HAL Id: jpa-00249464
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Problème de Stefan inverse dans un milieu semi-transparent gris à parois noires
F. Yousefian, V. Le Dez, M. Lallemand
To cite this version:
F. Yousefian, V. Le Dez, M. Lallemand. Problème de Stefan inverse dans un milieu semi- transparent gris à parois noires. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1996, 6 (3), pp.391-401.
�10.1051/jp3:1996129�. �jpa-00249464�
ProblAme de Stefan inverse dons un milieu semi-transparent gris
h patois noires
F. Yousefian, V. Le Dez et M. Lallemar~d (*)
Laboratoire d'(tudes Thermiques (**) ENSMA, 86960 Futuroscope Poitiers, France
(Regv le 10 jvillet 1995, rdvisJ le 6 ddcembre 1995, acceptd le 4 janvier1996)
PACS.65. Thermal properties of condensed matter
R4sum4. Le problbme de Stefan inverse est dtudid pour un processus de fusion franche dans un mat6riau semi-transparent gris mouodimensionnel h frontibres noires. Le systbme est d6fini dans le domaine spatio-temporel fixe [0,1] x [0,ml. La r6solution du problbme inverse par
une m6thode d'optimisation assoc16e h la m6thode s6quentielle sur un horizon de temps mobile permet de retrouver la position de l'interface en fonction du temps h partir d'un ensemble de donnbes de temp6rature relevb sur la paroi fixe. L'btude s'appuie sur la r6solution du problbme
direct du couplage au sein du milieu entre les ph6nombnes de rayonnement et de conduction ef- fectud par la m6thode des ordonn6es discrbtes. Pour des 6paisseurs optiques initialement grandes
la mAthode fournit des r6sultats satisfaisants lorsque les entr6es sont bruit6es. Lorsque le milieu est ou devient optiquement mince, le coefficient de sensibilit6 correspondant est trop faible pour
permettre l'inversion.
Abstract. The Stefan problem is studied for the melting of an one-dimensional plane parallel semi-transparent material fitted with black boundaries. The system is defined for a fixed spatio- temporal [0,ii x [0,ml domain. The inverse problem is solved by an optimization method
associated with a sequential method based on a moving time horizon. It allows to retrieve the interface position as a function of time from
a set of temperature data measured on the fixed boundary. The study is supported by solution of the direct problem accounting for the radiative-conductive coupling solved by means of the discrete ordinates method. For high initial optical thicknesses, the method provides satisfactory results even with noisy input data. When the medium becomes opticaly, thin the sensitivity coefficient is too weak to insure the inversion.
1. Introduction
Dans le problAme de Stefan direct, on cherche h d6terminer l'avanc6e d'un front de fusion ou de solidification, S(t), en fonction du temps, sous l'influence des conditions thermiques ext4rieures,
ainsi que [es distributions de tempArature associAes au problAme dans [es deux phases. Dans le problAme de Stefan inverse on recherche, en association avec les solutions du problAme direct,
une estimation de la position du front h partir de donn4es de mesures recueillies en des points accessibles dans l'une des phases du systAme. Lorsque le milieu pr4sente une certaine semi- transparence, c'est-h-dire qu'il est absorbant et 4mettant, l'influence du couplage interne entre (*) Auteur auquel doit btre adress6e la correspondance (Fax : (33) 49 49 81 01)
(** URA CNRS 1403
© Les (ditions de Physique 1996
392 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°3
les modes radiatif et conductif modifie les champs de tempArature au sein du milieu. et en
particulier h la paroi fixe, ainsi que les vitesses de changement de phase ce problAme a AtA discutA dans l'artide qui pr4cAde qui sera par la suite rAf4rA iii.
Dons le cas des milieux opaques, plusieurs mAthodes d'inversion du problAme de la frontiAre mobile ont 4tA dAveloppAes. Elles reposent le plus souvent sur des techniques d'optimisation (estimation par domaine complet ou par sAquence) ou celles dites de retour vets la surface
(Beck ill, Raynaud [2] et Guerrier [3,4]). Dons ce travail, nous proposons une extension. au
cas de Milieux Semi-Transparents [MST), de la mAthode de sp4cification de fonction de Beck
developp@e dons le cadre du problAme inverse de conduction de la chaleur pour [es corps opaques par Beck, Blackwell et Clair [5j. Elle sera appliquAe au cas d'un systAme monodimensionnel
plan parallAle, en considArant le milieu corlime gris et )es patois limitant le systAme. noires, Le couplage des modes de transfert par ray,onnement et conduction s'elfectue en calculant la
densitA de puissance de la source radiative par la MAthode des OrdonnAes DiscrAtes (~IOD).
La procAdure de rAsolution du problAme direct en couplage est identique h celle dAcrite en (Ii.
L'approche inverse par spAcification sAquentielle de fonction pi-end en considAration le fait que l'Avolution de la tempArature sur la paroi fixe du mur h un instant donn4 dApend de I'#tat tl~ermique du systAme aux temps antArieurs. Sa particularitA est d'optimiser un problbIne h
une seule variable Sill pour cl~aque pas de temps d'Acl~antillonnage. en procAdant sur l'horizon des temps futurs, par minimisation d'un critAre quadratique, la variable de contr01e (taut la
tempArature de paroi fixe. On verra que le pl~AnomAne de semi-transparence no modifie pas le
principe de cette mAtl~ode d'inversion mais qu'il en restreint tout de mAme le domaine d'ap- plication. Lorsque le problAme est traitA en absence de bruit avec des donnAes de tempArature
de surface fixe obtenues par simulation h l'aide du problAme direct, la solution retrou~,4e est
unique, stable et trbs procl~e en norme de la solution exacte lorsque la fonction de sensibilitA est borne quant k l'influence d'un bruit blanc additif sun [es donn#es de mesure, elle est
Agalement AtudiAe sur la qualitA du processus d'inversion, la largeur de l'horizon futur jouant ici le role d'une fonction de rAgularisation assurant la stabilitA de la technique d'inversion.
2. Estimation de la localisation du front de fusion d'un solide semi-transparent
2.I. LE MOD(LE PHYSIQUE ET MATH(MATIQUE DU COUPLAGE FLAYONNEMENT-CONDL'C'TION Le mur solide est plan parallAle, d'4paisseur initiale So- Du point de vue radiatif le milieu est
gris, sa paroi exteme fixe, ainsi que l'interface mobile. sont toutes deiix opaques et noires.
Le systAme est soumis h un Acl~elon de flux radiatif F sur une de ses faces et h des (changes
convectif sur l'autre (coefficient d'Acl~auge hi. Lorsque la puissance surfacique du flux incident h l'interface d'impact est suffisante, durant un premier temps la temp#nature de cette paroi et
celle du bloc solide s'accroissent lorsque l'interface a atteint la temp4rature de fusion Ti. cello- ci se dAplace, sa position instantanAe Atant Sit). Au sein du milieu semi-transparent. par le jeu des @cl~anges combinAs instationnaires entre le rayonnement et la conduction, se d@veloppent alors des champs de tempArature qui peuvent, selon [es propriAtAs optiques du hIST, diifArer
complAtement de la situation attendue darts le cas opaque.
2.2. RAPPEL Du PROBLLME DE STEFAN DIRECT. Consid4rons le problAme de Stefan mono-
dimensionnel direct soit x la coordonnAe d'espace dons le milieu et Sit) la position de l'inter- face au temps t, par le cl~angement de ~,ariables
oh a est la diifusivitA tl~ermique et ~ le coefficient d'absorption du milieu l'Avolution de la tempArature d'un mur semi-transparent monodimensionnel est dAcrite par l'Aquation
oh G est l'4nergie radiative totale incidente apparaissant dans le second terme de la divergence d~o
du flux radiatif ((I), Eq. (2)), T( l'Apaisseur optique initiale du mur, f°
= la dAriv4e
dt*
par rapport au temps de l'Apaisseur optique, Np
=
~~
~
le nombre de Planck, avec K la
4n~aT~
conductivitA tl~ermique et nr l'indice de rAfraction du milieu.
Le bilar~ tl~ermique h l'interface mobile se traduit par l'Aquation supp14mer~taire
~ ~~~
~ 4~iNp~~'~~ ~ ~~~~ ~~ ~~~~ Ii~St ~~ ~ ~ ~ ~~~
# d4sigr~ar~t le flux rAduit imposA, #
= F/~KTi, et St
= cTiIL est le r~ombre de Stefar~. On a de plus la condition de cl~angemer~t de phase
S(x,t*)
= Si
= en x = t > 0 (4)
Pour l'ir~terface fixe (opaque) on a
Dar~s les
4quations(3) et (5)
Q~ et Q~ sont les
flux
radiatifs
cidents aux arois,
adimension- n4s,
2.3. LE MAILLAGE SPATIO-TEMPOREL UTILISt. On
a d4jl fait remarquer en (I) tout l'avan- tage de l'utilisation de la transformation de Landau [6j pour la r4solution du problAme direct elle permet en eifet de travailler sur le domaine de calcul lx, t) E [0,ii x [0,oo]. Ce domaine de d4finition autorise un maillage uniforme en temps In
= 1, 2,
,
N) et en espace (j
= 1, 2,
,
J), bier~ adapt4 au traitemer~t inverse, air~si qu'au traitement radiatif du problAme.
2.4. LE PROBLLME DE STEFAN INVERSE. L'identification de la fraction inconnue, c'est-h- dire la position du front de fusion h ur~ instant dor~r~4 Sit), s'eifectue h partir de la r~iesure de la temp4rature et/ou du flux de cl~aleur sur la paroi ext4rieure par la m4tl~ode s4quer~tielle de
sp4cification de fonctior~ de Beck.
L'4quation gouvemant le problAme Stefan inverse est l'4quation (2) et les conditions aux limites et initiales assoc14es sont les suivantes
. en temp4rature
S(x, 0) = So 0 < x < Sit) t = 0 connu (6)
S~(x, t) = Y~(t) x = xo t > 0 connu (7)
S(x,t) = $I x
= S(t) t > 0 connu (8)
394 JOURNAL DE PHYSIQL'E III NC3
Honzon des temps fiJUJrs
« W
. . . . . . . . . . >
0 2 3 n-I n n+I n+2 n+I n+r temps(t)
At At
Fig. I. L'horizon des temps futurs.
[The futur times horizon.]
2.5. MtTHODE DE SPtCIFICATION DE FONCTION. L'estimation de la position de l'interface solide-liquide, Sit), s'eifectuera par la minimisation de l'Acart quadratique entre les signaux de sortie mesurAs et modAlisAs h l'aide du problAme direct. Si At est le pas de temps cl~oisi
(compris entre l'intervalle de temps minimum de d4tectabilitA et l'intervalle de temps maxi-
mum pouvant sAparer la saisie d'informations), le critAre est AvaluA sur un horizon glissant,
H = jr,Atj, jr Atant un nombre entier) permettant de compenser l'eifet du bruit sur [es me-
sures et l'impr4cision de la modAlisation du problAme direct l'l~orizon glissant joue ici le role
d'une fonctiou de r4gularisation assurant la stabilit4 du processus d'inversiou. Daus ce tra~,ail,
nous avons utilisA les donnAes Y~(t) provenant d'un seul dAtecteur de tempArature placA sur
la paroi extArieure en x
= 0, et nous avons cl~oisi d'optimiser la variable Sit) aux dirt@rents
instants ultArieurs In +1,
,
n + i.,.., n + r) sur l'horizon H (voir Fig. ii h l'aide du critAre
r
jj sn+I,k+I j ~jyn+~ @n+i,k+1j2 jgj
p p
i=1
off S"+~ est la position reche?~chde de l'interface solide-liquide au temps In +1) At lj"+~ est la temp4rature mesurAe h la paroi fixe en x
= 0 au temps in + ii At et $(+~ la tempArature calculAe par le modAle direct h ces mAmes instants h l'aide de l'Aquation (2) et des conditions
aux limites (#qs. (6), Iii et (8)) en considArant la position du front S"+~ au temps in + ii ~t, c'est h dire en eifectuant une projection de l~Atat tl~ermique du systAme. Pour ce faire, on est amenA h poser comme l~ypotl~Ase que la valeur de la vitesse de l'interface solide-liquide. S"+~,~
sn+i,k sn+i-I,k S"~~'~
# jioj
lit
peut Atre considArAe comme constante pour [es r pas de temps futurs de l'l~orizon choisi. Cela
nous permet de prendre comme premiAre estimation S"+~>~"°
= S" + S"At.
Optimiser le critAre (9) par rapport h S"+~, implique que l'on ait pour [es instants d'it4rations interm4diaires k in < k < n +1) la condition
r
~ jyn+~ gn+i,k+I j~
@jjsn+I,k+1>
~
~ ~
~
i=I
@sn+I,k+I sn+I,k+I
r
= _~ ~jjyn+i ~n+~,~+l sn+i,k+I jjzn+i,kj~n+i,k ~ j~~
p p
i=I
off Z = d6/dS est le coefficient de sensibilit4 de la temp4rature de paroi par rapport h la
Vitesse
k=0
v AVn,n-i
n-i n n+i n+2 n+3 n+I temps
Fig. 2. llvolution des vitesses
pour les temps futurs.
[The velocity evolution for the futur times.]
position de l'interface. Il s'4value approximativemer~t au moyen de l'expression
zn+i,kj~n+i,kj
~
~~~~'~i~~~~'~~~ ~ ~~~ ~~~~'~~~~~~'~~
j~~)
e sn+i,k
oh s est ur~ petit r~ombre (quelques 10~~) et 6(+~(S"+I>~) repr4ser~te la temp4rature calcu14e par la m4thode directe h l'aide de l'estim4e S"+~,~ en for~ction de S"+~,~ lorsque la vitesse est
cor~sid4r6e cor~star~te.
Dons cette mdthode d'approcl~es successives il est r~6cessaire de recl~ercl~er sur l'l~orizor~ H la valeur de l'incr6ment
~ sn+I,k sn+I,k+1 ~»+I,k j~~j
de maniAre h ce que l'4quation (11 soit satisfaite. On a donc besoin de calculer les valeurs des
temp4ratures mod41isdes 6(+I sur l'horizon correspor~dar~t, c'est-h-dire assoc14es aux positions S"+I
= S" + fi"iAt (voir Fig. 2).
On a constat4 que cette mdtl~ode est d'autar~t plus stable et efficace que [es pas de temps
At sor~t petits pour le mur de MST consid6r4 plus bas, le processus dure environ 2 000 s de
sorte que les pas de temps typiques sor~t de l'ordre de 10 s.
En eifectuar~t ur~ d4veloppement de Taylor de la temp4rature de paroi t1~40rique $(+~>~+~,
on peut dcrire
g»+i,k+I ~n+i,k) @n+I,kj~n+i,k+1) ~ ~ ~»+i,kz»+i,kj~»+i,k) j~~)
p p
de sorte qu'en ir~troduisant cette 4quation dans ill on obtient finalement pour l'accroissement
~jjy»+i~ @»+i,kj~»+i,k jj z»+i,k ~»+i,k
p
AS"+~,~
=
~"~
~
(15)
~jjz»+i,kj~n+I,k)j2
I=I
Le calcul par cette expression de l'incrAment AS"+~,~
va permettre de ddterminer la nouvelle position de l'interface solide-liquide au temps n+1, h l'it4ration k+ I puisque bien dvidemmer~t
S"+~,~+~
= S"+~~~ + AS"+~~~ (16)
396 JOURI"AL DE PHYSIQUE III X°3
40
- OPAQUE
35 - MST kappa=1000 m-I
-W- MST kappa=100 m-1
30 - MST kappa=10 m-I
$i -- MST kappa=I m-1
~ 25 MST kappa=0.I m-1
~ Q 20
~
d 15
©3
fl lo W
°~ 5
o
5
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
TEMPS is)
Fig. 3. Coefficient de sensibilit6 en fonction du temps de la tempdrature de paroi fixe du
mur gris
pour diffArents coefficients d'absorption.
[Sensiti~ity coefficient of the fixed boundary temperature as a function of time for several absorption coefficients.]
Connaissant S"+~~~+~ on peut h l'aide du modAle direct calculer $(+~,~+~ qui injectAe dans
l'Aquation 115), va donner une nouvelle valeur de l'accroissement AS en gAnAral aprAs quelques itArations, la position du front S"+~ est retrouvAe par cette technique avec une bonne prAcision
comme le montrent [es rAsultats d'inversion.
3. R4sultats et discussion
3.I. LES COEFFICIENTS DE SENSIBILITt. Les r4sultats pr4sent4s correspondent h des me-
sures de tempArature h la paroi Y~(t) simulAes par le modAle direct (mur de 0,10 m h parois
noires), d'abord sans adjonction de bruit, puis bruitAes h 2 %.
Nous avons reprAsentA sur la figure 3 [es courbes de sensibilitA de la tempArature de la paroi
froide par rapport h l'Apaisseur calculAe, en fonction du temps, dans diifArentes situations optiques, allant de celle du corps opaque h celle d'un milieu trAs transparent, et ce, pour un
mAme nombre de Stefan (St = I) et une m@me diifusivitA a
=
10~~ m~s~~ On rerliarque
que dons le cas opaque, la sensibilitA est trAs foible au dAmarrage du processus de fusion et augmente ensuite d'une maniAre non-uniforme, alors que pour le b,IST elle est au dApart plus forte mais irrAguliAre et diminue avant la fin du pl~AnomAne lorsque le matAriau est trAs transparent, le dAbut mis h part, la sensibilitA est faible pendant presque toute la durAe. -lfin d'illustrer l'influence de la diifusivit@ pour un mAme coefficient d'absorption [100 m~~) on ir~ontre sur la figure 4 l'Avolution du coefficient de sensibilitA pour deux valeurs de la diffusivitA lo =
10~~ m~s~~ et
a =
10~~ m~s~~) on observe qu'il y a une grande modification (lu comportement au d4but et fin de processus.
Remarque : sur la figure 4 on peut voir Agalement l'influence de la puissance du flux in- cident sur la sensibilitA, h diffusivit4 et coefficient d'absorption constants, le passage d'un flux surfacique de 120 h 150 k~f/m~ se manifestant par une nette diifAreiice de sen~ibilitA et
30
- MST Q=150KW, alpha=lE"6, n=1.5
~~ - MST Q=120 KW, alpha=lE-6, n=1.5
- MST Q=150 KW, alpha=I E-5, n=1.5
@ - MST Q=150 KW, alpha=I E-6, n=1
~ ~~
~
~ l 00
# 15
~
©3
0J lo
fi
0J '
5
0
0 1000 2000 3000 4000
TEMPS (s)
Fig. 4. Coefficient de sensibilit6 en fonction du temps de la temp6rature de la paroi fixe d'un mur gris de coefficients d'absorption 100 m~~
pour diff6rentes valeurs de diffusivit6 et valeurs de l'indice de rbfraction.
[Sensitivity coefficient of the temperature at fixed boundary as a function of time for a 100 m~~ wall for several difiusivity and refractive index values.]
d'Avolution temporelle. Ceci peut paraitre paradoxal puisque le flux extArieur n'est pas contenu dans les Aquations du modAle. En fait, la rAsolution du problAme direct nAcessite des profils de
tempArature instationnaires au dAmarrage de la fusion et ceux-ci dApendent, bien stir, directe- ment de la puissance surfacique incidente.
Cas non bruitd : mur de MST d'Apaisseur 0,1 m, de diifusivitA a
=
10~~ m~s~~, ~
= 100 m~~,
F = 120 kW/m~. La discussion quiprAcAde a montrA que dans ce cas la sensibilitA est bonne, et la mAtl~ode sAquentielle de spAcification de fonction, correspondant h un horizon r
= 5, permet
de retrouver la position du front de fusion Sit) avec trAs bonne prAcision pendant la presque
totalitA de la fusion comme le montrent les rAsultat5 de la figure 5, l'erreur sur la restitution de Sit) Atant infArieure au 1 % avec un pas de temps d'acquisition de 10 s. Le calcul montre
qu'un pas de temps de 30 s est encore satisfaisant en revancl~e, un pas de 50 s entraine la divergence du calcul. On peut constater que dans les mAmes conditions, lorsque le milieu devient plus transparent, les prAdictions se d4tAriorent au cours du processus, et notamment
lorsque le milieu devient optiquement mince.
Cas bruitd : afin de voir l'eifet du choix de l'horizon des temps futurs sur les rAsultats bruitAs,
nous avons imposA dans un milieu opaque au dixiAme pas de temps d'acquisition (150 Ame
seconde) un bruit de l'ordre de 20 % sur la tempArature de paroi mesurAe Y~it). La technique d'inversion montre que pour r
= 1, l'erreur relative sur la position retrouvAe de l'interface
solide-liquide, est trAs grande (de l'ordre 20 % h ce dixiAme pas de temps de plus l'influence du bruit persiste jusqu'h la fin de l'inversion. Lorsqu'on cl~oisit un horizon de temps plus grand jr = 2 sur la Fig. 6), les rAsultats s'amAliorent et notamment le pic d'erreur au dixiAme pas de temps diminue en Aliminant aussi l'influence de la perturbation sur les positions retrouvAes
aux temps qui suivent.
398 JOURNAL DE PHYSIQUE III N°3
p ~~
~ ",
g 20
f '.
0J ~~
ii 10
'
g ',
j 5
~ 0 '
ilf -5
.£ kappa=10 m-I, dt=30 s
m -10 kappa=10 m-1,
~ kappa=I m-I, dt=10 s
DSj '~~ kappa=100 m-I,
"20
fi -25
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.I
EPAISSEUR (m)
Fig. 5. Erreur relative
sur la position retrouv6e de I'interface en fonction de l'4paisseur pour dif- f4rentes valeurs du coefficient d'absorption du mur et de pas de temps d'acquisition (donn6es non bruit6es).
[Relative error on the retrieved interface position as a function of the thickness for several absorption
coefficient and time acquisition data (without noise).]
p 30
~
g
~~ -- ERREUR (sans bruit)
v~ - ERREUR (horizon r=1)
15 - ERREUR (horizon r=2)
I
# 10
~f ilw
f 0
titc
it 10
#~
fi -20
0 400 800 1200 1600 2000
TEMPS (s)
Fig. 6. Erreur relative sur la position retrouv4e de I'interface en fonction du temps pour diff4rents horizons de temps h la suite d'une forte perturbation d'une donnde de temp6rature de paroi au dixiAme pas de temps.
[Relative error on the retrieved interface position as a function of time for several time horizons when
an input wall temperature is strongly disturbed at the 10th time step.]
