Livret de formules pour le cours de Mathématiques : analyse et approches

(1)

Programme du diplôme

Livret de formules pour le cours de Mathématiques : analyse et approches

À utiliser en cours et durant les examens Premiers examens en 2021

Version 1.1

(2)

Contenu

Acquis antérieurs

NM et NS 2

Thème 1 : Nombres et algèbre

NM et NS 3

NS seulement 4

Thème 2 : Fonctions

NM et NS 5

NS seulement 5

Thème 3 : Géométrie et trigonométrie

NM et NS 6

NS seulement 7

Thème 4 : Statistiques et probabilités

NM et NS 9

NS seulement 10

Thème 5 : Analyse mathématique

NM et NS 11

NS seulement 12

(3)

Acquis antérieurs – NM et NS

Aire d’un parallélogramme

A bh =

, où

b

est la base,

h

est la hauteur

Aire d’un triangle

1 ( )

A = 2 bh

, où

b

est la base,

h

est la hauteur

Aire d’un trapèze

1 ( )

A = 2 a b h +

, où

a

et

b

sont les côtés parallèles,

h

est la hauteur Aire d’un cercle

A = π r

², où

r

est le rayon

Circonférence d’un cercle

C = π 2 r

, où

r

est le rayon

Volume d’un cuboïde

V lwh =

, où

l

est la longueur,

w

est la largeur,

h

est la hauteur Volume d’un cylindre

V = π r h

² , où

r

est le rayon,

h

est la hauteur

Volume d’un prisme

V Ah =

, où

A

est l’aire de la base,

h

est la hauteur Aire de la surface latérale d’un

cylindre

A = π 2 rh

, où

r

est le rayon,

h

est la hauteur Distance entre deux points

1 1

( , ) x y

et

( , ) x y

₂ ₂

d = ( x x

¹

−

²

)

²

+ ( y y

¹

−

²

)

² Coordonnées du point milieu

d’un segment dont les extrémités sont

1 1

( , ) x y

et

( , ) x y

₂ ₂

1 2

,

1 2

2 2

x x y + + y

 

 

 

(4)

Thème 1 : Nombres et algèbre – NM et NS

NM 1.2 Le

n

ⁱ^ème terme d’une suite

arithmétique

u

_n

= + u

¹

( n − 1) d

La somme des

n

premiers

termes d’une suite arithmétique

( 2

1

( 1) ; ) (

1

)

2 2

n

S = u + n − d S = u u +

NM 1.3 Le

n

^ième terme d’une suite géométrique

1 n1

u

n

= u r

⁻ La somme des

n

premiers

termes d’une suite géométrique

1

( 1)

1

(1 )

1 1

n n

n

u r u r

S r r

− −

= =

− − , r ≠ 1

NM 1.4 Intérêts composés

1 100 r

k n

VF VA

k

 

= × +    

^{, où}

VF

est la valeur future,

VA

est la valeur actuelle,

n

est le nombre d’années,

k

est le nombre de périodes de composition par année,

r %

est le taux d’intérêt nominalannuel

NM 1.5 Exposants et logarithmes

a

^x

= ⇔ b x = log

_a

b

, où

a > 0, b > 0, a ≠ 1

NM 1.7 Lois des logarithmes

log

_a

xy = log

_a

x + log

_a

y

log

_a

x log

_a

x log

_a

y

y = −

log

_a

x

^m

= m log

_a

x log log

log

^b

a

b

x x

= a

NM 1.8 La somme d'une suite

géométrique infinie ¹

, 1

1 S u r

∞

= r <

−

NM 1.9 Formule du binôme de

Newton

( a b + )

ⁿ

= a

ⁿ

+ n C 1 a b

ⁿ⁻¹

+ +

…

n C r a b

^{n r r}⁻

+ +

…

b

ⁿ

C !

!( )!

n n

r = r n r

−

(5)

Thème 1 : Nombres et algèbre – NS seulement

MCNS

1.10 Combinaisons

C !

!( )!

n n

r = r n r

−

Permutations

P !

( )!

n n

r = n r

−

MCNS

1.12 Nombres complexes

z a b = + i

MCNS

1.13 Forme module-argument (polaire) et forme

exponentielle (Euler)

(cos isin ) e

i

cis z r = θ + θ = r

^θ

= r θ

MCNS

1.14 Formule de De Moivre

[ ^r ^(cos ^θ ⁺ ^{isin )} ^θ ]

ⁿ

⁼ ^r

ⁿ

^(cos ⁿ ^θ ⁺ ^{isin )} ⁿ ^θ ⁼ ^r

^{n n}

^e

ⁱ^θ

⁼ ^r

ⁿ

^cis ⁿ ^θ

(6)

Thème 2 : Fonctions – NM et NS

NM 2.1 Équations d’une droite

y mx c = +

;

ax by d + + = 0

;

y y m x x −

₁

= ( −

₁

)

Formule pour la pente ² ¹

2 1

= −

− y y m x x

NM 2.6 Axe de symétrie de la

représentation graphique d’une fonction du second degré

( )

2

f x = ax + bx c + ⇒

l’axe de symétrie est

2 x b

= − a

NM 2.7 Solutions d’une équation du second degré Discriminant

2

0

2

4 , 0

2 b b ac

ax bx c x a

a

− ± −

+ + = ⇒ = ≠

2

4 b ac

∆ = −

NM 2.9 Fonctions exponentielles

et logarithmiques

e

ln

x x a

a = ; log

_a

a

^x

= = x a

^log^a^x où

a x , > 0, a ≠ 1

Thème 2 : Fonctions – NS seulement

MCNS

2.12 Somme et produit des racines d’équations polynomiales de la forme

0 n

0

r r r

a x

=

∑ =

La somme est ⁿ¹

n

a a

−

; le produit est

( ) 1

ⁿ ₀

n

a a

−

(7)

Thème 3 : Géométrie et trigonométrie – NM et NS

NM 3.1 Distance entre deux points

1 1 1

( , , ) x y z

et

( , , ) x y z

₂ ₂ ₂

d = ( x x

¹

−

²

)

²

+ ( y y

¹

−

²

)

²

+ ( z z

¹

−

²

)

² Coordonnées du point

milieu d’un segment dont les extrémités sont

1 1 1

( , , ) x y z

et

( , , ) x y z

₂ ₂ ₂

1 2

, ,

1 2 1 2

2 2 2

+ + +

 

 

 

x x y y z z

Volume d’une pyramide droite

1 V = 3 Ah

, où

A

est l’aire de la base,

h

est la hauteur

Volume d’un cône droit

1

²

V = π 3 r h

, où

r

est le rayon,

h

est la hauteur Aire de la surface latérale

d’un cône

A = π rl

, où

r

est le rayon,

l

est la hauteur oblique (l’apothème)

Volume d’une sphère

4

³

V = π 3 r

, où

r

est le rayon Aire de la surface d’une

sphère

4π

2

A = r

, où

r

est le rayon

NM 3.2 Loi des sinus

sin sin sin

a b c

A = B = C

Loi des cosinus

c

²

= a

²

+ b

²

− 2 cos ab C ; cos

² ² ²

2 a b c

C ab

+ −

=

Aire d’un triangle

1 sin

A = 2 ab C

NM 3.4 Longueur d’un arc

l r = θ

, où

r

est le rayon,

θ

est l’angle mesuré en radians

(8)

NM 3.5 Identité pour

tan θ _tan ^sin cos θ θ

= θ

NM 3.6 Identité de Pythagore

cos

²

θ + sin

²

θ = 1

Identités de l’angle double

sin 2 θ = 2sin cos θ θ

2 2 2 2

cos2 θ = cos θ − sin θ = 2cos θ − = − 1 1 2sin θ

Thème 3 : Géométrie et trigonométrie – NS seulement

MCNS

3.9 Rapports trigonométriques inverses

sec 1 θ cos

= θ cosec 1

θ sin

= θ

Identités de Pythagore ² ²

2 2

1 tan sec 1 cot cosec

θ θ

+ =

MCNS

3.10 Formules de la somme et de la différence de deux angles

sin ( A B ± ) sin cos = A B ± cos sin A B cos( A B ± ) cos cos = A B

∓

sin sin A B

tan tan tan ( )

1 tan tan

A B

A B A B

± = ±

∓ Identité de l’angle double

pour

tan tan 2 2tan

²

1 tan θ θ

= θ

−

MCNS

3.12 Norme d’un vecteur v

= v

₁²

+ v

₂²

+ v

₃² , où

1 2 3

v v v

   

=  

   

v

(9)

MCNS

3.13 Produit scalaire v w

⋅ = v w v w v w

_{1 1}

+

_{2 2}

+

_{3 3}, où

1 2 3

v v v

   

=  

   

v ,

1 2 3

w w w

 

 

=  

 

 

w

cos θ

v w

⋅ =

v w , où

θ

est l’angle entre v et w

Angle entre deux vecteurs

1 1 2 2 3 3

cos θ = v w v w v w ⁺ ⁺

v w MCNS

3.14 Équation vectorielle d’une

droite r a

= +

λb

Forme paramétrique de

l’équation d’une droite

x x =

⁰

+ λ l y y , , =

⁰

+ λ m z z =

⁰

+ λ n

Forme symétrique de

l’équation d’une droite

x x

⁰

y y

⁰

z z

⁰

l m n

− − −

= =

MCNS

3.16 Produit vectoriel

2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

v w v w v w v w v w v w

 − 

 

× =  − 

 − 

 

v w , où

1 2 3

v v v

   

=  

   

v ,

1 2 3

w w w

 

 

=  

 

 

w

sin θ

× =

v w v w , où

θ

est l’angle entre v et w

Aire d’un

parallélogramme

A = ×

v w où v et w forment deux côtés adjacents d’un parallélogramme

MCNS

3.17 Équation vectorielle d’un

plan r a

= +

λb + c

µ

Équation d’un plan

(utilisant le vecteur normal) r n a n

⋅ = ⋅

Équation cartésienne

d’un plan

ax by cz d + + =

(10)

Thème 4 : Statistiques et probabilités – NM et NS

NM 4.2 Écart interquartile

EI = Q

3

− Q

1

NM 4.3 Moyenne (

x )

d’un

ensemble de données ¹

k i i i

f x x = ∑

⁼

n

, où

1 k i i

n f

=

= ∑

NM 4.5 Probabilité d’un événement

A

P( ) ( )

( ) A n A

= n U

Événements

complémentaires

P( ) P( ) 1 A + A ′ =

NM 4.6 Événements composés

P( A B ∪ ) P( ) P( ) P( = A + B − A B ∩ )

Événements

incompatibles

P( A B ∪ ) P( ) P( ) = A + B

Probabilité conditionnelle

P( ) P( ) P( ) A B A B

B

= ∩

Événements indépendants

P( A B ∩ ) P( ) P( ) = A B

NM 4.7 Espérance mathématique

d’une variable aléatoire discrète

X

E( ) X = ∑ x P( X x = )

NM 4.8 Distribution binomiale

~ B ( , )

X n p

Moyenne

E( ) X = np

Variance

Var( ) X = np (1 − p )

NM 4.12 Variable normale centrée

réduite (cote

z

)

z x µ σ

= −

(11)

Thème 4 : Statistiques et probabilités – NS seulement

MCNS

4.13 Théorème de Bayes

P( | ) P( ) P( | )

P( ) P( | ) P( ) P( | ) B A B

B A = B A B B A B

+ ′ ′

1 1 2 2 3 3

P( )P( | ) P( | )

P( )P( | ) P( )P( | ) P( )P( | )

ⁱ ⁱ

i

B A B

B A = B A B B A B B A B

+ +

MCNS 4.14

Variance

σ

²

( )

² ²

2 1 1 2

k k

i i i i

i i

f x f x

n n

µ

σ

⁼ ⁼

µ

−

= ∑ = ∑ −

Écart-type

σ ( )

²

1 k

i i

i

f x

n µ

σ

⁼

−

= ∑

Transformation linéaire d’une seule variable aléatoire

( )

²

E E( )

Var Var( )

aX b a X b

aX b a X

+ = +

+ =

Espérance mathématique

d’une variable aléatoire continue

X

E( ) X µ

^∞

x f x x ( )d

= = ∫

−∞

Variance

^{Var( ) E(} ^X ⁼ ^X ⁻ ^µ ⁾

²

⁼ ^{E( ) E( )} ^X

²

⁻ [ ^X ]

²

Variance d’une variable aléatoire discrète

X

2 2 2

Var( ) X = ∑ ( x − µ ) P( X x = ) = ∑ x P( X x = ) − µ

Variance d’une variable

aléatoire continue

X Var( ) X

^∞

( x µ ) ( )d

²

f x x

^∞

x f x x

²

( )d µ

²

−∞ −∞

= ∫ − = ∫ −

(12)

Thème 5 : Analyse mathématique – NM et NS

NM 5.3 Dérivée de

x

ⁿ

f x ( ) = x

ⁿ

⇒ f x ′ ( ) = nx

ⁿ⁻¹

NM 5.5 Intégrale de

x

ⁿ

d

¹

, 1

1

n

x

n

x x C n

n

=

+

+ ≠ −

∫ +

Aire de la région délimitée par une courbe

y f x = ( )

et par l’axe des abscisses, où

f x ( ) 0 >

b

d A = ∫

a

y x

NM 5.6 Dérivée de

sin x f x ( ) sin = x ⇒ f x ′ ( ) cos = x

Dérivée de

cos x f x ( ) cos = x ⇒ f x ′ ( ) = − sin x

Dérivée de

e

^x

f x ( ) e =

^x

⇒ f x ′ ( ) e =

^x

Dérivée de

ln x f x ( ) ln x f x ( ) 1

′ x

= ⇒ =

Règle de dérivation en

chaîne

y g u = ( )

, où

( ) d d d

d d d

y y u

u f x

x u x

= ⇒ = ×

Règle de dérivation du produit

d d d

y v u

y uv u v

x x x

= ⇒ = +

Règle de dérivation du

quotient ²

d d

d d d

d

u v

v u

u y x x

y v x v

−

= ⇒ =

NM 5.9 Accélération

d d

²₂

d d

v s

a = t = t

Distance parcourue entre

t

1 et

t

₂ ^distance

2 1

( ) d

t

v t t

= ∫

Déplacement entre

t

1 et

t

₂ déplacement ²

1

( )d

t t

v t t

= ∫

(13)

NM 5.10 Intégrales classiques

1 d ln x x C

x = +

∫

sin d x x = − cos x C +

∫

cos d x x = sin x C +

∫

e d

^x

x = e

^x

+ C

∫

NM 5.11 Aire d’une région délimitée par une courbe et par l’axe des abscisses

b

d A = ∫

a

y x

Thème 5 : Analyse mathématique – NS seulement

MCNS

5.12 Définition formelle de la

dérivée de

f x ( ) ( ) d ( ) lim

₀

( ) ( )

d

^h

y f x h f x

y f x f x

x

^→

h

+ −

 

= ⇒ = ′ =    

MCNS

5.15 Dérivés classiques

tan x f x ( ) tan = x ⇒ f x ′ ( ) sec =

²

x sec x f x ( ) sec = x ⇒ f x ′ ( ) sec tan = x x cosec x f x ( ) cosec = x ⇒ f x ′ ( ) = − cosec cot x x cot x f x ( ) cot = x ⇒ f x ′ ( ) = − cosec

²

x a

x

f x ( ) = a

^x

⇒ f x ′ ( ) = a

^x

(ln ) a

log x f x ( ) log = x ⇒ f x ′ ( ) = 1

(14)

MCNS

5.15 Intégrales classiques

d 1 ln

x x

a x a C

= a +

∫

2 2

1 d x 1 arctan x C

a x a a

=     +

+  

∫

2 2

1 d x arcsin x C , x a a x a

=       + <

∫ −

MCNS

5.16 Intégration par parties

d d d d

d d

v u

u x uv v x

x = − x

∫ ∫

^ou

∫ ^{u v uv} ^d ⁼ ⁻ ∫ ^{v u} ^d

MCNS

5.17 Aire d’une région délimitée par une courbe et par l’axe des ordonnées

b

d A = ∫

a

x y

Volume de révolution autour de l’axe des abscisses ou de l’axe des ordonnées

π d2 b

V = ∫

a

y x

^ou

V = ∫

a^b^{π d}

x y

²

MCNS

5.18 Méthode d’Euler

y

_n+₁

= y

_n

+ h f x y

×

( , )

_n _n ;

x

_n+₁

= x

_n

+ h

, où

h

est une constante (longueur du pas)

Facteur intégrant pour

( ) ( )

y P x y Q x ′ + = e ∫

^{P x x}^{( )d}

MCNS

5.19 Série de Maclaurin

( ) (0) (0)

²

(0) 2!

f x = f + x f ′ + x f ′′ +

…

Séries de Maclaurin pour des fonctions particulières

e 1

2

...

2!

x

= + + x x +

2 3

ln (1 ) ...

2 3

x x x x

+ = − + −

3 5

sin ...

3! 5!

x x x x = − + −

2 4

x x