Partie A : Le Cours (Calculatrices interdites) (30 minutes) (3 points) Partie B : Deux exercices et un problème Calculatrices autorisées ; (17 points)

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CPGE TSI 1

Samedi 28 septembre 2013 Durée 4 heures.

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES (2)

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements constituent un objectif majeur pour les épreuves écrites de mathématiques et

entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

NB1 : le barème est indicatif et susceptible de légères modifications

NB2 : une erreur dans un texte de devoir est toujours possible ; si vous pensez détecter une erreur, signalez le sur votre copie et continuez votre rédaction

Partie A : Le Cours (Calculatrices interdites) (30 minutes) (3 points)

Partie B : Deux exercices et un problème

Calculatrices autorisées ; (17 points)

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Partie A : Le Cours (Calculatrices interdites) (30 minutes) (3 points)

1. Avec les notations habituelles, complétez : 𝑀𝑁 , 𝑀𝑃 = arg⁡

2. Que désigne la notation 𝑒^𝑖𝜃 ? : Réponse : 3. Quel est le module de 𝑒^𝑖𝜃 ? Réponse : 4. Quel est le conjugué de 𝑒^𝑖𝜃 ? Réponse :

5. Rappeler les deux formules d’Euler et la formule de Moivre : Réponses :

6. Qu’appelle-t-on « Racine nieme de l’unité » et quelles sont leurs valeurs ? Réponses :

7. Quelles sont les 2 observations que l’on peut faire à propos de ces « racines n-ieme de l’unité » ?

1) 2)

8. Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions ; Comment prouver que les courbes représentatives de 𝑓 et de 𝑔 sont asymptotes au voisinage de +∞ ?

Réponse :

Dans ce cas, comment savoir leurs positions relatives (dessus ou dessous) ? Réponse :

9. On suppose que lim_𝑥→+∞𝑓 𝑥 = + ∞ ; On calcule alors : lim_𝑥→+∞^{𝑓 𝑥}

𝑥 Que peut on déduire lorsque :

 Cette limite est nulle ? : Réponse :

 Cette limite est infinie ? : Réponse :

 Cette limite est un réel « a » non nul ? : Réponse :

Que calculer dans ce cas et que déduire de ce nouveau calcul ? Réponse :

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Partie B ; Calculatrice autorisée ; (17 points)

Exercices 1 : De la technique (8 points)

1. Ecrire sous forme algébrique le complexe : ^3+𝑖

1−𝑖 20

2. On pose 𝑧₁ = 1 + 𝑖 et 𝑧₂ = 1 + 𝑖 3 a) Ecrire 𝑧₁ , 𝑧₂ , 𝑧₁𝑧₂ et ^𝑧¹

𝑧₂ sous forme exponentielle b) Calculer 𝑧₁𝑧₂ puis ^𝑧¹

𝑧₂ sous forme algébrique

c) En comparant les deux formes, déduire les valeurs exactes des réels : cos 𝜋

12 , sin 𝜋

12 , cos 7𝜋

12 , sin 7𝜋 12 3. A l’aide des formules d’Euler, linéariser 𝑐𝑜𝑠² 𝑥 𝑠𝑖𝑛²(𝑥)

4. A l’aide de la formule de Moivre, exprimer cos 4𝑥 𝑒𝑡 sin⁡(4𝑥) en fonction de cos 𝑥 𝑒𝑡 sin⁡(𝑥)

Rappel : (𝑎 + 𝑏)⁴ = 𝑎⁴+ 4𝑎³𝑏 + 6𝑎²𝑏² + 4𝑎𝑏³ + 𝑏⁴ 5. Déterminer les points 𝑀 d’affixe z tels que 𝑍 =^{𝑧−1−𝑖}

𝑖𝑧+1 soit imaginaire pur (plusieurs méthodes sont possibles, en choisir une seule)

6. Déterminer les points 𝑀 d’affixe 𝑧 tels que 𝑧 − 𝑖 = 𝑧 + 1 plusieurs méthodes sont possibles, en choisir une seule)

7. Prouver par la méthode de votre choix que les points 𝑀 d’affixe 1 + 𝑖 , 𝑁 d’affixe 𝑧 + 𝑖 et 𝑃 d’affixe 1 + 𝑖𝑧 forment un triangle rectangle quel que soit le complexe 𝑧

8. Résoudre dans ℂ l’équation : 𝑖 𝑧² + 𝑖 𝑧 + 1 + 𝑖 = 0

9. Donner l’écriture complexe de la rotation de centre Ω(2; −1) et d’angle ^𝜋

2

Déterminer la nature de la transformation géométrique d’écriture complexe : 𝑧^′ = −3𝑧 + 4 − 8𝑖

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Exercice 2 : Un peu de recherche mais certaines questions sont très faciles (6 points) Le but de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de 𝑐𝑜𝑠 ^2𝜋

5

1° méthode : On pose 𝜔 = 𝑒^𝑖^2𝜋⁵ ; on cherche donc la partie réelle de 𝜔 a) Justifier que 1 + 𝜔 + 𝜔² + 𝜔³+ 𝜔⁴ = 0

b) On pose

𝛼 = 𝜔 +

¹

𝜔 ; justifier que 𝛼 = 2 cos ^2𝜋

5

c) Justifier que 𝛼 est solution de l’équation (E) : 𝑥² + 𝑥 − 1 = 0 d) Déduire alors que

cos

^2𝜋

5

=

^{−1+ 5}

4

2° méthode : On pose également 𝜔 = 𝑒^𝑖^2𝜋⁵ ; on cherche donc la partie réelle de 𝜔 On a donc encore 1 + 𝜔 + 𝜔² + 𝜔³+ 𝜔⁴ = 0

a) Justifier alors que l’on a : 1 + cos ^2𝜋

5 + cos ^4𝜋

5 + cos ^6𝜋

5 + cos ^8𝜋

5 = 0 b) Que dire de cos ^2𝜋

5 et de cos ^8𝜋

5 ? De cos ^4𝜋

5 et de cos ^6𝜋

5 ? Justifier c) Quelle relation peut-on écrire entre cos ^4𝜋

5 et cos ^2𝜋

5 (on remarquera que ^4𝜋

5 = 2.^2𝜋

5 ) d) Déduire que cos ^2𝜋

5 est solution de l’équation : 4𝑥² + 2𝑥 − 1 = 0 e) Déduire alors que

cos

^2𝜋

5

=

^{−1+ 5}

4

Exercice 3 : De la technique avec les limites (3 points)

1. Soit la fonction définie par 𝑓(𝑥) = ^2𝑥³^{+2𝑥²−2𝑥+3}_2𝑥+2

a) Après avoir précisé son ensemble de définition, justifier que la courbe représentative de 𝑓 admet une asymptote verticale

b) Justifier que la courbe représentative de 𝑓 admet une branche parabolique dont on précisera la direction

c) Justifier que la courbe représentative de 𝑓 et la parabole (𝑃) d’équation

𝑦 = 𝑥² − 1 sont asymptotes l’une à l’autre au voisinage de +∞ ; préciser leurs positions relatives.

2. Calculer la limite suivante : lim_𝑥→+∞^{𝑥²−𝑥+1}

𝑥

3. Prouver que la représentation graphique de la fonction définie par 𝑓 𝑥 = 𝑒^−𝑥 cos⁡(𝑥) admet une asymptote en +∞

Donner l’allure de cette représentation graphique en faisant apparaitre les éléments qui sont intervenus dans le calcul de la question précédente