Analyse Numérique I Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM François Cuvelier

(1)

Analyse Numérique I

Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM

François Cuvelier

Laboratoire d’Analyse Géométrie et Applications Institut Galilée

Université Paris XIII.

2020/09/30

2020/09/30 1 / 30

(2)

Chapitre III Algèbre linéaire

2020/09/30 2 / 30

(3)

Plan

1 Résultats connus

2 matrices particulières

3 matrices blocs

4 Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

2020/09/30 3 / 30

(4)

Proposition 1.1

Soit A P M _n pKq. Les propriétés suivantes sont équivalentes

1

A est inversible,

2

rang pAq “ n,

3

xxx P K ⁿ , Axxx “ 0 ñ xxx “ 0, (i.e. ker A “ t0u)

4

det pAq ‰ 0,

5

toutes les valeurs propres de A sont non nulles,

6

il existe B P M _n p K q tel que AB “ I,

7

il existe B P M _n pKq tel que BA “ I.

Résultats connus 2020/09/30 4 / 30

(5)

Exercice

Soient A P M _m,p pKq et B P M _p,n pKq, montrer que

pABq ^t “ B ^t A ^t , si K “ R , (1) pABq ^˚ “ B ^˚ A ^˚ , si K “ C (2)

Exercice

Soient A P M _n pKq et B P M _n pKq inversibles. Montrer que AB inversible et

pA ^t q ^-1 “ pA ^-1 q ^t , si K “ R , (3) pA ^˚ q ^-1 “ pA ^-1 q ^˚ , si K “ C . (4)

pABq ^-1 “ B ^-1 A ^-1 (5)

pA ^-1 q ^-1 “ A (6)

Résultats connus 2020/09/30 5 / 30

(6)

Definition

Une matrice carrée A P M

n

est :

˛ diagonale si a

ij

“ 0 pour i ‰ j,

˛ triangulaire supérieure si a

_ij

“ 0 pour i ą j,

˛ triangulaire inférieure si a

_ij

“ 0 pour i ă j,

˛ triangulaire si elle est triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure

˛ à diagonale dominante si

|a

_ii

| ě ÿ

j‰i

|a

_ij

| , @i P v1, nw, (7)

˛ à diagonale strictement dominante si

|a

_ii

| ą ÿ

j‰i

|a

_ij

| , @i P v1, nw. (8)

matrices particulières 2020/09/30 6 / 30

(7)

Proposition

Le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses éléments diagonaux

ñ Exercice!

Proposition

Soient A et B deux matrices de M

n

p K q triangulaires inférieures (resp. triangulaires supérieures). Alors la matrice AB est aussi triangulaire inférieure (resp. triangulaire supérieure).

De plus on a

pABq

i,i

“ A

i,i

B

i,i

, @i P v1, nw.

ñ Exercice!

(8)

Proposition

Soit A P M

n

pKq une matrice triangulaire inférieure (resp. triangulaire supérieure).

1

A est inversible si et seulement si ses éléments diagonaux sont tous non nuls (i.e.

A

i,i

‰ 0, @i P v1, nw).

2

Si A est inversible alors son inverse est triangulaire inférieure (resp. triangulaire supérieure) et

pA

^-1

q

i,i

“ 1 pAq

i,i

(9)

Definition

On appelle matrice bloc une matrice A P M

N,M

écrite sous la forme

A “

¨

˚

˝

A

1,1

¨ ¨ ¨ A

1,q

.. . .. . A

_p,1

¨ ¨ ¨ A

_p,q

˛

‹

‚

où @i P v1, pw, @j P v1, qw, A

_i_,j

est une matrice de M

_n_i_,m_j

. On a N “

p

ÿ

i“1

n

_i

et

M “

q

ÿ

j“1

m

_j

.

On dit que A et une matrice bloc-carrée si p “ q et si tous les blocs diagonaux sont des matrices carrées.

matrices blocs 2020/09/30 9 / 30

(10)

Exercice

Proposer une écriture matrice bloc-carrée de chacune des matrices suivantes:

E “

¨

˝

1 2 3 5 6 7 9 8 7

˛

‚, F “

¨

˚

˝

1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 1

˛

‹

‚

, G “

¨

˚

˝

1 2 3 4 0 5 6 7 8 9 0 9 8 7 6 5 4 3 1 0 9 1 8 2 7

˛

‹

‚

matrices blocs 2020/09/30 10 / 30

(11)

Proposition: Multiplication de matrices blocs

Soient A P M

N,M

et B P M

M,S

. Le produit P “ AB P M

N,S

peut s’écrire sous forme bloc si les matrices A et B sont compatibles par blocs : il faut que le nombre de blocs colonne de A soit égale au nombre de blocs ligne de B avec correspondance des dimensions, i.e.:

A=

¨

˚

˝

A

1,1

¨ ¨ ¨ A

1,q

. . .

. . . A

p,1

¨ ¨ ¨ A

^p,q

˛

‹

‚ et B “

¨

˚

˝

B

1,1

¨ ¨ ¨ B

1,r

. . .

. . . B

q,1

¨ ¨ ¨ B

^q,r

˛

‹

‚

n1

np

m1 mq

m1

mq

s1 sr

avec A

i,k

P M

n_i,m_k

et B

k,j

P M

m_k,s_j

pour tout i P v1, pw, k P v1, qw et j P v1, rw. La matrice produit P s’écrit alors sous la forme bloc

P=

¨

˚

˝

P

1,1

¨ ¨ ¨ P

1,r

. . .

. . . P

^p,1

¨ ¨ ¨ P

^p,r

˛

‹

‚

n1

np

s₁ sr

avec @i P v1, pw, @j P v1, rw P

i,j

P M

n_i,s_j

et

P

i,j

“

q

ÿ

k“1

A

i,k

B

k,j

.

matrices blocs 2020/09/30 11 / 30

(12)

Exercice Soient

A “

¨

˝

1 0 0 3 3 3

1 2 2 0 0 0

˛

‚ et B “

¨

˚

˝

´1 ´1

0 0

´1 ´2

´ 1 ´ 2

´1 ´2

˛

‹

‚

Utiliser la multiplication par blocs pour calculer AB.

matrices blocs 2020/09/30 12 / 30

(13)

Definition

On dit qu’une matrice bloc-carrée A est triangulaire inférieure (resp. supérieure) par blocs si elle peut s’écrire sous la forme d’une matrice bloc avec les sous matrices A

_i,j

“ 0 pour i ă j (resp. i ą j ). . Elle s’écrit donc sous la forme

A “

¨

˚

˝

A

1,1

O ¨ ¨ ¨ O .. . . .. ... .. . .. . . .. ... O A

n,1

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ A

n,n

˛

‹

‚

(resp. A “

¨

˚

˝

A

1,1

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ A

n,1

O . .. ... .. . .. . . .. ... .. . O ¨ ¨ ¨ O A

n,n

˛

‹

‚ ).

Definition

On dit qu’une matrice bloc-carrée A est diagonale par blocs ou bloc-diagonale si elle peut s’écrire sous la forme d’une matrice bloc avec les sous matrices A

i,j

“ 0 pour i ‰ j . Elle s’écrit donc sous la forme

A “

¨

˚

˝

A

1,1

O ¨ ¨ ¨ O O . .. ... .. .

.. . . .. ... O O ¨ ¨ ¨ O A

n,n

˛

‹

‚

matrices blocs 2020/09/30 13 / 30

(14)

Proposition

Soit A une matrice bloc-carrée décomposée en nˆ n blocs, n ě 2. Si A est bloc-diagonale ou triangulaire par blocs alors son déterminant est le produit des déterminant des blocs diagonaux :

det A “

n

ź

i“1

det A

_i,i

(9)

Exercice

Soient E P M

m

pKq et F P M

n

pKq .

1

Calculer le produit bloc A “

ˆ E O O I

˙ˆ I O O F

˙

en explicitant les dimensions des blocs.

2

En déduire le déterminant de A en fonction des déterminants de E et F.

3

Démontrer par récurrence la proposition.

matrices blocs 2020/09/30 14 / 30

(15)

Proposition

Soit A une matrice bloc-carré inversible décomposée en n ˆ n blocs.

‚ Si A est bloc-diagonale alors son inverse (décomposée en n ˆ n blocs) est aussi bloc-diagonale.

‚ Si A est triangulaire inférieure par blocs (resp. supérieure) alors son inverse (décomposée en n ˆ n blocs) est aussi triangulaire inférieure par blocs (resp. supérieure).

Dans ces deux cas les blocs diagonaux de la matrice inverse sont les inverses des blocs diagonaux de A. On a donc

A “

¨

˚

˝

A

_1,1

O ¨ ¨ ¨ O O . .. ... .. . .. . . .. ... O O ¨ ¨ ¨ ˝ A

n,n

˛

‹

‚ et A

^-1

“

¨

˚

˝

A

^-1_1,1

O ¨ ¨ ¨ O O . .. ... .. . .. . . .. ... O O ¨ ¨ ¨ O A

^-1_n,n

˛

‹

‚

A “

¨

˚

˝

A

1,1

O ¨ ¨ ¨ O .. . . .. ... .. . .. . . .. ... O A

n,1

¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ A

n,n

˛

‹

‚ et A

^-1

“

¨

˚

˝

A

^-1_1,1

O ¨ ¨ ¨ O

‚ . .. ... .. . .. . . .. ... O

‚ ¨ ¨ ¨ ‚ A

^-1_n,n

˛

‹

‚

matrices blocs 2020/09/30 15 / 30

(16)

Plan

1 Résultats connus

2 matrices particulières

3 matrices blocs

4 Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

Normes vectorielles et normes matricielles Normes vectorielles 2020/09/30 16 / 30

(17)

Definition

L’application x‚, ‚y : K

ⁿ

ˆ K

ⁿ

Ñ K définie pour tout pu u u,vvvq P K

ⁿ

ˆ K

ⁿ

par x u u u,vvv y “ u u u

^t

.vvv “ vvv

^t

.u u u “

n

ÿ

i“1

u

_i

v

_i

, si K “ R (10)

x u u u,vvv y “ u u u

^˚

.vvv “ vvv

^˚

.u u u “ x vvv,u u u y “

n

ÿ

i“1

u

_i

v

_i

, si K “ C (11)

est appelée produit scalaire euclidien si K “ R, hermitien

^a

si K “ C. Pour rappeler la dimension de l’espace, on écrit

xu u u,vvvy “ xu u u, vvvy

_n

.

a

La convention choisie pour le produit scalaire hermitien étant ici : linéarité à droite et semi-linéarité à gauche. Il est aussi possible de définir le produit scalaire hermitien par le complexe conjugué de (11) :

xu u u, v v vy “ v v v

^˚

.u u u “

n

ÿ

i“1

u

i

v

i

.

Dans ce cas le produit scalaire est une forme sesquilinéaire à droite.

(18)

Definition

Une norme sur un espace vectoriel V est une application }‚} : V Ñ R ^` qui vérifie les propriétés suivantes

˛ }vvv } “ 0 ðñ vvv “ 0,

˛ }αvvv } “ |α| }vvv } , @α P K , @vvv P V ,

˛ }u u u ` ` ` v v v} ď }u u u} ` }vvv } , @ pu, u, u, v v vq P V ² (inégalité triangulaire).

Une norme sur V est également appelée norme vectorielle . On appelle espace vectoriel normé un espace vectoriel muni d’une norme.

(19)

Proposition

Soit vvv P K ⁿ . Pour tout nombre réel p ě 1, l’application }‚} _p définie par

}vvv } _p “

˜ _n ÿ

i “1

|v _i | ^p

¸ 1{p

est une norme sur K ⁿ . Normes usitées :

}vvv } ₁ “

n

ÿ

i“1

|v _i | , }vvv } ₂ “

˜ _n ÿ

i“1

|v _i | ²

¸ 1{2

, }vvv } ₈ “ max

iPv1,nw |v _i | .

(20)

Lemme 4.1: Inégalité de Cauchy-Schwarz

@xxx ,yyy P K ⁿ

| xxxx ,yyy y | ď }xxx } ₂ }yyy } ₂ . (12) Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Cauchy-Schwarz. On a égalité si et seulement si xxx et yyy sont colinéaires.

(21)

Lemme 4.2: Inégalité de Hölder

Pour p ą 1 et _p ¹ ` ¹ _q “ 1, on a @xxx , yyy P K ⁿ

n

ÿ

i “1

|x i y i | ď

˜ _n ÿ

i“1

|x i | ^p

¸ 1{p ˜ _n ÿ

i“1

|y i | ^q

¸ 1{q

“ }xxx } _p }yyy } _q . (13) Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Hölder.

(22)

Definition 4.3

Deux normes }‚} et }‚} ¹ , définies sur un même espace vectoriel V , sont équivalentes s’il exite deux constantes C et C ¹ telles que

}xxx } ¹ ď C }xxx } et }xxx } ď C ¹ }xxx } ¹ pour tout xxx P V . (14)

Proposition

Sur un espace vectoriel de dimension finie toutes les normes sont équiv- alentes.

(23)

Plan

1 Résultats connus

2 matrices particulières

3 matrices blocs

4 Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

Normes vectorielles et normes matricielles Normes matricielles 2020/09/30 23 / 30

(24)

Definition 4.4

Une norme matricielle sur M _n p K q est une application }‚} : M _n p K q Ñ R ^` vérifiant

1

}A} “ 0 ðñ A “ 0,

2

}αA} “ |α| }A}, @α P K , @A P M _n p K q,

3

}A ` B} ď }A} ` }B} , @ pA, Bq P M _n pKq ² (inégalité triangulaire)

4

}AB} ď }A} }B} , @ pA, Bq P M _n pKq ² Peut-on étendre cette définition sur M _m,n pKq ?

(25)

Proposition:

Etant donné une norme vectorielle }‚} sur K

ⁿ

, l’application }‚}

s

: M

n

pKq Ñ R

^`

définie par

}A}

_s^def

“ sup

v vvPKⁿ

v vv‰0

}Avvv}

}vvv} (15)

est une norme matricielle, appelée norme matricielle subordonnée (à la norme vectorielle donnée).

Elle vérifie

}A}

_s

“ sup

v vvPKⁿ }vvv}ď1

}Avvv} “ sup

v vvPKⁿ }vvv}“1

}Avvv } “ inf tα P R : }Avvv} ď α }vvv }, @vvv P K

ⁿ

u . (16)

De plus, pour tout vvv P K

ⁿ

on a

}Avvv} ď }A}

_s

}vvv} (17)

et il existe au moins un vecteur u u u P K

ⁿ

zt0u tel que

}Au u u} “ }A}

_s

}u u u}. (18)

Soit I la matrice identité d’ordre n, on a

} I }

s

“ 1. (19)

(26)

Théorème 5:

Soit A P M _n pKq. On a }A} ₁

^def

“ sup

v v vPK

ⁿ

v v v‰0

}Avvv } ₁

}vvv } ₁ “ max

jPv1,nw n

ÿ

i“1

|a _ij | (20)

}A} ₂

^def

“ sup

v v vPK

ⁿ

v v v‰0

}Avvv } ₂ }vvv } ₂ “ a

ρ pA ^˚ Aq “ a

ρ pAA ^˚ q “ }A ^˚ } ₂ (21)

}A} ₈

^def

“ sup

v v vPK

ⁿ

v v v‰0

}Avvv } ₈

}vvv } ₈ “ max

iPv1,nw n

ÿ

j “1

|a _ij | (22)

La norme }‚} ₂ est invariante par transformation unitaire :

UU ^˚ “ I ùñ }A} ₂ “ }AU} ₂ “ }UA} ₂ “ }U ^˚ AU} ₂ . (23)

(27)

Corollaire 5.1

1

Si une matrice A est hermitienne,on a }A} ₂ “ ρ pAq.

2

Si une matrice A est unitaire, on a }A} ₂ “ 1.

(28)

Plan

1 Résultats connus

2 matrices particulières

3 matrices blocs

4 Normes vectorielles et normes matricielles

Normes vectorielles Normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices

Normes vectorielles et normes matricielles Suites de vecteurs et de matrices 2020/09/30 28 / 30

(29)

Definition 5.2

Soit V un espace vectoriel muni d’une norme }‚}, on dit qu’une suite pvvv _k q d’éléments de V converge vers un élément vvv P V , si

Analyse Numérique I Sup’Galilée, Ingénieurs MACS 1ère année & L3 MIM François Cuvelier