Chapitre 6 : Applications des lois de Newton et Képler

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Chapitre 6 : Applications des lois de Newton et Képler

Introduction :

On s’intéressera dans ce chapitre, au mouvement d’un solide à proximité du sol ( en utilisant les lois de Newton) puis beaucoup plus éloigné, hors de l’atmosphère ( en utilisant les lois de Képler).

1) Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

1.1. Notion de champ UNIFORME

La Terre créé en son voisinage un champ de pesanteur noté g. De ce fait toute masse plongée dans ce champ voit apparaître une force qui l’attire vers le centre de la Terre et d’intensité :

g m P

Les caractéristiques du champ de pesanteur sont : - direction : radiale

- sens : vers le centre de la Terre - intensité : mg

Donc, à l’échelle de la Terre, le champ de pesanteur n’est pas uniforme ( 2 vecteurs g voisins ne sont pas EGAUX : même direction, même sens et même norme)

Néanmoins, à l’échelle humaine, on admet que ce champ peut-être raisonnablement considéré comme UNIFORME.

 g

 Figure 2 : Champ uniforme

P en N m ^en kg

g en N/kg ou m/

 g

 g

 g

 Figure 1 : Champ non uniforme

2/ 15 1.2. Système, référentiel

On doit , au préalable, définir le SYSTEME étudié ainsi que le REFERENTIEL dans lequel on se place. Ensuite on décrit un REPERE .

Dans notre cas , on étudie le mouvement d’une balle de tennis sur un terrain :

 Le système : la balle

 Le référentiel : Terrestre

 Le repère : ( O,x,y,z ) .

1.3. Application de la 2^ème loi de Newton

On fait le bilan des forces appliquées au solide dans le référentiel.

Considérons la balle de tennis tirée au point B de coordonnées (0 ; h) à la date t0 = 0. Le référentiel terrestre est supposé galiléen. La position de la balle est repérée à chaque instant par son centre de gravité G dans le repère (O, x, y,z)

D’après la deuxième loi de Newton, on peut écrire :

dt v m d dt

p

F d ( )







 dt

v m d dt v

m

F  d   



Or la masse m étant constante, on aura :

dt v m d dt

v m d v

F      

 0

D’où : F ma





En supposant que la balle ne subisse pas de frottements ( on parle alors de chute libre ), on aura alors : F P ma







 mg ma



 a g



Donc :















 0 0 a g

Rem : On voit que le mouvement se déroulera dans le plan contenant Vo et g , donc dans (O,x,y) , donc dans la suite des calculs, on ne s’intéressera qu’aux coordonnées selon (O,x) et (O,y)

Dans la

 ETAPE 1 :Comme le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, on détermine le vecteur vitesse en recherchant la primitive de chaque coordonnée du vecteur accélération, en tenant compte des coordonnées du vecteur vitesse initiale :



 







gt cste' v cste

Or à t = 0, on a 



 









 



 





' 0 sin

cos

0 0

cste g

cste v

v v



 

donc cste = v₀ cos  et cste’ = v0 sin .

B

O y

v₀



h x

 g

 Figure 3 : Tir d’un boulet B

3/ 15 D’où : 

 







 

 sin cos

0 0

v gt v v

 ETAPE 2 :Comme le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, on détermine le vecteur position en recherchant la primitive de chaque coordonnée du vecteur vitesse, en tenant compte des coordonnées du vecteur position initiale :

























' 2 sin

1 cos

0 2 0

cste t v

gt

cste t v

OG 



Or à t = 0, le boulet G est en B (0 ; h ) donc cste =0 et cste’ = h

D’où : 























h t v

gt

t v

OG 

 2 sin

1

0 cos

0 2 0

 ETAPE 3 : On a obtenu les équations horaires définissant le mouvement de cette balle de tennis : Pour l’accélération : Pour la vitesse : Pour la position :

ax = 0 vx = v0 cos x(t) = v0 cos  t

ay = -g vy = – gt + v0 sin y(t) = – ½ gt ² + v0 sin  t + h

a_z = 0 v_z = 0 z(t) = 0

Rem : Ce mouvement est plan car l’une des coordonnées du vecteur position OG ne dépend pas du temps.

 ETAPE 4 : En combinant les équations horaires du mouvement , et en éliminant le temps, on obtient l’équation de la trajectoire y(x) :

t v

t

x() ₀cos





0cos v t x

En remplaçant dans y(t), on obtient : h

v v x

v g x x

y    



 



 

  

 sin cos

cos 2

) 1 (

0 0

2

0

Soit, en simplifiant : x x h

v x g

y    

 

 

 ^tan

cos ) 2

( _{2 2} ²

0

Remarque :L’ équation est du type : y(x)ax² bxc correspond à une trajectoire PARABOLIQUE

Equation de la trajectoire

4/ 15 1.4. Caractéristiques de la trajectoire

 La FLECHE : Il s’agit du sommet de la trajectoire ( donc de la parabole). Elle est atteinte lorsque la vitesse verticale devient NULLE :

vy = – gt + v0 sin = 0 donc

t =

En remplaçant dans l’équation de la trajectoire, on a :

= ×

 La PORTEE : La portée correspond au point P dont l’ordonnée est NULLE :

On doit résoudre l’équation : x x h

v

g    

 

 

 ^tan

cos

0 2 _{2 2} ²

0

Comme tout polynôme du second degré, il admet 2 solutions, l’une absurde et l’autre valide :

=

= flèche

portée

 O Trajectoire parabolique

Exercice 1:

5/ 15 Exercice 2:

Exercice 3:

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2) Mouvement dans un champ électrique uniforme

2.1. Système, référentiel

On considère une particule ponctuelle G de charge q et de masse m placée dans un champ électrique uniformeE. Système étudié : particule G

Référentiel d’étude : terrestre supposé galiléen

Inventaire des forces extérieures :

 le poids Pmg

 la force électrique F_e qE

 les forces de frottement de l’air f kv

 la poussée d’Archimède _airVg

Avec V le volume de la particule, v sa vitesse, k une constante et _air la masse volumique de l’air.

On admet que toutes les forces sont NEGLIGEABLES par rapport à la force électrostatique. On peut le vérifier dans l’exercice suivant

Exercice 4:

a) En supposant que cette particule soit un électron de masse m = 9,110 ^{– 31}kg et de charge électrique q = - 1,610 ^{– 17}C, déterminer les caractéristiques du poids de l’électron et celles de la force électrique qu’il subit sachant que E = 10 000 Vm^–1

b) Que penser de l’influence du poids de l’électron sur son mouvement dans le champ électrique ?

c) Que penser de la poussée d’Archimède que subit l’électron ? Même question pour les forces de frottements.

d) Faire l’inventaire des forces dans le cas où la particule est un neutron (m = 1,6710 ^{– 27}kg).

2.2. Application de la 2^ème loi de Newton D’après la deuxième loi de Newton :

a m F F _e 





  

 



 



 





 _y

x

a m a qE 0

D’où :





  

 m a qE

a

y

x 0















 m a qE

0

 ETAPE 1 : En cherchant les primitives des coordonnées du vecteur accélération,et en tenant compte des conditions initiales, on obtient :

















 t cste' m

qE cste v

Or à t = 0, le vecteur vitesse s’écrit : 

 





















 0 ' '

0 cste

cste m cste

qE cste v

D’autre part, d’après l’énoncé, le vecteur vitesse initiale s’écrit aussi 

 



 0

0 0

v v

Particule chargée dans un champ électrique

          

E 

E



E

 x

y

O

g v0



7/ 15 D’où : cste = v0 et cste’ = 0

Donc 













 t

m qE

v v

0

 ETAPE 2 : En cherchant les primitives des coordonnées du vecteur vitesse, et en tenant compte des conditions initiales,on obtient :



















 2 '

1 ₂

0

cste m t

qE cste t v OG

Or à t = 0, le vecteur position s’écrit : 

 



























' ' 2 0

1 0

2 cste

cste m cste

qE

cste t OG

Et d’après l’énoncé la particule est en O à l’origine du temps, donc 



 



 0 OG 0

D’où cste = cste’ = 0

Donc : 













 ²

0

2

1 t

m qE

t v

OG

 ETAPE 3 : On a obtenu les équations horaires définissant le mouvement de particule chargée : x(t)v₀t

2

) 2

( t

m t qE

y  

 ETAPE 4 : En combinant les équations horaires du mouvement , et en éliminant le temps, on obtient l’équation de la trajectoire y(x) :

2 2

2 0

)

( x

v m x qE

y 

 



Exemple : Déviation d’ions oxyde dans un champ électrique

Cette trajectoire est aussi une parabole car son équation est du type : y(x)ax² bxc

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3) Mouvements de satellites ou planètes

3.1. Description par la 2^ème loi de Newton

 Le mouvement d’un objet en orbite autour d’un astre est toujours une ellipse. Dans tous les cas que nous aborderont cette année, l’ellipse sera un cercle ou s’en approchera fortement, comme par exemple pour l’orbite de la Terre dans le référentielle héliocentrique.

 Considérons le mouvement circulaire de la Terre autour du Soleil :

Définition :

L’accélération dans la base de Frenet s’écrit : a a N a T dt

v d

T

N   





Avec

R a_N v

2

 et

dt v a_T  d

Terre

Soleil

 F

 N ^ T

R

Orbite de la Terre autour du SOLEIL Le mouvement étant circulaire, on définit un repère mobile constitué d’une

origine et des 2 vecteurs unitaires :

 L’origine est le CENTRE de la planète ou satellite

 Le vecteur unitaire est tangent à chaque instant à la trajectoire et est orienté dans le SENS du mouvement.

 Le vecteur unitaire est perpendiculaire à chaque instant à la trajectoire et est orienté vers le CENTRE de courbure.

On écrit alors ( Terre, , )

Dans ce repère, l’accélération s’écrit : aa_N N a_T T

avec a_N l’accélération normale et a_T l’accélération tangentielle.

 Si aN est nulle, le mouvement est rectiligne.

 Si aT est nulle, le mouvement est uniforme.

Exercice 5:

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 Système étudié : Terre de masse MT

 Référentiel d’étude : héliocentrique supposé galiléen

 Inventaire des forces extérieures :Une seule force, la force d’interaction gravitationnelle Fexercée par le Soleil sur la Terre.

Comme la masse de la Terre est constante, d’après la deuxième loi de Newton :

a M F

F _T 









Or la force de gravité exercée par le Soleil de masse M_S sur la Terre a pour expression :

N

R M G M

F   ^T ₂ ^S 

D’où : F ma

  ^{N M}





R M

GM^T ₂ ^S   _{T N}   _T 

 N M a N M a T R

M

GM^{T S}   _{T N}   _{T T} 

2

Donc, par identification :











 0

2

T T

S T N

T

a M

R M G M

a

M 











 0

2

T

S N

a

R G M a

Or si a_T 0 alors 0 dt

v

d car par définition

dt v a_T  d

Et si 0 dt

v

d cela implique que v v cste.

Ainsi, si la trajectoire d’un objet en orbite gravitationnelle est circulaire alors son mouvement est uniforme.

Par exemple :

- La Terre ayant une orbite quasi-circulaire, sa vitesse reste toujours voisine de 30 km/s

- La comète de Halley ayant une orbite très elliptique, sa vitesse varie énormément (de 1 à 55 km/s)

3.2. Vitesse

D’après la partie précédente on a trouvé que :

R2

G M a_N   ^S

Or, par définition :

R a_N v

2



D’où :

2 2

R G M R

v   _S 

R G M v  ^S

3.3. Période de révolution

La période de révolution T est le temps nécessaire à l’objet (ici la Terre) pour faire un tour sur son orbite.

La longueur L d’une orbite est égale au périmètre du cercle, soit : L2R

G = constante de gravitation universelle

F ^en N M ^en kg R en m

G ^{= 6,6710 –11} S.I.

v ^en m/s M_Sen kg R en m

G = 6,6710 ^–11 S.I.

10/ 15

D’où :

T R T

L t

v d 2



 



En utilisant l’expression du III.2 :

T R R

G M^S 2



 ^

GMS

T R

3

2



Remarque :

Certains satellites doivent rester FIXES par rapport à la surface terrestre ( relais TV, téléphone..).

Ils sont appelés GEOSTATIONNAIRES.

Calculez à quelle altitude h ils évoluent.

Orbite géostationnaire

Exercice 6: QCM

11/ 15 3.4. Les lois de Képler

Au début du XVII ème siècle , Johannes Kepler (1571-1630), formula 3 lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du soleil Première loi : loi des orbites (1609)

Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire des planètes est une ellipse dont l’un des foyers est le centre du Soleil.

MF + MF’ = 2a

 Le péricentre est le point de l’orbite le plus proche de l’astre central.

Si l’astre central est le Soleil on parle de périhélie Pour la Terre, c’est le périgée.

 L’apocentre est le point de l’orbite le plus éloigné de l’astre central.

Si l’astre central est le Soleil on parle d’aphélie Pour la Terre, c’est l’apogée.

a est le demi-grand axe et b est le demi-petit axe.

F’

Soleil Planète

a

b

aphélie F périhélie

12/ 15 Deuxième loi : loi des aires (1609)

Le segment [SP] qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

Cette loi implique que plus la planète s’approche du Soleil plus sa vitesse augmente. De même, plus elle s’en éloigne, plus sa vitesse diminue.

Troisième loi : loi des périodes (1618)

Le carré de la période de révolution d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite.

3

2 k a

T   ^ k

a T₃² 

D’après la partie 3.3 on a :

GMS

T R

3

2

 

GMS

T R

3 2 2 4



GMS

R

T ²

3

2 4



Ainsi, quelque soit la planète P de période de révolution T en orbite autour du Soleil à une distance R, le rapport du carré de sa période sur le cube du rayon de son orbite ne dépend que de la masse du Soleil ( plus généralement de l’astre attracteur).

Ainsi :

Halley S Halley Mars

Mars Terre

Terre

a GM T R

T R

T ²

3 2 3

2 3

2 4

..._ 







Remarque :

Les lois de Kepler, bien qu’écrites pour les planètes de notre système solaire, s’applique pour tout corps en orbite elliptique autour d’un astre.

Ainsi :

Terre Satellite

Satellite Lune

Lune

R GM T R

T ²

3 2 3

2 _{ } 4

t

t

A1

A2

Exercice 7:

13/ 15

Représentation de 18 000 satellites en orbite autour de la Terre.

On voit nettement apparaître l’orbite géostationnaire.

Exercice 8:

Exercice 9 :TS Star :

14/ 15

4) Exercice BAC N°6 :Détermination de la masse de l’électron

ENONCE :

La première détermination historique de la masse de l'électron passait par une mesure expérimentale du quotient entre sa charge et sa masse. Le dispositif utilise deux armatures métalliques A et B, planes, parallèles à un axe horizontal (Ox), distantes de d, de longueur É, placées dans le vide (Fig. 1).

Un faisceau d'électrons pénètre en O entre ces armatures. Chaque électron a une masse m, une charge électrique -e et une vitesse initiale Vo parallèle à (Ox). À la sortie des armatures, les électrons laissent une trace sur une plaque sensible. Lorsque la tension UAB entre les plaques est nulle, cette trace est au point P. Elle est en C lorsque UAB = 400 V, les points Pet C étant distants de 14 mm.

Données : vo = 2,50.10⁷ m.s^-1, d = 4,00 cm, l = 10,0 cm, e =1,6.10^-19 C.

a) Le point C est il plus proche de A ou de B ? Justifier la réponse.

b) En négligeant le poids de l'électron, montrer que les coordonnées de son vecteur accélération sont : ax= 0 et ay =

.

c) En déduire les coordonnées du vecteur vitesse de cet électron puis les équations horaires de sa position.

d) En déduire l'expression de la date tc à laquelle l'électron arrive en x=

l et montrer que l'ordonnée du point C s’écrit : Yc =

e) En déduire l'expression du rapport e/m en fonction de yc, l, Vo, UAB et d. Calculer sa valeur et en déduire celle de la masse m de l'électron

SOLUTION :

15/ 15

5) Exercice BAC N°7 :satellites SPOT

ENONCE :

Entre 1986 et 2002, les cinq satellites Spot (Satellite pour l'observation de la Terre) ont été placés en orbite circulaire, à une altitude de 820 km, par le lanceur Ariane. Ils fournissent des images de la Terre en haute définition , accessibles au grand public depuis 2007.

a) Quelle force s'exerce sur le satellite en orbite ? Quelles sont ses caractéristiques ?

b) En utilisant la deuxième loi de Newton, démontrer qu'un satellite Spot est en mouvement uniforme et calculer sa vitesse orbitale. Ai.de. 1

c) Calculer la période de révolution d'un tel satellite.

d) Expliquer pourquoi un petit nombre de satellites (en l'occurrence, cinq) suffisent à obtenir, chaque jour, une image de n'importe quel point de la Terre. Aide. 2

Données :

 G -= 6,67.10^-11 N.m².kg^-2

 masse de la Terre : MT = 6,0.10²⁴ kg

 rayon moyen de la Terre : RT = 6 370 km

SOLUTION :