas possible : une victoire 1-0 et une défaite 0-3
Il reste 8 scores à répartir entre E et D: 0-4,0-2,3-1,3-0,2-1,1-2,0-0 et 1-1.
La défaite 0-4 est incompatible avec les scores de A et ses 2 victoires. Elle a été obtenue nécessairement par D. D'où la solution unique pour D avec les scores 3-0,0-4,1-2 et 0-0.
Les scores de E s'en déduisent immédiatement 3-1,2-1,0-2 et 1-1.
D'où le tableau unique des résultats des 10 matches:
Nota: sur chaque ligne sont enregistrés les buts marqués (m) par l'équipe X contre les quatre autres équipes. Sur chaque colonne, ce sont les buts encaissés (e) par X contre les mêmes équipes.
