E626- Pour vous donner la migraine [***** à la main]

E626- Pour vous donner la migraine [***** à la main]

Solution

Le « truc » recherché est de la pure logique.

Diophante et ses deux amis conviennent avant de présenter le tour de cartes au public que les 53 cartes sont numérotées de 1 à 53. Par exemple : 1,2,3,..13 pour la couleur Trèfle :

as,2,3,…roi, puis 14,15,…26 pour la couleur Carreau as,2,3,….,roi puis 27 à 39 pour la couleur Cœur, puis 40 à 52 pour la couleur Pique et enfin 53 pour le joker.

Supposons que la personne dans la salle a tiré le valet de Carreau qui est la carte n°24. On la désigne par C.

Hippolyte et Théophile calculent chacun de son côté la somme des numéros des 26 cartes qui leur ont été données par la personne de la salle. La somme totale des numéros des cartes qu’ils détiennent est égale à 53*54/2 – 24 = 1431 – 24 = 1407. Supposons que la somme SH

calculée par Hippolyte est égale à 659, celle ST de Théophile est alors égale à ST = 1407 – 659 = 748. L’un et l’autre calculent le reste de la division de leur somme respective par 53 qui est un nombre premier soit X = 23 pour Hippolyte et Y = 6 pour Théophile, ce qui revient à dire qu’ils calculent la somme de leurs numéros respectifs modulo 53. Si Diophante parvient à connaître ces deux nombres, il en déduit très facilement la carte C grâce à l’équation C = 53 – X – Y modulo 53.

Il s’agit donc pour Hippolyte et Théophile de communiquer à Diophante les deux nombres qu’ils ont calculés, chacun à l’aide de deux cartes.

Il est entendu que le raisonnement que l’on va faire avec Hippolyte est applicable à

Théophile, sachant que Diophante reçoit les 4 cartes en 2 paquets de 2 cartes et peut ainsi en faire ainsi une lecture séparée.

Soit X = 23 la somme modulo 53 calculée par Hippolyte. Il est naturel d’additionner la valeur des deux cartes pour obtenir la valeur de X. Si Hippolyte dispose de l’un quelconque des couples de cartes ainsi numérotés:

(X-1, X+1), (X-2, X+2),….(X-k, X+k),…..(X-26, X+26) [chaque terme étant calculé modulo 53, c’est à dire que si X+k > 53 alors le nombre devient X+k-53 et si X-k0 alors le nombre devient X-k+53].

Pour X=23, cela donne : (22,24), (21,25), (20,26),…., (2,44), (1,45), (53,46), (52,47), (51,48), (50,49) . Si Diophante reçoit l’un quelconque de ces couples, alors il calcule X-k + X+k = 2X modulo 53 et en déduit X par une simple division par 2.

Dans la très grande majorité des cas, Hippolyte avec ses 26 cartes sera en mesure de

constituer l’un quelconque des 26 couples mais par malchance (la probabilité est faible mais elle n’est pas nulle) il peut recevoir 26 cartes qui ne permettent pas de reconstituer un couple de la forme (X-k, X+k). Dans l’exemple X = 23 que nous avons pris, si Hippolyte reçoit les 26 cartes suivantes : 2 ,4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53 ou bien 2 ,4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51 ou bien encore 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52 etc.. on vérifie qu’il n’y a aucun couple dont la somme des termes modulo est égale à 2X = 46 et Hippolyte ne peut pas utiliser cette première famille de couples.

Il est alors convenu par les trois amis avant la présentation du tour que les cartes présentées à Diophante sont dans un ordre de numéros croissants si le couple (X-k,X+k) peut être constitué et dans l’ordre inverse si ce n’est pas le cas.

Il faut donc trouver une deuxième famille de couples qui sont obtenus de manière certaine si les cartes sont toutes de la forme X+i et X-j avec ij quels que soient i et j.

Ceci est possible en considérant les couples de la forme (X,X-1), (X+1, X-2), (X+2, X-3), (X+3, X-4), ….(X+k, X-k-1),…(X+25, X-26) chaque terme étant calculé comme

précédemment modulo 53. La somme des deux termes est égale à 2X-1 modulo 53 et Diophante en déduit X aisément. Avec X=23, cela donne les couples suivants : (23,22), (24,21), (25,20),….(44,1), (53,45), (52,46), (51,47), (50,48). Si Diophante reçoit le couple (51,47) il en déduit X = (51+47-53 + 1)/2 = 23. Si la somme S des deux termes qu’il reçoit est impaire, il calcule Y = (S+1)/2. Si elle est paire, il calcule (S – 53 + 1)/2. Comme Diophante lit les numéros correspondants dans un ordre décroissant, il ne peut pas y avoir de confusion avec les couples de la première famille.

Cette fois-ci Hippolyte est certain de pouvoir constituer un couple de la première ou de la deuxième famille. En effet on constate qu’à chacune des valeurs X,X+1, X+2,….,X+25 puis X-1, X-2,….,X-26 modulo 53 peuvent être associés deux numéros de cartes pour constituer soit un couple de la première famille soit un couple de la deuxième famille. Cela signifie que si Hippolyte reçoit un premier lot 15 cartes sur les 26 cartes qui lui sont destinées avec lequel il ne peut constituer aucun couple de la première ou de la deuxième famille, 2*15 = 30 cartes du paquet restant ne doivent pas lui être données pour ne pas être couplées avec les 15 cartes déjà en sa main, ce qui est contradictoire selon le principe des tiroirs avec le fait qu’Hippolyte reçoit en fin de compte 26 cartes.

Mode opératoire pour les trois amis dans le cas ou C = valet de Carreau.

Le paquet de 26 attribué à Hippolyte, obtenu par tirage aléatoire, est le suivant :

2, 3, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 22, 25, 28, 31, 33, 34, 35, 36, 38, 41, 43, 44, 45, 47, 50.

Total des numéros : 659 d’où X = 23 D’où le paquet attribué à Théophile :

Hippolyte n’a que l’embarras du choix et il dispose de plusieurs couples de la première famille (18,28), (15,31), (13,33), (8,38), etc….Il transmet par exemple dans cet ordre 5 Carreau [n°18] et 2 Cœur [n°28].

Théophile de son côté a de nombreux choix possibles tant dans la première famille de couples que dans la deuxième. Il transmet par exemple dans cet ordre Joker [n°53] et valet de Trèfle [n°11].

Diophante reçoit d’Hyppolite deux cartes en ordre croissant. D’où X = (18+28)/2 = 23.

Il reçoit de Théophile deux cartes en ordre décroissant. Comme ST = 53 +11 est un nombre pair, Diophante calcule Y = (53 + 11 – 53 +1)/2 = 6

D’où C = 53 – 23 – 6 = 24, ce qui est bien le valet de Carreau.