Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2×2.

Définition. det a b

c d

2^èmeécriture

=

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2×2.

Définition. det a b

c d

2^èmeécriture

=

a b c d

^définition=

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2×2.

Définition. det a b

c d

2^èmeécriture

=

a b c d

^définition= ad −bc.

Exemples.

2 1

1 3

=??, det

4 1

−1 3

=??

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2×2.

Définition. det a b

c d

2^èmeécriture

=

a b c d

^définition= ad −bc.

Exemples.

2 1

1 3

=??, det

4 1

−1 3

=??

A quoi ça sert ?

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2×2.

Définition. det a b

c d

2^èmeécriture

=

a b c d

^définition= ad −bc.

Exemples.

2 1

1 3

=??, det

4 1

−1 3

=??

A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ...

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2×2.

Définition. det a b

c d

2^èmeécriture

=

a b c d

^définition= ad −bc.

Exemples.

2 1

1 3

=??, det

4 1

−1 3

=??

A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).

2 1 1 3

x y

= 4

−1

a

comme solution :

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2×2.

Définition. det a b

c d

2^èmeécriture

=

a b c d

^définition= ad −bc.

Exemples.

2 1

1 3

=??, det

4 1

−1 3

=??

A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).

2 1 1 3

x y

= 4

−1

a

comme solution : x = 4 1

−1 3 2 1

1 3

=?? , y = 2 4

1 −1 2 1

1 3

=??

Chapitre 6. Déterminant d’une matrice carrée

§1. Cas d’une matrice 2×2.

Définition. det a b

c d

2^èmeécriture

=

a b c d

^définition= ad −bc.

Exemples.

2 1

1 3

=??, det

4 1

−1 3

=??

A quoi ça sert ? Ca sert, à calculer l’inverse de la matrice (si elle existe), résoudre un système sans faire des échelonnements, tester lié ou libre, base ou pas ...

Exemple (méthode de Cramer).

2 1 1 3

x y

= 4

−1

a

comme solution : x = 4 1

−1 3 2 1

1 3

=?? , y = 2 4

1 −1 2 1

1 3

=??

(x = 13

5 ,y =−6 5)

Exemple (méthode de Cramer).

2 1 1 3

x y

= 4

−1

a

comme solution : x = 4 1

−1 3 2 1

1 3

= 13

5 , y = 2 4

1 −1 2 1

1 3

=−6 5.

Exo. Résoudre 2 1

1 1 x y

= 4

−1

, puis a b

c d x y

= s

t

Exemple (méthode de Cramer).

2 1 1 3

x y

= 4

−1

a

comme solution : x = 4 1

−1 3 2 1

1 3

= 13

5 , y = 2 4

1 −1 2 1

1 3

=−6 5.

Exo. Résoudre 2 1

1 1 x y

= 4

−1

, puis a b

c d x y

= s

t

Théorème de matrice inverse.

a b c d

−1

= 1

a b c d

d −b

−c a

.

Exemple (méthode de Cramer).

2 1 1 3

x y

= 4

−1

a

comme solution : x = 4 1

−1 3 2 1

1 3

= 13

5 , y = 2 4

1 −1 2 1

1 3

=−6 5.

Exo. Résoudre 2 1

1 1 x y

= 4

−1

, puis a b

c d x y

= s

t

Théorème de matrice inverse.

a b c d

−1

= 1

a b c d

d −b

−c a

.

Preuve. Il suffit de multiplier... .

Exemple (méthode de Cramer).

2 1 1 3

x y

= 4

−1

a

comme solution : x = 4 1

−1 3 2 1

1 3

= 13

5 , y = 2 4

1 −1 2 1

1 3

=−6 5.

Exo. Résoudre 2 1

1 1 x y

= 4

−1

, puis a b

c d x y

= s

t

Théorème de matrice inverse.

a b c d

−1

= 1

a b c d

d −b

−c a

.

Preuve. Il suffit de multiplier... . Exo. Calculer

2 0 1 3

−1

,

2 −1

1 1

−1

, 2 1

4 2 −1

.

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

a b c d

=ad−bc. Définition.

a b c

d e f

g h i

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

a b c d

=ad−bc. Définition.

a b c

d e f

g h i

suivant

=

la 1^e col.

a b c d e f g h i =

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

a b c d

=ad−bc. Définition.

a b c

d e f

g h i

suivant

=

la 1^e col.

a b c d e f g h i =a·

e f h i +

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

a b c d

=ad−bc. Définition.

a b c

d e f

g h i

suivant

=

la 1^e col.

a b c d e f g h i =a·

e f h i

+(−d)·

b c h i +

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

a b c d

=ad−bc. Définition.

a b c

d e f

g h i

suivant

=

la 1^e col.

a b c d e f g h i =a·

e f h i

+(−d)·

b c h i +g·

b c e f

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

a b c d

=ad−bc. Définition.

a b c

d e f

g h i

suivant

=

la 1^e col.

a b c d e f g h i =a·

e f h i

+(−d)·

b c h i +g·

b c e f

ou bien (on obtient le même résultat)

suivant la 1^e=ligne

a b c d e f g h i =

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

a b c d

=ad−bc. Définition.

a b c

d e f

g h i

suivant

=

la 1^e col.

a b c d e f g h i =a·

e f h i

+(−d)·

b c h i +g·

b c e f

ou bien (on obtient le même résultat)

suivant la 1^e=ligne

a b c d e f g h i =a·

e f h i +

§2. Déterminant 3 × 3 et n × n

Rappel.

a b c d

=ad−bc. Définition.

a b c

d e f

g h i

suivant

=

la 1^e col.

a b c d e f g h i =a·

e f h i

+(−d)·

b c h i +g·

b c e f

ou bien (on obtient le même résultat)

suivant la 1^e=ligne

a b c d e f g h i =a·

e f h i

+(−b)·

d f g i +c·

d e g h .

Exemple. Calculer

2 −1 1

0 2 −1

0 1 0

par les deux méthodes.

Calculer

1 0 0 0

100 2 −1 1

a 0 2 −1

π 0 1 0

.

§3. Lié ou libre ?

Théorème. SoitAune matrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

detA6=0 detA=0

§3. Lié ou libre ?

Théorème. SoitAune matrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

detA6=0 detA=0 Le systèmeA~x=~b admet-il une unique sol. ?

§3. Lié ou libre ?

Théorème. SoitAune matrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

detA6=0 detA=0 Le systèmeA~x=~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

§3. Lié ou libre ?

Théorème. SoitAune matrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

detA6=0 detA=0 Le systèmeA~x=~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matriceAest inversible ?

§3. Lié ou libre ?

Théorème. SoitAune matrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

detA6=0 detA=0 Le systèmeA~x=~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matriceAest inversible ? Oui Non

§3. Lié ou libre ?

Théorème. SoitAune matrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

detA6=0 detA=0 Le systèmeA~x=~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matriceAest inversible ? Oui Non Les colonnes deAsont-elles liées ou libres ?

§3. Lié ou libre ?

Théorème. SoitAune matrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

detA6=0 detA=0 Le systèmeA~x=~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matriceAest inversible ? Oui Non Les colonnes deAsont-elles liées ou libres ? libres liées

Les colonnes de Aforment-elles une base ? Les colonnes deAsont-elles génératrices ?

§3. Lié ou libre ?

Théorème. SoitAune matrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

detA6=0 detA=0 Le systèmeA~x=~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matriceAest inversible ? Oui Non Les colonnes deAsont-elles liées ou libres ? libres liées

Les colonnes de Aforment-elles une base ?

Les colonnes deAsont-elles génératrices ? Oui Non

§3. Lié ou libre ?

Théorème. SoitAune matrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

detA6=0 detA=0 Le systèmeA~x=~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matriceAest inversible ? Oui Non Les colonnes deAsont-elles liées ou libres ? libres liées

Les colonnes de Aforment-elles une base ?

Les colonnes deAsont-elles génératrices ? Oui Non Soitf :Rⁿ→Rⁿ de matriceA

§3. Lié ou libre ?

Théorème. SoitAune matrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

detA6=0 detA=0 Le systèmeA~x=~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matriceAest inversible ? Oui Non Les colonnes deAsont-elles liées ou libres ? libres liées

Les colonnes de Aforment-elles une base ?

Les colonnes deAsont-elles génératrices ? Oui Non Soitf :Rⁿ→Rⁿ de matriceA

Est-ce que f est bijective ? Est-ce que f est injective ? Est-ce que f est surjective ?

§3. Lié ou libre ?

Théorème. SoitAune matrice carrée. Il suffit de vérifier si detA=0 ou pas pour répondre aux question suivantes :

detA6=0 detA=0 Le systèmeA~x=~b admet-il une unique sol. ? Oui Non

Est-ce que la matriceAest inversible ? Oui Non Les colonnes deAsont-elles liées ou libres ? libres liées

Les colonnes de Aforment-elles une base ?

Les colonnes deAsont-elles génératrices ? Oui Non Soitf :Rⁿ→Rⁿ de matriceA

Est-ce que f est bijective ? Est-ce que f est injective ?

Est-ce que f est surjective ? Oui Non

Exemples. A=





2 −1 1

0 2 −1

0 1 0



 ,





0 −1 1

1 2 −1

1 1 0



 et





1 a b 0 2 c 0 0 3



.

Cas non carrée

Théorème de famille libre. Soitk ≤n. Alorsk vecteurs

~v1, ~v2,· · ·, ~vk deRⁿ forment une famille libresi

Exemples. A=





2 −1 1

0 2 −1

0 1 0



 ,





0 −1 1

1 2 −1

1 1 0



 et





1 a b 0 2 c 0 0 3



.

Cas non carrée

Théorème de famille libre. Soitk ≤n. Alorsk vecteurs

~v1, ~v2,· · ·, ~vk deRⁿ forment une famille libresi l’une des sous matrices carrées de taille maximale de la matrice (~v1, ~v2,· · · , ~v_k) est de déterminant non-nulle.

Exemples. A=





2 −1 1

0 2 −1

0 1 0



 ,





0 −1 1

1 2 −1

1 1 0



 et





1 a b 0 2 c 0 0 3



.

Cas non carrée

Théorème de famille libre. Soitk ≤n. Alorsk vecteurs

~v1, ~v2,· · ·, ~vk deRⁿ forment une famille libresi l’une des sous matrices carrées de taille maximale de la matrice (~v1, ~v2,· · · , ~v_k) est de déterminant non-nulle.

Exo 1 :



 1 1 2



 et



 0 1 2



.Exo 2: les colonnes de







1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 2 2





.

Donner un énoncé similaire dans le cas k ≥n. Donner des exemples.

§4. Formule pour la matrice inverse

Les théorèmes précédents se démontrent à l’aide de la formule suivante :

Pour les matrices 2×2.

a b c d

−1

= 1

ad −bc

d −b

−c a

= 1

ad −bc

t

d −c

−b a

.

Pour A=





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃



. On lui associe sacomatrice

Com(A) =





+M₁₁ −M₁₂ +M₁₃

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33



, où M_ij est le déterminant de la sous matrice de Aen supprimant dans Ala i-ème ligne et la j-ème colonne. La formule est alors

A⁻¹ = 1 detA

tCom(A), si detA6=0.

A=





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃



,Com(A) =





+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33



, où M₂₁=

a₁₂ a₁₃ a₃₂ a₃₃ , etc. ,

A=





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃



,Com(A) =





+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33



, où M₂₁=

a₁₂ a₁₃ a₃₂ a₃₃

, etc. , etA⁻¹ = 1 detA

tCom(A), si detA6=0.

A=





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃



,Com(A) =





+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33



, où M₂₁=

a₁₂ a₁₃ a₃₂ a₃₃

, etc. , etA⁻¹ = 1 detA

tCom(A), si detA6=0.

Exemple. A=





1 0 0 1 3 1 2 2 1



,Com(A) =

A=





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃



,Com(A) =





+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33



, où M₂₁=

a₁₂ a₁₃ a₃₂ a₃₃

, etc. , etA⁻¹ = 1 detA

tCom(A), si detA6=0.

Exemple. A=





1 0 0 1 3 1 2 2 1



,Com(A) =





1 1 −4

0 1 −2

0 −1 3



,

A=





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃



,Com(A) =





+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33



, où M₂₁=

a₁₂ a₁₃ a₃₂ a₃₃

, etc. , etA⁻¹ = 1 detA

tCom(A), si detA6=0.

Exemple. A=





1 0 0 1 3 1 2 2 1



,Com(A) =





1 1 −4

0 1 −2

0 −1 3



, detA=1,

A=





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃



,Com(A) =





+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33



, où M₂₁=

a₁₂ a₁₃ a₃₂ a₃₃

, etc. , etA⁻¹ = 1 detA

tCom(A), si detA6=0.

Exemple. A=





1 0 0 1 3 1 2 2 1



,Com(A) =





1 1 −4

0 1 −2

0 −1 3



, detA=1,

et A⁻¹= 1 detA

tCom(A) =

A=





a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃



,Com(A) =





+M11 −M12 +M13

−M21 +M22 −M23

+M31 −M32 +M33



, où M₂₁=

a₁₂ a₁₃ a₃₂ a₃₃

, etc. , etA⁻¹ = 1 detA

tCom(A), si detA6=0.

Exemple. A=





1 0 0 1 3 1 2 2 1



,Com(A) =





1 1 −4

0 1 −2

0 −1 3



, detA=1,

et A⁻¹= 1 detA

tCom(A) =





1 0 0

1 1 −1

−4 −2 3



.

Voici les 4 étapes pour calculer A⁻¹ : – Calculer les ’mineurs’ M_ij

– rajouter les signes (en alternant) pour former Com(A) – transposer la comatrice

– diviser par detA.

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

• det(AB) =detA·detB =det(BA)

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

• det(AB) =detA·detB =det(BA)

• det(A⁻¹) = (detA)⁻¹ si Ainversible.

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

• det(AB) =detA·detB =det(BA)

• det(A⁻¹) = (detA)⁻¹ si Ainversible.

• Triangulaire :

a ∗ ∗

0 b ∗

0 0 c

produit des élém.

sur la diagonale=

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

• det(AB) =detA·detB =det(BA)

• det(A⁻¹) = (detA)⁻¹ si Ainversible.

• Triangulaire :

a ∗ ∗

0 b ∗

0 0 c

produit des élém.

sur la diagonale= abc.

1 1 −2 0 1 −1

0 0 1

=??

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

• det(AB) =detA·detB =det(BA)

• det(A⁻¹) = (detA)⁻¹ si Ainversible.

• Triangulaire :

a ∗ ∗

0 b ∗

0 0 c

produit des élém.

sur la diagonale= abc.

1 1 −2 0 1 −1

0 0 1

=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

• det(AB) =detA·detB =det(BA)

• det(A⁻¹) = (detA)⁻¹ si Ainversible.

• Triangulaire :

a ∗ ∗

0 b ∗

0 0 c

produit des élém.

sur la diagonale= abc.

1 1 −2 0 1 −1

0 0 1

=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

1 1 −2 1 1 −1

1 0 0

permuter ℓ1!=ℓ3

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

• det(AB) =detA·detB =det(BA)

• det(A⁻¹) = (detA)⁻¹ si Ainversible.

• Triangulaire :

a ∗ ∗

0 b ∗

0 0 c

produit des élém.

sur la diagonale= abc.

1 1 −2 0 1 −1

0 0 1

=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

1 1 −2 1 1 −1

1 0 0

permuter ℓ1!=ℓ3

−

1 0 0

1 1 −1 1 1 −2

permuter C2!=C3

??

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

• det(AB) =detA·detB =det(BA)

• det(A⁻¹) = (detA)⁻¹ si Ainversible.

• Triangulaire :

a ∗ ∗

0 b ∗

0 0 c

produit des élém.

sur la diagonale= abc.

1 1 −2 0 1 −1

0 0 1

=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

1 1 −2 1 1 −1

1 0 0

permuter ℓ1!=ℓ3

−

1 0 0

1 1 −1 1 1 −2

permuter C2!=C3

??

• Facteur commun :

λa b c λd e f λg h i

sortir un facteur d’une colonne=

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

• det(AB) =detA·detB =det(BA)

• det(A⁻¹) = (detA)⁻¹ si Ainversible.

• Triangulaire :

a ∗ ∗

0 b ∗

0 0 c

produit des élém.

sur la diagonale= abc.

1 1 −2 0 1 −1

0 0 1

=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

1 1 −2 1 1 −1

1 0 0

permuter ℓ1!=ℓ3

−

1 0 0

1 1 −1 1 1 −2

permuter C2!=C3

??

• Facteur commun :

λa b c λd e f λg h i

sortir un facteur d’une colonne= λ

a b c d e f g h i .

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

• det(AB) =detA·detB =det(BA)

• det(A⁻¹) = (detA)⁻¹ si Ainversible.

• Triangulaire :

a ∗ ∗

0 b ∗

0 0 c

produit des élém.

sur la diagonale= abc.

1 1 −2 0 1 −1

0 0 1

=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

1 1 −2 1 1 −1

1 0 0

permuter ℓ1!=ℓ3

−

1 0 0

1 1 −1 1 1 −2

permuter C2!=C3

??

• Facteur commun :

λa b c λd e f λg h i

sortir un facteur d’une colonne= λ

a b c d e f g h i .

Exemple.

101 0 0

101 0 −1 101 1 −2 =

§5. Formules qui simplifient le calcul des déterminants

• det(^tA) =detA. Exemple.

a b c d =

a c b d .

• det(AB) =detA·detB =det(BA)

• det(A⁻¹) = (detA)⁻¹ si Ainversible.

• Triangulaire :

a ∗ ∗

0 b ∗

0 0 c

produit des élém.

sur la diagonale= abc.

1 1 −2 0 1 −1

0 0 1

=??

• Echanger 2 lignes/colonnes fait changer le signe du déterminant.

Exemple.

1 1 −2 1 1 −1

1 0 0

permuter ℓ1!=ℓ3

−

1 0 0

1 1 −1 1 1 −2

permuter C2!=C3

??

• Facteur commun :

λa b c λd e f λg h i

sortir un facteur d’une colonne= λ

a b c d e f g h i .

Exemple.

101 0 0

101 0 −1 101 1 −2 =101

1 0 0

1 0 −1 1 1 −2

=101 .

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2 ~a, ~b,~c+λ~b. L’opération peut s’effectuer sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2 ~a, ~b,~c+λ~b. L’opération peut s’effectuer sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

2a b a 2c d c 2e f e

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2 ~a, ~b,~c+λ~b. L’opération peut s’effectuer sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

2a b a 2c d c 2e f e =

C1 C1−2C3

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2 ~a, ~b,~c+λ~b. L’opération peut s’effectuer sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

2a b a 2c d c 2e f e =

C1 C1−2C3

0 b a

0 d c 0 f e

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2 ~a, ~b,~c+λ~b. L’opération peut s’effectuer sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

2a b a 2c d c 2e f e =

C1 C1−2C3

0 b a

0 d c 0 f e =0.

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2 ~a, ~b,~c+λ~b. L’opération peut s’effectuer sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

2a b a 2c d c 2e f e =

C1 C1−2C3

0 b a

0 d c 0 f e =0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles, le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

• ~v1+~v2, ~a, ~b

^décomposer=

une colonne

~v1, ~a, ~b

+~v2, ~a, ~b .

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2 ~a, ~b,~c+λ~b. L’opération peut s’effectuer sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

2a b a 2c d c 2e f e =

C1 C1−2C3

0 b a

0 d c 0 f e =0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles, le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

• ~v1+~v2, ~a, ~b

^décomposer=

une colonne

~v1, ~a, ~b

+~v2, ~a, ~b . Réciproquement

~v1, ~a, ~b

+~v2, ~a, ~b

additionner

=

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2 ~a, ~b,~c+λ~b. L’opération peut s’effectuer sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

2a b a 2c d c 2e f e =

C1 C1−2C3

0 b a

0 d c 0 f e =0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles, le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

• ~v1+~v2, ~a, ~b

^décomposer=

une colonne

~v1, ~a, ~b

+~v2, ~a, ~b . Réciproquement

~v1, ~a, ~b

+~v2, ~a, ~b

additionner

= ~v1+~v2, ~a, ~b .

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2 ~a, ~b,~c+λ~b. L’opération peut s’effectuer sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

2a b a 2c d c 2e f e =

C1 C1−2C3

0 b a

0 d c 0 f e =0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles, le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

• ~v1+~v2, ~a, ~b

^décomposer=

une colonne

~v1, ~a, ~b

+~v2, ~a, ~b . Réciproquement

~v1, ~a, ~b

+~v2, ~a, ~b

additionner

= ~v1+~v2, ~a, ~b . La décomposition, ou l’addition, peut s’effectuer sur une autre colonne ou une ligne.

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2 ~a, ~b,~c+λ~b. L’opération peut s’effectuer sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

2a b a 2c d c 2e f e =

C1 C1−2C3

0 b a

0 d c 0 f e =0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles, le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

• ~v1+~v2, ~a, ~b

^décomposer=

une colonne

~v1, ~a, ~b

+~v2, ~a, ~b . Réciproquement

~v1, ~a, ~b

+~v2, ~a, ~b

additionner

= ~v1+~v2, ~a, ~b . La décomposition, ou l’addition, peut s’effectuer sur une autre colonne ou une ligne.

Ex.

1+0 1 0 0+0 3 2 0−1 −1 1 =

1 1 0

0 3 2

0 −1 1 +

0 1 0

0 3 2

−1 −1 1 .

• ~a, ~b,~c ^{C3 C}=^3+λC2 ~a, ~b,~c+λ~b. L’opération peut s’effectuer sur deux autres lignes ou deux autres colonnes.

Ex.

2a b a 2c d c 2e f e =

C1 C1−2C3

0 b a

0 d c 0 f e =0.

• Si deux lignes (ou colonnes) sont identiques ou proportionnelles, le déterminant est nul (et les vecteurs sont liés, évidemment).

• ~v1+~v2, ~a, ~b

^décomposer=

une colonne

~v1, ~a, ~b

+~v2, ~a, ~b . Réciproquement

~v1, ~a, ~b

+~v2, ~a, ~b

additionner

= ~v1+~v2, ~a, ~b . La décomposition, ou l’addition, peut s’effectuer sur une autre colonne ou une ligne.

Ex.

1+0 1 0 0+0 3 2 0−1 −1 1 =

1 1 0

0 3 2

0 −1 1 +

0 1 0

0 3 2

−1 −1 1 .

Preuve de la méthode de Cramer

Preuve dans le cas d’une matriceA de taille 3×3. On suppose det(A)6=0. On veut résoudre le système A~x=~b, qui admet une unique solution



 x y z



. On exprime Aen vecteurs colonnes : A= ~v1, ~v2, ~v3

. Donc ~v1, ~v2, ~v3



 x y z



=~b,

ou bien, sous forme de combinaison linéaire :x~v1+y~v2+z~v3 =~b.

Maintenant

det(~b, ~v2, ~v3) =det(x~v1+y~v2+z~v3, ~v2, ~v3) ^décomposer=

la colonneC1

det(x~v₁, ~v₂, ~v₃) +det(y~v₂, ~v₂, ~v₃) +det(z~v₃, ~v₂, ~v₃) = xdet(~v1, ~v2, ~v3) +0+0=xdetA. Doncx = det(~b, ~v2, ~v3)

det(A) . Exo. Retrouvery etz de manière similaire. Faire la preuve pour une matrice de taille n×n.

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R² représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R² représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R² représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R² représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs(liés).

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R² représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs(liés).

On peux faire une preuve dans le premier quadrant.

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R² représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs(liés).

On peux faire une preuve dans le premier quadrant.

Le déterminant de trois vecteurs dans R³ représente

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R² représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs(liés).

On peux faire une preuve dans le premier quadrant.

Le déterminant de trois vecteurs dans R³ représente levolume signé du parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R² représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs(liés).

On peux faire une preuve dans le premier quadrant.

Le déterminant de trois vecteurs dans R³ représente levolume signé du parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont co-planaires, ou encore

§6 Sens géométrique du déterminant

Le déterminant de deux vecteurs dans R² représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sont co-linéairs(liés).

On peux faire une preuve dans le premier quadrant.

Le déterminant de trois vecteurs dans R³ représente levolume signé du parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont co-planaires, ou encore liés.

libres ⇐⇒ volume6=0 ⇐⇒det 6=0.

liés ⇐⇒ volume=0 ⇐⇒det=0.

Une base {~a₁,· · ·, ~a_n}est dite base directe si det(~a₁,· · ·, ~a_n)>0, et base indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1,~e2,~e3} et {~e1,~e3,~e2}.

Produit scalaire de deux vecteurs



 u₁

... u_n



.



 v₁

... v_n



=u₁v₁+u₂v₂+· · ·+u_nv_n, et~u·~v=0 ssi orthogonal.

Opérateur chapeau dans R² :[ x y

= −y

x

. Il est conçu pour transformer le déterminant en produit scalaire :

det(~u, ~v) =

u₁ v₁ u₂ v₂

=u₁v₂−u₂v₁ = −u2

u₁

· v₁

v₂

=~bu·~v . Produit vectoriel dans R³ :~u∧~v joue le même rôle :

det(~u, ~v, ~w) = (~u∧~v)·w~ . Preuve. Développer suivant la dernière colonne...

Produit scalaire de deux vecteurs



 u₁

... u_n



.



 v₁

... v_n



=u₁v₁+u₂v₂+· · ·+u_nv_n, et~u·~v=0 ssi orthogonal.

Opérateur chapeau dans R² :[ x y

= −y

x

. Il est conçu pour transformer le déterminant en produit scalaire :

det(~u, ~v) =

u₁ v₁ u₂ v₂

=u₁v₂−u₂v₁ = −u2

u₁

· v₁

v₂

=~bu·~v . Produit vectoriel dans R³ :~u∧~v joue le même rôle :

det(~u, ~v, ~w) = (~u∧~v)·w~ . Preuve. Développer suivant la dernière colonne...

Questions :Est-ce que~bu est orthogonal à~u dans R²? Que peut-on dire sur~u∧~v dans R³?

{~u, ~v, ~u∧~v}forme-t-il une base directe ou indirecte?