Résolutions de quelques équations différentielles fractionnaires sur l'espace d'Heisenberg.

(1)

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université des Frères Mentouri, Constantine

Faculté des Sciences Exactes

Département de Mathématiques

N

0

_{d’ordre : 176/DS/2018}

Série : 08/MATH/2018

T H È S E

Pour obtenir le titre de

Docteur en Sciences

Mention : MATHÉMATIQUE

Option :

Analyse fonctionnelle & EDP

Présentée et soutenue par

Meneceur Bekkar

Intitulée:

Résolutions de quelques équations différentielles

fractionnaires sur l'espace d'Heisenberg

Jury:

Mr Dalah Mohamed Prof Université des Frères Mentouri Président

Mr Haouam Kamel Prof Université de Tébessa Rapporteur

Mr Berkane Abdelhak MCA

Université des Frères Mentouri Examinateur

Mr Rebiai Belgacem Prof Université de Tébessa Examinateur

Mr Mansour Abdelouahab Prof Université d'El‐Oued Examinateur

Mr M Salah Abdelouahab MCA Université de Mila Examinateur

Soutenue publiquement le 25/10/2018 à l'Université des Frères Mentouri, Constantine

(2)

لولح

ةّيرسكلا ةّيلضافتلا تلاداعملا ضعب

ءاضف ىلع

.غرابنزياھ

:

صخلم

هذھ ىنعت

ةحورطلأا

و تلاداعملا نم ةلمجل ةلماشلا لولحلا دوجو مدع ةلأسم ةساردب

ةيئزجلا ةيلضافتلا تلاداعملا مظن

ريغ

ةيطخلا

ّيرسك بتر تاذ

ة

ةبسنلاب

ىلع نمزلل

هرمز

غابنزياھ

,

زكترت ثيح

ةيرابتخلإا لاودلا ةقيرط ىلع اساسأ نيھاربلا تاينقت ةقيرط

نييعتل

.اتيجيف طمن نم ةجرحلا سلأا

:ةلاّدلا تارابعلا و ةيحاتفملا تاملكلا

غرانزياھ ةرمز

-تاقتشم

ةيرسك

-سلأا

ةجرحلا

-ةقيرط

عباوتلا

ةيرابتخلاا

-مدع

جو

دو

لولحلا

-. ةّيروطت (ةحجارتم) ةلداعم

(3)

Resolutions of some fractional

differential equations on the

Heisenberg space.

Abstract:

This thesis is devoted to the study of the non‐existence problems of global solutions for some PDEs and partial differential systems with fractional derivatives with respect to time, the basic idea of proofs is based on the method of the functions test for the determination of the Fujita type exponent.

Key words and phrases:

Heisenberg group ‐ fractional derivative ‐ critical exponent ‐ test function method ‐ evolution equations (inequalities) ‐ non‐existence solutions.

(4)

Résolutions de quelques équations

différentielles fractionnaires sur

l’espace d’Heisenberg.

Résumé

: Cette thèse est consacrée à l'étude des problèmes de la non‐existence des solutions globales pour certaines EDPs et systèmes des EDPs avec des dérivées fractionnaires par rapport au temps, l'idée de base des preuves repose sur la méthode des fonctions tests pour la détermination l'exposant critique de type Fujita.

Mots‐clés et expressions:

Groupe d'Heisenberg ‐ dérivée fractionnaire ‐ exposant critique ‐ méthode des fonctions tests ‐ équations d'évolution (inégalités) ‐ non‐existence des solutions.

(5)

Remerciement

J’ai exprime ma profonde gratitude à mon directeur de thèse, le professeur Haouam Ka-mel, qui a su me pendant ma thèse. Je le remercie pour l’aide compètent qu’il m’a apporté, pour sa grande patience et son encouragement à finir ce travail.

Je suie très honoré par la présence à mon jury de thèse de doctorat et que je remercie beaucoup :

• Professeur Dalah Mohamed, pour l’honneur qu’il m’a fait en acceptant d’être

pré-sident de mon jury de thèse, je tiens à l’assurer de ma profonde reconnaissance pour l’intérêt qu’ il porte à ce travail.

• Professeur Rebiai Belgacem, pour sa participation à mon jury de thèse en qualité

d’examinateur de mon travail et pour toutes ses remarques intéressantes.

• Docteur Berkane Abdelhak, pour sa participation à mon jury de thèse, pour le temps

consacré à la lecture de cette thèse et pour ses suggestions et ses remarques judicieuses.

• Docteur Mohamed Salah Abdelouahab, qui a bien voulu examiner ce travail et je

le remercie pour le temps consacré à la lecture de cette thèse ainsi que pour ses commentaires.

• Et spécialement je tiens à exprimer ma reconnaissance au professeur Mansour

Abde-louahab, pour son soutien permanent dans laboratoire de TOEDP.

Enfin je n’oublierai pas tous ceux qui m’ont encouragé pour terminer ce travail du loin ou du près à tous ceux-ci.

(6)

Table des matières

Remerciement i Introduction 1 1 Le groupe d’Heisenberg HN 6 1.1 Groupe de Lie . . . 6 1.1.1 L’application exponentielle . . . 8 1.2 Groupe de Carnot . . . 9

1.2.1 Groupe de Lie homogène . . . 9

1.2.2 Algèbre de Lie d’un Groupe de Lie homogène . . . 9

1.2.3 L’opérateur sous-Laplacien d’un groupe de Lie stratifié . . . 11

1.2.4 Distance de Carnot-Carathéodory . . . 11

1.3 Le groupe de Heisenberg HN _{. . . .} ₁₆

1.4 Puissances fractionnaires de sous-Laplacien d’un groupe de Lie stratifié . . . 17

2 Dérivées et intégrales fractionnaires 19 2.1 Fonctions spéciales liées au calcul fractionnaire . . . 19

2.1.1 La fonction Gamma. . . 19

2.1.2 La fonction Bêta . . . 20

2.1.3 La fonction Mittag-Leﬄer . . . 21

2.2 Dérivées fractionnaires au sens de Grünwald-Letnikov . . . 23

2.2.1 Dérivée fractionnaire de (t− a)α _{. . . .} ₂₄

2.2.2 Dérivée fractionnaire d’une constante . . . 25

2.2.3 Composition avec les dérivées d’ordre entier . . . 26

2.2.4 Composition des dérivées fractionnaires . . . 27

2.3 Intégrales et dérivées fractionnaires au sens de Riemann-Liouville . . . 27

2.3.1 Intégrales d’ordre arbitraire . . . 27

(7)

2.3.3 Compositions . . . 33

2.4 Dérivées fractionnaires au sens de Caputo . . . 38

2.4.1 Relation entre les dérivées fractionnaires au sens de Caputo et celles de Riemann-Liouville . . . 39

2.5 Propriétés des dérivées fractionnaires . . . 41

2.5.1 Linéarité . . . 41

2.5.2 Règle de Leibniz . . . 42

2.5.3 Intégration par parties . . . 43

2.6 Intégrales et dérivées fractionnaires partielles . . . 45

3 Systèmes d’inégalités d’évolution non linéaire avec dérivée fractionnaire temporelle sur le groupe d’Heisenberg 47 3.1 Introduction . . . 48

3.2 Notations et préliminaires . . . 49

3.3 Système de deux inégalités . . . 51

3.4 Système de m > 2 inégalités . . . 56

3.5 Cas d’une seule inégalité . . . 59

4 Non-existence de solution du système d’équations hyperboliques non li-néaire avec amortissement fractionnaire sur le groupe d’Heisenberg 64 4.1 Introduction . . . 65

4.2 Cas d’une seule équation . . . 66

4.3 Système de deux équations . . . 70

5 Non-existence de solution du système d’équations de réaction-diﬀusion fractionnaires non linéaires sur le groupe d’Heisenberg 76 5.1 Introduction . . . 77

5.2 Notations et préliminaires . . . 78

5.3 Cas d’une seule équation . . . 79

5.4 Système de deux équations . . . 83

Conclusion et perspectives 88 A Annexe 89 A.1 Inégalités utiles . . . 89

A.2 Quelques théorèmes de convergence . . . 89

(8)

Introduction

L

e calcul fractionnaire : ( calcul d’intégrales et dérivation de tout ordre arbitraire réel ou complexe) a vu une grande expansion durant les trois dernières décennies. Du fait qu’il a plusieurs applications dans beaucoup de domaines aussi bien des mathématiques, de la physique, que des sciences et de la technologie. Ce travail s’inscrit dans le cadre des équations diﬀérentielles fractionnaires sur le groupe d’Heisenberg. Rappelons que le groupe d’Heisenberg HN _{est le groupe} _R2N +1 _{muni d’une loi de multiplication non commutative}

(x, y, τ )◦ (x′, y′, τ′) = (x + x′, y + y′, τ + τ′ + 2(yx′− y′x)).

C’est un groupe de Lie homogène muni d’une structure de dilatations

δλ(x, y, τ ) = (λx, λy, λ2τ ), λ > 0, (1)

δλ = −δ|λ|, λ < 0.

dont la dimension homogène est égale à Q = 2N + 2. Le système de champs de vecteurs suivant

Xj = ∂xj + 2yj∂τ, Yj = ∂yj− 2xj∂τ, j = 1, ..., N. (2)

est invariant à gauche par rapport à la structure du groupe. L’algèbre de Lie de HN _est

engendrée par ce système, et vérifie :

[Xj, Yj] =−4∂τ ≡ −4S, et [Xj, S] = [Yj, S] = 0, j = 1, ..., N

Le Laplacien du groupe d’Heisenberg ∆_H s’écrit sous la forme ∆_H = N ∑ j=1 ( X_j2+ Y_j2) (3) La distance homogène de HN _{est donnée par}

(9)

Introduction

où

ρ(x, y, τ ) =((|x|2+|y|2)2+ τ2 )1/4

. (4)

L’objectif principal de cette thèse est d’établir quelques résultats de non-existence de solution pour quelques EDPs non linéaires d’ordres fractionnaires sur le groupe d’Heisenberg. L’idée de base des preuves dans cette thèse repose sur la méthode des fonctions testes choisies convenablement à la recherche des exposants critiques de type Fujuta.

Cette thèse est organisée de la manière suivante. Le premier chapitre

Le groupe d’Heisenberg est un exemple particulier d’une large classe de groupes de Lie La première partie de ce chapitre rappelle quelques outils de base de groupe de Lie et de l’algèbre de Lie. Quant à la deuxième partie, elle se concentre plus particulièrement sur les groupes d’Heisenberg, aussi que sur certains éléments de base d’analyse sur le groupe d’Heisenberg.

Le deuxième chapitre

Dans ce chapitre, nous allons donner quelques définitions et résultats concernant le calcul intégrale et dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville et au sens de Caputo.

Le troisième chapitre

Dans ce chapitre, nous allons établir des résultats de non-existence de solution de système d’inégalités d’évolution fractionnaire non linéaire de type :

(F S_αm) :   

Dα_0/tui − ∆H(aiui)≥ | η |γi+1| ui+1 |pi+1

(η, t) ∈ HN×]0, +∞[, 1 ≤ i ≤ m

um+1 = u1 α∈ (1, 2)

(5)

où Dα

0/test la dérivée temporelle fractionnaire d’ordre α∈ (1, 2) au sens de Caputo, | η | est la

distance entre η et l’origine deHN, m≥ 2, pm+1 = p1, γm+1 = γ1, et ai ∈ L∞(HN×]0, +∞[), 1 ≤

i≤ m.

Nous allons montrer sous certaines conditions initiales, que le système (F Sm

α) n’admet pas

de solution faible non triviale surHN. Si α = 2 nous obtiendrons les résultats contenus dans [24, 25, 38]. Le travail eﬀectué dans ce chapitre a fait l’objet d’une publication internatio-nale : Systems of semilinear evolution inequalities with temporal fractional derivative on the Heisenberg group, Advances in Dﬀerence Equations, 2017 (2017)-12, 1-15. (voir [35]).

(10)

Introduction Théorème 0.1. Si Q < Q•_α = 2 ( 1− 1 α ) + 1 p1p2− 1 max ((γ1+ 2) + p1(γ2 + 2), p2(γ1+ 2) + (γ2 + 2))

alors il n’y a pas de solution faible non triviale (u, v) de système (F S_α2). Et dans le cas de m > 2 inégalités, on aura le résultat suivant

Théorème 0.2. Supposons que

Q < Q•_α = 2 ( 1− 1 α ) + max (X1, X2, ..., Xm)

alors le système (F S_αm) n’admet pas de solution faible non triviale où (X1, X2, ..., Xm)T la solution du système linéaire

        −1 p1 0 . . . 0 0 −1 p2 . .. ... .. . . .. ... ... 0 0 0 . .. ... pm−1 pm 0 . . . 0 −1                X1 X2 .. . Xm−1 Xm        =        γ1+ 2 γ2+ 2 .. . γm−1+ 2 γm+ 2        (6)

Et dans le cas d’une seule inégalité, on aura le théorème suivant Théorème 0.3. Soit N ≥ 1 et p > 1 on suppose que :

γ >−2 et 1 < p < α(Q + γ) + 2

α(Q− 2) + 2 (7) alors le problème (F Iα)≡ (F Sα1) n’admet pas une solution faible globale autre que la solution

triviale.

Le quatrième chapitre

Dans ce chapitre, nous allons présenter certains résultats de non-existence de solution des problèmes hyperboliques non linéaire avec amortissement fractionnaire de type :

utt+ Dα0/tu− ∆H(au) = | u |

p

(11)

Introduction { utt+ Dα_0/tu− ∆H(au) = | v |p vtt+ Dδ0/tv− ∆H(bv) = | u | q (9) dans HN × R+_{, où α, δ}∈ (0, 1) et a, b ∈ L∞₍HN × R+_).

Dans le cas de l’équation (8) on aura le résultat suivant Théorème 0.4. Soit N ≥ 1 et p > 1 on suppose que :

γ >−2 et 1 < p < Q +

2

α + γ

Q + 2(_α1 − 1) (10) alors l’équation (8) n’admet pas une solution faible globale autre que la solution triviale.

Si α = 1, nous retrouverons le résultat obtenu par B. Ahmad et al [4]. Et dans le cas du système (9), on aura le théorème suivant

Théorème 0.5. Supposons que

Q < Q∗_e = max{Q1, Q2} , où                  Q1 = α ( 1 + _2qγ ) +δ_q ( 1 + _2pβ ) −(1− _pq1 ) α 2q′ + δ 2p′q , Q2 = δ ( 1 + _2pβ ) + α p ( 1 + _2qγ ) −(1− 1 pq ) δ 2p′ + α 2q′p . (11)

alors le système (9) n’admet pas une solution faible globale (u, v) autre que la solution triviale.

Si α = δ = 1, nous obtiendrons le résultat de M. Boutefnouchet et M. Kirane [13].

Le dernier chapitre

Dans ce chapitre nous allons établir certains résultats de non-existence de solution des problèmes paraboliques non locales de réaction-diﬀusion fractionnaire de type :

(F RD)α,β : Dα0/tu + (−∆H)

β

(12)

Introduction (SF RD)α,β,δ : { Dα_0/tu + (−∆_H) β 2 _{u =} | v |p_, Dδ 0/tv + (−∆H) β 2 v = | u |q. (13) avec m est un entier strictement positif, α, δ ∈ (0, 1) et β ∈ (1, 2). Le travail eﬀectué dans ce chapitre est un sujet d’une publication international : Non-existence of global solutions of non-linear non-local fractional evolution systems on the Heisenberg group (Envoyer)

Dans le cas scalaire on aura le résultat suivant

Théorème 0.6. Soit N ≥ 1 et p > 1 on suppose que : 1 < m < p < pm,α,β = m +

β

αQ, (14)

alors le preblème (12) n’admet pas une solution faible globale autre que la solution triviale.

Et dans le cas du système (13) on aura le théorème suivant Théorème 0.7. supposons que

Q < Q∗_e = β

pq− 1max{pq(α − 1) + δp + 1, pq(δ − 1) + αq + 1} ,

Alors le système (13) n’admet pas une solution faible globale (u, v) autre que la solution triviale.

Si α = δ = 1 nous généraliserons et améliorerons les résultats obtenus dans [4, 13] pour les cas paraboliques.

(13)

Chapitre 1

Le groupe d’Heisenberg

H

N

1.1 Groupe de Lie

Définition 1.1. Un ensemble G est dit groupe de Lie si :

— G est une variété diﬀérentiable de classe C∞. — G munie d’une loi de groupe ◦ : G × G −→ G.

— Les applications suivantes (produit et inversion de G) (x, y) 7−→ x ◦ y et x 7−→ x−1 sont de classe C∞.

Exemples 1.1. :

1. (Rd_{, +).}

2. LG(n,R) = {M ∈ Mn(R); detM ̸= 0} par rapport au produit des matrices.

3. O(n) ={A ∈ Mn(R); ATA = In}.

Définition 1.2. Soit a est un élément de G. Une translation à gauche sur le groupe de Lie G est le diﬀéomorphisme défini par

La:G −→ G

g 7−→ Lag = a◦ g. (1.1)

Définition 1.3. Soit a est un élément de G. Une translation à droite sur le groupe de Lie G est le diﬀéomorphisme défini par

Ra:G −→ G

(14)

Le groupe d’Heisenberg chapitre 1

Remarques 1.1. Soient a et b deux éléments de G, alors on a

1. La◦ Lb = La◦b ∈ C∞.

2. Ra◦ Rb = Rb◦a ∈ C∞.

3. La◦ La−1 = Ra◦ Ra−1 = IG.

Définition 1.4. (Champs de vecteurs invariants à gauche)

Soient G est un groupe de Lie et La le diﬀéomorphisme donné par (1.1). On note par d(La)

la diﬀérentielle de La définie par

d(La)(Xg) = (TgLa)(X), ∀a, g ∈ G,

où TgG est l’ensemble des vecteurs tangents au point g ∈ G. Un champ de vecteurs X est

invariant à gauche si

d(La)(Xg) = Xa◦g, ∀a, g ∈ G.

Définition 1.5. (algèbre de Lie)

Une algèbre de Lie g sur R est un espace vectoriel sur R muni d’une loi interne bilinéaire

[., .] : g× g −→ g, appelée le crochet de Lie tels pour tous X,Y et Z dans g on a :

1. [X, Y ] = −[Y, X] (antisymétrique).

2. [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 (l’identité de Jacobi).

Proposition 1.1. Soient X et Y deux champs de vecteurs invariants à gauche. pour tous

a, g ∈ G et λ ∈ R, on a

1. d(La)(Xg+ λYg) = d(La)(Xg) + λd(La)(Yg) = Xa◦g+ λYa◦g = (X + λY )a◦g.

2. d(La)([X, Y ]g) = [d(La)(Xg), d(La)(Yg)] = [X, Y ]a◦g.

Définition 1.6. (algèbre de Lie d’un groupe de Lie)

Soit G un groupe de Lie. L’ensemble de tous les champs de vecteurs invariants à gauche de

G muni de l’opération crochet de Lie est une algèbre de Lie du groupe de Lie G, que l’on

note L(G).

Théorème 1.1. SoitG un groupe de Lie et L(G) son algèbre. Alors, l’application de L(G) −→

TeG définie par X 7−→ Xe est un isomorphisme entre L(G) et l’espace tangent TeG à G en

e. Donc dim(L(G)) = dim(TeG) = dim(G).

Démonstration. Soit e l’élément neutre de G. Pour tout Xe ∈ TeG, un champ vecteurs Xa

est définit par

(15)

D’autre part on a pour tout g∈ G.

d(Lg)(Xa) = d(Lg)(d(La)(Xe)) = d(LgLa)(Xe) = d(Lg◦a)(Xe) = Xg◦a

Alors Xaest invariant à gauche par conséquent Xa ∈ L(G). Ainsi pour tout élément de L(G)

qui satisfait (1.3), on a isomorphisme entre L(G) et TeG.

1.1.1 L’application exponentielle

Définition 1.7. (La courbe exponentielle) : SoitG un groupe de Lie et L(G) son algèbre

de Lie. Soient X ∈ L(G) et γ(t) la courbe intégrale de X passant par l’élément neutre de G à l’instant t = 0 définie sur R. On définit l’application expX : R −→ G par expX(t) = γ(t)

et qui vérifie _{ expX(0) = e dtexpX (_d dr|r=t ) = XexpX(t), ∀t ∈ R (1.4) Proposition 1.2. Soit (G, ◦) un groupe de Lie et L(G) son algèbre de Lie. Pour tout X ∈

L(G) on a

1. expX(t + s) = expX(t)◦ expX(s), ∀t, s ∈ R.

2. expX(−t) = (expX(t))−1,∀t ∈ R.

3. expX(0) = e

Définition 1.8. (L’application exponentielle) : Soient (G, ◦) un groupe de Lie et L(G)

son algèbre de Lie. L’application définie par

Exp : L(G) −→ G

X 7−→ expX(1) (1.5)

est appelée l’application exponentielle associée au groupe de Lie G.

Proposition 1.3. Soit (G, ◦) un groupe de Lie et L(G) son algèbre de Lie. Pour tout X ∈

L(G) on a

1. Exp(tX) = expX(t), ∀t ∈ R.

2. Exp((t + s)X) = Exp(tX)◦ Exp(sX) ∀t, s ∈ R. 3. Exp(−tX) = (Exp(tX))−1, ∀t ∈ R.

(16)

Le groupe d’Heisenberg chapitre 1 Démonstration. Pour tout t∈ R. Considérons l’application définie par s 7−→ γ(s) ≡ expX(ts)

pour tout s ∈ R. Comme γ(0) = expX(0) = e et ˙γ(s) = tXexpX(ts) = tXγ(s), alors γ

la courbe intégrale de tX, d’après la définition 1.7 on a γ(s) = exptX(s). Par conséquent

expX(ts) = exptX(s), pour s = 1, on obtient expX(t) = exptX(s) = Exp(tX).

D’autre part, on a

Exp((t + s)X) = expX(t + s) = expX(t)◦ expX(s) = Exp(tX)◦ Exp(sX).

et

Exp(−tX) = expX(−t) = (expX(t))−1 = (Exp(tX))−1.

1.2 Groupe de Carnot

1.2.1 Groupe de Lie homogène

Définition 1.9. Un groupe de Lie G est dit homogène, s’il est muni d’une famille de

dilatations {δa}a>0 qui vérifie la propriété suivante : Il existe N entiers σ1, ..., σN où

1≤ σ1 ≤ ... ≤ σN tel que pour tout a > 0 l’application

δa:G −→ G, δa(x1, ..., xN)≡ (aσ1x1, ..., aσNxN) (1.6)

est un automorphisme de groupe.

Remarque 1.1. Si e l’élément neutre d’un groupe homogène G, alors δa(e) = e pour tout

a > 0, par conséquent e = 0.

Définition 1.10. Soit G un groupe de Lie homogène par rapport à la dilatation 1.6 La demension homogène Q de G par rapport à la dilatation 1.6 est donnée par la somme des exposants de la dilatation, c’est à dire Q =

N

∑

j=1

σj.

1.2.2 Algèbre de Lie d’un Groupe de Lie homogène

Soit G un groupe de Lie homogène par rapport à la dilatation δa, et L(G) son algèbre de

(17)

Le groupe d’Heisenberg chapitre 1 poser _         n1 = σj pour 1≤ j ≤ N1 n2 = σj pour N1 < j≤ N1 + N2 .. . nr = σj pour N1+ ...Nr−1 < j ≤ N1+ ...Nr (1.7) tel que n1 < n2 < ... < nr, N1 + N2+ ... + Nr= N

soit {Z1, ..., ZN} une base de L(G) on définit les sous espaces vectoriels de L(G) par :

V1 = ⟨Zj, 1≤ j ≤ N1⟩ Vi = ⟨Zj, N1+ ...Ni−1 < j ≤ N1+ ...Ni⟩ pour i = 2, ..., r Alors L(G) = r ⊕ i=1 Vi.

Définition 1.11. Soit g une algèbre de Lie nous définissons la suite (Ci) par C0 = g et

Ci+1= [Ci, g] S’il existe un entier r tel que Cr+1 ={0}, on dit que g est nilpotente d’ordre r

(r le plus petit entier tel que Cr+1 ={0}).

Définitions 1.1. 1. Une algèbre de Lie g est dite admettant une stratification s’il existe r sous espaces vectoriels V1, ..., Vr de g tels que :

g = r ⊕ i=1 Vi et [V1, Vi−1] = Vi, 2≤ i ≤ r [V1, Vr] ={0}.

2. Un groupe de Lie G est dit stratifié s’il est connexe et simplement connexe, et son algèbre de Lie L(G) admet une stratification.

Remarque 1.2. toute algèbre de Lie admet une stratification est nilpotente.

Définition 1.12. SoitG un groupe de Lie et L(G) son algèbre de Lie, G un groupe de Carnot

si :

(18)

Le groupe d’Heisenberg chapitre 1 2. L(G) admet une stratification.

Théorème 1.2. (voir [39]) Soit G un groupe de Carnot et L(G) son algèbre de Lie, alors L(G) un groupe de Lie isomorphe à G par l’application exponentielle.

Théorème 1.3. (voir [39]) Soit (G, ◦) un groupe de Carnot, alors il existe un groupe de Lie

(Rn_{, ⋆) qui est isomorphe à (}_{G, ◦).}

1.2.3 L’opérateur sous-Laplacien d’un groupe de Lie stratifié

Définition 1.13. Soient G un groupe de Lie stratifié et L(G) son algèbre de Lie. S’il existe

une stratification de L(G), i.e, L(G) = V1⊕ V2⊕ ... ⊕ Vr, où {Z1, Z2, ...Zm} est une base

de V1, alors l’opérateur diﬀérentiel d’ordre 2, L =

∑m j=1Z

2

j est appelé sous-Laplacien de G.

Définition 1.14. (Hypoellipticité)

On dit qu’un opérateur diﬀérentiel L défini sur un ouvert Ω ∈ RN _{est hypoelliptique dans Ω}

si pour tout ouvert Ω′ ⊆ Ω et pour tout f ∈ C∞(Ω′,R), toute solution de l’équation Lu = f dans Ω′ (au sens faible) est de classe C∞(Ω′).

Théorème 1.4. (voir [10, 29])(Hörmander)

Soient Z1, ..., Zm des champs de vecteurs à coeﬃcients de classe C∞ sur un ouvert Ω de

RN_{. Si}

rang(Lie{Z1, ..., Zm}(x)) = N, ∀x ∈ Ω. (1.8)

l’opérateur L =∑m_j=1Z2

j est hypoelliptique dans Ω.

1.2.4 Distance de Carnot-Carathéodory

Définition 1.15. Un système de champs de vecteurs X = (X1, ..., Xk) sur un ouvert Ω⊂ RN

est appelé un système de Hörmander si dimspan{Y (x)|Y ∈ Lie(X)} = N pour tout x ∈ Ω, où Lie(X) est l’algèbre de Lie générée par l’ensemble des champs de vecteurs X.

Remarque 1.3. Si (RN_{, ⋆) est un groupe de Carnot et}

B =(X₁1, X₂1, ..., X_n1₁, X₁2, ..., X_n2₂, ..., X₁r, ..., X_nr_r)

est une base de g adaptée à la stratification, alors X =(X₁1, X₂1, ..., X_n1₁) est un système de Hörmander.

(19)

Définition 1.16. Soit X = (X1, ..., Xk) est un système de Hörmander dans Ω ⊂ RN.

Une courbe X-subunitaire est une courbe absolument continue Γ : [0, T ]−→ Ω telle que

Γ′(t) =

k

∑

j=1

αj(t)Xj(Γ(t)),

pour certaines fonctions réelles αi avec

∑k

i=1(αi(t))

2 _{≤ 1. Nous dénotons par S(x, y)}

l’en-semble de toutes les courbes X-subunitaire joignant x et y.

Théorème 1.5. (Théorème de l’accessibilité de Chow [12]) Soit Ω un ouvert dans RN et X = (X1, ..., Xk) est un système de Hörmander sur Ω, alors pour chaque couple x, y ∈ Ω

il existe une courbe X-subunitaire Γ∈ S(x, y) rejoindre x et y.

Définition 1.17. Si Γ : [0, T ] −→ (RN_{, ⋆) est une courbe X-subunitaire par rapport à}

X = (X₁1, X₂1, ..., X_n1₁), nous l’appelons courbe subunitaire horizontale et nous définissons sa longueur par l(Γ) = T .

Définition 1.18. (Distance de Carnot-Carathéodory) Nous définissons la distance de

Carnot-Carathéodory sur (RN, ⋆) par :

dCC = inf{l(Γ), Γ ∈ S(x, y)}

Proposition 1.4. Si d la distance de Carnot- Carathéodory surRN_{, on a pour tout x, y, g} _∈

RN _{et λ > 0}

d(Lg(x), Lg(y)) = d(x, y) (1.9)

d(δλ(x), δλ(y)) = λd(x, y) (1.10)

Démonstration.

• Il suﬃra de prouver que Γ : [0, T ] −→ RN _{appartient à S(x, y) si et seulement si}

Lg◦ Γ : [0, T ] −→ G appartient à S(Lg(x), Lg(y). Depuis Lg est assez régulière alors Lg ◦ Γ

est absolument continue et il est évident que Lg ◦ Γ(0) = Lg(x) et Lg◦ Γ(T ) = Lg(y), donc

nous pouvons calculer

(Lg ◦ Γ)′(t) = (dLg) (Γ(t)) n1 ∑ j=1 αj(t)Xj(Γ(t)) = n1 ∑ j=1 αj(t) (dLg) (Γ(t)) Xj(Γ(t)) = n1 ∑ j=1 αj(t)Xj(Lg◦ Γ(t)) (1.11)

(20)

où dans l’égalité (1.11) nous avons utilisé l’invariance à gauche de Xj.

• Pour la deuxième égalité, il suﬃra de prouver que Γ : [0, T ] −→ RN _{est une courbe}

X-subunitaire si et seulement si Γλ : [0, λT ] −→ G, Γλ(t) = δλ

(

Γ(_λt)) est une courbe X-subunitaire, d’une part on a

Γ′(t) = n1 ∑ j=1 αj(t)Xj(Γ(t)) = n1 ∑ j=1 αj(t) n ∑ i=1 ai,j(Γ(t)) ∂xi D’autre part Γ′_λ(t) = n ∑ i=1 λdi−1 n1 ∑ j=1 αj ( t λ ) ai,j ( Γ ( t λ ) ) ) ∂i = n ∑ i=1 n1 ∑ j=1 αj ( t λ ) ai,j ( δλ◦ Γ ( t λ ) ) ) ∂i = n1 ∑ j=1 αj ( t λ ) Xj(Γλ(t))

car ai,j sont homogènes de degré di− 1.

Corollaire 1.1. Si d la distance de Carnot-Carathéodory sur RN_{, on a pour tout x, y}_{∈ R}N

d(x, y) = d(y−1◦ x, 0) (1.12)

d(x−1, 0) = d(x, 0) (1.13)

Démonstration. En remplaçant g par y−1 dans (1.9) on obtient

d(x, y) = d(Ly−1(x), Ly−1(y)) = d(y−1◦ x, y−1◦ y) = d(y−1◦, 0)

et on posant x = 0 dans (1.12), on obtient la deuxième égalité.

Théorème 1.6. (voir [12]) La distance de Carnot-Carathéodory est continue par rapport à la Topologie euclidienne

Définition 1.19. (Norme homogène) Une norme homogène (symétrique) sur (RN_{, ⋆) est une}

fonction continue (par rapport à la topologie euclidienne) | |G :RN −→ [0, +∞[

(21)

Le groupe d’Heisenberg chapitre 1 1. |x|G = 0⇐⇒ x = 0.

2. |δλ(x)|G= λ|x|G pour tout x ∈ RN et λ > 0.

3. |x−1|G =|x|G pour tout x ∈ RN.

Remarque 1.4. La distance de Carnot-Carathéodory définit une norme homogène de la

manière suivante

|x|CC = dCC(x, 0).

Lemme 1.1. Si | . |G est une norme homogène sur (RN, ⋆), Alors la balle

BG=

{

y∈ RN/|y|G= 1

}

, est compact (par rapport à la topologie euclidienne).

Démonstration. Considérons la fonction |.|S :RN −→ [0, +∞[ donnée par :

|x|S = N ∑ i=1 |xi| 1 di _(1.14)

où di est le poids de la coordonnée i. De cette façon |.|S est une norme homogène. Nous

pouvons facilement voir que l’ensemble BS =

{

y∈ RN_/|y| S = 1

}

, est compact par rapport à la topologie euclidienne car il est fermé et borné, de plus il ne contient pas 0, alors la fonction

| . |G atteint un minimum ν > 0 sur cet ensemble, donc

ν ≤ |y|G pour tout y∈ BS

D’après la propriété d’homogénéité que nous avons

ν ≤δ 1 |x|S(x) = |x|G |x|S pour tout x∈ RN

Cela implique que

BG = { y∈ RN/|y|G = 1 } ⊆{y∈ RN/|y|S ≤ 1 } donc BG est compact.

(22)

Le groupe d’Heisenberg chapitre 1 Démonstration. Depuis dCCest continue d’après le Théorème1.6, et B =

{

y ∈ RN/|y|G = 1

} est compact d’après le Lemme1.1, il existe deux constantes positives m et M telles que

m≤ dCC(y, 0)≤ M pour tout y ∈ B

Grâce à l’homogénéité des dilatations1.10 nous avons

m ≤ dCC(x, 0) |x|G = dCC ( δ 1 |x|G, 0 ) ≤ M pour tout x ∈ RN donc m|x|G≤ |x|CC ≤ M|x|G pour tout x∈ RN

Proposition 1.6. La mesure de Lebesgue dx est la mesure de Hâar du groupe (RN_{, ⋆) (à}

savoir il est invariante à gauche et à droite par rapport aux translations de groupe), de plus, nous avons

dx (δλ(A)) = λQdx(A) (1.15)

pour tout ensemble mesurable A et λ > 0.

Démonstration. D’une part nous devons prouver d’abord dx (Lg(A)) = dx(A) = dx (Rg(A))

pour tout ensemble mesurable A. D’après un changement de variables nous avons

dx (Lg(A)) = ∫ Lg(A) dx = ∫ A detJLg(x)dx = ∫ A dx = dx(A)

où la matrice jacobienne a la forme triangulaire inférieure suivante

JLg(x) =        1 0 0 . . . 0 a1.2(x) 1 0 . . . 0 a1.3(x) a2.3(x) 1 . . . 0 .. . . .. . .. . .. ... a1.n(x) a2.n(x) a3.n(x) . . . 1        Il en va de même pour la translation à droite de groupe.

D’autre part on voit bien que la matrice jacobienne de la dilatation δλ est une matrice

diagonale Jδλ = diag(λ, ...., λ, λ 2_{, ....λ}2_{, ...., λ}r_{, ....λ}r₎ où λi _{= dim(V} i), donc Jδλ = λ ∑r i=1idim(Vi)_{= λ}Q

(23)

1.3 Le groupe de Heisenberg

H

N

Le groupe d’Heisenberg HN de dimension (2N + 1) est l’espace R2N +1 ₌{_{η = (x, y, τ )}_{∈ R}N _{× R}N _{× R}}

muni de loi ′′◦′′ définie par :

η◦ eη =

(

x +ex, y + ey, τ + eτ − 2

N ∑ i=1 (xiyei− exiyi) ) (1.16) où η = (x, y, τ ) = (x1, x2, ..., xN, y1, y2, ..., yN, τ )

eη = (ex, ey, eτ) = (ex1,ex2, ...,exN,ey1,ey2, ...,eyN,eτ)

Cette loi de multiplication donne àHN une stucture de groupe de Lie. Le laplacien sous-elliptique surHN _{défini par :}

∆_H = N ∑ i=1 ( X_i2+ Y_i2) (1.17) où Xi = ∂ ∂xi + 2yi ∂ ∂τ et Yi = ∂ ∂yi − 2xi ∂ ∂τ

avec un calcul simple on peut écrire :

∆_H = N ∑ i=1 ( ∂2 ∂x2 i + ∂ 2 ∂y2 i + 4yi ∂2 ∂xi∂τ − 4xi ∂2 ∂yi∂τ + 4(x2_i + y2_i) ∂ 2 ∂τ2 )

L’opérateur ∆_H est un opérateur elliptique dégénéré, il est stable par rapport à la multi-plication à gauche dansHN _{c’est à dire :}

∆_H(u(η◦ eη)) = (∆_Hu) (η◦ eη) ∀(η, eη) ∈ HN × HN

La distance entre un point η et l’origine dansHN _{définie par :}

|η|H = ( τ2 + N ∑ i=1 (x2_i + y_i2)2 )1/4

(24)

L’application η → |η|_H est homogène de degré un par rapport au groupe naturel des dilatations

δλ(η) =

(

λx, λy, λ2t) (1.18) On remarque aussi que l’opérateur ∆_Hest homogène de dégré 2 par rapport à la dilataction

δλ définie dans (1.18), c’est à dire :

∆_H = λ2δλ(∆H)

Il est facile de voir que l’action de ∆_Hsur les fonctions u dépendant seulement de ρ =|η|_H: ∆_Hu(ρ) = a(η) ( d2_u dρ2 + Q− 1 ρ du dρ ) où a(η) = N ∑ i=1 (x2 i + yi2) ρ2

Et Q = 2N + 2 est la dimension homogène de HN_.

Nous identifions les points deHN _{avec ceux de}_R2N +1_{, Nous rappelons aussi que la mesure}

naturelle de Hâar dans HN _{est identique à celle de Lebesgue dη = dxdydτ dans} _R2N +1_.

1.4 Puissances fractionnaires de sous-Laplacien d’un groupe

de Lie stratifié

Dans ce qui suit (G, ◦) est un groupe de Lie stratifié et L l’opérateur sous-Laplacien de G

Définition 1.20. Si α∈ C. Nous appelons Kα un noyau de type α une distribution qui est

lisse à partir de 0 et G-homogène de degré α− Q.

Proposition 1.7. ( voir [18, 19]) Supposons que 0 < β < Q, et nous notons par h = h(t, x) la solution fondamentale de L + ∂/∂t (voir [19], Proposition 3.3). Alors l’intégrale

Rβ(x) = 1 Γ(β₂) ∫ _∞ 0 tβ2−1h(t, x)dt

(25)

i R2 est la solution fondamentale de L

ii Si α∈ (0, 2) et u ∈ D(G), Alors

Lα

2u =Lu ∗ R₂_−α

iii Les noyaux Rα admettent la règle de convolution suivante : si α > 0 et β > 0 on a

Rα+β = Rα∗ Rβ

Remarque 1.5. (voir [18, 19]) Si β < 0 et β ̸∈ Z, Nous avons également

e Rβ(x) = β 2 Γ(β₂) ∫ _∞ 0 tβ2−1h(t, x)dt

défini une fonction assez régulière dansG\{0}, et on a aussi t 7−→ h(t, x) d’ordre infini quand t−→ 0 si x ̸= 0, de plus eR est positif et G-homogène de degré β − Q.

Théorème 1.7. ( voir [18, 19]) L’opérateur L est un opérateur auto-adjoint positif sur le domaine W_G2,2(G). Si {E(λ)} la résolution spectrale de L sur L2₍_{G), alors si α > 0 on a}

Lα 2 = ∫ _∞ 0 λα2dE(λ) avec le domaine W_Gα,2(G) = { u∈ L2(G) : ∫ _∞ 0 λαd⟨E(λ)u, u⟩ < ∞ }

Théorème 1.8. ( voir [18, 19]) Si u∈ S(G) et 0 < α < 2, alors Lα2u∈ L2(G), et on a

Lα

2u(x) =

∫

G

(u(x◦ y) − u(x) − χ(y)⟨∇_Gu(x), y⟩) eR_−α(y)dy = V.P

∫

G

(u(y)− u(x)) eR_−α(y−1◦ x)dy

où χ est la fonction caractéristique de la boule unité Bρ(0, 1) où ρ(x) = R

1\(2−α−Q) 2−α .

et on se ramène aux références suivantes [15, 20, 28, 27, 39, 41, 42] pour plus de détails sur l’analyse dans le groupe d’Heisenberg.

(26)

Chapitre 2

Dérivées et intégrales fractionnaires

Ce chapitre est consacré pour les définitions des dérivées et intégrales fractionnaires au sens de Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville et Caputo et les liens entre ces dérivées avec quelques exemples et quelques propriétés complémentaires.

2.1 Fonctions spéciales liées au calcul fractionnaire

Dans cette section, nous présentons quelques fonctions qui constituent l’un des oulils de base dans la théorie du calcul fractionnaire.

2.1.1 La fonction Gamma

Définition 2.1. La fonction Γ(z) est définie par : Γ(z) =

∫ _∞

0

tz−1e−tdt (Re(z) > 0),

où tz−1 = e(z−1)log(t). Cette intégrale est convergente pour tout z∈ C, (Re(z) > 0)

Proposition 2.1. La fonction Gamma vérifie les propriétés suivantes :

1. Pour tout z ∈ R∗₊ :

Γ(z + 1) = zΓ(z) (2.1)

2. En particulier, pour tout n∈ N

(27)

Dérivées et intégrales fractionnaires chapitre 2 Démonstration. D’une part en faisant une intégration par parties on a

Γ(z + 1) = ∫ _∞ 0 tze−tdt =[−tze−t]t=_t=0∞+ z ∫ _∞ 0 tz−1e−tdt = zΓ(z)

D’autre part en utilisant (2.1) par récurrence on aura Γ(2) = 1.Γ(1) = 1!

Γ(3) = 2.Γ(2) = 2.1! = 2! Γ(4) = 3.Γ(3) = 3.2! = 3!

... ... ...

Γ(n + 1) = n.Γ(n) = n.(n− 1)! = n! (2.3) Remarque 2.1. D’après (2.1) par récurrence on déduit facilement que pour tout n∈ N

Γ(x) = Γ(x + α)

x(x + 1)...(x + n− 1)

. Cette relation permet de définir Γ(x) pour x négatif tel que −n < x < −n + 1.

Donc dans ce cas pour n = [α] + 1 nous avons 0 < n−α < 1, c’est à dire −n < −α < −n+1, alors

Γ(−α) = Γ(n− α)

(−α)(−α + 1)...(−α + n − 1)

. La fonction Γ(x) non définie pas quand x∈ Z₋.

Proposition 2.2. (voir [37])(Représentation de la fonction Gamma sous forme d’une limite) La fonction Gamma peut être représentée par la limite :

Γ(z) = lim

n−→+∞

n!nz

z(z + 1)...(z + n) (2.4)

2.1.2 La fonction Bêta

Définition 2.2. Pour z, w∈ R tels que z > 0 et w > 0, la fonction Bêta est définie par :

B(z, w) =

∫ 1 0

(28)

Dérivées et intégrales fractionnaires chapitre 2

Proposition 2.3. La relation entre la fonction Bêta d’Euler et Gamma d’Euler est donnée

par :

B(z, w) = Γ(z)Γ(w)

Γ(z + w) (2.6)

Démonstration. Considérons l’intégrale suivante hz,w(t) =

∫ t

0

τz−1(1− τ)w−1dτ (2.7)

on voit bien que hz,w = tz−1∗ (1 − t)w−1 (la convolution des fonctions tz−1 et (1− t)w−1), et

on a hz,w(1) = B(z, w) .

Comme la transformée de Laplace de convolution de deux fonctions est égale au produit de leurs transformées de Laplace, en aura :

L (hz,w, s) = L ( tz−1∗ (1 − t)w−1, s) = L (tz−1, s).L ((1 − t)w−1, s) = [∫ _∞ 0 tz−1e−stdt ] . [∫ _∞ 0 (1− t)w−1s−stdt ] = Γ(z) sz . Γ(w) sw = Γ(z)Γ(w) sz+w (2.8)

par la transformée de Laplace inverse du côté droit de (2.8) on a

hz,w(t) =

Γ(z)Γ(w) Γ(z + w)t

z+w+1

(2.9) pour t = 1, nous obtenons l’expression (2.6).

Remarque 2.2. On voit bien que la formule (2.6) est justifiée que la fonction Bêta est une fonction symétrique.

2.1.3 La fonction Mittag-Leﬄer

La fonction de Mittag-Leﬀer replonge naturellement l’exponentielle usuelle.

Définition 2.3. Pour tout x∈ R et α > 0, on appelle fonction de Mittag-Leﬀer la fonction

définie par Eα(x) = ∞ ∑ k=0 xk Γ(αk + 1) (2.10)

(29)

Remarque 2.3. On voit bien que E1 est l’exponentielle usuelle car :

E1(x) = ∞ ∑ k=0 xk Γ(k + 1) = ∞ ∑ k=0 xk k! = e x

Dans la théorie du calcul fractionnaire, la fonction de Mittag-Leﬀer à deux paramètres, joue un rôle très important.

Définition 2.4. La fonction de Mittag-Leﬀer à deux paramètres est définie par

Eα,β(x) = ∞ ∑ k=0 xk Γ(αk + β) (2.11) pour tout x∈ R et α, β > 0. Exemples 2.1. 1. Eα,1(x) = ∞ ∑ k=0 xk Γ(αk + 1) = Eα (2.12) 2. E1,1(x) = ∞ ∑ k=0 xk Γ(k + 1) = ∞ ∑ k=0 xk k! = e x _(2.13) 3. E1,2(x) = ∞ ∑ k=0 xk Γ(k + 2) = 1 x ∞ ∑ k=0 xk+1 (k + 1)! = ex_{− 1} x (2.14) 4. E1,3(x) = ∞ ∑ k=0 xk Γ(k + 3) = 1 x2 ∞ ∑ k=0 xk+2 (k + 2)! = ex− 1 − x x2 (2.15) et en général (2.16) 5. E1,p(x) = 1 xp−1 [ ex− p−2 ∑ k=0 xk k! ] (2.17) 6. E2,1(x2) = ∞ ∑ k=0 x2k Γ(2k + 1) = ∞ ∑ k=0 x2k 2k! = cosh(x) (2.18) 7. E2,2(x2) = ∞ ∑ k=0 x2k Γ(2k + 2) = 1 x ∞ ∑ k=0 x2k+1 (2k + 1)! = sinh(x) x (2.19)

(30)

2.2 Dérivées fractionnaires au sens de Grünwald-Letnikov

L’idée principale de la dérivée fractionnaire de Grünwald-Letnikov est de donner une généralisation de la définition classique de la dérivation entière d’une fonction à des ordres arbitraires.

La dérivée classique (d’ordre 1) d’une fonction f au point t est définie par :

f′(t) = lim

h−→0

f (t)− f(t − h)

h (2.20)

Par dérivation successive de la fonction f , on obtient une généralisation de la formule (2.20) l’ordre n (n est un entier positif ou nul) de la forme :

f(n)(t) = lim h−→0 1 hn n ∑ k=0 (−1)k ( n k ) f (t− kh) (2.21) où ( n k ) = n! k!(n− k)! = n(n− 1)...(n − k + 1) k!

Si le entier n est positif, la formule (2.21) représente la dérivée d’ordre n, et si n est négatif représente l’intégrale répétée n fois.

D’après la propriété fondamentale Γ(n + 1) = n!, ∀n ∈ N, donc dans le cas où n est négatif ou nul peut être écrit

(−1)k ( n k ) = −n(1 − n)...(k − n − 1) k!

Définition 2.5. Si f est une fonction continue sur l’intervalle [a, t] les dérivées

fraction-naires d’ordre α et d’ordre (−α) au sens de Grünwald-Letnikov de la fonction f sont définies respectivement par : G aD α tf (t) = lim h−→0 1 hα ∞ ∑ k=0 Γ(k− α) Γ(k + 1)Γ(−α)f (t− kh) = 1 Γ(−α) ∫ t a (t− τ)−α−1f (τ )dτ (2.22) et G aD−αt f (t) = lim h−→0 1 h−α ∞ ∑ k=0 Γ(k + α) Γ(k + 1)Γ(α)f (t− kh) = 1 Γ(α) ∫ t a (t− τ)α−1f (τ )dτ (2.23)

(31)

Remarque 2.4. Si f de classe Cm (où m la plus petite valeur entière vérifiant m− 1 < α < m), d’après des intégrations par parties de (2.22) et (2.23) nous obtenons

G aD α tf (t) = m∑−1 k=0 f(k)_(a)(t− a)k−α Γ(k− α + 1) + 1 Γ(m− α) ∫ t a (t− τ)m−α−1f(m)(τ )dτ (2.24) et G aD−αt f (t) = m−1_∑ k=0 f(k)(a)(t− a)k+α Γ(k + α + 1) + 1 Γ(m + α) ∫ t a (t− τ)m+α−1f(m)(τ )dτ (2.25)

2.2.1 Dérivée fractionnaire de (t

− a)

α

Proposition 2.4. La dérivée fractionnaire au sens de Grünwald-Letnikov d’ordre q de la

fonction polynômiale f (t) = (t− a)α _{est donnée par :} G aD q t(t− a)α = Γ(α + 1) Γ(−q + α + 1)(t− a) α−q _(2.26) avec (q < 0, α > −1) ou bien (0≤ m ≤ q < m + 1, α > m) Démonstration.

• D’une part si q < 0 et α > −1 d’après la formule (2.22) on a

G aD q t(t− a) α = 1 Γ(−q) ∫ t a (t− τ)−q−1(τ − a)αdτ (2.27) supposons α > −1 donc on a la convergence de l’intégrale située dans (2.27), d’après le changement de variable τ = a + ξ(t− a) et utilisant la définition (2.2) de fonction Bêta on obtient G aD q t(t− a)α = 1 Γ(−q)(t− a) α−q ∫ t a ξα(1− ξ)−q−1dξ = 1 Γ(−q)B(−q, α + 1)(t − a) α−q = Γ(α + 1) Γ(−q + α + 1)(t− a) α−q_. _(2.28)

(32)

Dérivées et intégrales fractionnaires chapitre 2 • D’autre part si 0 ≤ m ≤ q < m + 1, d’après (2.24) on a besoin d’imposer α > m pour la convergence de l’intégrale dans (2.24). Alors

G aD q t(t− a)α = 1 Γ(−q + m + 1) ∫ t a (t− τ)m−qd m+1_(τ _{− a)}α dτm+1 dτ (2.29) Comme dm+1_(τ _{− a)}α dτm+1 = α(α− 1)....(α − m)(τ − a) α−m+1 ₌ Γ(α + 1) α− 1 (τ − a) α−m+1

et en appliquant le changement de variable τ = a + ξ(t− a), Nous avons

G aD q t(t− a)α = Γ(α + 1) Γ(−m)Γ(−q + m + 1) ∫ t a (t− τ)m−q(τ − a)α−m−1dτ = Γ(α + 1)B(−q + m + 1, α − m) Γ(α− m)Γ(−q + m + 1) (t− a) α−q = Γ(α + 1) Γ(−q + α + 1)(t− a) α−q . (2.30)

2.2.2 Dérivée fractionnaire d’une constante

Proposition 2.5.

La dérivée fractionnaire de Grünwald-Letnikov d’ordre α d’une fonction constante f (t) = C est définie par :

G aDαtC = C Γ(1− α)(t− a) −α _(2.31) Démonstration.

Si f (t) = C pour tout α non entier, on a fk_{(t) = 0 pour k = 1, 2, ....m donc d’après (2.24)}

en aura G aD α tf (t) = m∑−1 k=0 f(k)(a)(t− a)k−α Γ(k− α + 1) + 1 Γ(m− α) ∫ t a (t− τ)m−α−1f(m)(τ )dτ = C Γ(1− α)(t− a) −α₊ m∑−1 k=1 f(k)_(a)(t_{− a)}k−α Γ(k− α + 1) + 1 Γ(m− α) ∫ t a (t− τ)m−α−1f(m)(τ )dτ = C Γ(1− α)(t− a) −α

(33)

Remarque 2.5. La dérivée fractionnaire de Grünwald-Letnikov d’une fonction constante

n’est ni nulle, ni constante.

2.2.3 Composition avec les dérivées d’ordre entier

Proposition 2.6.

Soient m un entier strictement positif et q non entier. On a dm dtm (_G aD q tf (t) ) =G_aDm+q_t f (t) (2.32) et G aD q t ( dm dtmf (t) ) =G_aDm+q_t f (t)− m∑−1 k=0 f(k)_(a)(t_{− a)}k−q−m Γ(k− q − m + 1) (2.33)

Démonstration. Pour n− 1 < q < n on a d’une part : dm dtm (_G aD q tf (t) ) = n+m∑−1 k=0 f(k)_(a)(t− a)k−(q+m) Γ(k− (q + m) + 1) + 1 Γ(n + m− (q + m)) ∫ t a (t− τ)n+m−(q+m)−1f(n+m)(τ )dτ d’après (2.24) donc dm dtm (_G aD q tf (t) ) =G_aDm+q_t f (t) et d’autre part, G aD q t ( dm dtmf (t) ) = n−1 ∑ k=0 f(m+k)_(a)(t− a)k−q Γ(k− q + 1) + 1 Γ(n− q) ∫ t a (t− τ)n−q−1f(n+m)(τ )dτ = n+m∑−1 k=0 f(k)(a)(t− a)k−(q+m) Γ(k− (q + m) + 1) + 1 Γ(n + m− (q + m) + 1) ∫ t a (t− τ)n+m−(q+m)−1f(n+m)(τ )dτ − n−1 ∑ k=0 f(k)_(a)(t_{− a)}k−q−m Γ(k− (q + m) + 1)

(34)

Dérivées et intégrales fractionnaires chapitre 2 alors G aD q t ( dm dtmf (t) ) =G_aDm+q_t f (t)− m∑−1 k=0 f(k)(a)(t− a)k−q−m Γ(k− q − m + 1)

Remarque 2.6. la dérivation fractionnaire au sens de Grünwald-Letnikov et la dérivation

classique d’ordre m ne commutent que si f(k)_{(a) = 0 pour tout k = 0, 1, 2, ..., m}_{− 1.}

2.2.4 Composition des dérivées fractionnaires

Proposition 2.7. (voir [37]) Nous avons trois cas distincts : 1. Si q < 0 et ∀p ∈ R on a : G aD p t (_G aD q tf (t) ) =G_aD_tp+qf (t)

2. Si 0 ≤ m < q < m + 1, p < 0 et la fonction f vérifie les conductions f(k)(a) = 0, pour tout k = 0, 1, ..., m− 1 alors : G aD p t (_G aD q tf (t) ) =G_aD_tp+qf (t)

3. Si 0 ≤ m < q < m + 1, 0 ≤ n < p < n + 1 et la fonction f vérifie les conditions f(k)(a) = 0, pour tout k = 0, 1, ..., r− 1 où r = max(m, n) alors : G aD p t (_G aD q tf (t) ) =_aGDq_t(G_aD_tpf (t))=G_aDp+q_t f (t)

2.3 Intégrales et dérivées fractionnaires au sens de

Riemann-Liouville

2.3.1 Intégrales d’ordre arbitraire

Si f est localement intégrable sur (c, +∞), puis la n-ième intégrale de f est donnée par :

D−n_c/t[f ](t) = ∫ t c ds1 ∫ s1 c ds2.... ∫ sn−1 c f (sn)dsn = 1 (n− 1)! ∫ t c (t− s)n−1f (s)ds

(35)

Pour presque pas tout t où −∞ ≤ c < t < ∞ et n ∈ N, puisque Γ(n) = (n − 1)!. On a une généralisation immédiate qui est l’intégrale de f d’ordre fractionnaire α > 0,

Définitions 2.1. L’intégrale à gauche et l’intégrale à droite au sens de Riemann-Liouville

d’ordre α > 0 de la fonction f ∈ L1_{(a, b) sont définies par :}

I_a/tα (f )(t) = 1 Γ(α) ∫ t a (t− τ)α−1f (τ )dτ, t ∈ (a, b], (2.34) et I_t/bα (f )(t) = 1 Γ(α) ∫ b t (τ − t)α−1f (τ )dτ, t ∈ [a, b), (2.35) respectivement

Remarque 2.7. Lorsque α = n∈ N, les définitions (2.34) et (2.35) sont identifiées respec-tivement avec les n-ième intégrales de la forme :

I_t/an (f )(t) = 1 (n− 1)! ∫ t a (t− τ)n−1f (τ )τ et I_t/bn (f )(t) = 1 (n− 1)! ∫ b t (τ − t)n−1f (τ )τ

Exemples 2.1. Considérons la fonction f (t) = (t− a)β_{. Alors}

I_a/tα (t− a)β = 1 Γ(α)

∫ t a

(t− τ)α−1(τ − a)βdτ (2.36)

d’après le changement de variable τ = a + (t− a)s, en aura I_a/tα (t− a)β = (t− a) α+β Γ(α) ∫ 1 0 (1− s)α−1sβds = B(α, β + 1) Γ(α) (t− a) α+β = Γ(β + 1) Γ(β + α + 1)(t− a) α+β _(2.37) Remarques 2.1.

(36)

Dérivées et intégrales fractionnaires chapitre 2 • On voit bien que c’est une généralisation du cas α = 1 car :

I_a/t1 (t− a)β = Γ(β + 1) Γ(β + 2)(t− a) β+1 = 1 (β + 1)(t− a) β+1

• La relation (2.37) justifie que l’intégrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville d’ordre α d’une constante est donnée par :

I_a/tα C = C

Γ(α + 1)(t− a)

α

(2.38) Proposition 2.8. Soient α et β deux nombres complexes et f continue sur [a, b]. Alors

i) I_a/tα

(

I_a/tβ f

)

= I_a/tα+βf, (Re(α > 0, Re(β > 0)) (2.39)

ii) d dt ( I_a/tα f)(t) = ( I_a/tα−1f ) (t), Re(α > 1) (2.40) iii) lim α−→0+ ( I_a/tα f)(t) = f (t), Re(α > 0) (2.41) Démonstration.

i) En utilisant le théorème de Fubini. On a

I_a/tα ( I_a/tβ f (t) ) = 1 Γ(α) ∫ t a (t− s)α−1 ( R aI β tf ) (s)ds = 1 Γ(α)Γ(β) ∫ t a ∫ s a (t− s)α−1(s− τ)β−1f (τ )dτ ds = 1 Γ(α)Γ(β) ∫ t a f (τ ) [∫ t τ (t− s)α−1(s− τ)β−1ds ] dτ.

D’après le changement de variable s = τ + (t− τ)u et la fonction Bêta d’Euler, on obtient ∫ t τ (t− s)α−1(s− τ)β−1ds = (t− τ)α+β−1 ∫ 1 0 (1− u)α−1uβ−1 = (t− τ)α+β−1Γ(α)Γ(β) Γ(α + β)

(37)

Dérivées et intégrales fractionnaires chapitre 2 D’où I_a/tα ( I_a/tβ f (t) ) = 1 Γ(α + β) ∫ t a f (τ )(t− τ)α+β−1dτ = ( I_a/tα+βf ) (t).

ii) Il suﬃt en utilisant les théorèmes classiques de dérivation d’une intégrale dépendant d’un paramètre et la relation fondamentale de la fonction Gamma d’Euler Γ(α) = (α− 1)Γ(α− 1).

iii) D’après (2.38), si C = 1, on peut écrire : (

I_a/tα 1)(t) = (t− a)

α

Γ(α + 1) −→ 1 quand α −→ 0

+

Alors, pour tout t fixé on a (I_a/tα f)(t)− (t− a) α Γ(α + 1)f (t) = _Γ(α)1 ∫_at(t− τ)α−1f (τ )dτ − 1 Γ(α) ∫ t a (t− τ)α−1f (t)dτ ≤ 1 Γ(α) ∫ t a (t− τ)α−1|f(τ) − f(t)| dτ = 1 Γ(α) ∫ t−δ a (t− τ)α−1|f(τ) − f(t)| dτ + 1 Γ(α) ∫ t t−δ (t− τ)α−1|f(τ) − f(t)| dτ (2.42) D’une part, f est une fonction continue dans [a, b] donc

(38)

Dérivées et intégrales fractionnaires chapitre 2 D’après (2.42),(2.43) et (2.44) on a (I_a/tα f)(t)− (t− a) α Γ(α + 1)f (t) ≤ _αΓ(α)1 [εδα+ 2M ((t− a)α− δα)] = 1 Γ(α + 1)[εδ α_{+ 2M ((t}_{− a)}α_{− δ}α_)] quand α−→ 0+_{, on obtient} lim α−→0+ (I_a/tα f)(t)− (t− a) α Γ(α + 1)f (t) ≤ ε autrement dit limα−→0+ ( I_a/tα f)(t)− (t− a) α Γ(α + 1)f (t) ≤ ε, ∀ε > 0 c’est-à dire que :

lim

α−→0+

(

I_a/tα f)(t) = f (t)

2.3.2 Dérivées d’ordre arbitraire

Définitions 2.2. La dérivée à gauche et la dérivée à droite au sens de Riemann-Liouville

d’ordre α > 0 de la fonction f ∈ L1(0, T ) sont définies par :

R aD α t(f )(t) = dn dtn [ I_a/tn−αf ] (t) = 1 Γ(n− α) dn dtn (∫ t a (t− τ)n−α−1f (τ )dτ ) , n = [α] + 1 (2.45) et R tD α b(f )(t) = (−1) ndn dtn [ I_t/bn−αf ] (t) = (−1) n Γ(n− α) dn dtn (∫ b t (τ − t)n−α−1f (τ )dτ ) , n = [α] + 1 (2.46) respectivement

En particulier, quand α = n∈ N, alors

R aD 0 tf (t) = R tD 0 bf (t) = f (t) R aD n tf (t) = f (n)_(t) _et R tD n bf (t) = (−1) n_f(n)_(t)

(39)

où f(n)(t) la dérivée classique de f (t) d’ordre n. Si 0 < α < 1 on a

R aD α t(f )(t) = 1 Γ(1− α) d dt (∫ t a (t− τ)−αf (τ )dτ ) , t > a (2.47) et R tD α b(f )(t) = −1 Γ(1− α) d dt (∫ b t (τ − t)−αf (τ )dτ ) , t < b (2.48) Remarques 2.2.

• Les deux opérateurs de l’intégration fractionnaire et la dérivation fractionnaire à gauche (resp-à droite) de Riemann-Liouville, sont utilisés dans le passé (resp-futur) de f .

• L’intégrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville d’ordre α > 0, c’est tout à fait la dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville d’ordre −α.

Exemples 2.2.

Considérons la fonction f (t) = (t− a)β_{. Alors la dérivée de Riemann-Liouville d’ordre}

α > 0 de f est donné par :

R aDtα(t− a)β = 1 Γ(n− α) dn dtn (∫ t a (t− τ)n−α−1(τ − a)βdτ ) = d n dtn [ Γ(β + 1) Γ(β + 1 + n− α)(t− a) β+n−α ] = Γ(β + 1) Γ(β + 1 + n− α) dn dtn [ (t− a)β+n−α] (2.49) Comme : dn dtn [ (t− a)β+n−α] = (β + n− α)(β + n − α − 1)...(β − α + 1)(t − a)β−α (2.50)

En remplaçant (2.50)dans (2.49), on obtient :

R aD α t(t− a) β = Γ(β + 1)(β + n− α)(β + n − α − 1)...(β − α + 1) Γ(β + 1 + n− α) (t− a) β−α = Γ(β + 1)(β + n− α)(β + n − α − 1)...(β − α + 1) (β + n− α)(β + n − α − 1)...(β − α + 1) (t− a) β−α = Γ(β + 1) Γ(β− α + 1)(t− a) β−α _(2.51)

(40)

Remarques 2.3.

• On voit bien que c’est une généralisation du cas α = 1 car :

R aD 1 t(t− a) β ₌ Γ(β + 1) Γ(β) (t− a) β−1 _{= β(t}_{− a)}β−1 ₌ d dt(t− a) β _(2.52)

• En remplaçant β = 0 dans (2.51), on obtient

R aD α t1 = (t− a)−α Γ(1− α)

c’est-à dire que la dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville d’ordre α d’une constante est donnée par :

R aD α tC = C Γ(1− α)(t− a) −α _(2.53)

donc la dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville d’ordre α d’une constante n’est ni nulle, ni constante.

2.3.3 Compositions

Proposition 2.9. (Composition avec les intégrales fractionnaires)

Pour p > 0 et t > 0 on a : R aD p t (_R aDt−pf (t) ) =R_aD_tp ( I_a/tp f (t) ) = f (t) (2.54)

c’est-à dire l’opérateur de dérivation fractionnaire au sens de Riemann-Liouville est un in-verse gauche de l’opérateur d’intégration fractionnaire au sens de Riemann-Liouville du même ordre.

Démonstration.

• D’une part si p = n ∈ N∗_{, donc} R aD n t ( I_a/tn f (t)) = d n dtn ∫ t a (t− τ)n−1 (n− 1)! f (τ )dτ = d dt ∫ t a f (τ )τ = f (t) • D’autre part si n − 1 ≤ p < n en utilisant la règle (2.39), on a

I_a/tn f (t) = I_a/tn−p

(

I_a/tp f (t)