Université de Caen 2005-2006

Université de Caen 2005-2006

UFR de Sciences L2 MASS

Mathématiques 2

semestre

Analyse Feuille n ^o 7

Rappels de cours. Soit n , p ∈ N

, U un ouvert de R

et f = (f

, . . . , f

) une application de U dans R

. La fonction f est continue (respectivement diérentiable) en un point de U si et seulement si c'est

le cas des p fonctions composantes f

, . . . , f

.

Supposons f diérentiable en a ∈ U . On appelle matrice jacobienne de f en a la matrice suivante :

J

(f ) =









∂f₁

∂x1

(a) · · ·

n

(a) ... ... ...

∂f_p

∂x₁

(a) · · ·

n

(a)







 .

La diérentielle de f en a est une application linéaire de R

dans R

dont la matrice dans les bases canoniques est J

(f ) .

Soit g une application d'un ouvert V ⊂ R

contenant f (a) dans R

. Si f est diérentiable en a , et g est diérentiable en f (a) , alors g ◦ f est diérentiable en a et on a J

(g ◦ f ) = J

(g)J

(f ) . En particulier, soit x

, . . . , x

: R → R des applications dérivables et g : R

→ R une application

diérentiable. Si on pose G(t) = g(x

(t), . . . , x

(t)) , on a

∂G

∂t =

p

X

i=1

∂g

∂x

∂x

∂t , c'est-à-dire G

(t) =

p

X

i=1

∂g

∂x

(x

(t), . . . , x

(t)) × x

(t).

Si la dérivée partielle ∂f

∂x

existe et est dérivable par rapport à x

on note

∂

f

∂x

∂x

= ∂

∂x

∂f

∂x

et, si i = j , ∂

f

∂x

= ∂

∂x

∂f

∂x

.

Par récurrence, on dit que f est de classe C

sur U si elle admet des dérivées partielles par rapport à toutes les variables qui sont de classe C

sur U .

Théorème de Schwarz. Si f est de classe C

sur U alors on a, pour tous i , j ∈ {1, . . . , n} :

∂

f

∂x

∂x

= ∂

f

∂x

∂x

.

I. Soit f : R

→ R

et g : R

→ R les applications dénies par

f (x, y) = (x + y, x − y) et g(x, y) = sin(x

− y

).

1. Calculer les matrices jacobiennes de f , g et g ◦ f en tout point de R

.

2. Déduire de la question précédente l'expression des dérivées partielles de la fonction h : R

→ R dénie par h(x, y) = sin(4xy) . Vérier le résultat par un calcul direct.

II. Soit f : R

→ R une application de classe C

et g : R

→ R l'application dénie par g(x, y) = f (y, x) .

Montrer que g est de classe C

et exprimer ses dérivées partielles en fonction de celles de f .

III. Soit g : R

→ R une application de classe C

et f : R

→ R la fonction dénie par f (x, y) = sin(x + g(y

, x)).

Montrer que f est de classe C

et calculer ses dérivées partielles en fonction de celles de g . IV. Soit f : R

→ R l'application dénie par

f (x, y) =







sin(x − y)

x − y si x 6= y

1 si x = y.

Montrer que f est diérentiable sur R

et déterminer ses dérivées partielles.

V. Soit f : R

→ R une application de classe C

et soit g : R

→ R l'application dénie par g(x, y, z) = f (x

− y

, y

− z

, z

− x

).

Montrer que g est de classe C

et que pour tout réel t on a

∂g

∂x (t, t, t) + ∂g

∂y (t, t, t) + ∂g

∂z (t, t, t) = 0.

VI. Soit f : R

→ R l'application dénie par f (x, y) =







xy(x

− y

)

x

+ y

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

1. Montrer que f est de classe C

sur R

et C

sur R

\ {(0, 0)} . 2. Montrer que ∂

f

∂x∂y (0, 0) et ∂

f

∂y∂x (0, 0) existent et les calculer.

3. f est-elle de classe C

sur R

?

VII. Soit f : R

→ R l'application dénie par f (x, y) =





 y

x

+ y

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

1. Montrer que f est de classe C

sur R

et C

sur R

\ {(0, 0)} . 2. Montrer que ∂

f

∂x∂y (0, 0) et ∂

f

∂y∂x (0, 0) existent et les calculer.

3. f est-elle de classe C

sur R

?

VIII. Soit f : R

→ R l'application dénie par f (x, y) =







(x

− y

)

x

+ y

si (x, y) 6= (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0).

1. Montrer que f est de classe C

sur R

. 2. Calculer ∂

f

∂x∂y sur R

et en déduire que f n'est pas de classe C

sur R

.

IX. Soit g : R

→ R une application de classe C

et soit f : R

→ R

l'application dénie par f (x, y) = (x

+ y

, xy) pour tout (x, y) ∈ R

.

Montrer que g ◦ f est de classe C

sur R

et calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de g ◦ f en fonction

des dérivées partielles de g .