Chapitre n°8 : « Parallélogrammes particuliers » Chapitre n°8 : « Parallélogrammes particuliers »
I. Rappels (parallélogramme)
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.
Construction
Propriétés des parallélogrammes
Dans tous les parallélogrammes, on a les propriétés suivantes :
• les côtés opposés sont de la même longueur ( AB=CD ; AD=BC) ;
• les diagonales se coupent en leur milieu ( AO=OC ; OB=OD) ;
• les angles opposés sont de la même mesure (BAC=ACD ; ABC=CDA) ;
• les angles consécutifs sont supplémentaires (BADADC=180°).
II. Rectangle
Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits.
Construction
Propriétés
Il y a d'abord les propriétés qui concernent tous les parallélogrammes :
• les côtés opposés sont parallèles et de même longueur ; les diagonales se coupent en leur milieu.
Il y a la propriété qui ne concerne que les rectangles :
• les diagonales sont de même longueur.
Exemple
JHYU est un rectangle de centre G. Fais une figure à main levée et indique toutes les longueurs égales. Code la figure.
• JH=UY ; JU=HY
• HU=JY
• GJ=GY=GU=GH
Propriété caractéristique n°1
Si un quadrilatère est un parallélogramme qui possède un angle droit alors c'est un rectangle.
Illustration (à main levée)
D'après les indications, on peut dire que EFGH est un rectangle.
E F
H G
(EF)//(HG) (EH)//(FG)
Application
On considère un quadrilatère IJKL tel que JKL=90°. On sait aussi que IJ//LK et que
JK//IL. Que peux-tu dire de ce quadrilatère ? Justifie ta réponse.
• On remarque que IJKL est un rectangle.
• D'après l'énoncé, IJKL est un parallélogramme puisque IJ//LK et
JK//IL. De plus, IJKL a un angle droit car JKL=90°.
Mais d'après le cours, si un quadrilatère est un parallélogramme qui possède un angle droit alors c'est un rectangle.
Donc effectivement, IJKL est bien un rectangle.
Propriété caractéristique n°2
Si un quadrilatère est un parallélogramme qui a ses diagonales de la même longueur alors c'est un rectangle.
Illustration (main levée)
D'après la propriété caractéristique n°2 ; EFGH est un rectangle.
III. Losange
Définition
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même longueur.
Figure
I J
L K
E F
H G
EFGH est un parallélogramme et EG=FH
Propriétés des losanges
• Comme pour tous les parallélogrammes, le losange a ses côtés opposés parallèles, ses diagonales qui se coupent en leur milieu, les angles opposés sont de même mesure.
• En plus, les losanges ont leurs diagonales perpendiculaires.
Exemple
On considère un losange YHGB de centre I. Fais une figure à main levée. Indique les longueurs égales et les angles droits. Code la figure.
• Longueurs égales : YH=GB=BY=HG ; BI=IH ; YI=IG
• Angles droits : YIH=HIG=GIB=BIY=90°
• Angles de même mesure : BYH=BGH ; YBG=YHG
Propriété caractéristique du losange (en partant du parallélogramme)
• Si un quadrilatère est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange.
(D'après la propriété, CLUB est aussi un losange !)
• Si un quadrilatère est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
(D'après la propriété, ANGE est aussi un losange).
Y
H
G
B I
C L
B U
CLUB est un parallélogramme
A
N
E G
ANGE est un parallélogramme
IV. Le carré
Définition
Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur et quatre angles droits.
Illustration
Propriétés des carrés
• Les côtés opposés sont parallèles.
• Les diagonales sont
perpendiculaires, se coupent en leur milieu et sont de la même longueur.
Remarques
Les quatre sommets sont équidistants du centre O. Il y a donc un cercle de centre
O qui passe par A, B, C et D.
Propriété caractéristique n°1
Si un quadrilatère est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur alors c'est un carré.
Propriété caractéristique n°2
Si un quadrilatère est un parallélogramme qui possède deux côtés consécutifs de même longueur et perpendiculaires alors c'est un carré.
Pour vendredi 2/04
• Matériel
• Contrôle 1h
