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Université de Caen 2005-2006

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(1)

Université de Caen 2005-2006

UFR de Sciences L2 MASS

Mathématiques 2

e

semestre

Analyse Feuille n o 4

Quelques rappels de cours. Soit n , p ∈ N

∗

des entiers naturels.

Si O et F sont des parties respectivement ouverte et fermée de R

p

, et si ϕ : R

n

→ R

p

est continue, alors ϕ

−1

(O) est un ouvert et ϕ

−1

(F) est un fermé de R

n

.

Les applications constantes et les applications de R

n

dans R qui à x = (x

1

, . . . , x

n

) associent une des coordonnées x

i

sont continues.

La somme et le produit de deux applications continues de R

n

dans R sont continues.

Si f : R

n

→ R et g : R → R sont des applications continues, alors g ◦ f est une application continue de R

n

dans R.

Si f : R

n

→ R est une application continue, et g est une application continue d'un ouvert O ⊂ R

n

dans R

∗

= R \ {0} , alors

fg

est une application continue de O dans R.

I. Soit P un polynôme à deux variables et à coecients réels. Montrer que l'application de R

2

dans R qui à x associe P(x) est continue.

II. Montrer que l'application ϕ : R

2

→ R dénie comme suit est continue sur R

2

: ϕ(x, y) = xy

p x

2

+ y

2

+ 1 .

III. Soit ϕ : R

2

→ R l'application dénie par

ϕ(x, y) =

 xy

p x

2

+ y

2

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

Montrer que ϕ est continue en (0, 0) .

On pourra commencer par montrer que |x| ≤ p

x

2

+ y

2

et |y| ≤ p

x

2

+ y

2

pour tout (x, y) ∈ R

2

. IV. Soit ϕ : R

2

→ R l'application dénie par

ϕ(x, y) =

( xy

x

2

+ y

2

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

L'application ϕ est-elle continue en (0, 0) ? On pourra calculer ϕ(x, x) pour x 6= 0 . Qu'en est-il si on pose ϕ(0, 0) =

12

au lieu de 0 ?

V. Soit ϕ : R

2

→ R l'application dénie par

ϕ(x, y) =

 x

2

y

x

4

+ y

2

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

Montrer que ϕ est continue sur R

2

\ {(0, 0)} , puis sur toute droite passant par (0, 0) .

Faire tendre (x, y) vers (0, 0) sur la parabole d'équation y = x

2

. L'application ϕ est-elle continue en (0, 0) ?

(2)

VI. Soit ϕ : R

2

→ R l'application dénie par

ϕ(x, y) =

1 + x

2

+ y

2

sin y

y si y 6= 0 1 + x

2

si y = 0.

Montrer que ϕ est continue sur R

2

.

Que peut-on en déduire pour les sous-ensembles suivants :

A = {(x, y) ∈ R

2

| ϕ(x, y) > 2}, B = {ϕ(x, y) | x

2

+ y

2

≤ 2} ?

VII. Étudier la continuité sur R

2

des applications suivantes : ϕ

1

(x, y) =

sh(x − y)

x − y si x 6= y 1 sinon , ϕ

2

(x, y) = 1 + x

2

− y

2

,

ϕ

3

(x, y) =

ϕ

1

(x, y) si x > y

ϕ

2

(x, y) si x ≤ y.

Références

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