Rigidité symplectique et EDPs hamiltoniennes

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Jaime Bustillo

To cite this version:

Jaime Bustillo. Rigidité symplectique et EDPs hamiltoniennes. Mathématiques générales [math.GM].

Université Paris sciences et lettres, 2018. Français. �NNT : 2018PSLEE050�. �tel-02393553�

de l’Universit ´e de recherche Paris Sciences et Lettres PSL Research University

Pr ´epar ´ee `a l’ ´ Ecole Normale Sup ´erieure de Paris

Symplectic rigidity and Hamiltonian PDEs

Rigidit ´e symplectique et EDPs hamiltoniennes

Ecole doctorale n ´

574

ECOLE DOCTORALE DE MATH ´ ´ EMATIQUES HADAMARD

Sp ´ecialit ´e

Soutenue par Jaime BUSTILLO le 2 juillet 2018

Dirig ´ee par Claude VITERBO

COMPOSITION DU JURY :

M. Patrick Bernard

Ecole Normale Sup ´erieure de Paris´ Membre du jury

M. Sergei Kuksin Universit ´e Paris Diderot

Pr ´esident du jury et Rapporteur M. Emmanuel Opshtein

Universit ´e de Strasbourg Rapporteur

M. Felix Schlenk

Universit ´e de Neuch ˆatel Membre du jury

M. Sobhan Seyfaddini IMJ-PRG

Membre du jury M. Claude Viterbo

Ecole Normale Sup ´erieure de Paris´

Je remercie chaleureusement mon directeur de th` ese, Claude Viterbo, de m’avoir permis de r´ ealiser mon doctorat dans le laboratoire qu’il dirigeait ainsi que pour son encadrement dans ce projet de recherche. Je lui suis tr` es reconnaissant de sa volont´ e de partager avec moi ses connaissances math´ ematiques et de la confiance et de la libert´ e qu’il m’a accord´ ee pour mener ` a terme ce travail.

Sergei Kuksin et Emmanuel Opshtein m’ont fait l’honneur d’ˆ etre rapporteurs de ma th` ese, ils ont pris le temps de m’´ ecouter et de discuter avec moi. Leurs remarques m’ont permis d’envisager mon travail sous un autre angle et d’am´ eliorer la version finale du manuscrit. Pour tout cela je les remercie.

Je tiens ` a remercier ` a Felix Schlenk, Sobhan Seyfaddini et Patrick Bernard pour avoir accept´ e de participer ` a mon jury de th` ese et pour leur participation scientifique ainsi que le temps qu’ils ont consacr´ e ` a ma recherche.

Ce travail n’aurait pas ´ et´ e possible sans le soutien de l’ ´ Ecole Doctorale de Math´ ematiques Hadamard et de PSL, qui m’ont permis, grˆ ace ` a une allocation de recherche, de me consacrer sereinement ` a l’´ elaboration de ma th` ese. Je veux remercier aussi la Fundaci´ on Mutua Madrile˜ na pour la bourse accord´ ee en 2013 grˆ ace ` a laquelle j’ai pu retourner ` a Paris pour suivre ma passion math´ ematique.

J’ai eu la chance de faire cette th` ese ` a Paris, o` u il y a une grande communaut´ e symplectique.

Le s´ eminaire Symplectix m’a toujours motiv´ e tout le long de ma th` ese et je veux remercier tous les participants pour l’ambiance stimulante qu’ils ont cr´ e´ ee. Je remercie particuli` erement Vincent Humili` ere pour l’int´ erˆ et port´ e ` a ma recherche et ` a mon parcours. C’est grˆ ace ` a lui et ` a Laurent Charles que je suis all´ e parler avec Claude Viterbo pour lui demander de m’encadrer. Un grand merci aux deux.

Au cours de ces ann´ ees j’ai fait partie du DMA o` u j’ai eu l’occasion de rencontrer et d’interagir avec de nombreux math´ ematiciens. Les discussions que j’ai pu avoir m’ont beaucoup apport´ e mˆ eme si elles n’ont pas contribu´ e directement au contenu de ces lignes. Je tiens ` a remercier particuli` erement Rodolfo pour toutes nos discussions, conseils et support qui ont ´ et´ e pr´ ecieux dans les ´ etapes plus dures de cette th` ese.

Pendant ces trois ans j’ai partag´ e le bureau avec Aymeric, Charles, David, Ephr` eme, Ir` ene, Paolo et Valentine. Merci ` a tous pour les bons moments et la tr` es bonne ambiance! Merci aussi ` a Jessica, Matias, Maxence, Michel, Joseph, Stefan, Thibault, Wei, Yusuke... pour votre sympathie et pour tous les repas ensemble.

Un grand merci aux doctorants du laboratoire PNCA, Chlo´ e, Erwan, Florence, Gabrielle, Joanna, Olivier, Romain et Simon pour les tr` es bons moments pass´ es ensemble, au soleil, ` a la salle d’escalade, chez les uns et les autres pour les repas th´ esards... Merci aussi pour votre solidarit´ e pr´ ecieuse.

Cuando vives lejos de casa, tus amigos son como tu familia. Quiero aprovechar para darle las gracias a Charlotte, Fran¸cois, Lorena y Pedro que me han acompa˜ nado todos estos a˜ nos en Par´ıs. Hemos pasado muy buenos momentos juntos y he aprendido mucho con vosotros. ¡Gracias de coraz´ on!

Gracias a mi familia de Madrid y Barcelona que siempre est´ a ah´ı cuando lo necesito. Pap´ a, Mam´ a, Bea, Yayi, ¡os quiero! Gracias por todo lo que me hab´ eis ense˜ nado y por todo el apoyo estos a˜ nos. Aunque a veces estuvi´ eramos viviendo cada uno en un pa´ıs diferente siempre hab´ eis estado cerca. Este trabajo tambi´ en es vuestro.

Y por ´ ultimo gracias a Sandra, compa˜ nera de aventuras. Vinimos hace cinco a˜ nos a Par´ıs

buscando hacer una tesis y ya casi lo hemos conseguido.

On ´ etudie les propri´ et´ es de rigidit´ e symplectique des diff´ eomorphismes hamiltoniens en dimension finie et en dimension infinie. En dimension finie, les outils principaux qu’on utilise sont les fonctions g´ en´ eratrices et les capacit´ es symplectiques. En dimension infinie on regarde les flots des ´ equations en d´ eriv´ ees partielles (EDPs) hamiltoniennes et, en particulier, les flots qui peuvent ˆ etre approch´ es uniform´ ement par des flots hamiltoniens de dimension finie.

Dans la premi` ere partie de la th` ese on ´ etudie les s´ electeurs d’action d´ efinies ` a partir des fonctions g´ en´ eratrices et on construit des invariants hamiltoniens pour les sous-ensembles de

× T

. Cela nous permet de d´ emontrer un th´ eor` eme non-squeezing coisotrope pour les diff´ eomorphismes hamiltoniens ` a support compact de

. On montre ` a continuation que cette propri´ et´ e apparaisse dans certains cas non compacts. Finalement, on explique comment ce r´ esultat donne aussi l’information sur le probl` eme de rigidit´ e symplectique en dimension interm´ ediaire.

Encore en dimension finie, on d´ emontre qu’on peut utiliser le th´ eor` eme du chameau symplectique pour produire des sous-ensembles invariants compacts dans des surfaces d’energie.

Dans la deuxi` eme partie on ´ etudie les propri´ et´ es de rigidit´ e symplectique des flots des EDPs hamiltoniennes. On se place dans le contexte introduit par Kuksin et on ´ etudie une classe parti- culi` ere de EDPs semi-lin´ eaires qui peuvent ˆ etre approch´ ees par flots hamiltoniens de dimension finie. D’abord on donne une nouvelle construction de capacit´ e symplectique en dimension infinie

`

a partir des capacit´ es de Viterbo. Puis on d´ emontre l’analogue de la rigidit´ e interm´ ediaire pour

certaines EDPs hamiltoniennes. Cette classe inclue l’´ equation d’ondes en dimension 1 avec une

nonlin´ earit´ e born´ ee, comme par exemple l’´ equation de Sine-Gordon. Dans la derni` ere partie de

la th` ese on s’int´ eresse ` a un analogue de la conjecture d’Arnold pour l’´ equation de Schr¨ odinguer

p´ eriodique avec une non lin´ earit´ e de convolution.

We study symplectic rigidity properties in both finite and infinite dimension. In finite dimension, the main tools that we use are generating functions and symplectic capacities. In infinite dimen- sion we study flows of Hamiltonian partial differential equations (PDEs) and, in particular, flows which can be uniformly approximated by finite dimensional Hamiltonian diffeomorphisms.

In the first part of this thesis we study the action selectors defined from generating functions and we build Hamiltonian invariants for subsets of

× T

. This allows us to prove a coisotropic non-squeezing theorem for compactly supported Hamiltonian diffeomorphisms of

. We then extend this result to some non-compact settings. Finally we explain how this result can give information about the middle dimensional symplectic rigidity problem. Still in finite dimensions, we show that it is possible to use the symplectic camel theorem to create energy surfaces with compact invariant subsets.

In the second part of the thesis we study symplectic rigidity properties of flows of Hamiltonian PDEs. We work in the context introduced by Kuksin and study a particular class of semi-linear Hamiltonian PDEs that can be approximated by finite dimensional Hamiltonian diffeomorphisms.

We first give a new construction of an infinite dimensional capacity using Viterbo’s capacities. The

main result of this part is the proof of the analogue of the middle dimensional rigidity for certain

types of Hamiltonian PDEs. These include nonlinear string equations with bounded nonlinearity

such as the Sine-Gordon equation. In the final part of this thesis we study an analogue of Arnold’s

conjecture for the periodic Schr¨ odinger equations with a convolution nonlinearity.

Introduction (en fran¸ cais) xi

Capacit´ es symplectiques . . . . xii

Rigidit´ e co¨ısotrope . . . xvi

Rigidit´ e sur les surfaces d’´ energie . . . xxiii

EDPs hamiltoniennes . . . xxiv

1 Introduction 1 1.1 Symplectic capacities . . . . 2

1.2 Coisotropic rigidity . . . . 6

1.3 Rigidity on energy surfaces . . . . 13

1.4 Hamiltonian PDEs . . . . 14

2 The action spectrum as a symplectic invariant 21 2.1 The action functional. . . . 21

2.1.1 Periodic orbits as critical points. . . . 22

2.1.2 The action spectrum. . . . . 23

2.2 Action value selectors . . . . 24

2.2.1 Energy-capacity inequality . . . . 26

2.3 Other symplectic capacities . . . . 28

3 Generating functions and spectral invariants 29 3.1 Definition . . . . 29

3.2 Existence . . . . 33

3.3 Uniqueness . . . . 36

3.4 Critical value selectors . . . . 37

3.4.1 Properties . . . . 38

3.5 Viterbo’s capacities . . . . 39

3.5.1 Energy-capacity inequality . . . . 42

4 Generating functions and symplectic reduction 47 4.1 Restriction as a symplectic reduction . . . . 47

4.1.1 Relation with the critical value selectors . . . . 50

4.2 Spectral invariants on

× T

. . . . 51

4.2.1 Preliminary results . . . . 51

4.2.2 Definition of the invariants . . . . 53

4.2.3 The diffeomorphism property of gfqi in the reduction . . . . 56

4.2.4 First calculations . . . . 57

4.2.5 Reduction energy-capacity inequality . . . . 59

4.3 Coisotropic non-squeezing . . . . 61

4.3.1 Non-compact setting . . . . 63

4.3.2 Coisotropic rigidity in T

. . . . . 68

4.3.3 Middle dimensional symplectic rigidity . . . . 70

5 Rigidity on energy surfaces 75 5.1 C

perturbations and compact invariant sets . . . . 75

5.1.1 Trapping trajectories . . . . 77

5.1.2 Construction of the symplectic isotopy . . . . 79

5.1.3 Symplectic extension: proof of Proposition 5.14 . . . . 83

6 Symplectic rigidity in Hamiltonian PDEs 87 6.1 Semilinear Hamiltonian equations . . . . 88

6.1.1 Examples . . . . 89

6.1.2 Hilbert scales . . . . 90

6.1.3 Finite dimensional approximation . . . . 91

6.1.4 Examples . . . . 94

6.2 Infinite dimensional symplectic rigidity . . . . 95

6.2.1 Non-squeezing theorem . . . . 95

6.2.2 Symplectic capacities . . . . 98

6.2.3 Coisotropic Camel . . . 101

7 Exploring the Arnold conjecture for Hamiltonian PDEs 107 7.1 Schr¨ odinger equation with convolution nonlinearity . . . 107

7.1.1 Converging sequences of fixed points . . . 109

7.1.2 Finding critical points . . . 110

7.1.3 Proof of Theorem 7.5 . . . 111

A Basic symplectic geometry 113 A.1 Symplectic vector spaces . . . 113

A.2 Symplectic manifolds . . . 114

A.3 Hamiltonian diffeomorphisms . . . 115 B The action functional as a generating function 117

C Critical value selectors 119

Bibliography 121

La g´ eom´ etrie symplectique trouve ses origines dans la formulation math´ ematique de la m´ ecanique classique. Au XIX` eme si` ecle, Hamilton donne une interpr´ etation variationnelle des ´ equations du mouvement. Consid´ erons l’espace de phases

avec coordonn´ ees (q, p), o` u q repr´ esente la position d’une particule et p repr´ esente le moment. L’´ evolution γ : [0, 1] →

d’une particule dans l’espace de phases sous l’influence d’une fonction d’´ energie H : [0, 1] ×

→

est un point stationnaire de l’action

A

(γ) =

0

p(t) · q(t) ˙ dt −

0

H(t, γ(t)) dt

Sous cette formulation, les points stationnaires sont d´ ecrits par les ´ equations de Hamilton:

(

q ˙ =

˙

p = −

Par exemple, la fonction d’´ energie d’une particule sous l’influence d’un potentiel V (q) a une fonction d’´ energie donn´ ee par H(q, p) =

|p|

+ V (q). Les ´ equations de Hamilton donnent alors l’´ equation de Newton classique

m q ¨ = −∇V (q).

En g´ en´ eral, les ´ equations de Hamilton donnent lieu ` a une transformation de l’espace de phases.

Lorsque l’espace de phases est de dimension deux, cette transformation pr´ eserve l’aire des sous- ensembles de

. Dans les dimensions sup´ erieures, l’´ enonc´ e ´ equivalent est le suivant: le flot des ´ equations de Hamilton pr´ eserve la forme diff´ erentielle ω

=

i=1

dq

∧ dp

. Cette forme diff´ erentielle est ce que nous appelons la forme symplectique standard de

. Afin de comprendre la dynamique de la m´ ecanique classique, on est amen´ e ` a ´ etudier les structures symplectiques et, en particulier, les transformations de l’espace qui pr´ eservent la forme symplectique. Le concept de forme symplectique se g´ en´ eralise ` a des vari´ et´ es lisses M: une structure symplectique ω sur M est une deux-forme ferm´ ee non d´ eg´ en´ er´ ee. Le fait que ω soit non-d´ eg´ en´ er´ ee permet de g´ en´ eraliser les

´ equations de Hamilton: pour toute fonction d’´ energie H, le champ vectoriel hamiltonien X

est d´ efini comme l’unique champ de vecteurs qui satisfait i

ω = dH. En utilisant le fait que ω est ferm´ ee, nous obtenons que le flot g´ en´ er´ e par X

pr´ eserve la structure symplectique. Le principal exemple de vari´ et´ e symplectique avec laquelle nous allons travailler sont les espaces cotangents T

N . Ils repr´ esentent les espaces de phase de la m´ ecanique classique o` u le mouvement est limit´ e

`

a une vari´ et´ e N . Chaque espace cotangent est ´ equip´ e d’une structure symplectique canonique qui est donn´ ee localement par la structure standard dans T

'

. Plus g´ en´ eralement, la structure locale des vari´ et´ es symplectiques est d´ ecrite par le th´ eor` eme suivante:

Th´ eor` eme (Darboux). Toute vari´ et´ e symplectique de dimension 2n est localement symplecto-

morphe ` a (

, ω

).

Ce th´ eor` eme implique que les vari´ et´ es symplectiques n’ont pas d’invariants locaux. Les pro- pri´ et´ es symplectiques de M sont d´ etermin´ ees par la g´ eom´ etrie de (

, ω

) et par la structure globale des objets dans M . Afin d’´ etudier la g´ eom´ etrie de l’espace, on est alors conduit ` a l’´ etude des diff´ eomorphismes globaux qui pr´ eservent la structure symplectique. Nous les appellerons sym- plectomorphismes. La premi` ere propri´ et´ e v´ erifi´ ee par symplectomorphismes est le th´ eor` eme de Liouville: chaque diff´ eomorphisme symplectique pr´ eserve le volume des sous-ensembles. L’un des premiers r´ esultats qui a montr´ e la diff´ erence entre les diff´ eomorphismes conservant le volume et les symplectomorphismes, est le th´ eor` eme non-squeezing de Gromov:

Th´ eor` eme (Gromov 1985, [Gro85]). Soit (

, ω

) l’espace symplectique standard. Notons B

une boule de rayon r dans

et soit B

×

le cylindre symplectique standard de rayon R.

Si ϕ :

→

est un diff´ eomorphisme symplectique alors

ϕ(B

) ⊆ B

×

implique r ≤ R

Capacit´ es symplectiques

La preuve originale du th´ eor` eme non-squeezing de Gromov reposait sur la technique des courbes pseudoholomorphes. Peu apr` es, plusieurs auteurs[EH90, HZ90, Vit92] ont donn´ e des preuves ind´ ependantes du th´ eor` eme de Gromov en utilisant le concept de capacit´ es symplectiques. Une capacit´ e symplectique est une fonction c : P (

) → [0, +∞] qui v´ erifie les propri´ et´ es suivantes:

1. (croissance) Si U ⊆ V alors c(U ) ≤ c(V ).

2. (conformalit´ e) c(λU ) = λ

c(U ) pour tout λ ∈

.

3. (invariance symplectique) Si φ :

→

est un symplectomorphisme, alors c(φ(U )) = c(U ).

4. (non-trivialit´ e+normalisation) c(B

) = π = c(B

×

).

L’existence d’une fonction avec ces propri´ et´ es implique le th´ eor` eme de Gromov. La construction de certaines capacit´ es (cf. [EH90, HZ90, Vit92]) provient de l’´ etude des orbites p´ eriodiques des syst` emes hamiltoniens. C’est l’approche qui va nous int´ eresser par la suite.

Le spectre d’action en tant qu’invariant symplectique

Rappelons que le principe de Hamilton affirme que les orbites p´ eriodiques d’un syst` eme hamil- tonien associ´ e ` a H sont les points extrˆ emes de l’action:

A

(γ ) =

0

p(t) · q(t) ˙ dt −

0

H(t, γ(t)) dt.

En particulier, les points critiques de A

contiennent des informations dynamiques tr` es impor-

tantes. Cette information peut ˆ etre utilis´ ee pour construire des capacit´ es symplectiques. Con-

sid´ erons un diff´ eomorphisme hamiltonien ` a support compact H dans

. Dans ce cas, nous

pouvons int´ egrer les ´ equations de Hamilton pour obtenir un flot global ψ

de

. Une orbite

p´ eriodique du syst` eme peut ˆ etre vue comme un point fixe z

de ψ

, c’est-` a-dire un point v´ erifiant

ψ

(z

) = z

. Notons A(z

, H) = A

(ψ

(z

)) la valeur de l’action associ´ ee au point fixe z

. A

premi` ere vue, cette quantit´ e d´ epend de la fonction H et de tout le chemin ψ

, mais en fait ce

n’est pas le cas. On peut montrer que cette valeur d’action ne d´ epend pas du chemin hamiltonien

utilis´ e pour engendrer ψ

. Plus pr´ ecis´ ement, si K une autre fonction hamiltonienne ` a support compact tel que ψ

= ψ

, alors

A(z

, H) = A(z

, K ).

Les valeurs d’action d´ efinissent donc un sous-ensemble de

qui d´ epend uniquement du temps un ψ = ψ

. On peut alors associer ` a tout ψ son spectre d’action σ(ψ) ⊆

d´ efini par

σ(ψ) = {A(z, H ) | z ∈ Fix(ψ = ψ

)}.

Il s’av` ere que le spectre d’action est invariant par conjugaisons symplectiques: pour tout sym- plectomorphisme ϕ de

on a

σ(ϕψϕ

) = σ(ψ).

En particulier, le spectre d’action des diff´ eomorphismes hamiltoniens support´ es en U est exacte- ment le mˆ eme que celui qu’on trouve pour les diff´ eomorphismes hamiltoniens support´ es dans ϕ(U ).

Cette remarque importante est le point de d´ epart de la construction des capacit´ es symplectiques que Viterbo a donn´ e dans [Vit92].

Capacit´ es de Viterbo

Pour chaque ensemble ouvert, U on note Ham

(U ) l’ensemble de temps un des flots hamil- toniens avec un support compact contenu dans U . Pour un ensemble ouvert born´ e U , la capacit´ e de Viterbo c(U ) est d´ efinie en utilisant l’information dynamique des ´ el´ ements dans Ham

(U ).

Plus pr´ ecis´ ement, cette information va provenir de la valeur d’action associ´ ee ` a certaines orbites p´ eriodiques dynamiquement importantes. Ces valeurs d’action sont choisies par deux s´ electeurs, d´ esign´ es par c(µ, ·) et c(1, ·), qui prennent un ´ el´ ement ψ

de Ham

(

) et donnent deux valeurs

c(µ, ψ) = A

(σ(t)) et c(1, ψ) = A

(β(t))

o` u σ(t) = ψ

(x) et β(t) = ψ

(y) avec x, y ∈ Fix(ψ

). Ces valeurs v´ erifient c(µ, ψ) ≥ 0 et c(1, ψ) ≤ 0. On peut prouver que la valeur γ(ψ) = c(µ, ψ) − c(1, ψ) est nulle si et seulement si ψ est l’identit´ e. Intuitivement, cela signifie que ces valeurs d’action peuvent ˆ etre interpr´ et´ ees comme un maximum et minimum dynamique de ψ. De plus, on peut prouver que γ d´ efinit une distance sur Ham

(

). En utilisant l’invariance par conjugaison symplectique du spectre d’action, on peut voir que les s´ electeurs sont invariants sous la conjugaison symplectique, c’est-` a-dire,

c(µ, ψ) = c(µ, ϕψϕ

),

donc ces valeurs peuvent ˆ etre utilis´ ees pour d´ efinir deux invariants symplectiques sur des ensembles ouverts born´ es :

c(U ) = sup{c(µ, ψ) | ψ ∈ Ham

(U )}

γ (U ) = inf{γ (ψ) | ψ ∈ Ham

(

) et ψ(U ) ∩ U = ∅}

Sur les ensembles ouverts non born´ es V , la capacit´ e c(V ) et γ(V ) est d´ efinie comme le sup sur tous les ensembles born´ es ouverts contenus dans V . Enfin, sur des sous-ensembles arbitraires X ⊆

les deux capacit´ es sont d´ efinies comme l’infimum sur tous les ensembles ouverts V qui contiennent X. La valeur c(U ) mesure la taille de ce maximum dynamique si le support est contenu dans U . Il a de plus la propri´ et´ e que, sur un corps lisse convexe K, la valeur c(K) co¨ıncide avec la quantit´ e g´ eom´ etrique de l’aire minimale d’une caract´ eristique ferm´ ee sur la fronti` ere ∂K. D’autre part, γ est d´ efini en utilisant la distance de Viterbo sur Ham

(

): si nous d´ efinissons l’´ energie d’un diff´ eomorphisme comme la distance ` a l’identit´ e, alors γ(U ) mesure l’´ energie minimale dont on a besoin pour d´ eplacer U . Les deux capacit´ es sont toujours li´ ees par l’in´ egalit´ e c(X) ≤ γ (X).

En dimension deux, si ψ est un diff´ eomorphisme hamiltonien ` a support compact qui d´ eplace un

disque d’aire πr

, alors nous avons πr

≤ γ(ψ).

Construction des s´ electeurs d’action

Afin d’extraire l’information des points fixes de ψ

= ψ nous regardons le graphe de ψ, not´ e Γ

= Id × ψ, dans

×

et les points d’intersection de Γ

avec Γ

. Si nous munissons

×

avec la structure symplectique ω

⊕(−ω

) alors Γ

devient une sous-vari´ et´ e lagrangienne.

De plus, Γ

est isotope ` a la diagonale et co¨ıncide avec elle en dehors d’un compact. Travailler sur la vari´ et´ e lin´ eaire de

a l’avantage qu’il y a un symplectomorphisme explicite

I : (

×

, ω

⊕ (−ω

)) −→ (T

, −dλ)

tel que Γ

est envoy´ e ` a la section nulle. En particulier, puisque l’application est symplectique, l’image de Γ

est une sous-vari´ et´ e lagrangienne qui est isotope de fa¸ con hamiltonienne ` a section nulle et co¨ıncide ` a l’infini avec la section nulle. Cela nous permet de consid´ erer la compactification en un point de

` a S

et de voir T

comme un sous-ensemble de T

S

. Chaque Γ

est alors contenu dans une sph` ere lagrangienne L

⊆ T

S

qui est une isotopie hamiltonienne de la section nulle. Nous voulons extraire des informations des points d’intersection de L

avec la section nulle.

Il y a une mani` ere naturelle de d´ ecrire les Lagrangiens dans l’espace contangent: toute fonction f d´ efinit une sous-vari´ et´ e lagrangienne via le graphe de son diff´ erentiel df . Pour cette famille de Lagrangiens, les points d’intersection avec la section nulle sont d´ etermin´ es par les points critiques de f . Nous allons d´ ecrire L

en utilisant une g´ en´ eralisation de cette description qui sont les fonctions g´ en´ eratrices. On introduit une variable auxiliaire et on consid` ere les fonctions S : S

×

→

. Le graphe de la diff´ erentielle est une sous-vari´ et´ e lagrangienne dans T

(S

×

).

Nous allons pousser en avant cette sous-vari´ et´ e lagrangienne de mani` ere symplectique pour obtenir une lagrangienne dans T

S

. Pour le faire, nous devons introduire le concept de r´ eduction symplectique.

R´ eduction symplectique. Soit V un espace vectoriel symplectique. On dit que W ⊆ V est un sous-espace co¨ısotrope si W contient son orthogonal symplectique W

, ou en autres termes, un sous-espace W tel quel si u ∈ V v´ erifie ω(u, w) = 0 pour tout w ∈ W , alors u ∈ W . Puisque W

⊆ W , on peut consid´ erer le quotient W/W

qui est par construction un espace vectoriel symplectique avec la forme symplectique induite par ω. Notons π la projection naturelle π : W → W/W

et soit Z un sous-ensemble de V . La r´ eduction symplectique de Z par W est

Red

(Z) := π(Z ∩ W ),

qui est un sous-ensemble de W/W

. Une des propri´ et´ es importantes de cette op´ eration est que si L ⊂ V est un sous-espace vectoriel lagrangien transverse ` a W , alors Red

(L) est lagrangien dans le quotient. Cette d´ efinition s’applique au cas non lin´ eaire, la seule difficult´ e qui peut survenir est que W/W

ne soit pas une vari´ et´ e.

Fonctions g´ en´ eratrices quadratiques ` a l’infini. Soit N une vari´ et´ e compacte et consid´ erons une fonction S : N ×

→

. Le graphe de la diff´ erentielle est une sous-vari´ et´ e lagrangienne dans T

(N ×

). Consid´ erons le sous-espace co¨ısotrope W := T

N ×0

R^k

⊆ T

N ×T

' T

(N ×

).

On peut voir que W/W

' T

N . Si dS est transverse ` a W alors L

= Red

(dS)

est une sous-vari´ et´ e lagrangienne immerg´ ee dans T

N . Dans ce cas, nous disons que S est une

fonction g´ en´ eratrice ou fg de L

. La condition de transversalit´ e implique que Σ

:= dS

(W )

est une sous-vari´ et´ e de dimension dim N . On note i

: Σ

→ L

⊆ T

N l’application i

(q, ξ) =

Red

(dS(q, ξ)), c’est une immersion. Si de plus S(x, ξ) = Q(ξ) en dehors d’un compact avec Q une forme quadratique non d´ eg´ en´ er´ ee, alors nous appellerons S une fonction g´ en´ eratrice quadra- tique ` a l’infini ou fgqi. Il s’av` ere que cette description des lagrangiennes est suffisante pour d´ ecrire tous nos L

dans T

S

.

Th´ eor` eme (Laudenbach et Sikorav [LS85, Sik86, Sik87]). Soit T

N l’espace contangent d’une vari´ et´ e compacte et consid´ erons un diff´ eomorphisme hamiltonien Φ : T

N → T

N . Alors Φ(0

) a une fgqi S telle que i

est un diff´ eomorphisme.

Le fait que i

soit bijective implique qu’il y a une correspondance bijective entre les points critiques de S et les points d’intersection de L avec la section nulle. Ce th´ eor` eme d’existence a d´ ej` a de fortes implications pour la topologie de ces sous-vari´ et´ es. Il implique que ce type de sous-vari´ et´ es intersectent suffisamment la section nulle. Afin de d´ efinir les capacit´ es de Viterbo, nous devons pouvoir comparer les fonctions g´ en´ eratrices d’une mˆ eme lagrangienne. Consid´ erons les op´ erations suivantes:

1. Addition d’une constante. Si c ∈

S

= S + c : N ×

→

2. Composition par un diff´ eomorphisme. Si φ : N ×

→ N ×

est un diff´ eomorphisme qui satisfait φ(x, ξ) = (x, ϕ(x, ξ)) alors on pose S

= S ◦ φ.

3. Stabilisation. Si Q

:

0

→

est une autre forme quadratique non d´ eg´ en´ er´ ee, alors nous d´ efinissons S

= S + Q

: N ×

×

0

→

.

On dit que une fgqi S

est ´ equivalente ` a une autre fgqi S si S

peut ˆ etre obtenue ` a partir de S par une succession d’op´ erations ci-dessus. On peut v´ erifier facilement que pour chacune des op´ erations pr´ ec´ edentes, nous avons

Red

(dS

) = Red

(dS), CritVal(S

) = CritVal(S) + c.

Le th´ eor` eme suivant assure que ces trois op´ erations sont suffisantes pour aller d’une fgqi ` a une autre fgqi ` a condition qu’elles d´ ecrivent une isotopie lagrangienne ` a la section nulle.

Th´ eor` eme (Viterbo [Vit92] et Th´ eret [Th´ e99a]). Soit T

N l’espace cotangent d’une vari´ et´ e com- pacte et consid´ erons un diff´ eomorphisme hamiltonien Φ : T

N → T

N . Alors toutes les fgqi S de Φ(0

) telles que i

est un diff´ eomorphisme sont ´ equivalentes.

Il convient de remarquer que dans l’article de Th´ eret l’hypoth` ese de que i

soit un diff´ eomorphisme n’est pas incluse dans la d´ efinition de fonction g´ en´ eratrice [Th´ e99a, Definition 2.1] mais elle est incluse dans la terminologie “S engendre L” [Th´ e99a, Definition 2.2].

D´ efinition de c(µ, ·) et c(1, ·). Puisque les fgqi sont de degr´ e un, les points d’intersection de L

avec la section nulle sont en correspondance bijective avec les points critiques de S. Rappelons que ces points d’intersection sont en bijection avec les points fixes de ψ. Apr` es avoir normalis´ e la fgqi pour que la valeur critique ` a l’infini soit 0, on peut prouver que les valeurs critiques de S co¨ıncident avec le spectre d’action de ψ

CritVal(S) = σ(ψ).

Pour s´ electionner une valeur d’action, il suffit alors de s´ electionner une valeur critique de S.

Viterbo le fait dans [Vit92] via la th´ eorie de Liusternik-Schilermann. Dans cette th´ eorie, les

valeurs critiques sont consid´ er´ ees comme t´ emoins des changements topologiques des ensembles de niveaux de S. Soit S une fgqi qui co¨ıncide avec la forme quadratique Q ` a l’infini. Notons S

l’ensemble des points (x, ξ) ∈ N ×

tels que S(x, ξ) ≤ λ. Le fait que S co¨ıncide avec Q ` a l’infini implique que pour |λ| suffisamment grand les ensembles de niveau ne d´ ependent que de Q, en d’autres termes: S

= Q

. Pour un λ

fixe assez grand qui v´ erifie cette propri´ et´ e, on d´ efinit S

= S

et S

= S

. Alors la topologie de la paire (S

, S

) ne d´ epend que de l’indice de la forme quadratique et nous avons

(S

, S

) ' (S

× D

, S

× ∂D

)

o` u D

est le disque de dimension l’indice de Q. En particulier nous obtenons les isomorphismes en cohomologie sur un corps

H

(S

, S

) ' H

(N ) ⊗ H(D

, ∂D

),

et nous pouvons d´ efinir une application T : H

(N ) → H

(S

, S

) qui est appel´ e l’isomorphisme de Thom. Afin de trouver les changements dans la topologie des ensembles de niveau, nous d´ eformons la paire (S

, S

). Consid´ erons l’inclusion naturelle i

: S

→ S

. Nous obtenons une application en cohomologie

i

: H

(S

, S

) → H

(S

, S

).

Enfin, si on note µ le g´ en´ erateur de H

(S

) et par 1 le g´ en´ erateur de H

(S

) nous peut d´ efinir deux valeurs:

c(µ, S) = inf {λ | i

T (µ) 6= 0} and c(1, S ) = inf{λ | i

T (1) 6= 0}

Ils d´ etectent un ensemble de niveau qui subit un changement topologique, donc ils sont des valeurs critiques de S. On peut alors d´ efinir c(µ, ψ) = c(µ, S) o` u S est un fgqi normalis´ e. Cette valeur est bien d´ efinie grˆ ace au th´ eor` eme d’unicit´ e des fgqi .

Rigidit´ e co¨ısotrope

Pour le premier r´ esultat original de cette th` ese, nous prouvons un nouveau r´ esultat de rigidit´ e pour une famille large de symplectomorphismes. Au lieu d’´ etudier l’´ evolution des boules, comme dans le non-squeezing de Gromov, nous allons ´ etudier l’´ evolution des cylindres coisotropes. Pour rappel, (cf. section pr´ ec´ edente), tout sous-espace co¨ısotrope W ⊆

induit un espace symplectique W/W

. On note π : W → W/W

la projection. La r´ eduction de Z ⊆

est d´ efinie comme

Red

(Z ) = π(Z ∩ W ).

Dans le cas particulier de W =

× i

⊆

×

, π = π

est la projection sur les m premi` eres coordonn´ ees complexes. Un cylindre co¨ısotrope est un sous-ensemble de la forme X ×

⊆

×

. On peut ainsi ´ ecrire X ×

= X × 0

et W = T

× T

. Th´ eor` eme (Non-squeezing coisotrope). Soit X ⊆

un ensemble compact, on consid` ere X ×

⊆

×

et on note W =

×i

. Pour chaque diff´ eomorphisme hamiltonien

`

a support compact ψ nous avons

c(X) ≤ γ (Red

[ψ(X ×

)]).

Figure 1: Cette figure repr´ esente l’image du cylindre co¨ısotrope par un diff´ eomorphisme hamiltonien ` a support compact ψ. Le plan transverse repr´ esente le sous-espace co¨ısotrope compl´ ementaire W . Le th´ eor` eme pr´ ec´ edent donne des informations sur la capacit´ e de la pro- jection de l’intersection avec W .

La d´ emonstration de ce th´ eor` eme est contenu dans l’article [Bus17]. Explicitement, la r´ eduction de W est π

(ψ(X ×

) ∩ (

× i

)), qui est la projection d’un ensemble born´ e. En par- ticulier nous ´ etudions des trajectoires o` u la composante de T

commence avec un moment nul et arrive ` a un point pr´ ecis T

. Nous soulignons que les capacit´ es de Viterbo ne donnent pas ` a elles seules des informations de rigidit´ e pour l’image des cylindres coisotropes puisque

c(X ×

) = 0 = γ(X ×

).

Le cas X = (S

)

, et o` u Red

[ψ(X ×

)] est contenu dans un cylindre a ´ et´ e prouv´ e par Buhovski et Opshtein en utilisant la th´ eorie de courbes pseudo-holomorphes. La preuve de notre th´ eor` eme est obtenue par une s´ erie d’in´ egalit´ es entre les capacit´ es de Viterbo d’ensembles et la r´ eduction symplectique de ces ensembles. L’avantage d’utiliser les capacit´ es de Viterbo est qu’elles sont construites en utilisant des fonctions g´ en´ eratrices, et la r´ eduction symplectique peut ˆ etre vue comme une op´ eration explicite sur les fonctions g´ en´ eratrices. Cette op´ eration peut ˆ etre ensuite

´ etudi´ ee en d´ etail. La preuve vient de l’extension des s´ electeurs d’action ` a

× T

. S´ electeurs d’action sur

× T

. La construction des s´ electeurs d’action de Viterbo s’appuie fortement sur la structure lin´ eaire de l’espace. Nous ne pouvons pas utiliser la mˆ eme con- struction pour g´ en´ eraliser ces invariants ` a chaque vari´ et´ e symplectique, n´ eanmoins nous sommes encore capables de le faire si nous ajoutons un espace cotangent d’un tore.

Notons π la projection naturelle de T

× T

sur T

× T

. C’est la projection induite par le quotient de T

×T

par translation de vecteurs dans

. Prenons une isotopie hamiltonienne ` a support compact ψ de

× T

et consid´ erons le relev´ e ˜ ψ sur

× T

. L’application ˜ ψ commute avec l’action de

par translation, donc les points fixes de ˜ ψ sont regroup´ es dans

orbites. De plus, on peut voir que ces orbites sont en bijection avec des points fixes contractiles de ψ. On peut d´ efinir le spectre d’action contractile de ψ comme

σ

(ψ) = σ( ˜ ψ).

Pour chaque diff´ eomorphisme hamiltonien de support compact ϕ de

× T

on peut montrer que

σ

(ϕψϕ

) = σ

(ψ).

Comme dans le cas de

on consid` ere le graphe de ˜ ψ et on peut utiliser le symplectomorphisme I pour le voir comme une sous-vari´ et´ e lagrangienne de T

× T

. Dans ce cas, les points d’intersection avec la section nulle viennent dans des

orbites o` u chaque point de l’orbite a la mˆ eme valeur d’action. Afin de se d´ ebarrasser de cette redondance, nous utilisons les propri´ et´ es p´ eriodiques du flot pour prendre le quotient par cette action et trouver une sous-vari´ et´ e lagrangi- enne dans T

× T

× T

. Les points d’intersection de cette lagrangienne avec la section nulle sont en bijection avec les points fixes contractiles de ψ. Nous pouvons alors compactifier la base pour obtenir une lagrangienne

L

⊆ T

S

× T

S

× T

.

Comme expliqu´ e pr´ ec´ edemment, cette sous-vari´ et´ e est isotope de fa¸ con hamiltonienne ` a la section nulle donc elle a une fgqi . On peut alors utiliser les classes cohomologiques α ⊗β ⊗γ ∈ H

(S

) ⊗ H

(S

) ⊗ H

(T

) pour s´ electionner les valeurs critiques de S. Apr` es normalisation, nous avons ` a nouveau la propri´ et´ e tr` es importante

CritVal(S) = σ

(ψ).

De la mˆ eme fa¸ con que dans le cadre classique, nous pouvons alors d´ efinir une notion de capacit´ e pour les sous-ensembles de

× T

. Pour les ensembles ouverts born´ es U dans

× T

on d´ efinit

c(α ⊗ β ⊗ γ, U ) = sup{c(α ⊗ β ⊗ γ, ψ) | ψ ∈ Ham

(U )}.

Cette fois ces quantit´ es ne sont pas invariantes par les diff´ eomorphismes symplectiques g´ en´ eraux de

× T

mais seulement par les isotopies hamiltoniennes.

S´ electeurs de valeurs critiques et r´ eduction symplectique. L’´ etape suivante consiste ` a relier ces nouveaux invariants aux capacit´ es classiques de Viterbo. Ceci est fait via une s´ equence d’in´ egalit´ es qui relient les fonctions g´ en´ eratrices ` a l’op´ eration de r´ eduction symplectique. La remarque cl´ e est que si S : N × B ×

→

est une fonction g´ en´ eratrice pour L

⊆ T

N × T

B et si L

est transverse au sous-espace co¨ısotrope W = T

N × T

B alors S

= S(·, b, ·) engendre Red

(L

). En plus, les s´ electeurs de valeurs critiques se comportent bien par rapport ` a cette op´ eration. Plus pr´ ecis´ ement pour α ∈ H

(N ) et µ ∈ H

(B) la classe d’orientation dans B nous avons la chaˆıne d’in´ egalit´ es

c(α ⊗ 1, S) ≤ c(α, S

) ≤ c(α ⊗ µ, S).

Ce r´ esultat nous permet d’obtenir la relation d´ esir´ ee avec les capacit´ es de Viterbo. Nous obtenons d’abord la non trivialit´ e de l’invariant via l’in´ egalit´ e suivante:

Proposition. Si X ⊆

est compacte alors c(X) ≤ c(µ ⊗ µ ⊗ 1, X × {0} ×

).

Dans cette proposition, il est crucial d’avoir un ensemble avec

tout entier dans la variable de la classe cohomologique 1 afin d’obtenir quelque chose de non trivial. La borne sup´ erieure provient d’une relation avec l’´ energie de d´ eplacement de Viterbo:

Proposition. Soit Z ⊆

×

×

un ensemble compact. Pour w ∈

on consid` ere le sous-espace co¨ısotrope W =

×

× {w}. On a

c(µ ⊗ µ ⊗ 1, Z ) ≤ γ(Red

(Z)).

Afin de prouver le th´ eor` eme de non-squeezing, nous ´ etendons l’ensemble X ×

et le voyons

comme X × {0} ×

⊂

× T

. Nous ´ etendons ensuite le diff´ eomorphisme hamiltonien ` a

support compact ` a tout l’espace

× T

et appliquons les propositions pr´ ec´ edentes.

Cas non compact

L’´ etape suivante consiste ` a ´ etendre le th´ eor` eme de non-squeezing co¨ısotrope ` a des cas o` u le diff´ eomorphisme hamiltonien n’a pas un support compact. Puisque nous regardons l’´ evolution d’un ensemble non born´ e X ×

⊆

×

nous devons avoir un flot globalement d´ efini. Pour cette raison nous restreignons l’´ etude ` a la classe des diff´ eomorphismes hamiltoniens qui satisfont

|∇H(z)| ≤ A + B|z| for every (t, z) ∈ [0, T ] ×

pour deux constantes positives A and B. Ces diff´ eomorphismes hamiltoniens d´ efinissent des appli- cations globales ψ

pour tout t ∈ [0, T ]. La premi` ere remarque est qu’il existe un diff´ eomorphisme hamiltonien de ce type qui ne satisfait pas l’´ enonc´ e du th´ eor` eme: consid´ erons le diff´ eomorphisme

φ(z

, . . . , z

) = (z

, . . . , z

, z

, . . . , z

)

avec z

= q

+ ip

. C’est un diff´ eomorphisme hamiltonien qui est engendr´ e par une fonction hamiltonienne quadratique. On peut voir facilement que

φ(X ×

) =

× X ⊆

×

de fa¸ con que l’image de π

est ´ egalement contenue dans un sous-espace lin´ eaire propre. Puisque l’´ energie de d´ eplacement associ´ ee ` a un sous-espace lin´ eaire est nulle nous obtenons

γ(Red

[φ(X ×

)]) = 0.

Si l’on consid` ere un cylindre co¨ısotrope de la forme X ×

avec c(X) > 0 alors l’´ enonc´ e du non-squeezing co¨ısotrope n’est pas vrai pour cette application φ. Nous prouvons qu’il existe une classe d’applications qui v´ erifient l’´ enonce. Plus pr´ ecis´ ement, nous prouvons:

Th´ eor` eme. Consid´ erons une fonction hamiltonienne de la forme H

(z) = 1

2 hAz, z i + U

(z), avec |∇U(z)| ≤ C pour tout (t, z) ∈

×

avec un C positive. Supposons que A = A

⊕ · · · ⊕ A

o` u A

est une application lin´ eaire sur V ect{

k

,

k

} pour tout 1 ≤ k ≤ n. Soit X ⊆

un ensemble compact et consid´ erons le sous-espace co¨ısotrope W :=

× i

. Alors pour tout t ∈

tel que

R^n−m

+ e

i

=

, nous avons

c(X) ≤ γ(Red

[ψ

(X ×

)]).

Un exemple de diff´ eomorphisme hamiltonien qui v´ erifie les hypoth` eses est la classe des flots d´ efinis ` a partir des fonctions hamiltoniennes m´ ecaniques de la forme

H

(q, p) = 1

2 |p|

+ U

(q), avec |∇U

(z)| ≤ C.

En particulier, le th´ eor` eme est vrai si U est un potentiel p´ eriodique en q.

Rigidit´ e co¨ısotrope sur T

T

En utilisant cette extension non-compacte, nous pouvons regarder le v´ eritable cas p´ eriodique T

. Dans ce cas, nous prouvons que nous avons toujours ce comportement dans le cas des diff´ eomorphismes hamiltoniens ` a support compact.

Th´ eor` eme. Soit ψ un diff´ eomorphisme hamiltonien ` a support compact de T

= T

× T

. Pour tout w ∈

on note W

= T

× T

et W

= T

× 0

. Soit B

une boule de rayon r dans T

. Alors l’inclusion

Red

[ψ(B

× 0

)] ⊆ B

ou Red

[ψ(B

× T

)] ⊆ B

entraˆıne r ≤ R.

Ce th´ eor` eme est ´ egalement vrai pour les diff´ eomorphismes hamiltoniens m´ ecaniques. Il indique

´

egalement que ce type de rigidit´ e co¨ısotrope peut apparaˆıtre dans le cadre des produits d’espaces cotangent de bases compactes. Par boule symplectique de rayon r dans une vari´ et´ e symplectique (M, ω) on entend une boule de rayon r dans

qui est plong´ ee de fa¸ con symplectique dans M En particulier, nous pouvons conjecturer le comportement suivant:

Conjecture. Soit N et M deux vari´ et´ es compactes et ψ une isotopie hamiltonienne compacte de T

N × T

M. Pour tout m ∈ M on note W

= T

N × T

M et W

= T

N × 0

. Soit B

une boule symplectique de rayon r dans T

N . Alors l’inclusion

Red

[ψ(B

× 0

)] ⊆ B

ou Red

[ψ(B

× T

M )] ⊆ B

implique r ≤ R.

Rigidit´ e symplectique de dimension interm´ ediaire

L’une des cons´ equences du th´ eor` eme non-squeezing co¨ısotrope est son interpr´ etation dans le con- texte du probl` eme de rigidit´ e de dimension interm´ ediaire. Une des premi` eres questions concernant ce probl` eme est apparue dans [Hof90b] o` u Hofer s’est interrog´ e sur la g´ en´ eralisation des capacit´ es aux dimensions interm´ ediaires. Les capacit´ es symplectiques sont une sorte de mesure bidimen- sionnelle des ensembles car, du point de vue des capacit´ es symplectiques, tous les cylindres d’un mˆ eme rayon mais avec une base de dimensions diff´ erentes, sont exactement identiques. Afin d’essayer de voir si ces cylindres sont diff´ erents pour la g´ eom´ etrie symplectique, Hofer a demand´ e s’il existe une capacit´ e symplectique k-interm´ ediaire c

satisfaisant la monotonie, la k-conformit´ e, l’invariance symplectique et telle que

c

(B

×

) < +∞ mais c

(B

×

×

) = +∞?

La premi` ere in´ egalit´ e est d´ ej` a v´ erifi´ ee par les capacit´ es standards et c’est la deuxi` eme qui diff` ere.

L’un des premiers r´ esultats indiquant que les capacit´ es interm´ ediaires n’existaient pas est apparu dans une publication de Guth [Gut08]. Il s’est int´ eress´ e ` a la question des plongements des poly- disques P = B

1

× · · · × B

n

avec R

≤ · · · ≤ R

dans un autre P

= B

× · · · × B

avec

R

≤ · · · ≤ R

en utilisant une application symplectique. ll y a deux obstacles ´ evidents ` a ce

probl` eme. Le premier provient du non-squeezing de Gromov qui implique R

≤ R

. Le deuxi` eme

est le volume qui implique que R

· · · R

≤ R

· · · R

. En utilisant les techniques de l’article de

Traynor [Tra95] on peut voir que l’on pourrait plonger P dans P

d` es que R

· · · R

R

· · · R

pour chaque k entre 1 et n. Guth a montr´ e que, modulo une constante dimensionnelle, k = 1 et

k = n sont les deux seules obstructions. Plus pr´ ecis´ ement:

Th´ eor` eme (Guth 2008 [Gut08]). Il existe une constante dimensionnelle C(n) telle que si C(n)R

≤ R

et C(n)R

· · · R

≤ R

· · · R

alors P se plonge symplectiquement dans P

.

Ce th´ eor` eme a donn´ e une r´ eponse partielle ` a la question de Hofer. Cela implique que si 1 < k < n alors k-capacit´ es qui v´ erifient l’hypoth` ese de continuit´ e suivante :

R→+∞

lim c(B

× B

) < +∞ et lim

R→+∞

c(B

× B

) = +∞

n’existe pas. Son th´ eor` eme ´ etait quasiment une r´ eponse d´ efinitive, mais la question des capacit´ es moins r´ eguli` eres restait ouverte. Cela a ´ et´ e r´ ecemment r´ esolu par la n´ egative de Pelayo et V˜ u Ngo.c dans [PVuN15]. Ils ont appliqu´ e un argument limite ` a la construction de Guth et Hind-Kerman [HK14] afin de prouver la version non-born´ ee du th´ eor` eme de Guth.

Th´ eor` eme (Pelayo-V˜ u Ngo.c 2015 [PVuN15]) . Si n ≥ 2 alors le cylindre B

×

peut ˆ etre plong´ e de fa¸ con simplectiquement dans le produit B

×

pour tout R ≥ √

2

+ 2

− 2.

Avec ce th´ eor` eme, la question des capacit´ es symplectiques interm´ ediaires ´ etait d´ efinitivement r´ esolue. Ils ont montr´ e que les diff´ eomorphismes symplectiques g´ en´ eraux sont trop flexibles pour capturer ce type de rigidit´ e cylindrique. Un autre point de vue sur le probl` eme de la dimension interm´ ediaire vient d’une reformulation du th´ eor` eme non-squeezing de Gromov. En dimension 2 les symplectomorphismes sont les mˆ emes que les applications pr´ eservant les aires donc Eliash- berg et Gromov [EG91] ont soulign´ e que (en utilisant un th´ eor` eme de Moser sur l’existence de diff´ eomorphismes conservant l’aire) le th´ eor` eme de Gromov est ´ equivalent ` a

area(Π

φ(B

)) ≥ πr

pour tout symplectomorphisme φ.

On note Π

la projection sur les 2k premi` eres coordonn´ ees. Une g´ en´ eralisation possible de cet

´ enonc´ e aux dimensions sup´ erieures est

Vol(Π

φ(B

)) ≥ Vol(Π

B

) = Vol(B

) pour chaque symplectomorphisme φ.

Ce probl` eme a ´ et´ e ´ etudi´ e par Abbondandolo et Matveyev dans [AM13]. Dans leur article, ils ont d’abord prouv´ e que l’in´ egalit´ e est vraie dans le cas lin´ eaire:

Th´ eor` eme (Abbondandolo-Matveyev 2013 [AM13]). Soit Φ automorphisme symplectique lin´ eaire de

, et soit P :

→

soit la projection orthogonale sur un sous-espace lin´ eaire complexe V ⊆

de dimension 2k, 1 ≤ k ≤ n. Alors

Vol(P Φ(B

)) ≥ Vol(B

)

avec ´ egalit´ e si et seulement si le sous-espace lin´ eaire Φ

V est complexe.

Contrairement au r´ esultat lin´ eaire, ils prouvent que les diff´ eomorphismes symplectiques sont ` a nouveau trop flexibles pour avoir cette sorte de rigidit´ e symplectique de dimension interm´ ediaire.

Plus pr´ ecis´ ement, cela montre qu’on peut ´ ecraser arbitrairement la projection symplectique de l’image de la boule par des symplectomorphismes.

Th´ eor` eme (Abbondandolo-Matveyev 2013 [AM13]). Soit P :

→

la projection orthog- onale sur un sous-espace lin´ eaire complexe V ⊆

de dimension 2k, 1 < k < n. Pour chaque > 0 il existe une application symplectique lisse φ : B

→

telle que

Vol(P φ(B

)) < .