La modélisation du son

(1)

La modélisation du son Frédéric Racine

Son et onde Modélisation mathématique Phénomène périodique naturel Les fonctions périodiques de bases Les fonctions sinusoïdales Fourier Helmholtz

La modélisation du son

Frédéric Racine

Université d'Orléans

20 juin 2013

(2)

Son et onde Modélisation mathématique Phénomène périodique naturel Les fonctions périodiques de bases Les fonctions sinusoïdales

Un son

Dénition

Un son correspond à une onde produite par la vibration

mécanique d'un support qui se propage dans un milieu

(le plus souvent l'air).

(3)

Un son

Dénition

Un son correspond à une onde produite par la vibration

mécanique d'un support qui se propage dans un milieu

(le plus souvent l'air).

(4)

Une onde

Dénition

Une onde consiste en le déplacement d'une déformation

locale du milieu physique sans déplacement global de la

matière.

(5)

Une onde

Dénition

Une onde consiste en le déplacement d'une déformation

locale du milieu physique sans déplacement global de la

matière.

(6)

Une onde

Dénition

Une onde consiste en le déplacement d'une déformation

locale du milieu physique sans déplacement global de la

matière.

(7)

Onde longitudinale et Onde transversale

(8)

Onde longitudinale et Onde transversale

(9)

La vibration

Dénition

Une vibration est un mouvement d'oscillation autour

d'une position d'équilibre.

(10)

La vibration

Dénition

Une vibration est un mouvement d'oscillation autour

d'une position d'équilibre.

(11)

Fonctionnement d'un tambour

(12)

Fonctionnement d'un tambour

(13)

Fonctionnement d'un piano

(14)

Fonctionnement d'un piano

(15)

Les caractéristiques du son

la durée

l'intensité

la hauteur

le timbre

(16)

Les caractéristiques du son

la durée

l'intensité

la hauteur

le timbre

(17)

Les caractéristiques du son

la durée l'intensité

la hauteur

le timbre

(18)

Les caractéristiques du son

la durée l'intensité la hauteur

le timbre

(19)

Les caractéristiques du son

la durée

l'intensité

la hauteur

le timbre

(20)

Exemple de partition

(21)

Exemple de partition

(22)

Un son musical

Dénition

On appelle son musical tout son auquel on peut

associer une hauteur.

(23)

Un son musical

Dénition

On appelle son musical tout son auquel on peut

associer une hauteur.

(24)

Résumé

Nous avons vu ce que sont : un son

une onde une vibration

les caractéristiques du son

un son musical

(25)

Résumé

Nous avons vu ce que sont : un son

une onde une vibration

les caractéristiques du son

un son musical

(26)

Résumé

point de vue musical son, son musical point de vue des sciences physiques vibration et onde

point de vue mathématique ?

(27)

Résumé

point de vue musical son, son musical point de vue des sciences physiques vibration et onde

point de vue mathématique ?

(28)

Résumé

point de vue musical

son, son musical point de vue des sciences physiques vibration et onde

point de vue mathématique ?

(29)

Résumé

point de vue musical son, son musical

point de vue des sciences physiques vibration et onde

point de vue mathématique ?

(30)

Résumé

point de vue musical son, son musical point de vue des sciences physiques

vibration et onde

point de vue mathématique ?

(31)

Résumé

point de vue musical son, son musical point de vue des sciences physiques vibration et onde

point de vue mathématique ?

(32)

Résumé

point de vue musical son, son musical point de vue des sciences physiques vibration et onde

point de vue mathématique

?

(33)

Résumé

point de vue musical son, son musical point de vue des sciences physiques vibration et onde

point de vue mathématique ?

(34)

Résumé

point de vue musical son, son musical point de vue des sciences physiques vibration et onde

point de vue mathématique ?

(35)

Remarque

On remarque que l'onde associé à un son musical est

périodique.

(36)

Une fonction périodique

Dénition

Soit f une fonction de R dans R .

On dit que f est périodique si il existe T > 0 tel que pour tout x ∈ R , f ( x + T ) ₌ f ( x )

Dénition

T est appelée une période de f . Notation

Si T est une période de f , on dit que f est T -périodique.

(37)

Une fonction périodique

Dénition

Soit f une fonction de R dans R .

On dit que f est périodique si il existe T > 0 tel que pour tout x ∈ R , f ( x + T ) ₌ f ( x )

Dénition

T est appelée une période de f . Notation

Si T est une période de f , on dit que f est T -périodique.

(38)

Une fonction périodique

Dénition

Soit f une fonction de R dans R .

On dit que f est périodique si il existe T > 0 tel que pour tout x ∈ R , f ( x + T ) ₌ f ( x )

Dénition

T est appelée une période de f . Notation

Si T est une période de f , on dit que f est T -périodique.

(39)

Une fonction périodique

Dénition

Soit f une fonction de R dans R .

On dit que f est périodique si il existe T > 0 tel que pour tout x ∈ R , f ( x + T ) ₌ f ( x )

Dénition

T est appelée une période de f . Notation

Si T est une période de f , on dit que f est T -périodique.

(40)

Une fonction périodique

Dénition

Soit f une fonction de R dans R .

On dit que f est périodique si il existe T > 0 tel que pour tout x ∈ R , f ( x + T ) ₌ f ( x )

Dénition

T est appelée une période de f .

Notation

Si T est une période de f , on dit que f est T -périodique.

(41)

Une fonction périodique

Dénition

Soit f une fonction de R dans R .

On dit que f est périodique si il existe T > 0 tel que pour tout x ∈ R , f ( x + T ) ₌ f ( x )

Dénition

T est appelée une période de f . Notation

Si T est une période de f , on dit que f est T -périodique.

(42)

Exemple d'une courbe de fonction

périodique correspondant à un son

(43)

Exemple d'une courbe de fonction

périodique correspondant à un son

(44)

LA période

Remarque

Pour une fonction périodique f correspondant à un son

musical, on peut montrer qu'il existe une plus petite

période. On appelle celle-ci LA période de f .

(45)

LA période

Remarque

Pour une fonction périodique f correspondant à un son

musical, on peut montrer qu'il existe une plus petite

période. On appelle celle-ci LA période de f .

(46)

LA période

Remarque

Pour une fonction périodique f correspondant à un son

musical, on peut montrer qu'il existe une plus petite

période. On appelle celle-ci LA période de f .

(47)

Proposition

1 Si f et g sont deux fonctions T -périodique alors f + g est T -périodique.

2 Si f est T -périodique, alors pour tout A ∈ R ^∗ et

B ∈ R , Af + B est T -périodique.

(48)

Proposition

1 Si f et g sont deux fonctions T -périodique alors f + g est T -périodique.

2 Si f est T -périodique, alors pour tout A ∈ R ^∗ et

B ∈ R , Af + B est T -périodique.

(49)

Proposition

1 Si f et g sont deux fonctions T -périodique alors f + g est T -périodique.

2 Si f est T -périodique, alors pour tout A ∈ R ^∗ et

B ∈ R , Af + B est T -périodique.

(50)

Le cercle trigonométrique

phénomène périodique naturel

(51)

Le cercle trigonométrique

phénomène périodique naturel

(52)

Le radian

Dénition

Soit M un point du cercle trigonométrique.

La mesure en radian de l'angle orienté ( ⁻ ^→ i ; ^−−→ OM ) est

notée θ et est égale à la longueur de l'arc de cercle IM si

l'angle est direct et à l'opposé de cette longueur si

l'angle est indirect.

(53)

Le radian

Dénition

Soit M un point du cercle trigonométrique.

La mesure en radian de l'angle orienté ( ⁻ ^→ i ; ^−−→ OM ) est

notée θ et est égale à la longueur de l'arc de cercle IM si

l'angle est direct et à l'opposé de cette longueur si

l'angle est indirect.

(54)

Le radian

Dénition

Soit M un point du cercle trigonométrique.

La mesure en radian de l'angle orienté ( ⁻ ^→ i ; ^−−→ OM ) est

notée θ et est égale à la longueur de l'arc de cercle IM si

l'angle est direct et à l'opposé de cette longueur si

l'angle est indirect.

(55)

Le radian

Dénition

Soit M un point du cercle trigonométrique.

La mesure en radian de l'angle orienté ( ⁻ ^→ i ; ^−−→ OM ) est

notée θ et est égale à la longueur de l'arc de cercle IM si

l'angle est direct et à l'opposé de cette longueur si

l'angle est indirect.

(56)

Le radian

(57)

Le radian

(58)

Démonstration

(59)

Démonstration

(60)

Démonstration

(61)

Démonstration

(62)

Démonstration

(63)

Démonstration

(64)

Quelques mesures

(65)

Quelques mesures

(66)

Quelques mesures

(67)

Résumé

Nous avons vu ce qu'est : une fonction périodique

un phénomène périodique naturel

le radian

(68)

Résumé

Nous avons vu ce qu'est : une fonction périodique

un phénomène périodique naturel

le radian

(69)

Sinus et Cosinus d'un angle

Repérer un point sur un cercle

Dénition

La fonction cosinus notée cos est la fonction qui à

tout angle θ exprimé en radian associe l'abscisse du

point M correspondant sur le cercle trigonométrique.

La fonction sinus notée sin est la fonction qui à tout

angle θ exprimé en radian associe l'ordonnée du

point M correspondant sur le cercle trigonométrique.

(70)

Sinus et Cosinus d'un angle

Repérer un point sur un cercle

Dénition

La fonction cosinus notée cos est la fonction qui à

tout angle θ exprimé en radian associe l'abscisse du

point M correspondant sur le cercle trigonométrique.

La fonction sinus notée sin est la fonction qui à tout

angle θ exprimé en radian associe l'ordonnée du

point M correspondant sur le cercle trigonométrique.

(71)

Sinus et Cosinus d'un angle

Repérer un point sur un cercle

Dénition

La fonction cosinus notée cos est la fonction qui à tout angle θ exprimé en radian associe l'abscisse du point M correspondant sur le cercle trigonométrique.

La fonction sinus notée sin est la fonction qui à tout

angle θ exprimé en radian associe l'ordonnée du

point M correspondant sur le cercle trigonométrique.

(72)

Sinus et Cosinus d'un angle

Repérer un point sur un cercle

Dénition

La fonction cosinus notée cos est la fonction qui à tout angle θ exprimé en radian associe l'abscisse du point M correspondant sur le cercle trigonométrique.

La fonction sinus notée sin est la fonction qui à tout

angle θ exprimé en radian associe l'ordonnée du

(73)

Sinus et Cosinus d'un angle

(74)

Sinus et Cosinus d'un angle

(75)

Sinus et Cosinus d'un angle

Proposition

1 − 1 ≤ cos ( _θ ) _≤ 1 et − 1 ≤ sin ( _θ ) _≤ 1

2 cos ² ( _θ ) ₊ sin ² ( _θ ) ₌ 1

(76)

Sinus et Cosinus d'un angle

Proposition

1 − 1 ≤ cos ( _θ ) _≤ 1 et − 1 ≤ sin ( _θ ) _≤ 1

2 cos ² ( _θ ) ₊ sin ² ( _θ ) ₌ 1

(77)

Sinus et Cosinus d'un angle

Proposition

1 − 1 ≤ cos ( _θ ) _≤ 1 et − 1 ≤ sin ( _θ ) _≤ 1

2 cos ² ( _θ ) ₊ sin ² ( _θ ) ₌ 1

(78)

Démonstration

(79)

Démonstration

(80)

Sinus et Cosinus d'un angle

Proposition

Les fonction cos et sin sont 2 π -périodiques.

(81)

Sinus et Cosinus d'un angle

Proposition

Les fonction cos et sin sont 2 π -périodiques.

(82)

Courbes des fonctions Sinus et Cosinus

(83)

Courbes des fonctions Sinus et Cosinus

(84)

Courbes des fonctions Sinus et Cosinus

(85)

Construction de fonctions T -périodique

Proposition

A l'aide d'une fonction cos ou sin, on peut construire une fonction périodique de n'importe quelle période.

On pose par exemple :

f ( x ) ₌ sin µ 2 π

T x

¶

(86)

Construction de fonctions T -périodique

Proposition

A l'aide d'une fonction cos ou sin, on peut construire une fonction périodique de n'importe quelle période.

On pose par exemple :

f ( x ) ₌ sin µ 2 π

T x

¶

(87)

Construction de fonctions T -périodique

Proposition

A l'aide d'une fonction cos ou sin, on peut construire une fonction périodique de n'importe quelle période.

On pose par exemple :

f ( x ) ₌ sin µ 2 π

T x

¶

(88)

Construction de fonctions T -périodique

Proposition

A l'aide d'une fonction cos ou sin, on peut construire une fonction périodique de n'importe quelle période.

On pose par exemple :

f ( x ) ₌ sin ^µ 2 π

T x ^¶

(89)

Démonstration

On a :

f ( x + T ) = sin ^µ 2 π

T ( x + T )

¶

= sin µ 2 π

T x + 2 π

¶

= sin ^µ 2 π T x ^¶

= f ( x )

(90)

Démonstration

On a :

f ( x + T ) = sin ^µ 2 π

T ( x + T )

¶

= sin µ 2 π

T x + 2 π

¶

= sin ^µ 2 π T x ^¶

= f ( x )

(91)

Démonstration

On a :

f ( x + T ) = sin ^µ 2 π

T ( x + T )

¶

= sin µ 2 π

T x + 2 π

¶

= sin ^µ 2 π T x ^¶

= f ( x )

(92)

Démonstration

On a :

f ( x + T ) = sin ^µ 2 π

T ( x + T )

¶

= sin µ 2 π

T x + 2 π

¶

= sin ^µ 2 π T x ^¶

= f ( x )

(93)

Démonstration

On a :

f ( x + T ) = sin ^µ 2 π

T ( x + T )

¶

= sin µ 2 π

T x + 2 π

¶

= sin ^µ 2 π T x ^¶

= f ( x )

(94)

Démonstration

On a :

f ( x + T ) = sin ^µ 2 π

T ( x + T )

¶

= sin µ 2 π

T x + 2 π

¶

= sin ^µ 2 π

T x ^¶

(95)

Les fonctions sinusoïdales

Dénition

On appelle toute fonction f s'écrivant de la forme f ( x ) ₌ Asin ^¡ ² _T ^π x + ϕ ¢

, une fonction sinusoïdale et la courbe associée à f une sinusoïde.

Vocabulaire

A est appelé l'amplitude de f .

ϕ est appelé phase initiale ou phase à l'origine de f .

T est appelé la période de f .

(96)

Les fonctions sinusoïdales

Dénition

On appelle toute fonction f s'écrivant de la forme f ( x ) ₌ Asin ^¡ ² _T ^π x + ϕ ¢

, une fonction sinusoïdale et la courbe associée à f une sinusoïde.

Vocabulaire

A est appelé l'amplitude de f .

ϕ est appelé phase initiale ou phase à l'origine de f .

T est appelé la période de f .

(97)

Les fonctions sinusoïdales

Dénition

On appelle toute fonction f s'écrivant de la forme f ( x ) ₌ Asin ^¡ ² _T ^π x + ϕ ¢

, une fonction sinusoïdale et la courbe associée à f une sinusoïde.

Vocabulaire

A est appelé l'amplitude de f .

ϕ est appelé phase initiale ou phase à l'origine de f .

T est appelé la période de f .

(98)

Les fonctions sinusoïdales

Dénition

On appelle toute fonction f s'écrivant de la forme f ( x ) ₌ Asin ^¡ ² _T ^π x + ϕ ¢

, une fonction sinusoïdale et la courbe associée à f une sinusoïde.

Vocabulaire

A est appelé l'amplitude de f .

ϕ est appelé phase initiale ou phase à l'origine de f .

T est appelé la période de f .

(99)

Les fonctions sinusoïdales

Dénition

On appelle toute fonction f s'écrivant de la forme f ( x ) ₌ Asin ^¡ ² _T ^π x + ϕ ¢

, une fonction sinusoïdale et la courbe associée à f une sinusoïde.

Vocabulaire

A est appelé l'amplitude de f .

ϕ est appelé phase initiale ou phase à l'origine de f .

T est appelé la période de f .

(100)

Les fonctions sinusoïdales

Dénition

On appelle toute fonction f s'écrivant de la forme f ( x ) ₌ Asin ^¡ ² _T ^π x + ϕ ¢

, une fonction sinusoïdale et la courbe associée à f une sinusoïde.

Vocabulaire

A est appelé l'amplitude de f .

est appelé phase initiale ou phase à l'origine de f .

(101)

Interprétation graphique

L'amplitude

(102)

Interprétation graphique

L'amplitude

(103)

Interprétation graphique

Le déphasage

(104)

Interprétation graphique

Le déphasage

(105)

Interprétation graphique

La période

(106)

Interprétation graphique

La période

(107)

Une sinusoïde quelconque

(108)

Une sinusoïde quelconque

(109)

Résumé

Nous avons vu ce que sont : les fonctions cos et sin les fonctions sinusoïdales

les caractéristiques de ces fonctions

(110)

Résumé

Nous avons vu ce que sont : les fonctions cos et sin les fonctions sinusoïdales

les caractéristiques de ces fonctions

(111)

Proposition

Pour tout A ^, B ∈ R non tous nuls, les fonctions de la

forme f ( x ) ₌ Asin ^¡ ² _T ^π x ^¢ + B cos ^¡ ² _T ^π x ^¢ sont des fonctions

sinusoïdales et l'amplitude de f est ^p A ² + B ² .

(112)

Proposition

Pour tout A ^, B ∈ R non tous nuls, les fonctions de la

forme f ( x ) ₌ Asin ^¡ ² _T ^π x ^¢ + B cos ^¡ ² _T ^π x ^¢ sont des fonctions

sinusoïdales et l'amplitude de f est ^p A ² + B ² .

(113)

La fréquence

Dénition

La fréquence f d'une fonction périodique se dénit comme l'inverse de la période T .

f = 1 T Elle est exprimée en Hertz, noté Hz. Remarque

La fréquence d'un son correspond à la hauteur de celui-ci

(114)

La fréquence

Dénition

La fréquence f d'une fonction périodique se dénit comme l'inverse de la période T .

f = 1 T Elle est exprimée en Hertz, noté Hz. Remarque

La fréquence d'un son correspond à la hauteur de celui-ci

(115)

La fréquence

Dénition

La fréquence f d'une fonction périodique se dénit comme l'inverse de la période T .

f = 1 T

Elle est exprimée en Hertz, noté Hz. Remarque

La fréquence d'un son correspond à la hauteur de celui-ci

(116)

La fréquence

Dénition

La fréquence f d'une fonction périodique se dénit comme l'inverse de la période T .

f = 1 T Elle est exprimée en Hertz, noté Hz.

Remarque

La fréquence d'un son correspond à la hauteur de celui-ci

(117)

La fréquence

Dénition

La fréquence f d'une fonction périodique se dénit comme l'inverse de la période T .

f = 1 T Elle est exprimée en Hertz, noté Hz.

Remarque

La fréquence d'un son correspond à la hauteur de celui-ci

(118)

L'expérience de Sauveur

(119)

L'expérience de Sauveur

(120)

Joseph Fourier (1768-1830)

(121)

Joseph Fourier (1768-1830)

(122)

Décomposition de Fourier

(123)

Décomposition de Fourier

(124)

Décomposition de Fourier

(125)

Décomposition de Fourier

(126)

Écriture mathématique

µ

a 1 cos ^µ 2 π

T x ^¶ + b 1 sin ^µ 2 π T x ^¶¶ +

µ

a 2 cos ^µ 4 π

T x ^¶ + b 2 sin ^µ 4 π T x ^¶¶ + ...

+ µ

a n cos ^µ 2n π

T x ^¶ + b n sin ^µ 2n π

T x ^¶¶

+ ...

(127)

Écriture mathématique

µ

a 1 cos ^µ 2 π

T x ^¶ + b 1 sin ^µ 2 π T x ^¶¶

+ µ

a 2 cos ^µ 4 π

T x ^¶ + b 2 sin ^µ 4 π T x ^¶¶ + ...

+ µ

a n cos ^µ 2n π

T x ^¶ + b n sin ^µ 2n π

T x ^¶¶

+ ...

(128)

Écriture mathématique

µ

a 1 cos ^µ 2 π

T x ^¶ + b 1 sin ^µ 2 π T x ^¶¶

+ µ

a 2 cos ^µ 4 π

T x ^¶ + b 2 sin ^µ 4 π T x ^¶¶

+ ... +

µ

a n cos ^µ 2n π

T x ^¶ + b n sin ^µ 2n π

T x ^¶¶

+ ...

(129)

Écriture mathématique

µ

a 1 cos ^µ 2 π

T x ^¶ + b 1 sin ^µ 2 π T x ^¶¶

+ µ

a 2 cos ^µ 4 π

T x ^¶ + b 2 sin ^µ 4 π T x ^¶¶

+ ...

+ µ

a n cos ^µ 2n π

T x ^¶ + b n sin ^µ 2n π

T x ^¶¶

+ ...

(130)

Écriture mathématique

µ

a 1 cos ^µ 2 π

T x ^¶ + b 1 sin ^µ 2 π T x ^¶¶

+ µ

a 2 cos ^µ 4 π

T x ^¶ + b 2 sin ^µ 4 π T x ^¶¶

+ ...

+ µ

a n cos ^µ 2n π

T x ^¶ + b n sin ^µ 2n π T x ^¶¶

+ ...

(131)

Écriture mathématique

µ

a 1 cos ^µ 2 π

T x ^¶ + b 1 sin ^µ 2 π T x ^¶¶

+ µ

a 2 cos ^µ 4 π

T x ^¶ + b 2 sin ^µ 4 π T x ^¶¶

+ ...

+ µ

a n cos ^µ 2n π

T x ^¶ + b n sin ^µ 2n π T x ^¶¶

+ ...

(132)

Interrogation d'Helmholtz

"Ce mode de décomposition des formes vibratoires, tel

que le décrit et le rend possible le théorème de Fourier,

ne serait-ce qu'une ction mathématique, admissible

pour la facilité du calcul, mais ne correspondant pas

nécessairement à quelque chose dans la réalité ? [...]

La possibilité mathématique, établie par Fourier, de

décomposer en vibrations simples tout mouvement

sonore, ne peut nous autoriser à conclure que ce soit là le

seul mode admissible de décomposition, si nous ne

pouvons prouver qu'il a un sens réel."

(133)

Interrogation d'Helmholtz

"Ce mode de décomposition des formes vibratoires, tel que le décrit et le rend possible le théorème de Fourier, ne serait-ce qu'une ction mathématique, admissible pour la facilité du calcul, mais ne correspondant pas nécessairement à quelque chose dans la réalité ? [...]

La possibilité mathématique, établie par Fourier, de

décomposer en vibrations simples tout mouvement

sonore, ne peut nous autoriser à conclure que ce soit là le

seul mode admissible de décomposition, si nous ne

pouvons prouver qu'il a un sens réel."

(134)

Interrogation d'Helmholtz

"Ce mode de décomposition des formes vibratoires, tel que le décrit et le rend possible le théorème de Fourier, ne serait-ce qu'une ction mathématique, admissible pour la facilité du calcul, mais ne correspondant pas nécessairement à quelque chose dans la réalité ? [...]

La possibilité mathématique, établie par Fourier, de

décomposer en vibrations simples tout mouvement

sonore, ne peut nous autoriser à conclure que ce soit là le

(135)

Helmholtz (1821-1894)

(136)

Helmholtz (1821-1894)

(137)

Le ressort

(138)

Le ressort

(139)

Le diapason

(140)

Le diapason

(141)

Correspondance entre son et fonction périodique

durée du son intervalle de dénition de la fonction hauteur du son fréquence de la fonction intensité du son amplitude de la fonction

timbre ?

(142)

Correspondance entre son et fonction périodique

durée du son

intervalle de dénition de la fonction hauteur du son fréquence de la fonction intensité du son amplitude de la fonction

timbre ?

(143)

Correspondance entre son et fonction périodique

durée du son intervalle de dénition de la fonction

hauteur du son fréquence de la fonction intensité du son amplitude de la fonction

timbre ?

(144)

Correspondance entre son et fonction périodique

durée du son intervalle de dénition de la fonction hauteur du son

fréquence de la fonction intensité du son amplitude de la fonction

timbre ?

(145)

Correspondance entre son et fonction périodique

durée du son intervalle de dénition de la fonction hauteur du son fréquence de la fonction

intensité du son amplitude de la fonction

timbre ?

(146)

Correspondance entre son et fonction périodique

durée du son intervalle de dénition de la fonction hauteur du son fréquence de la fonction intensité du son

amplitude de la fonction

timbre ?

(147)

Correspondance entre son et fonction périodique

durée du son intervalle de dénition de la fonction hauteur du son fréquence de la fonction intensité du son amplitude de la fonction

timbre ?

(148)

Correspondance entre son et fonction périodique

durée du son intervalle de dénition de la fonction hauteur du son fréquence de la fonction intensité du son amplitude de la fonction

timbre

?