Op´ erateur de Koopman et identification de structures coh´ erentes : application ` a un ´ ecoulement de cavit´ e
F. Gu´eniat1, J. Basley1, C. Douay1, L. Pastur1, F. Lusseyran1, & T. Faure1
LIMSI CNRS BP 133
91403 Orsay CEDEX, France florimond.gueniat@limsi.fr
Un syst`eme physique ouvert poss`ede, potentiellement, un nombre infini de degr´es de libert´e. N´eanmoins les ´ecoulements sont le plus souvent organis´es autour de diverses structures coh´erentes, jouant un rˆole d´ecisif dans la dynamique. Ces structures invitent `a chercher des moyens de r´eduction de la dimension effective des ´ecoulements, et ainsi conserver la validit´e des approches orient´ees vers l’analyse de syst`eme dynamique r´eduit.
Une id´ee classique est de rechercher une base vectorielle, constitu´ee de modes, capable de d´ecrire les r´ealisations des champs mesur´es. Ces m´ethodes types sont par exemple la d´ecomposition en modes de Fourier, la d´ecomposition suivant les axes principaux (modes POD), des champs solutions des ´equations de Navier-Stokes lin´earis´ees autour d’un ´etat de base stationnaire (modes globaux). R´ecemment, Schmid [2] et Rowley [1] ont propos´e une nouvelle m´ethode de d´ecomposition, bas´ee sur un op´erateur d´ecrit par Koopman, permettant th´eoriquement d’extraire directement les informations de la dynamique in- trins`equement non-lin´eairement satur´ee de l’´ecoulement.
Dans cette contribution, nous pr´esentons la m´ethode en d´etail et l’illustrons sur un ´ecoulement de cavit´e cisaill´e. Notamment, nous v´erifions une conjecture de Mezic et Rowley [1] selon laquelle, lorsque la dynamique ´evolue sur un attracteur, les modes de Koopman convergent vers les modes spatiaux obtenus par transform´ee de Fourier discr`ete en temps.
R´ ef´ erences
1. C.W. Rowley and al., Spectral analysis of non linear flowsJ. Fluid Mechanics,641(1), 115-127 (2009).
2. P. Schmid, Dynamic mode decomposition of numerical and experimental dataJ. Fluid Mechanics,656(1), 5-28 (2010).
3. J. Basley, L. Pastur, F. Lusseyran, T. Faure, N. Delprat, Investigation of the spatial organization of spectral dynamics in an uncompressible cavity flow using time-resolved high-speed PIV8th International Symposium on Particle Image Velocimetry, Melbourne, Australia, (2009).
