MF4 – Bilans macroscopiques

MF4 – Bilans macroscopiques I – Bilan de masse

I-1) Système fermé

Il serait naturel de considérer le système matériel Σ ₀ constitué du fluide contenu à l’instant t dans l’enceinte, mais ce système est un système ouvert. Il est plus fructueux ici de considérer le système fermé constitué du fluide contenu à l’instant t dans l’enceinte et de la masse 𝛿𝛿𝑚𝑚 _𝑒𝑒 qui y entre, entre t et t +dt. Ce système se compose à l’instant t +dt du fluide contenu dans l’enceinte et de la masse 𝛿𝛿𝑚𝑚 _𝑠𝑠

qui en est sortie entre t et t +dt.

� 𝑚𝑚 Σ

_𝑓𝑓

(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚 Σ

_𝑜𝑜

(𝑡𝑡) + 𝛿𝛿𝑚𝑚 _𝑒𝑒

𝑚𝑚 Σ

_𝑓𝑓

(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) = 𝑚𝑚 Σ

_𝑜𝑜

(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) + 𝛿𝛿𝑚𝑚 _𝑠𝑠 Or le système étant fermé :

𝑚𝑚 Σ

_𝑓𝑓

(𝑡𝑡) = 𝑚𝑚 Σ

_𝑓𝑓

(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡)

⇔ _{𝑚𝑚 Σ}

_𝑜𝑜

_{(𝑡𝑡) + 𝛿𝛿𝑚𝑚 𝑒𝑒 = 𝑚𝑚 Σ}

_𝑜𝑜

_{(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) + 𝛿𝛿𝑚𝑚 𝑠𝑠}

D’où le bilan de masse :

�

𝑑𝑑𝑚𝑚 Σ

_𝑜𝑜

= 𝛿𝛿𝑚𝑚 _𝑒𝑒 − 𝛿𝛿𝑚𝑚 _𝑠𝑠 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑚𝑚 Σ

_𝑜𝑜

𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝐷𝐷 _{𝑚𝑚𝑠𝑠} − 𝐷𝐷 _{𝑚𝑚𝑒𝑒} = 0

I-2) Système ouvert

La masse du système ouvert peut s’écrire :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑚𝑚 Σ

_𝑜𝑜

(𝑡𝑡) = � µ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)𝑑𝑑} τ

𝑉𝑉

₀

𝑚𝑚 Σ

_𝑜𝑜

(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) = � µ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡)𝑑𝑑} τ

𝑉𝑉

₀

Le système ouvert échange par ses canalisations d’entrée et de sortie les masses suivantes :

⎩ ⎨

⎧𝛿𝛿𝑚𝑚 𝑒𝑒 = � 𝚥𝚥 ������⃗. _{𝑚𝑚𝑒𝑒} 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗ = � µ _{𝑣𝑣 ���⃗. 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑} ^{����⃗}

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒é𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒é𝑒𝑒

𝛿𝛿𝑚𝑚 _𝑠𝑠 = � 𝚥𝚥 ������⃗. _{𝑚𝑚𝑠𝑠} 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗ =

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒 � µ _{𝑣𝑣 ����⃗. 𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑑𝑑} ^{����⃗}

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒

Donc :

𝑚𝑚 Σ

_𝑜𝑜

(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) = 𝑚𝑚 Σ

_𝑜𝑜

(𝑡𝑡) + 𝛿𝛿𝑚𝑚 _𝑒𝑒 − 𝛿𝛿𝑚𝑚 _𝑠𝑠

⇔ _{𝑑𝑑𝑚𝑚 Σ}

_𝑜𝑜

_{= 𝛿𝛿𝑚𝑚 𝑒𝑒 − 𝛿𝛿𝑚𝑚 𝑠𝑠}

Bien entendu on retrouve le même résultat que l’on peut mettre sous la forme :

� 𝜕𝜕 µ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)}

𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 τ _{= �} µ _{𝑣𝑣 ���⃗. 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑} ^{����⃗}

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒é𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑡𝑡 − � µ _{𝑣𝑣 ����⃗. 𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗𝑑𝑑𝑡𝑡}

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑉𝑉

_𝑜𝑜

⇔ _� ^𝜕𝜕 µ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)}

𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 τ _{= − �} µ _{𝑣𝑣⃗. 𝑑𝑑𝑑𝑑} ������������������⃗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑆𝑆

₀

𝑉𝑉

_𝑜𝑜

⇔ _�

𝐺𝐺.𝑂𝑂

� � 𝜕𝜕 µ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)}

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣( µ _{𝑣𝑣⃗)� 𝑑𝑑} τ _{= 0}

𝑉𝑉

_𝑜𝑜

⇔ ^𝜕𝜕 µ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)}

𝜕𝜕𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣( µ _{𝑣𝑣⃗) = 0}

II – Bilan de quantité de mouvement

II-1) Principe de la méthode

Soit Σ _𝑓𝑓 un système fermé, étudié dans le référentiel R. À l'instant t, sa quantité de mouvement dans R est 𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡) , somme des quantités de mouvement de toutes les particules de fluide et des solides éventuels qui le composent. À l'instant t+dt, sa quantité de mouvement est 𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) . Ce système est soumis à un certain nombre de forces intérieures et extérieures.

Le théorème de la résultante cinétique appliqué à S dans le référentiel R s'écrit :

𝑑𝑑𝑒𝑒→0 lim � 𝑝𝑝 ^��⃗ _Σ

_𝑓𝑓

^{(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) −} 𝑝𝑝 ^��⃗ _Σ

_𝑓𝑓

(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑡𝑡 � = � 𝐹𝐹⃗ _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} ou encore, de manière plus directement exploitable :

𝑝𝑝⃗ Σ

_𝑓𝑓

(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) − 𝑝𝑝⃗ Σ

_𝑓𝑓

(𝑡𝑡)

𝑑𝑑𝑡𝑡 = � 𝐹𝐹⃗ _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} 𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑑𝑑𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑜𝑜𝑝𝑝𝑑𝑑𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑡𝑡

Or :

� 𝑝𝑝 ^��⃗ _Σ

_𝑓𝑓

⁽ 𝑡𝑡 ⁾ = 𝑝𝑝 ^��⃗ _Σ

_𝑜𝑜

⁽ 𝑡𝑡 ⁾ + δ _{𝑚𝑚 𝑝𝑝 𝑣𝑣 ����⃗ 𝑝𝑝} 𝑝𝑝

��⃗ _Σ

𝑓𝑓

( 𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡 ⁾ = 𝑝𝑝 ^��⃗ _Σ

_𝑜𝑜

⁽ 𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡 ⁾ + δ _{𝑚𝑚 𝑠𝑠 𝑣𝑣 ����⃗ 𝑠𝑠}

Donc :

𝑝𝑝⃗ Σ

_𝑜𝑜

(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) + δ _{𝑚𝑚 𝑠𝑠 𝑣𝑣 ���⃗ 𝑠𝑠 − �𝑝𝑝⃗ Σ}

_𝑜𝑜

_{(𝑡𝑡) +} δ _{𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑣𝑣 ���⃗� 𝑒𝑒}

𝑑𝑑𝑡𝑡 ⁼ � 𝐹𝐹⃗ _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒}

𝑑𝑑𝑝𝑝 ����⃗ _Σ

_𝑜𝑜

𝑑𝑑𝑡𝑡 ^{+ 𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑠𝑠} 𝑣𝑣 ���⃗ _𝑠𝑠 ⁻ 𝐷𝐷 _{𝑚𝑚𝑒𝑒} 𝑣𝑣 ���⃗ _𝑒𝑒 ⁼ � 𝐹𝐹⃗ _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒}

On retrouve un résultat général.

II-2) Conduite de section variable

Considérons un fluide en écoulement : - Parfait

- Incompressible - Permanent

- Unidimensionnel : 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡)𝑜𝑜 ����⃗ _𝑒𝑒

Grâce à un bilan de quantité de mouvement sur un système soigneusement défini, nous allons calculer la force horizontale 𝐹𝐹 �����⃗ _{𝑠𝑠𝑜𝑜} que l’on doit exercer sur le tuyau pour le maintenir immobile.

Le tuyau étant immobile, la force recherchée est l’opposée de celle que le fluide exerce sur le tuyau.

Le système étudié est le fluide compris entre les sections A et B à l’instant t. À l’instant t +dt, ce système est compris entre les sections A’ et B’. La zone notée « com » est le système ouvert aussi appelée zone commune.

Bilan de quantité de mouvement sur un système ouvert :

𝑑𝑑𝑝𝑝 ����⃗ _Σ

_𝑓𝑓

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑑𝑑𝑝𝑝 ����⃗ _Σ

_𝑜𝑜

𝑑𝑑𝑡𝑡 ^{+ 𝐷𝐷 𝑚𝑚𝑠𝑠} 𝑣𝑣 ���⃗ _𝑠𝑠 ⁻ 𝐷𝐷 _{𝑚𝑚𝑒𝑒} ���⃗ 𝑣𝑣 _𝑒𝑒 ⁼ � 𝐹𝐹⃗ _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

Et en régime stationnaire :

𝐷𝐷 _𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 ����⃗ − 𝑠𝑠 𝑣𝑣 ����⃗ 𝑝𝑝 ) = � 𝐹𝐹 ^��⃗ 𝑝𝑝𝑥𝑥𝑡𝑡→ Σ

_𝑓𝑓

Bilan de quantité de mouvement :

� 𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ������⃗(𝑡𝑡) + Σ

₀

𝑝𝑝 ����⃗(𝑡𝑡) ₁

𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ������⃗(𝑡𝑡 Σ

₀

+ 𝑑𝑑𝑡𝑡) + 𝑝𝑝 ����⃗(𝑡𝑡 ₂ + 𝑑𝑑𝑡𝑡)

⇔ _� ^{𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡) = 𝑝𝑝} ������⃗(𝑡𝑡) + ^Σ

⁰

δ _{𝑚𝑚 1 𝑣𝑣 ����⃗(𝑡𝑡) 1}

𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ������⃗(𝑡𝑡 Σ

₀

+ 𝑑𝑑𝑡𝑡) + δ _{𝑚𝑚 2 𝑣𝑣 ����⃗(𝑡𝑡) 2}

𝐸𝐸𝐸𝐸𝑜𝑜𝑜𝑜𝐸𝐸𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒𝑝𝑝𝑒𝑒𝑡𝑡 ∶ � 𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ������⃗(𝑡𝑡) + Σ

₀

𝐷𝐷 _𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑣𝑣 ����⃗(𝑡𝑡) ₁ 𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ������⃗(𝑡𝑡) + Σ

₀

𝐷𝐷 _𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑣𝑣 ����⃗(𝑡𝑡) ₂ D’où :

𝑑𝑑𝑝𝑝⃗

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 (𝑣𝑣 ₂ − 𝑣𝑣 ₁ )𝑜𝑜 ����⃗ _𝑒𝑒 = � 𝐹𝐹 ^��⃗ _{𝑝𝑝𝑥𝑥𝑡𝑡}

Or :

� 𝐹𝐹⃗ _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} = �����⃗ 𝐹𝐹 _𝑜𝑜

₁

_{+ 𝐹𝐹 𝑝𝑝}

�����⃗

2

+ 𝐹𝐹 �⃗ 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑜𝑜𝑑𝑑→𝑓𝑓𝐸𝐸𝑜𝑜𝑑𝑑𝑑𝑑𝑝𝑝 + �⃗ 𝑃𝑃 En projection sur (Ox) :

𝐷𝐷 _𝑚𝑚 (𝑣𝑣 ₂ − 𝑣𝑣 ₁ ) = 𝑝𝑝 ₁ 𝑑𝑑 ₁ − 𝑝𝑝 ₂ 𝑑𝑑 ₂ + 𝐹𝐹 𝑜𝑜𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒

⇔ _𝐹𝐹 𝑜𝑜𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒 = 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 (𝑣𝑣 ₂ − 𝑣𝑣 ₁ ) − 𝑝𝑝 ₁ 𝑑𝑑 ₁ + 𝑝𝑝 ₂ 𝑑𝑑 ₂

𝑂𝑂𝑝𝑝 ∶

⎩ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎧ 𝑣𝑣 ₂ = 𝐷𝐷 _𝑚𝑚

µ _{𝑑𝑑 2} 𝑣𝑣 ₁ = 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 µ _{𝑑𝑑 1} 𝑝𝑝 ₂

µ ^{+ 𝑣𝑣 2}

2

2 = 𝑝𝑝 ₁

µ ^{+ 𝑣𝑣 1}

2

2 ⇒ _{𝑝𝑝 2 = 𝑝𝑝 1 +} µ

2 (𝑣𝑣 ₁ ² − 𝑣𝑣 ₂ ² ) D’où :

𝐹𝐹 𝑜𝑜𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒 = 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 ²

µ ^� _𝑑𝑑 ¹ ₂ ⁻ _𝑑𝑑 ¹ ₁ ^{� − 𝑝𝑝 1 𝑑𝑑 1 + �𝑝𝑝 1 +} µ

2 ( 𝑣𝑣 ₁ ² − 𝑣𝑣 ₂ ² ) � 𝑑𝑑 ₂

= 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 ²

µ ^� _𝑑𝑑 ¹ ₂ ⁻ _𝑑𝑑 ¹ ₁ ^{� + 𝑝𝑝 1 (𝑑𝑑 2 − 𝑑𝑑 1 ) +} µ

2 �� 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 µ _{𝑑𝑑 1} ^�

2 − � 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 µ _{𝑑𝑑 2} ^�

2 � 𝑑𝑑 ₂

= 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 ²

µ ^� _𝑑𝑑 ¹ ₂ ⁻ _𝑑𝑑 ¹ ₁ ^{+ 1} ₂ ^� _𝑑𝑑 ^𝑑𝑑 ₁ ^{2 2 −} _𝑑𝑑 ¹ ₂ ^{�� + 𝑝𝑝 1 (𝑑𝑑 2 − 𝑑𝑑 1 )}

= 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 ²

µ ^� _2𝑑𝑑 ¹ ₂ ⁻ _𝑑𝑑 ¹ ₁ ^{+ 1} _{2 𝑑𝑑} ^𝑑𝑑 ₁ ^{2 2 � + 𝑝𝑝 1 (𝑑𝑑 2 − 𝑑𝑑 1 )}

⇒ _𝐹𝐹 𝑜𝑜𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒 = 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 ²

µ _{𝑑𝑑 1} ^� _2𝑑𝑑 ^{𝑑𝑑 1} ₂ ^{− 1 + 1} ₂ ^𝑑𝑑 _𝑑𝑑 ² ₁ ^{� + 𝑝𝑝 1 𝑑𝑑 1 � 𝑑𝑑} _𝑑𝑑 ² ₁ ^{− 1�}

A.N :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝑝𝑝 ₁ = 1𝑏𝑏𝑎𝑎𝑝𝑝 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 = 1𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑠𝑠 ⁻¹ 𝑑𝑑 ₁ = 2𝑑𝑑 ₂ = 10𝐸𝐸𝑚𝑚 ² ⇒ ^{𝑑𝑑 2}

𝑑𝑑 ₁ = 1 µ = 1000𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚 ⁻³ 2

⇒ _{𝐹𝐹 = − 49,7𝑁𝑁}

Donc :

𝐹𝐹⃗ 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒→𝑜𝑜𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠 = |𝐹𝐹 | 𝑜𝑜 ����⃗ _𝑒𝑒 II-3) Ecoulement de Poiseuille

Bilan de quantité de mouvement, en écoulement permanent et incompressible, appliquée au cylindre de rayon r et de longueur L :

𝑑𝑑𝑝𝑝⃗

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 (𝑣𝑣 ₂ − 𝑣𝑣 ₁ )𝑜𝑜 ����⃗ _𝑒𝑒 = � 𝐹𝐹 ^��⃗ 𝑝𝑝𝑥𝑥𝑡𝑡

Avec :

� 𝐹𝐹⃗ _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} = 𝐹𝐹 ������⃗ _{𝑜𝑜1 + 𝐹𝐹} �����⃗ _𝑝𝑝2 + 𝐹𝐹 ��������⃗ _{𝑣𝑣𝑑𝑑𝑠𝑠𝐸𝐸} + 𝑃𝑃 �⃗

𝑜𝑜ù

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ 𝐹𝐹 ������⃗ _𝑜𝑜1 = 𝑝𝑝 _𝑒𝑒 π _𝑝𝑝 ² _{𝑜𝑜 ����⃗ 𝑒𝑒} 𝐹𝐹 _𝑜𝑜2

������⃗ = −𝑝𝑝 _𝑠𝑠 π _𝑝𝑝 ² _{𝑜𝑜 ����⃗ 𝑒𝑒} 𝐹𝐹 _{𝑣𝑣𝑣𝑣𝑠𝑠𝑣𝑣}

��������⃗ = + η ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}

𝜕𝜕𝑝𝑝 𝑑𝑑 ^{𝑓𝑓𝑠𝑠𝑒𝑒} 𝑜𝑜 ����⃗ (𝐿𝐿𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑣𝑣𝑝𝑝𝑑𝑑𝑒𝑒𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑝𝑝𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑜𝑜𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑎𝑎𝑜𝑜 𝐸𝐸𝑝𝑝𝑒𝑒𝑡𝑡𝑝𝑝𝑝𝑝) _𝑒𝑒

Donc :

𝐷𝐷 _𝑚𝑚 ( 𝑣𝑣 ₂ − 𝑣𝑣 ₁ ) = (𝑝𝑝 _𝑒𝑒 − 𝑝𝑝 _𝑠𝑠 ) π _𝑝𝑝 ² ₊ η ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}

𝜕𝜕𝑝𝑝 (2 π _{𝑝𝑝𝐿𝐿} ) Or : 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑝𝑝) donc 𝑣𝑣 ₂ = 𝑣𝑣 ₁ et :

( 𝑝𝑝 _𝑒𝑒 − 𝑝𝑝 _𝑠𝑠 ) π _𝑝𝑝 ² ₊ η ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}

𝜕𝜕𝑝𝑝 (2 π _{𝑝𝑝𝐿𝐿) = 0}

⇔ ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}

𝜕𝜕𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 _𝑠𝑠 − 𝑝𝑝 _𝑒𝑒 2 η _{𝐿𝐿 𝑝𝑝}

⇒ _{𝑣𝑣(𝑝𝑝) =} ^{𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑝𝑝 𝑒𝑒}

4 η _{𝐿𝐿 𝑝𝑝} ^{2 + 𝐵𝐵} 𝑂𝑂𝑝𝑝 𝑣𝑣 ( 𝑅𝑅) = 0 ⇒ _{𝑣𝑣 ( 𝑝𝑝) =} ^{𝑝𝑝 𝑠𝑠 − 𝑝𝑝 𝑒𝑒}

4 η _𝐿𝐿 ^{(𝑝𝑝 2 − 𝑅𝑅 2 )}

On retrouve le même résultat que lors de la résolution de l’équation de NS.

II-4) Action d’un jet cylindrique sur une plaque

a) Surface de contrôle qui n’englobe pas la plaque

Un jet d'eau cylindrique, de section s est envoyé sur une plaque en forme de disque de rayon R. L'eau est émise avec une vitesse 𝑣𝑣 ����⃗ ₀ . La pression atmosphérique p

o

est uniforme à l'extérieur du jet. L'eau est un fluide incompressible de masse volumique µ . On suppose le régime permanent et on néglige la pesanteur.

On recherche la force d’un opérateur maintenant la plaque immobile.

Le système étudié est le fluide compris entre les sections A et B à l'instant t. À l'instant t+dt, ce système est compris entre les sections A' et B'.

Les sections B et B' sont des petites couronnes cylindriques, donc le volume a la forme d'un anneau entourant la plaque.

Bilan de quantité de mouvement À l'instant t : 𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ������⃗(𝑡𝑡) + Σ

₀

𝑝𝑝 ����⃗ ₁

À l'instant t + dt : 𝑝𝑝⃗(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) = 𝑝𝑝 ������⃗(𝑡𝑡 Σ

₀

+ 𝑑𝑑𝑡𝑡) + 𝑝𝑝 ����⃗ ₂ Le régime est permanent donc : (𝑝𝑝 ����⃗ − 𝑝𝑝 ₂ ����⃗) = ₁ 𝐹𝐹 �������⃗𝑑𝑑𝑡𝑡 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} Avec : � 𝑝𝑝 ����⃗ ₁ = δ _{𝑚𝑚 1 𝑣𝑣 ����⃗ 0}

𝑝𝑝 ₂

����⃗ = 0 �⃗

En effet la symétrie cylindrique du problème, entraîne que les contributions élémentaires prises deux à deux s’annulent d’où :

𝑑𝑑𝑝𝑝 _2,𝑀𝑀

�����������⃗ = −𝑑𝑑𝑝𝑝 ������������⃗ _{2,𝑀𝑀′} ⇒ _{𝑝𝑝 ����⃗ 2 = � 𝑑𝑑𝑝𝑝} ������������⃗ _2,𝑀𝑀

𝑆𝑆

₂

= 0 �⃗

En conclusion :

− δ _{𝑚𝑚 1 𝑣𝑣 ����⃗ 0 = 𝐹𝐹} �������⃗𝑑𝑑𝑡𝑡 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} ⇒ _𝐹𝐹 ^{�������⃗} _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = −} µ _{𝑠𝑠𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 ����⃗ 0}

⇒ _𝐹𝐹⃗ 𝑜𝑜𝑓𝑓𝑠𝑠𝑝𝑝𝑓𝑓𝑒𝑒→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒 + 𝐹𝐹 ���⃗ _𝑜𝑜 = − µ _{𝑠𝑠𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 ����⃗ 0}

⇒ _𝐹𝐹⃗ 𝑜𝑜𝑓𝑓𝑠𝑠𝑝𝑝𝑓𝑓𝑒𝑒→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒 − � 𝑝𝑝 ₀

Σ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗ = − µ _{𝑠𝑠𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 ����⃗ 0}

Le calcul direct de la résultante de forces de pression est impossible puisque nous ne connaissons pas la forme exacte de la surface Σ . Pour exprimer 𝐹𝐹 ���⃗ _𝑜𝑜 , utilisons un artifice de calcul.

Soit Σ ’ la surface plane représentée ci-dessus. La surface Σ U Σ '

est une surface fermée, et la pression est uniforme donc :

− � 𝑝𝑝 ₀ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗ = 0 �⃗ 𝐸𝐸𝑎𝑎𝑝𝑝 𝑝𝑝 ₀ 𝑜𝑜𝑒𝑒𝑑𝑑𝑓𝑓𝑜𝑜𝑝𝑝𝑚𝑚𝑝𝑝

Σ _𝑈𝑈 Σ _′

Or :

� 𝑝𝑝 ₀ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗

Σ _𝑈𝑈 Σ _′ = � 𝑝𝑝 ₀ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗

Σ

+ � 𝑝𝑝 ₀ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗

Σ _′

= � 𝑝𝑝 ₀ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗

Σ

+ 𝑝𝑝 ₀ π _{𝑅𝑅² 𝑜𝑜 ����⃗ 𝑒𝑒} donc :

𝐹𝐹 _𝑜𝑜

���⃗ = − � 𝑝𝑝 ₀ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ����⃗

Σ

= 𝑝𝑝 ₀ π _𝑅𝑅 ² _{𝑜𝑜 ����⃗ 𝑒𝑒} D’où :

⇒ _𝐹𝐹⃗ 𝑜𝑜𝑓𝑓𝑠𝑠𝑝𝑝𝑓𝑓𝑒𝑒→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒 + 𝑝𝑝 ₀ π _𝑅𝑅 ² _{𝑜𝑜 ����⃗ 𝑒𝑒 = −} µ _{𝑠𝑠𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 ����⃗ 0}

⇒ 𝐹𝐹⃗ 𝑜𝑜𝑓𝑓𝑠𝑠𝑝𝑝𝑓𝑓𝑒𝑒→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒 = − µ 𝑠𝑠𝑣𝑣 ₀ 𝑣𝑣 ����⃗ − 𝑝𝑝 ₀ 0 π 𝑅𝑅 ² 𝑜𝑜 ����⃗ _𝑒𝑒

Il reste maintenant à calculer la force que doit exercer l'opérateur pour maintenir la plaque immobile. Pour cela, appliquons le théorème de la résultante cinétique à la plaque. Celle-ci est soumise :

- A l'action de l'opérateur 𝐹𝐹⃗ _{𝑠𝑠𝑜𝑜} ,

- A l'action du fluide : 𝐹𝐹⃗ 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒→plaque

- Aux efforts de la pression ambiante sur la face en contact avec l'air, de résultante : 𝐹𝐹⃗ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒→plaque = −𝑝𝑝 ₀ π 𝑅𝑅 ² 𝑜𝑜 ����⃗ _𝑒𝑒

L'équilibre de la plaque se traduit par :

𝐹𝐹⃗ _{𝑠𝑠𝑜𝑜} − 𝑝𝑝 ₀ π 𝑅𝑅 ² 𝑜𝑜 ����⃗ _𝑒𝑒 + µ 𝑠𝑠𝑣𝑣 ₀ 𝑣𝑣 ����⃗ ₀ + 𝑝𝑝 ₀ π 𝑅𝑅 ² 𝑜𝑜 ����⃗ _𝑒𝑒 = 0 �⃗

⇒ _{𝐹𝐹⃗ 𝑠𝑠𝑜𝑜 = −} µ 𝑠𝑠𝑣𝑣 ₀ 𝑣𝑣 ����⃗ ₀

b) La surface de contrôle inclut la plaque

Nous allons choisir comme système : le système précédent et la plaque. Le bilan de quantité de mouvement ne change pas puisque la plaque est immobile. Le bilan des actions mécaniques devient :

- Action de l'opérateur 𝐹𝐹⃗ _{𝑠𝑠𝑜𝑜} sur la plaque,

- Efforts de pression 𝐹𝐹 ���⃗ _𝑜𝑜 = 0 �⃗ de résultante nulle puisque la surface du système est fermée et que la pression ambiante est uniforme sur cette surface.

Le théorème de la résultante cinétique appliqué à ce nouveau système s'écrit simplement :

− µ _{𝑠𝑠𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 ����⃗ 0 = 𝐹𝐹} �������⃗ _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒} ⇒ ₋ µ _{𝑠𝑠𝑣𝑣 0 𝑣𝑣 ����⃗ 0 = 𝐹𝐹} �����⃗ _{𝑠𝑠𝑜𝑜} On retrouve le résultat précédent :

𝐹𝐹 _{𝑠𝑠𝑜𝑜}

�����⃗ = − µ 𝑠𝑠𝑣𝑣 ₀ 𝑣𝑣 ����⃗ ₀

Cette méthode est beaucoup plus simple car :

- L'action du fluide sur la plaque devient une action intérieure donc n'apparaît pas dans l'écriture du théorème de la résultante cinétique.

- La résultante des efforts de pression est nulle puisque la surface du système est fermée et que la pression ambiante y est uniforme.

Chaque fois que cela sera possible il faudra donc inclure les

obstacles dans le système étudié.

III – Bilans d’énergie cinétique

III-1) Principe

On reprend le système fermé précédent, étudié dans le référentiel R. À l’instant t, son énergie cinétique dans R est 𝐸𝐸 _𝑣𝑣 (𝑡𝑡) , somme des énergies cinétiques de toutes les particules de fluide et des solides éventuels qui le composent. À l’instant t+dt, son énergie cinétique est 𝐸𝐸 _𝑣𝑣 (𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) .

� 𝐸𝐸 _𝑣𝑣 (𝑡𝑡) = 𝐸𝐸 _{𝑣𝑣 Σ}

₀

(𝑡𝑡) + 1

2 δ _{𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑣𝑣 𝑒𝑒} ² 𝐸𝐸 _𝑣𝑣 (𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) = 𝐸𝐸 _{𝑣𝑣 Σ}

₀

(𝑡𝑡 + 𝑑𝑑𝑡𝑡) + 1

2 δ _{𝑚𝑚 𝑠𝑠 𝑣𝑣 𝑠𝑠} ² D’où :

𝑑𝑑𝐸𝐸 _𝑣𝑣

𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑑𝑑𝐸𝐸 _{𝑣𝑣 Σ}

₀

𝑑𝑑𝑡𝑡 + 1

2 𝐷𝐷 _{𝑚𝑚𝑠𝑠} 𝑣𝑣 _𝑠𝑠 ² − 1

2 𝐷𝐷 _{𝑚𝑚𝑒𝑒} 𝑣𝑣 _𝑒𝑒 ² = 𝑃𝑃 _{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒} + 𝑃𝑃 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒}

III-2) Bilan d’énergie mécanique :

Si on calcule la puissance du poids alors on peut écrire : 𝑃𝑃 𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠→ Σ

_𝑓𝑓

= 𝛿𝛿𝛿𝛿

𝑑𝑑𝑡𝑡 = − 𝑑𝑑𝐸𝐸 _𝑜𝑜

𝑑𝑑𝑡𝑡 = − � 𝛿𝛿𝑚𝑚 _𝑠𝑠

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑘𝑘𝑧𝑧 ^𝑠𝑠 − 𝛿𝛿𝑚𝑚 _𝑒𝑒

𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑘𝑘𝑧𝑧 ^𝑒𝑒 � Car 𝛿𝛿𝐸𝐸 _𝑜𝑜 = 𝛿𝛿𝑚𝑚𝑘𝑘𝑧𝑧 + 𝐸𝐸𝑠𝑠𝑡𝑡𝑝𝑝 𝑠𝑠 i (Oz) est orienté vers le haut.

Bilan d’énergie cinétique :

⎩ ⎨

⎧ 𝑑𝑑𝐸𝐸 _{𝑣𝑣 Σ}

₀

𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝐷𝐷 _{𝑚𝑚𝑠𝑠} 𝑣𝑣 _𝑠𝑠 ²

2 − 𝐷𝐷 _{𝑚𝑚𝑒𝑒} 𝑣𝑣 _𝑒𝑒 ²

2 = 𝑃𝑃 _{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

+ 𝑃𝑃 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

𝑅𝑅é𝑘𝑘𝑑𝑑𝑚𝑚𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒𝑝𝑝𝑒𝑒𝑡𝑡 ∶ 𝐷𝐷 _𝑚𝑚

2 (𝑣𝑣 _𝑠𝑠 ² − 𝑣𝑣 _𝑒𝑒 ² ) = 𝑃𝑃 _{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

+ 𝑃𝑃 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

On admettra que pour un écoulement incompressible et parfait :

𝑃𝑃 _{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

= 0

En régime stationnaire :

𝑃𝑃 𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠→ Σ

_𝑓𝑓

= 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 𝑘𝑘(𝑧𝑧 _𝑒𝑒 − 𝑧𝑧 _𝑠𝑠 ) Donc :

𝐷𝐷 _𝑚𝑚 � 𝑣𝑣 _𝑠𝑠 ²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑠𝑠 � − 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 � 𝑣𝑣 _𝑒𝑒 ²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑒𝑒 � = 𝑃𝑃 _{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

+ 𝑃𝑃 ����� _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑓𝑓𝑒𝑒 𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠

III-3) Equation de Bernoulli

Intéressons-nous, à un écoulement stationnaire, incompressible, parfait on a le bilan d’énergie mécanique :

𝐷𝐷 _𝑚𝑚 � 𝑣𝑣 _𝑠𝑠 ²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑠𝑠 � − 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 � 𝑣𝑣 _𝑒𝑒 ²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑒𝑒 � = 𝑃𝑃 ����� _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑓𝑓𝑒𝑒 𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠

Supposons que 𝑃𝑃 _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

se limite aux forces de pressions alors et appliquons un bilan d’énergie à un tube de courant :

Ainsi 𝑃𝑃 _{𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠} = 𝑃𝑃 _𝑒𝑒 + 𝑃𝑃 _𝑠𝑠 + 𝑃𝑃 _{𝑓𝑓𝑠𝑠𝑒𝑒} mais 𝐹𝐹 ����������⃗ _{𝑜𝑜,𝑓𝑓𝑠𝑠𝑒𝑒} ⊥ 𝑣𝑣⃗ d’où 𝑃𝑃 _{𝑓𝑓𝑠𝑠𝑒𝑒} = 0

⇒ _{𝐷𝐷 𝑚𝑚 �} ^{𝑣𝑣 𝑠𝑠 2}

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑠𝑠 � − 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 � 𝑣𝑣 _𝑒𝑒 ²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑒𝑒 � = 𝐷𝐷 _𝑚𝑚 (−𝑝𝑝 _𝑠𝑠 𝑣𝑣 _𝑠𝑠 + 𝑝𝑝 _𝑒𝑒 𝑣𝑣 _𝑒𝑒 ) Pour un fluide homogène : 𝜇𝜇 = _𝑣𝑣 ¹

𝑠𝑠

= _𝑣𝑣 ¹

𝑒𝑒

Bilan d’énergie mécanique en régime stationnaire : 𝐷𝐷 _𝑚𝑚

⎣ ⎢

⎢ ⎡

� 𝑣𝑣 _𝑠𝑠 ²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑠𝑠 �

�������

𝑒𝑒

_{𝑚𝑚𝑠𝑠}

− � 𝑣𝑣 _𝑒𝑒 ²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑒𝑒 �

���������

𝑒𝑒

_{𝑚𝑚𝑒𝑒}

⎦ ⎥ ⎥ ⎤

= 𝑃𝑃 _{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

+ 𝑃𝑃 ����� _{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒→} Σ

_𝑓𝑓

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑓𝑓𝑒𝑒 𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠

⇒ _{𝐷𝐷 𝑚𝑚 �} ^{𝑣𝑣 𝑠𝑠 2}

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑠𝑠 + 𝑝𝑝 _𝑠𝑠

𝑜𝑜 � − 𝐷𝐷 ^𝑚𝑚 � 𝑣𝑣 _𝑒𝑒 ²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑒𝑒 + 𝑝𝑝 _𝑒𝑒

𝜇𝜇 � = 0

Pour un écoulement stationnaire, parfait, incompressible d’un fluide homogène, le long d’une ligne de courant, le bilan d’énergie cinétique nous permet de retrouver l’équation de Bernoulli si (Oz) ascendant :

𝑣𝑣 _𝑠𝑠 ²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑠𝑠 + 𝑝𝑝 _𝑠𝑠

𝑜𝑜 = 𝑣𝑣 _𝑒𝑒 ²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧 _𝑒𝑒 + 𝑝𝑝 _𝑒𝑒 𝜇𝜇 III-4) Escalator

Un escalator de longueur L = 30m, incliné d’un angle 𝛼𝛼 =30°

avance à la vitesse 𝑣𝑣 = 5 𝑘𝑘𝑚𝑚 ℎ ⁻¹ et permet à 50 personnes par minute (de masse moyenne 70 kg) de gravir un étage d’un magasin.

On admet que les personnes transportées arrivent avec une vitesse négligeable sur le tapis roulant. Quelle est la puissance minimale du moteur de l’escalator ?

On se place en régime permanent d’où :

𝐷𝐷

_𝑚𝑚

� 𝑣𝑣

²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧�

𝑒𝑒 𝑠𝑠

= 𝑃𝑃

_{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒→}Σ_𝑓𝑓

= 𝑃𝑃

𝑚𝑚𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑓𝑓𝑒𝑒

⇔ _𝑃𝑃

𝑚𝑚𝑜𝑜𝑡𝑡𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝

= 𝐷𝐷

_𝑚𝑚

� ^𝑣𝑣

²

2 + 𝑘𝑘ℎ � = 50 ∗ 70

60 � � _3.6 ⁵ �

²

2 + 9.8 ∗ 30 sin ( 30° )�

= 8,6𝑘𝑘𝛿𝛿

III-5) Pompe hydraulique

On considère la pompe ci-dessus. On note 𝐷𝐷 _𝑣𝑣 le débit volumique, l’écoulement est supposé parfait, permanent et incompressible de masse volumique µ. Quelle puissance mécanique 𝑃𝑃 _𝑚𝑚 faut-il fournir à la pompe sachant que son rendement est de r=80% ?

Données numériques :

�

𝑝𝑝

₂

= 0,7𝑏𝑏𝑎𝑎𝑝𝑝 , 𝑝𝑝

₁

= 0,3𝑏𝑏𝑎𝑎𝑝𝑝

ℎ = 1,2𝑚𝑚 , 𝑑𝑑

₁

= 0,07𝑚𝑚

²

, 𝑑𝑑

₂

= 0,03𝑚𝑚

²

𝐷𝐷

_𝑣𝑣

= 150𝐿𝐿. 𝑠𝑠

⁻¹

Soit :

𝐷𝐷

_𝑚𝑚

� 𝑣𝑣

²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧�

𝑒𝑒 𝑠𝑠

= 𝑃𝑃

_{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒→}Σ_𝑓𝑓

+ 𝑃𝑃 �����

_{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒→}Σ_𝑓𝑓 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑓𝑓𝑒𝑒

𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠

⇒ _𝐷𝐷

_𝑚𝑚

_� ^𝑣𝑣

²²

2 − 𝑣𝑣

₁²

2 + 𝑘𝑘ℎ� = 𝑃𝑃

𝑜𝑜𝑠𝑠𝑚𝑚𝑜𝑜𝑒𝑒→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒

+ 𝑃𝑃

_{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒}

+ 𝑃𝑃

𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒

⇒ _𝐷𝐷

_𝑚𝑚

_� ^𝑣𝑣

²²

2 − 𝑣𝑣

₁²

2 + 𝑘𝑘ℎ� = 𝑃𝑃

𝑜𝑜𝑠𝑠𝑚𝑚𝑜𝑜𝑒𝑒→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒

+ 𝑃𝑃 �

_{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒}

=0

+ 𝑃𝑃

𝑜𝑜𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒

⇒ _𝐷𝐷

_𝑚𝑚

_� ^𝑣𝑣

²²

2 − 𝑣𝑣

₁²

2 + 𝑘𝑘ℎ� = 𝑃𝑃

𝑜𝑜𝑠𝑠𝑚𝑚𝑜𝑜𝑒𝑒→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒

+ 𝑝𝑝 ���

₁

𝑑𝑑

₁

𝑣𝑣

₁

𝐹𝐹₁

����⃗.𝑣𝑣����⃗₁

− 𝑝𝑝

₂

𝑑𝑑

₂

𝑣𝑣

₂

⇒ µ _𝐷𝐷

_𝑣𝑣

_� ^𝑣𝑣

²²

2 − 𝑣𝑣

₁²

2 + 𝑘𝑘ℎ� = 𝑃𝑃

𝑜𝑜𝑠𝑠𝑚𝑚𝑜𝑜𝑒𝑒→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒

+ 𝐷𝐷

_𝑣𝑣

(𝑝𝑝

₁

− 𝑝𝑝

₂

)

⇒ _𝑃𝑃

𝑜𝑜𝑠𝑠𝑚𝑚𝑜𝑜𝑒𝑒→𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑑𝑑𝑒𝑒

= µ _𝐷𝐷

_𝑣𝑣

_� ^𝑣𝑣

²²

2 − 𝑣𝑣

₁²

2 + 𝑝𝑝

₂

µ ^{− 𝑝𝑝} µ

¹

^{+ 𝑘𝑘ℎ�}

⇒ _𝑃𝑃

_𝑚𝑚

₌ µ _𝐷𝐷

_𝑣𝑣

𝑝𝑝 �

𝐷𝐷

_𝑣𝑣²

2𝑑𝑑

₂²

− 𝐷𝐷

_𝑣𝑣²

2𝑑𝑑

₁²

+ 𝑝𝑝

₂

µ ^{− 𝑝𝑝} µ

¹

^{+ 𝑘𝑘ℎ� = 11𝑘𝑘𝛿𝛿}

III-6) Ecoulement de Couette plan

Nous allons déterminer la puissance dissipée par unité de volume à partir d’un bilan d’énergie cinétique.

Soit :

𝐷𝐷

_𝑚𝑚

� 𝑣𝑣

²

2 + 𝑘𝑘𝑧𝑧�

𝑒𝑒 𝑠𝑠

= 𝑃𝑃

_{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒→}Σ_𝑓𝑓

+ 𝑃𝑃 �����

_{𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒→}Σ_𝑓𝑓 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑓𝑓𝑒𝑒

𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠

Comme : 𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣(𝑦𝑦)𝑜𝑜 ����⃗ _𝑒𝑒 , et la conduite étant horizontale on a :

𝑃𝑃

_{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒→}Σ_𝑓𝑓

+ 𝑃𝑃 ⏟

_𝑜𝑜

=0 𝑣𝑣𝑠𝑠𝑒𝑒 𝑜𝑜₂=𝑜𝑜₁

+ 𝑃𝑃

_{𝑣𝑣𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣}

= 0

D’où : _𝑃𝑃

_{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒→}Σ_𝑓𝑓

= −𝑃𝑃

_{𝑣𝑣𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣}

Or : 𝑑𝑑𝑃𝑃 _{𝑣𝑣𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣} = 𝑑𝑑𝐹𝐹 ��������⃗ _{𝑣𝑣𝑣𝑣𝑠𝑠𝑣𝑣} (𝑦𝑦 + 𝑑𝑑𝑦𝑦). 𝑣𝑣⃗(𝑦𝑦 + 𝑑𝑑𝑦𝑦) + 𝐹𝐹 ��������⃗ _{𝑣𝑣𝑣𝑣𝑠𝑠𝑣𝑣} (𝑦𝑦). 𝑣𝑣⃗(𝑦𝑦)

⇔ _{𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑣𝑣𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣 =} η _{𝑑𝑑 �} ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}

𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑣𝑣� (𝑦𝑦 + 𝑑𝑑𝑦𝑦) − η _{𝑑𝑑 �} ^{𝜕𝜕𝑣𝑣}

𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑣𝑣� (𝑦𝑦)

⇔ _{𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑣𝑣𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣 =} η _𝑑𝑑 ^𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑦𝑦 �

𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑣𝑣� 𝑑𝑑𝑦𝑦

⇔ _{𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑣𝑣𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣 =} η ^𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑦𝑦 �

𝜕𝜕𝑣𝑣

𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑣𝑣� 𝑑𝑑 τ Or dans cet écoulement : 𝑣𝑣 = ^{𝑈𝑈𝑈𝑈} _ℎ

⇒ _{𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑣𝑣𝑠𝑠𝑠𝑠𝑣𝑣 =} η ^{𝑈𝑈 2} ℎ ² 𝑑𝑑 τ

⇒ _{𝑝𝑝 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒 =} ^{𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒}

𝑑𝑑 τ ^{= −} η ^{𝑈𝑈 2}

ℎ ² < 0

L’écoulement n’est pas parfait, il est normal de trouver 𝑝𝑝 _{𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒} < 0 , les

forces de viscosité dissipent de l’énergie mécanique. C’est pourquoi

l’opérateur doit fournir de l’énergie pour entraîner le fluide.