le 15 D´ecembre 2003 UTBM
MT12
Examen m´ edian Printemps 2003
Chaque partie sera r´edig´ee sur une feuille diff´erente. Les calculatrices sont interdites.
Partie I :
Exercice 1 On consid`ere le R-espace vectoriel R3, muni de sa base canonique. Soit les vecteurs V1=
1
−1 0
∈R3 et V2=
0 1
−12
∈R3.
1. Montrer que l’ensembleE ={
a b c
∈R3 tel que
a b c
.V1 = 0 et
a b c
.V2 = 0} est un sous-espace vectoriel de R3 (la notation ’.’ d´esigne le produit scalaire).
2. Donner une base et la dimension de E.
3. Si c’est possible, trouver deux suppl´ementairesF1 etF2 deE dansR3 tels que dansF1+F2 = R3? Cette somme est-elle directe ?
Exercice 2 Soient les vecteurs de R3 : u=
a 1 2−a
, v=
2a a+ 1
2
.
1. A quelle condition n´ecessaire et suffisante sura∈R, les vecteursu, vsont-ils ind´ependants ? 2. Completer, dans le cas o`uu et v sont ind´ependants, la famille {u, v} en une baseβ de R3.
Quelles sont les coordonn´ees de X =
a2 + 2
1a+32 1−a2 +2a
dansβ?
1
Partie II :
Exercice 3 SoitR2[X], l’ensemble des polynˆomes `a coefficients dans Rnul ou de degr´e inf´erieur ou ´egal ´a 2 (R2[X]est un espace vectoriel surR) muni de la baseβ={1, X, X2}. Soit l’application u:R2[X]−→R2[X]telle que, pour P(X)∈R2[X],u(P(X)) =P0(X) + 2P(X)(o`u P0(X) est le polynˆome d´eriv´e de P).
1. Montrer que u est un endomorphisme.
2. Soit f : R3 −→ R3 l’endomorphisme induit par u grˆace aux coordonn´ees dans la base β.
Ecrire la matrice def dans la base canonique de R3 correspondant `a β.
3. En d´eduire la matrice def◦f et f◦f◦f. 4. Trouver V ∈R3 tel que dans la baseβ0 ={
1 0 0
,
0 1 0
, V} de R3 on ait
Mf,β0 =
2 1 0 0 2 1 0 0 2
?
Quelle est la base correspondante dans R2[X]?
Exercice 4 Soit la matrice
A=
10 9 9
−9 −8 −9
−9 −9 −8
.
Soit f l’application lin´eaire associ´ee `a A dans la base canonique de R3.
1) D´eterminer l’ensemble F des vecteurs invariants par f, c.`a.d. l’ensemble des vecteurs u∈R3, tels que f(u) =u. En donner une base.
2) Soitv= (1,−1,−1). Montrer que le sous-espace vectorielGengendr´e parvest suppl´ementaire de F dansR3.
3) D´eterminer la matrice de f dans la base B0 obtenue en compl´etant la base de F obtenue au 1) par v.
2
