Analyse des fissurations des matériaux composites et détermination de leur délaminage utilisant des capteurs piézo-électriques

ANALYSE DES FISSURATIONS DES MATÉRIAUX

COMPOSITES ET DÉTERMINATION DE LEUR

DÉLAMINAGE UTILISANT DES CAPTEURS PIÉZO

-ÉLECTRIQUES

Devant le jury:

Président: A.Bouchoucha Prof Université de Constantine

Rapporteur: B.Necib Prof Université de Constantine

Examinateurs: H.Boughouas MC Université de Constantine

F.Mili MC Université de Constantine

Constantine: 2005

MINISTER DE L’ESEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI- CONSTANTINE

FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

N

0

_d’ordre:

Série:

Mémoire

présenté pour l’obtention du diplôme de magister

Option

Construction mécanique

Par

Introduction générale

Il existe différentes familles des matériaux : les métaux, les plastiques, les composites, les matériaux sandwiches, les matériaux intelligents, etc.… Le développement et les changements rapides des produits, des pratiques technologiques et industrielles sont accompagnés par de nouvelles générations de matériaux. Parmi ces matériaux, les composites ne cessent d’évoluer vers des produits qui sont, soit le moins coûteux possible, soit le plus performant, ou bien les deux à la fois. De plus, dans un souci de protection de l’environnement et de santé publique, les composites tendent à intégrer un caractère écologique. Ces matériaux occupent aujourd’hui une place importante dans les produits manufacturables. Issus des résultas de la recherche et des besoins de l’industrie, ils se classent en deux catégories importantes : les stratifiés et les sandwiches. Le chois d’un matériau composite pour la réalisation d’une pièce mécanique n’est plus réservé à des applications spécifiques produites à faible unité comme les satellites, le sport de compétition, les voitures de lux… des domaines comme le génie civil, l’automobile, les loisirs envisagent désormais l’emploi de matériaux composite comme moyen d’innovation et d’augmentation des performances de leurs produits. La certification des nouvelles pièces est délicate en raison de changement radical des technologies utilisées, tant pour le dimensionnement que pour la fabrication. Aujourd’hui l’utilisation des matériaux composites occupent une place importante dans le domaine aérien, dans la fabrication d’une hélicoptère : en moyen de 25% à 30% de la masse est en composite fig (A), de plus un avion comme l’airbus est constitué de 20% de composite de la masse total à vide.

Le passage des matériaux métalliques aux matériaux composites engendre des coûts importants mais il s’agit en fait d’un investissement à moyen et long terme. L’inhomogénéité et l’anisotropie des matériaux composites rendent leurs mécanismes d’endommagement plus nombreux et plus complexes. Au sein d’une structure composite, on peut voir apparaître endommagement constitué de micro-décohèsions et de micro-fissures, des ruptures de pli, ruptures des fibres et des matrices, décohésion de l’interface….

Le délaminage des pli est un phénomène sensible qui peut apparaître à tout moment, mais comment le détecté ? L’opération de recherche sur les matériaux piézoélectriques entre dans le cadre plus large des matériaux « intelligents » et des structures multifonctionnelles, et s’intéresse, plus

spécialement, aux structures composites constituées de poutres et de plaques multi-couches dont le comportement varié leur confèrent des applications dans le domaine des technologies avancées (structures adaptatives, contrôle de formes et de vibrations en aéronautique et aérospatiale fig. (B), génie médical, etc.). L’intérêt majeur de ces structures composites réside dans leur capacité d’engendrer des déformations contrôlables par application de champs électriques appropriés ou de capter, de façon sensible, des sollicitations mécaniques ; ce qui ne pourrait pas être obtenu avec des matériaux classique.

De nombreux travaux de recherche ont traité le comportement élastique des matériaux orthotropes, et ainsi la résistance de ces derniers à la rupture, Laurrent.D et Pierre.L[7] présentent une approche pour l’analyse du délaminage par la mécanique de l’ endommagement auprès du bord d’une structure composite, ils utilisent des hypothèses de base « le bord est quasi -droit l’endommagement est concentré sur les interfaces entre les couches », il exploitent les résultats d’essais classiques de la mécanique de la rupture et par l’étude de l’initiation du délaminage auprès du bord libre d’une éprouvette en tension et en compression. Jean-luc.R [8] présente un modèle permet de décrire certaines transitions entre les différents endommagements, tout d’abord le modèle a permis confirmer que l’initiation et l’évolution du premier mode d’endommagement, la fissuration transverse, est principalement pilotée par la contrainte normale dans les couches désorientées du stratifié. De plus l’amorçage de ces fissures est facilité dans les stratifiés avec des plis à 900 épaisses. D.Grandidier & M.Potier-Ferry [9], présentent un outil numérique permet d’étudié la rupture en compression par microflambage plastique des composites à fibres longues. Le problème de microflambage est définit à l’échelle mésoscopique, ont introduisent une cinématique à double échelle dans le modèle homogénéisé proposé par (Drapier et al. 1994). Un élément fini spécifique associé à ce problème permet de rendre compte de l’influence sur le microflambage de l’ondulation initiale des fibres et du comportement non linéaire de la matrice mais aussi des paramètres structuraux (épaisseur des plis, séquence d’empilement, chargement). Cet outil numérique permet, à de très faibles coûts de calculs, de déterminer la rupture de diverses configurations de plis unidirectionnels par des calculs de charges maximales. L’étude de C.Corrine [10] consisté à adapter le processus de fabrication développé au l'Institut des Matériaux Avancés (J.R.C. Petten) pour des composites à matrice Si3N4 renforcée par des fibres de carbone, à un renfort de fibres de carbure de silicium de type Hi-Nicalon. Un deuxième objectif de cette recherche était la caractérisation mécanique de l'ensemble des composites élaborés afin d'analyser

l'influence des paramètres d'élaboration (température de frittage) et de la nature (fibres : C ou SiC) et des caractéristiques (interphase PyC) des constituants. T.Lorriot [11] donne des procédures de mise en oeuvre et d'interprétation d'essais de choc et de propagation de fissure par cyclage mécanique, ont été développées afin de mettre en évidence d'éventuels effets dynamiques sur les paramètres de rupture de matériaux composites Carbone/Carbone stratifiés (2D-C/C). Des précautions particulières ont été prises de manière à éliminer des bilans énergétiques relatifs aux énergies d'endommagement parasites se produisant en dehors des zones de propagation des entailles. Les comparaisons effectuées entre les résultats des essais montrent que les effets dynamiques liés à des impacts augmentent notablement les paramètres de rupture en retardant l'endommagement de la matrice par rapport à la rupture des fibres. En revanche, les cyclages mécaniques influent modestement sur l'accroissement de ces paramètres de rupture bien qu'ils contribuent à développer l'endommagement de la matrice. Un article de V.Calard et J.Lamon [12] expose une théorie de la fragmentation matricielle basée sur une population effective de défauts dans la matrice d'un composite unidirectionnel. De cette population de défauts, ils déduisent une population effective de contraintes à rupture par la théorie classique de la rupture en mécanique linéaire. Le comportement du minicomposite est alors simulé en discrétisant la matrice et en répartissant de manière aléatoire la population de contraintes à rupture. Différents lots de composites unidirectionnels, élaborés et testés au (Lissart, 1994), ont ainsi pu être simulés, ainsi que le modèle Aveston, Cooper et Kelly (ACK, 1971). D'autre part, les approches antérieures des composites unidirectionnels (ACK, Lissart, Lebrun) ont été comparées et interprétées en terme de populations de contraintes à rupture. PAYAN, Juliette [13] étudie le comportement endommageable de composites stratifié carbone/epoxy composé de plis unidirectionnels sous chargements statique et de fatigue. Le modèle présenté s'inscrit dans le cadre de la mécanique de l'endommagement; il est orthotrope et est écrit à l'échelle du pli, sous l'hypothèse contraintes planes; il est unifié pour chargement statique et de fatigue et il est simplifié grâce à un critère d'arrêt à la première rupture de pli. Il donne comme supposition l'état d'endommagement diffus et l'absence de macro-fissures: notamment de délaminages. Cette approche s'adapte aux structures type tube et aux contextes industriels de sécurité. Pour identifier ce modèle, diverses expériences ont été réalisées sur machine de traction conventionnelle et aussi sur une plate-forme de flexion 4 points sur sandwich développée pour l'étude. Cette dernière qui permet de générer de la compression sur une des peaux du sandwich sans instabilité, a permis de montrer grâce à des essais de cisaillement alterné le caractère

cinématique de la loi d'écrouissage pour le cisaillement. Pour la fatigue, la seule sollicitation principalement étudiée est celle de cisaillement; la loi d'évolution de l'endommagement proposée dépend du niveau maximal et de l'amplitude de chargement. Un faible nombre d'essai a permis une première identification et une limite d'endurance a été observée. Malgré ces travaux de recherche qui traitent le comportement élastique des matériaux orthotropes, ainsi que sa résistance à la rupture, le risque des ruines des structures composites reste une force majeure dans l’industrie moderne (surtout dans le domaine aérien), touts les modélisations et simulassions restes insuffisantes pour les dimensionnements exactes des matériaux composites et sandwiches ; le volume occupé par la porosité, les conditions aux limites, l’alignement des fibres dans la matrice, les simulations des conditions de travail des pièces…rendrent les conceptions des pièces insuffisantes.

Nous avons choisi dans notre travail les matériaux piézoélectriques, sont des matériaux produisent une tension électrique lorsqu’ils subissent une contrainte mécanique. Soumis à un courant électrique ils peuvent aussi se déformer mécaniquement. L’emplacement des pastilles piézoélectriques de type PZT sur une structure composite permet de détecter différents types de défauts. Ce travail est composé de cinq chapitres et trois annexes.

Dans le premier chapitre on trouve des définitions sur les matériaux orthotropes, précisément les composites, les sandwiches, et les matériaux piézoélectriques ; leurs procédés d’élaboration, avec les éléments de base de ces matériaux.

Dans le deuxième chapitre nous avons étudié les théories de l’élasticité des matériaux composites et avancés « la lois de Hook généralisé et les calcules d’homogénéisation des matériaux composites » , nous avons présenté aussi le comportement électromécanique des matériaux piézoélectriques avec la définition de couplage électromécanique qui relie les grandeurs électrique aux grandeurs mécaniques suivant les lois de la piézoélectricité, ainsi que la méthode de calcule de la capacité statique.

Dans le troisième chapitre on trouvera l’analyse des stratifiés comportant un matériau piézoélectrique, mais avant d’étudier cette dernière il faut présenter une étude complète de la théorie classique des stratifiées, ainsi que les différent types des stratifiées.

Dans le quatrième chapitre nous avons étudié l’analyse de fissuration des composites d’après les différents cas de chargement possibles (longitudinal et transversal), proportionnelles ou non proportionnelles, en tenant compte les différents types des matrices et renfort (matrice fragile ou bien fibres fragile) et comment la fissure se propage dans la matrice. Dans cette partie nous avons définit la fissuration d’un stratifié Verre-E/Epoxyde constitue par des couches unidirectionnelles.

Dans le cinquième chapitre nous trouvons la surveillance d’un délaminage par une structure intelligente. L’emplacement des pastilles piézoélectriques de type PZT sur une structure composite permet de détecter différents types de défauts, pour cela nous avons considéré dans notre étude une poutre intelligente constituée de 5 transducteurs piézoélectriques situés au dessus d’une structure composite carbone/époxyde (12 plis unidirectionnels). L’utilisation de la méthode des éléments finis nous permet de calculer les grandeurs cinématiques et dynamiques au noeuds de discrétisation, le calcul de la capacité électrique d’un piézoélectrique est fait par la connaissance de ces grandeurs. A partir de la capacité électrique on peut extraire la capacité statique. Des délaminages de différentes longueurs (selon l’emplacement des transducteurs) entre le 8em _{el 9}em pli sont supposées. Cette étude permet de montrer la capacité des matériaux piézoélectrique peuvent de détecter les délaminages produits dans les structures composites, on peut alors les utilisés comme des capteurs de santé, surtout dans les domaines sensibles.

CHAPITRE I

LES MATERIAUX COMPOSITES ET AVANCES

I.1) Matériaux composite :

I.1.2) Définitions:

Classiquement, les matériaux composites sont définis comme la constitution de l’assemblage de deux ou plusieurs matériaux de nature différente, se complétant et permettant d’aboutir à un matériau dont l’ensemble des performances est supérieur à celui des composants pris séparément [2]. D’une manière générale on distingue deux phases : une phase continue appelée « la matrice » et une phase discontinue appelée « le renfort ou matériau renforçant». La matrice est considérée comme le constituant qui enrobe les fibres. Ces dernières agissent comme un renfort dont l’orientation détermine l’anisotropie du matériau. Cet aspect constitue une des caractéristiques fondamentales des matériaux composites. L’assemblage final ayant des propriétés supérieures aux propriétés de chacun des matériaux constitutifs.

D’une manière générale, le matériau composite c’est l’ensemble fibre/matrice fig (1-1). Le principal intérêt de l'utilisation des composites provient de ses excellentes caractéristiques spécifiques (module divisé par la masse volumique). Parmi les composites, on distingue deux types : les composites grande diffusion (GD) et les composites haute performance (HP).

Les GD :

Représentent 95% des composites utilisés. Ce sont en général des plastiques armés ou des plastiques renforcés, le taux de renfort avoisinant 30%. Dans 90% des cas, l'anisotropie n'existe pas ou n'est pas maîtrisée car les

renforts sont des fibres courtes. Les principaux constituants de bases sont les résines polyesters (95% des résines thermodurcissables) avec des fibres de verre (plus de 99% des renforts utilisés). Renforts et matrices sont à des coûts voisins.

Les HP : Principalement utilisés dans l'aéronautique sont d'un coût élevé. Les

renforts sont plutôt des fibres longues. Le taux de renfort est supérieur à 50%, et ce sont les renforts qui influent sur le coût. Les propriétés mécaniques (résistance mécanique et rigidité) sont largement supérieures à sels des métaux, contrairement aux GD. Des méthodes de calculs de structures et d'homogénéisations ont été développées pour les HP. On utilisera des composites à fibres longues et à matrice organique et pour les garnitures, capotages on utilisera des plastiques renforcés

I.1.2) La matrice :

La matrice a pour rôle de lier les fibres renforts, répartir les contraintes sollicitées (résistance à la compression ou à la flexion), la tenue chimique de la structure et de donner la forme désirée au produit. Par définition, c'est un polymère ou une résine organique. La maîtrise de l’élaboration de matériaux composites nécessite la connaissance des propriétés individuelles des constituants de base des matériaux. La matrice est facilement déformable et assure la protection chimique des fibres on peut retrouver les différentes familles des matrices dans l’organigramme présenté si dessous:

Matrice

Organique

_Minérales

Thermodurcissable Thermoplastique Élastomèr

e

Céramique Métallique

Borure

Carbure

On utilise actuellement surtout des résines thermodurcissables (TD) que l'on associe à des fibres longues, mais l'emploi de polymères thermoplastiques (TP) renforcés de fibres courtes se développe fortement. Il est important de bien situer les différences fondamentales de ces deux types de matrices.

La structure des (TP) se présente sous forme de chaînes linéaires, il faut les chauffer pour les mettre en forme (les chaînes se plient alors), et les refroidir pour les fixer (les chaînes se bloquent). Cette opération est réversible .

I.1.2.1) Les résines thermodurcissables :

Polyesters insaturés :

C'est la résine la plus utilisée dans l'application composite de grande distribution. Une résine de polyester insaturé contenant un monomère insaturé (généralement le styrène) est réticulée à température ambiante par addition d’un catalyseur de type peroxyde organique et d’un accélérateur. Elle passe successivement de l’état liquide visqueux initial à l’état de gel, puis à l’état de solide infusible. La réaction est exothermique et la température de la résine augmente progressivement depuis le gel jusqu’à un maximum pour redescendre ensuite lentement à la température ambiante. Le durcissement sera d’autant plus rapide ou, si l’on préfère, le temps nécessaire dans le moule sera d’autant plus court que la courbe de température en fonction du temps se rapprochera davantage de la verticale. La réaction de durcissement dépend de la réactivité de la résine, de la forme de l’objet fabriqué (épaisseur, etc.), de la nature et du dosage du système catalytique.

Il existe différents types de résines :

Orthophtalique

: la plus courante ;

Isophtalique : qui donne une meilleure tenue à l'humidité ;

Chlorée : apportant une auto extinguibilité ;

Bisphénol : possédant de bonne caractéristiques chimiques et thermiques.

Avantage Inconvénients

• Bonne accroche sur les fibres de verre

• Translucidité

• Bonne résistance chimique

• Mise en œuvre facile

• Tenue en température (>1500C)

• Prix réduit

• inflammabilité (sauf résine chlorée)

• Tenue vapeur et eau bouillante

• Retrait important (de 6℅ à 15℅)

• Durée de conservation en pot limitée

• Emission de styrène

Epoxydes :

Résines plus performantes sur le plan mécanique et retrait plus faible que les résines polyesters. Souvent utilisées pour des stratifiés à tolérances serrées. Joue également un rôle important dans la construction de pièces pour l'industrie aéronautique où le rapport résistance/poids est un critère essentiel. Les conditions de travail doivent être contrôlées, les proportions doivent être respectées scrupuleusement. Elles résultent de la polyaddition de l'épichlorhydrine sur un polyalcool et constitue la résine type des composites hautes performances HP. On distingue deux classes de résines en fonction: - Du durcissement à chaud ou à froid ; - De la tenue en température (120-130°C, ou 180-200°C).

Avantages Inconvénients

• Tenue mécanique, thermique, chimique et fatigue

• Faible retrait (1℅ à 2℅)

• Excellente adhérence sur fibres

• Auto-extinguibilité

• Mise en œuvre facile, sans solvant

• Vieillissement sous température

• Prix élevé

• Sensibilité à l’humidité

• Sensibilité aux chocs

• Temps de polymérisation

Vinylesters :

On peut la considérer comme une variante des polyesters produite à partir d'acides acryliques. Elles possèdent une bonne résistance à la fatigue et un excellent comportement à la corrosion, mais demeure combustible.

Phénoliques :

Elles sont issues de la polycondensation du phénol et du formol se caractérise par une bonne tenue au feu, sans fumée. Elles restent fragiles, sensibles à l'humidité, difficiles à colorer et à mettre en oeuvre.

Polyuréthannes et polyurées :

Dans l'application composite, on utilise surtout des formules élastomériques dont la faible viscosité permet un bon remplissage du moule. Les constituants sont livrés à l'état de prépolymères liquides :

- Polyols + polyisocyanates = polyuréthannes ; - Polyéthers + polyamines = polyurées.

Avantages Inconvénients

• Facilité de moulage in situ

• Tenue chimique

• Vieillissement

• Astaticité

• Résistance mécanique réduit

• compatibilité

• Coloration en masse difficile

Polyimides :

Ces résines sont surtout utilisées dans les composites HP, lorsque l'on cherche une bonne stabilité sous hautes températures (> 250°C).

Elles restent toutefois très onéreuses et difficiles à mettre en oeuvre.

Bismaldéides :

Elles offrent une bonne tenue à la fois au choc et en température, mais restent difficiles à mettre en oeuvre.

Matrice TD ρ [Kg.m2] E [Mpa] G [Mpa] υ σr [Mpa] A [℅] ΔT Epoxyde 1200 4500 1600 0.4 130 2 11.10-3 Phénolique 1300 3000 1100 0.4 70 2.5 10-3 Polyester 1200 4000 1400 0.4 80 2.5 8.10-3 Polycarbonate 1200 2400 0.35 60 6.10-3 Vinylesters 1150 3300 75 4 5.10-3 Silicone 1100 2200 0.5 35 Uréthanne 1100 700-7000 30 100 polyimide 1400 (4-19)103 1100 0.35 70 1 8.10-3

ρ

:Masse volumique [Kg.m2]

E

: Module d’élasticité longitudinal [Mpa]

G

: Module de cisaillement [Mpa]

υ

: Cœfficient de poison

r

σ

: Contrainte de rupture en traction [Mpa]

A

: Allongement à rupture [℅]

T

∆

: Cœfficient de dilatation thermique

Tableau I.3 : Caractéristiques des Polyuréthannes

I.1.2.2) Les matrices thermoplastiques :

Les polymères utilisés sont essentiellement des thermoplastiques techniques qui présentent à l'état vierge de bonnes caractéristiques mécaniques. Un renforcement de fibres courtes leur confère une tenue thermique et mécanique améliorée et, une bonne stabilité dimensionnelle.

Polyamide (PA) : tenue au choc, bonne résistance à la fatigue et aux

hydrocarbures;

Polytéréphtalate éthylénique et butylénique (PET, PBT) : bonne rigidité, bonne

ténacité ;

Polycarbonate (PC) : tenue au choc ;

Polysulfure de phénylène (PPS) : résistance à l'hydrolyse ;

Polyoxyméthylène (POM) : bonne tenue à la fatigue ;

Polysulforés (PSU et PPS) : bonne stabilité chimique et à l'hydrolyse, peu de

fluage, tenue: au chaud ;

Polypropylène (PP) : peu onéreux et assez stable en température, mais

combustible. Matrice Tp ρ [Kg.m2] E [Mpa] υ σr [Mpa] A [℅] ΔT PP 900 1200 0.4 30 20-400 9.10-3 PPS 1300 4000 65 100 5.10-3 PA 1100 2000 0.35 70 200 8.10-3 PES 1350 3000 - 85 60 6.10-3 PEI 1150 3300 - 105 60 6.10-3 PEEK 1300 4000 - 90 50 5.10-3

I.1.3) Le renfort :

Armature, squelette, a pour rôle d’assurer la tenue mécanique du composite et est souvent de nature filamentaire : fibres organiques ou inorganiques. Les fibres sont constituées par plusieurs centaines ou milliers de filaments de diamètres variant de 5 à 15 μm, ce qui permet de traiter les mèches sur des machines textiles. Les différents types de renforts sont cités dans l’organigramme ci-dessous :

Les structures composites sont anisotropes. La plupart des renforts travaillent bien en traction, mais offrent de moins bonnes performances en compression et cisaillement. Il est donc impératif de jouer sur la texture et la géométrie des renforts pour créer une architecture adaptée.

Il existe différentes géométries et textures de renforts :

I.1.3.1) Les Fibre de verre :

Le verre possède une très bonne résistance à la rupture dépassant même celle de certains métaux. Cependant, le verre est un matériau très fragile du fait de sa forte sensibilité aux microfissures. Cette fragilité diminue lorsque le verre est sous forme de fibre puisque les microfissures sont moins nombreuses, ce qui lui confère de bonnes performances. Elles constituent le renfort essentiel des composites de grande diffusion. Elle est obtenue à partir de sable (silice) et d'additifs (alumine, carbonate de chaux, magnésie, oxyde de bore). On distingue trois types de fibres :

E

: Pour les composites de grande diffusion et les applications courantes ;

R

: Pour les composites hautes performances ;

D

: Pour la fabrication de circuits imprimés (propriétés diélectriques).

Renfort

Organiques

Minéraux

Artificiels

Végétaux

Céramiques

Métalliques

Polyesters

Aramides

Bois

Coton papier

Verre

Carbone

Bore

Figure I.3 : Architecture des renforts

I.1.3.2) Les Fibre de carbone :

La fibre de carbone est une forme de graphite dans laquelle les feuilles, formées de plans d'atomes de carbone liés en cycles hexagonaux, sont longues et fines. On peut les imaginer comme des rubans de graphite. Des paquets de ces rubans s'assemblent pour former des fibres, d'où le nom "fibres de carbone". Une fibre de carbone est préparée à partir de fibres de polymères organiques. Ces polymères s'allongent et forment des fils parallèles devenant ainsi les axes de fibres.

Ces polymères sont le plus souvent poly-acrylonitriles. Les polymères sont ensuite chauffés à haute température (environ 1500°C) sous atmosphère inerte et subissent une pyrolyse qui les transforme en fibres de carbone. Si pendant le traitement la température dépasse 25000_{C, la fibre de carbone} formera du graphite. Malgré sa finesse, la fibre de carbone est un matériau très résistant et il faut lui appliquer une grande force pour la rompre. Elle est très rigide mais peut s'étirer ou se comprimer. Ces fibres ne sont pas utilisées telles quelles. On les utilise pour renforcer des matériaux comme les résines époxy et d'autres polymères thermodurcissables de manière à obtenir des « matériaux composites ». Les composites renforcés par des fibres de carbone sont très résistants par rapport à leur poids. Ils sont souvent plus résistants que l'acier, mais plus légers. De ce fait, ils peuvent remplacer les métaux dans beaucoup d'applications, par exemple des parties d'avions ou de navette spatiale, ou entrer dans la fabrication de raquettes de tennis, de clubs de golf ou de parties de bateaux.

On distingue deux types de fibres :

Fibres haute résistance (HR) : pour une combustion de 1000 à 1500 °C ;

Fibres haut module (HM) : pour une température de combustion de 1800 à

2000°C.

I.1.3.3) Les fibres de bore :

Fibres de haut module et insensibles à l'oxydation à hautes températures, elles sont obtenues par dépôt en phase gazeuse sur un substrat en tungstène.

I.1.3.4) Les Fibre d'aramide :

La fibre d'aramide est issue de la chimie des polyamides aromatiques. Il est possible de trouver deux types de fibres d'aramide de rigidités différentes :

Les fibres bas module : utilisées pour les câbles et les gilets pare-balles ;

Les fibres haut module : employées dans le renforcement pour les composites

hautes performances.

I.1.3.5) Les Fibre de silice (ou de quartz) :

Elles sont produites comme le verre, par fusion, et sont essentiellement utilisées pour leur haute tenue chimique et thermique dans les tuyères pour moteur de fusée.

I.1.3.6) Les Fibres de polyéthylène de haut module :

Elles présentent une très bonne résistance à la traction mais une mauvaise mouillabilité. Pour des structures peu sollicitées, on peut encore utiliser des fibres synthétiques courantes de polyamide ou polyester

.

I.1.4) L’interface :

En plus de ces deux constituants de base, il faut rajouter : une interface qui assure la compatibilité renfort/matrice, qui transmet les contraintes de l'un à l’autre sans déplacement relatif. Bonne adhérence en couche fine. Ces produits chimiques entrent aussi dans la composition du composite, qui peuvent jouer sur le comportement mécanique, mais n'interviennent pratiquement jamais dans le calcul de structure composite.

Couche+ : couche supérieur Couche- : couche inférieur

Figure I.7 : Interface

I.1.5) Les plis composites :

I.1.5.1) Les plis unidirectionnels (Monocouches) :

Les monocouches représentent l'élément de base de la structure composite. Les différents types de monocouches sont caractérisés par la forme du renfort : à fibres longues (unidirectionnelles UD, réparties aléatoirement), à fibres tissées, à fibres courtes. Dans une nappe UD, les fibres sont assemblées parallèlement les unes par rapport aux autres à l'aide d'une trame très légère. Taux de déséquilibre très grand.

I.1.5.2) Les plis équilibrés (tissés équilibrés) :

Les tissus se composent de fils de chaîne et de trame perpendiculaires entres eux. Le mode d'entrecroisement ou armure les caractérise.

Dans l’industrie en peut trouver plusieurs types de ces tissé parmi eux on distinguer :

a) Toile ou taffetas :

Chaque fil de chaîne passe dessus puis dessous chaque fil de trame, et réciproquement. Les tissus présentent une bonne planéité et une relative

Figure I.9 : Tissé équilibré

θ

x

1

2

y

3,z

rigidité, mais sont peu déformables pour la mise en oeuvre. Les nombreux entrecroisements successifs génèrent un embuvage important et réduisent les propriétés mécaniques.

a) Serge :

Chaque fil de chaîne flotte au dessus de plusieurs (n) fils de trame et chaque fil de trame flotte au dessus de (m) fils de chaîne. Armure de plus grande souplesse que le taffetas ayant une bonne densité de fils.

b) Satin :

Chaque fil de chaîne flotte au dessus de plusieurs (n-1) fils de trame et réciproquement. Ces tissus ont des aspects différents de chaque côté. Ces tissus sont assez souples et adaptés à la mise en forme de pièces à surfaces complexes.

Ce type de tissus présente une forte masse spécifique.

Figure I.10 : Taffetas

Figure I.11 : Serge

Comme un tissu est difficilement déformable sur une surface gauche, on réalise également pour des utilisations spécifiques des armures bi ou tridimensionnelles.

Il est également possible de réaliser des structures de renforts hybrides en tissant des fibres de natures différentes ou, en superposant des tissus ou nappes de renforts de fibres différentes.

I.1.6) les stratifies :

Un stratifié est constitué d'un empilement des plis ayant chacun une orientation propre par rapport à un référentiel commun aux couches et désigné comme le référentiel du stratifié. Le choix de l'empilement et plus particulièrement des orientations permettra d'avoir des propriétés mécaniques spécifiques.

Figure I.13.a : Tissu multiaxial Figure I.13.b : Tissu 3D ou tresse

I.2) Les matériaux sandwichs :

Les structures dites « sandwiche » occupent un large créneau de la construction des pièces composites. Elles apparaissent dans quasiment tous les domaines d’application. Historiquement ce sont les premières structures composites allégées et performantes. Dans la majorité des cas on doit les confectionner dans un but bien spécifique ; cependant, certains matériaux sandwiches sont disponibles dans le commerce sous forme de demi-produits [5]. Les sandwiche sont des matériaux composés de deux parties différents, l’une s’appelle : « revêtement (semelles ou peaux) », et l’autre : « cœur (ou âme) ». La semelles c’est une partie de grande rigidité et de faible épaisseur enveloppant le cour une de forte épaisseur et faible résistance fig (18-1).

100

10

≤

≤

p c

e

e

L'ensemble forme une structure d'une grande légèreté. Le matériau sandwich possède une grande légèreté en flexion et c'est un excellent isolant thermique.

I.2.1) Propriétés des matériaux sandwiches :

I.2.1.1) Avantages :

v Une grande légèreté

v Une grande rigidité de flexion due à l’écartement des semelles (augmentation du moment quadratique de flexion)

v

Excellents caractéristiques d’isolation thermique

e

c

e

_p

Peaux

Coeur

I.2.1.2) Inconvénients :

v Mauvaise isolation acoustique (n’amortissent pas).

v La tenue au feu n’est pas bonne pour certaines catégories d’âmes.

v Les risques de flambement sot plus élevés que pour les structures classiques.

I.2.2) Matériaux constitutives d’un sandwiche :

Les revêtements sont en matériaux de nature très diverse, les matériaux constituant le coeur étant choisis aussi légers que possible.

On peut citer comme couples matériaux compatibles pour constituer le sandwich :

revêtement cour

Métal stratifiés /contreplaqués

thermoplastiques/amiante/ciment

Matériaux expansés

Métal stratifié

Plaque nervurée en métal stratifié

Contreplaqué stratifié

Planches de bois/carton imprégné

Aluminium stratifié

Aluminium déployé

I.3) Matériau piézoélectrique :

Piézo : Est un préfixe grec qui signifie serrer ou presser.

L’opération de recherche sur les matériaux piézoélectriques entre dans le cadre plus large des matériaux « intelligents » et des structures multifonctionnelles, et s’intéresse, plus spécialement, aux structures piézoélectriques constituées de poutres et de plaques multi-couches dont le comportement varié leur confèrent des applications dans le domaine des technologiques avancées (structures adaptatives, contrôle de formes et de vibrations en aéronautique et aérospatiale, génie médical, etc.). L’intérêt majeur de ces structures réside dans leur capacité d’engendrer des déformations contrôlables par application de champs électriques appropriés ou de capter, de façon sensible, des sollicitations mécaniques ; ce qui ne pourrait pas être obtenu avec des matériaux non classiques.

I.3.1) Les Ziricono-Titanates de Plomb (PZT) :

Les premiers matériaux piézoélectriques à base de Ziricono-Titanate de plomb (PZT) ont été élaborés dés 1954. Les excellentes propriétés de ces céramiques ont été mises en évidence par Jaffe, Roth et Mazullo [17]. Aujourd’hui les PZT entrent dans la fabrication de nombreux transducteurs ferroélectriques. Comme BaTiO3 les matériaux PZT, de formule générale PbZr1-xTixO3 (avec

0

≤

x

≤

1

), cristallisent dans la structure perovskite ABO3.

I.3.2) La piézoélectricité :

Certains cristaux ont la propriété de se polariser sous l’influence d’une contrainte mécanique : c’est l’effet piézoélectrique directe fig(19-1). L’effet piézoélectrique est réversible : ces mêmes cristaux se déforment lorsqu’ils sont soumis à un champ électrique.

I.3.2.1) Effet directe : sous l’effet d’une contrainte, il apparaît des charges

électriques.

I.3.2.2) Effet inverse: l’application d’une tension engendre une déformation.

Ce phénomène s’observe uniquement dans les matériaux non conducteurs. Le déplacement des charges se fait dans une direction privilégiée sous les efforts de traction ou de compression dans la structure cristalline de la céramique.

I.3.3) Symétrie et piézoélectricité :

A l’échelle cristalline, la piézoélectricité se manifeste par une polarisation de la maille. A l’échelle de la maille, elle résulte de la réaction de dipôles internes par séparation du centre de gravité des charges positives et de celui des charges

(a) Effet directe

(b) Effet verce

négatives suite aux déformations sous l’action de contraintes. Les propriétés de symétrie des cristaux ont une importance fondamentale pour l’existence ou non de la piézoélectricité. Tout corps présentent un centre de symétrie ne peut pas être piézoélectrique, alors on peut dire que les cristaux piézoélectriques sont des corps ne possédant pas de centre de symétrie (Corps non centrosymétrique) fig (1-20).

I.3.4) La ferroélectricité :

Pour certaines classes de cristaux piézoélectriques, la polarisation spontanée du matériau varie en fonction de l’application d’un champ extérieur. Ces corps sont nommés cristaux ferroélectriques. Les céramiques polycristallines ferroélectriques sont formées de joints de grain. Chaque grain est divisé en domaines au sein desquels les dipôles sont orientés dans la même direction. Chaque domaine présente une polarisation microscopique spontanée mais leur répartition dan le matériau est aléatoire : le matériau est donc globalement non polaire. La frontière entre les domaines est appelée mur de domaine. La structure cristalline définit les angles formées entre les axes de polarisation de chaque domaine :(710_{, 91}0_{, 109}0_{, 180}0_{) fig (1-21).}

(a) : Corps centrosymétrique

(b) : Corps non centrosymétrique

Figure I.18 : Représentation de la piézoélectricité

I.3.5) Classification des cristaux céramiques :

Sur les 32 classes cristallines

[17]

on peut les classer comme :

I.3.6) Polarisation :

Si un champ extérieur suffisamment intense est appliqué au matériau, il se polarise : les domaines, orientés dans le sens du champ, grossissent au détriment des autres. Plus le champ est élevé, plus le nombre des dipôles orientés est grand, ce qui contribue à l’augmentation progressive de la polarisation. Ce phénomène se manifeste par un cycle d’hystérésis

P

=

f

( )

E

. La polarisation est saturée à

±

P

_s pour des valeurs de champ très importantes et la polarisation rémanente

±

P

_r correspond à la valeur de la polarisation à champ nul.

P

s

P

_r

P

P

s

P

r

E

E

c

-E

c P : Polarisation Ps : Polarisation spontanée Pr : Polarisation rémanente E : Champ électrique Ec : Champ correctif 32 classes cristallines 11 cenntrosymetriques 21 non-cenntrosymetriques

20 piézoélectriques 1 non piézoélectrique

10 non pyroélectriques + non ferroélectriques

10 pyroélectrique

Ferroélectriques Non ferroélectriques

Figure I.20 : Classification des cristaux

I.3.7) Température de curie :

La polarisation rémanente induite par orientation des dipôles n’est stable que dans un domaine de température donné. Au-delà d’une certaine température appelée température de curie, il se produit une transition de phase. Le matériau passe de l’état ferroélectrique à l’état paraéléctrique se qui se traduit par un pic sur la courbe de la permittivité en fonction de la température.

CHAPITRE II

THEORIES D’ELASTICITE DES MATERIAUX ORTHOTROPES

ET AVANCES

Une structure composite est construite de plusieurs plis unidirectionnels dans un ordre indiqué d'orientation. C'est-à-dire, les directions principales de chaque pli font un angle différent avec l'ensemble des axes de référence. Chaque pli est orthotrope et obéit à des relations contrainte/déformation qui se rapportent aux axes principaux. Cependant, pour l'analyse et la synthèse des structures stratifiées il est nécessaire de trouver la relation de contrainte/déformation pour un système de coordonnée commun. Par conséquent, les matrices de rigidité et de souplesse pour un stratifié orthotrope dans un système d’axes de référence arbitraires sont étudiées dans cette partie.

II.1) La loi de Hook les matériaux orthotropes :

3

σ

33

σ

32

σ

31

σ

13

σ

11

σ

23

σ

21

σ

12

1

σ

22

2

Dans le cadre de ce travail, seuls les problèmes élastiques linéaires seront traités. La relation entre contraintes et déformations peut être caractérisée par « loi du Hook généralisé ».

Mathématiquement on peut l’exprimé par :

kl ijkl ij

E

ε

σ

=

(2-1)

Figure II.1 : Composantes d’un tenseur de contraintes

Où les composants du tenseur de quatrième-ordre

E

_ijkl sont connus comme constantes élastiques.

Chaque composant de contrainte lié à chacun des neuf composants du tenseur de déformation, il y’a 81 composants élastiques définissant le tenseur

E

_ijkl. Ce tenseur présente certaines propriétés de symétrie qui ramènent tout le nombre des composants indépendants à 21 pour un matériau qui n'a aucun axe de symétrie. Un tel matériau s'appelle « aelotrope ou anisotrope ». Le premier ensemble de réductions des constantes élastiques est obtenu en considérant la symétrie de la déformation. On peut facilement montrer qu'en raison de la symétrie du tenseur de contrainte, le tenseur d’élasticité

E

_ijkl devient comme suit :

ijlk ijkl

E

E

=

(2-2) Ce qui ramènera le nombre de constantes de 81 à 54.

La symétrie de

E

_ijkl permet de nous donner une seconde réduction des constantes :

jikl ijkl

E

E

=

(2-3) Le nombre des constantes réduit à 36. La réduction supplémentaire du nombre des constantes indépendantes d’un total de 21, peut être accomplie seulement par la considération de l’énergie de déformation des matériaux élastiques :

)

(

_ij

U

U

=

ε

(2-4) Avec la propriété : ij ij

U

σ

ε

=

∂

∂

_(2-5)

Alors d’après l’équation (2-1) on a :

kl ijkl ij

E

U

ε

ε

=

∂

∂

_(2-6)

La dérivée partielle de l’équation (2-6) par rapport à

ε

_kl donne :

ijkl ij kl

E

U

=

∂

∂

∂

∂

)

(

ε

ε

(2-7) Echangeons les indices de l’équation (2-7) :

klij kl ij

E

U

=

∂

∂

∂

∂

)

(

ε

ε

(2-8)

Avec :

(

)

(

)

ij kl kl ij

U

U

ε

ε

ε

ε

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

_(2-9)

Il est clair que :

klij ijkl

E

E

=

(2-10) La première paire d'indice dans le tenseur d'élasticité peut être échangée avec la deuxième paire sans n'importe quel changement des valeurs. Cette opération ramène le nombre des constants élastiques indépendants pour un matériau anisotrope seulement à 21.

Ces 21 constantes traduisent la réponse des forces appliquées sur un matériau anisotrope. Il convient de noter que, puisque les composants du tenseur de contrainte et du tenseur de déformation sont en fonction de l'orientation des axes de référence, les éléments du tenseur d'élasticité seront également des fonctions d'orientation des axes.

Le tenseur d'élasticité est un tenseur de quatrième ordre et par conséquent sa loi de transformation à un autre système s’écrit comme suit :

ijkl ls kr jn im mnrs

a

a

a

a

E

E

'

=

_(2-11)

α

cos

=

im

a

' ijkl

E

: Tenseur d'élasticité dans le système d'axe transformé x'.

ijkl

E

: Tenseur d'élasticité dans le système d'axe original x.

im

a

: Les cosinus de direction du nouvel axe en ce qui concerne l'axe original.

Une fois que les constantes élastiques sont connues dans un système de référence du même rang, la loi de transformation [l’équation (2-11)] nous permet de calculer les constantes élastiques dans n'importe quel autre système de coordonnées. En général, les constantes élastiques se changent avec la transformation, mais sous quelques transformations spécifiques. Les constantes élastiques peuvent demeurer sans changement en raison des symétries additionnelles existant dans les propriétés des matériaux.

II.2) Transformation des axes par rapport aux plans de symétrie :

Considérons que le plan (x1-x2) est un plan de symétrie d’un matériau orthotrope fig (II-2). Cette symétrie admet que les constantes élastiques ne changent pas sous la transformation du même rang :

3 ' 3 2 ' 2 1 ' 1

x

,

x

x

,

x

x

x

=

=

=

−

(2-12) Les cosinus de direction correspondants, peuvent être s’expriment comme suit:

' 1

x

x

₂'

x

3' 1

x

a

11

=

1

a

12

=

0

a

13

=

0

2

x

a

21

=

0

a

22

=

1

a

23

=

0

3

x

a

31

=

0

a

32

=

0

a

33

=

−

1

L’invariance des propriétés élastiques sous la transformation du même rang impose certaines restrictions au tenseur d'élasticité. Ces restrictions sont réellement les conditions nécessaires pour satisfaire la condition d'invariance

ijkl ijkl

E

E

'

=

qui est obtenue, en appliquant les lois de transformation de l’équation (2-11). À cette dernière, nous examinons la dépendance des composants '

ijkl

E

par rapport à

E

_ijkl:

1113 3 1 1 1 ' 1113 1112 2 1 1 1 ' 1112 1111 1 1 1 1 ' 1111

E

a

a

a

a

E

E

E

a

a

a

a

E

E

E

a

a

a

a

E

E

l k j i ijkl l k j i ijkl l k j i ijkl

−

=

=

=

=

=

=

(2-13)

Puisqu’il y a seulement trois cosinus de direction non nuls tableau (II-1), l'expansion de la loi de transformation est simplifiée. Le résultat donné de l’équation (2-13) montre que les conditions d'invariance sont satisfaites pour les deux premiers composants examinés, mais pas pour le troisième. Pour satisfaire la condition d'invariance pour le troisième, il est nécessaire que

E

₁₁₁₃ soiot nul.

D'une façon semblable, la condition sans changement des constantes élastiques sous la transformation du même rang dans l’équation (2-12) admet que huit des 21 constantes élastiques devraient être nulles.

Figure II.2 : (x

1

-x

2

) plan de symétrie

' 2 2

, X

X

' 1 1

, X

X

' 3

X

3

X

0

2333 1333 1223 1213 2213 1123 2223 1113

=

E

=

E

=

E

=

E

=

E

=

E

=

E

=

E

(2-14)

Considérons maintenant que (x2-x3) est le deuxième plan de la symétrie fig (II-3). Ceci signifie que les constantes élastiques ne changent pas sous la transformation du même rang fig (II-15) :

3 ' 3 2 ' 2 1 ' 1

x

,

x

x

,

x

x

x

=

−

=

=

(2-15)

Les cosinus de direction correspondant aux transformations précédentes sont :

' 1

x

x

₂'

x

₃' 1

x

a

11

=

−

1

a

12

=

0

a

13

=

0

2

x

a

21

=

0

a

22

=

1

a

23

=

0

3

x

a

31

=

0

a

32

=

0

a

33

=

1

L’application de la loi de transformation l’équation (2-11) aux cosinus de direction donnés par le tableau (II-2) mènera aux contradictions du type montré dans l’équation (2-13). Ceux-ci sont résolus en annulant certains constantes élastiques :

0

1112 1222 1323 1233

=

E

=

E

=

E

=

E

(2-16)

On peut préciser que la symétrie des propriétés élastiques en ce qui concerne deux plans mutuellement perpendiculaires implique la symétrie du troisième plan orthogonal. On peut vérifier que le troisième plan de la symétrie [le plan (x3, x1)] n’apporte aucune réduction additionnelle des constantes élastiques dans le cas actuel. Ainsi les constantes élastiques d'un matériau orthotrope peuvent être décrites par le choix de neuf constantes:

Figure II.3 : (x

2

-x

3

) plan de symétrie

1

X

' 1

X

' 2 2

, X

X

Tableau II.2 : Cosinus de direction

'

3 3

, X

X









































=

1212 1313 2323 3333 2233 1133 2233 2222 1122 1133 1122 1111

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

)

(

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

_ijkl (2-17)

Il est inutile maintenant d'employer quatre indices inférieurs au tenseur original d'élasticité pour décrire les neuf constantes élastiques d’un matériau orthotrope.

Il est plus commode pour d’écrire la « loi du Hook généralisé » comme suit:

j ij i

Q

ε

σ

=

i,j=1,2,3,4,5,6 (2-18)

Où : σi : Composant du tenseur de contrainte,

Qij: Composant du tenseur de rigidité, (a les mêmes caractéristiques de Eijkl)

εj: Composant du tenseur de déformation technologique.

L'équation (2-18), peut être écrite sous la forme matricielle :

















































































=









































12 31 23 3 2 1 66 55 44 33 23 13 23 22 12 13 12 11 12 31 23 3 2 1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

γ

γ

γ

ε

ε

ε

τ

τ

τ

σ

σ

σ

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

(2-19)

Notons que les axes du même rang coïncident avec les axes de symétrie. Pour un cas bi-dimensionnel, toutes les constantes qui sont reliées à l'axe x3

peuvent être mises à zéro.

La relation contrainte/déformation est la suivante :









































=





















12 2 1 66 22 12 12 11 12 2 1

0

0

0

0

γ

ε

ε

τ

σ

σ

Q

Q

Q

Q

Q

(2-20)

Les relations contrainte/déformation données par l’équation (2-1) peuvent être exprimées sous une forme inversée :

[ ] [ ]









=

=

−1 ij ij i ij i

Q

S

S

σ

ε

(2-21) ij

S

: Matrice de souplesse.

Il est évident que le tenseur de souplesse a les mêmes propriétés de symétrie que le tenseur d'élasticité et le même type de lois de transformation.

En conclusion, la relation contrainte/déformation pour un matériau orthotrope pour le cas bidimensionnel peut être écrite en termes de matrice de souplesse comme suit:









































=





















12 2 1 66 22 12 12 11 12 2 1

0

0

0

0

τ

σ

σ

γ

ε

ε

S

S

S

S

S

(2-22)

Où les directions 1 et 2 coïncident avec les axes principaux.

On peut noter que les équations (2-20) et (2-22) sont les inversions de l'un l’autre. Par conséquent les cœfficients qui relient les éléments de la matrice de rigidité à la matrice de souplesse peuvent être obtenus comme suite :













−

=

−

=

2 12 22 11 11 22 2 12 22 11 22 11

S

S

S

S

Q

S

S

S

S

Q













=

−

=

66 66 12 22 11 12 12

1

S

Q

S

S

S

S

Q

(2-23)

Il faut préciser que tandis qu’un matériau orthotrope tridimensionnel exige neuf constantes élastiques indépendantes comme montrés dans l’équation (2-19), seulement quatre constantes sont nécessaires pour un matériau orthotrope bidimensionnel. Le nombre des constantes élastiques exigées pour un matériau isotrope est seulement deux pour l’état de contrainte bidimensionnelle et tridimensionnelle

II.3) Relations entre les constates d’ingénieurs et les éléments de rigidité :

Considérons un pli composite orthotrope, montré dans fig (II-4) avec les axes principaux indiqués par la direction longitudinale L et la direction transversale T. Pour ce cas, les constantes de l’ingénieur sont les modules d’élasticité dans la direction longitudinale EL et transversales ET, le module de

cisaillement GLT associé aux directions principales, le cœfficient de poisson

υ

_LT

qui donne la déformation transversale produites par une déformation longitudinale et l’autre cœfficient de poisson

_υ

_TLqui donne la déformation longitudinale produites par une déformation transversale.

L T T

σ

L

σ

LT

τ

Pour établir les relations entre ces cinq constantes et les quatre constantes élastiques indépendantes de l’équation (2-20), considérons d'abord que σL, est la seule contrainte non nulle. Alors l'équation peut être écrite de la

manière suivante: T L T T L L

Q

Q

Q

Q

ε

ε

σ

ε

ε

σ

22 12 12 11

0

=

+

=

+

=

(2-24) Ainsi : L T L L

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

σ

ε

σ

ε

2 12 22 11 12 2 12 22 11 22

−

−

=

−

=

(2-25) D’où 22 12 22 2 12 22 11

Q

Q

Q

Q

Q

Q

E

L T LT L L L

=

−

≡

−

=

≡

ε

ε

ν

ε

σ

(2-26)

De la même manière pour σT:

11 12 11 2 12 22 11

Q

Q

Q

Q

Q

Q

E

T L TL T T T

=

−

≡

−

=

≡

ε

ε

ν

ε

σ

(2-27)

Finalement, si

τ

_LT est la seule contrainte non nulle :

66

Q

G

LT LT LT

≡

_γ

=

τ

_(2-28)

Les équations (2-26) et (2-27) peuvent être résolues pour les trois composants de la matrice de rigidité en termes de constantes de l’ingénieur et le quatrième composant est directement donné par l’équation (2-28). Ainsi :























=

−

=

−

=

−

=

−

=

LT TL LT L TL TL LT T LT TL LT T TL LT L

G

Q

E

E

Q

E

Q

E

Q

66 12 22 11

1

1

1

1

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν

(2-29)

T TL L LT L TL T LT

E

E

E

E

ν

ν

ν

ν

=

⇒

=

(2-30)

les éléments de la matrice de souplesse sont déduits de la même façon que ce des éléments de la matrice de rigidité, ainsi :













=

=

T L

E

S

E

S

1

1

22 11 et













=

−

=

−

=

LT T TL L LT

G

S

E

E

S

1

66 12

ν

ν

(2-31)

II.4) Restriction sur les constants élastiques:

Pour la caractérisation, des calcules doivent être effectuées pour un matériau orthotrope et un matériau isotrope. Par exemple le module d’élasticité

E

et le coefficient de poisson

ν

d'un matériau isotrope peuvent être déterminés dans un module de cisaillement uni-axial G d'essai de tension et dans un essai de torsion. Il est bien connu que la valeur de

G

ait calculé à partir des valeurs de

E

et

ν

utilisons la relation :

)

1

(

2

+

ν

=

E

G

(2-32)

Pour les matériaux orthotropes, l’équation (2-32) n'est pas, en général, valide. Les constantes

E

_L

,

E

_T

,

G

_LT et

ν

_LT devraient être déterminées indépendamment.

Pour un cas spécifique d'un composite transversalement isotrope (par exemple : un composite unidirectionnel), une relation semblable à l’équation (2-32), peut être dérivée de l'état de symétrie. Si l’axe perpendiculaire aux axes

L

et

T

est dénotée par

T

' [16], en peut admettre les relations suivantes: ' T T

E

E

=

,

G

_LT

=

G

_LT',

)

1

(

2

_' ' TT T TT

E

G

ν

+

=

(2-36) Il est a noter que pour un matériau transversalement isotrope, il y a seulement cinq constantes élastiques indépendantes,

E

_L

,

E

_T

,

G

_LT

,

ν

_LT et

ν

_TT'.

On peut vérifier ces équations on se basant sur l'invariance des constantes élastiques pour une rotation arbitraire des axes

T

T

′

autour de l'axe longitudinal. Les relations de contrainte/déformation représentent une formulation mathématique qui décrit le comportement d'un problème physique réel. Par conséquent, les constantes élastiques impliquées dans la formulation devraient avoir des valeurs qui ne violeront pas certains principes physiques de base. Par