DS 1 Le 24/09/2021 Spé Maths
Devoir sur table DS 1
( 1 heure ) Exercice 1 : ( 4 points )
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : (a) f1(x) = 5x(3x+ 1)−2(4−x)
(b) f3(x) = (5 + 4x)(2−x)−(3x+ 7)(4−6x)
(a) On a, ∀x∈R :
f1(x) = 5x(3x+ 1)−2(4−x)
= 15x2+ 5x−8 + 2x
= 15x2+ 7x−8 (b) On a, ∀x∈R :
f3(x) = (5 + 4x)(2−x)−(3x+ 7)(4−6x)
= 10−5x+ 8x−4x2−12x+ 18x2−28 + 42x
= 14x2+ 33x−18
Solution :
Exercice 2 : ( 3 points )
Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes : (a) f2(x) = 3(x+ 1)2−6
(b) f3(x) = (x−3)(x+ 3)−(x+ 2)2
(a) On a, ∀x∈R :
f2(x) = 3(x+ 1)2−6
= 3x2+ 6x+ 3−6
= 3x2+ 6x−3 (b) On a, ∀x∈R :
f3(x) = (x−3)(x+ 3)−(x+ 2)2
= x2−9−x2−4x−4
= −4x−13
Solution :
SebJauMaths 1/3 Lycée Jean Rostand
DS 1 Le 24/09/2021 Spé Maths Exercice 3 : ( 4 points )
Factoriser les expressions suivantes : (a) f1(x) = 8x2+ 16x
(b) f2(x) = (2x+ 1)(x−3)−(2x+ 1)(5x+ 2) (c) f3(x) =x2−4x+ 4−(x−2)(3x−4)
(a) On a, ∀x∈R :
f1(x) = 8x2+ 16x
= 8x(x+ 2)
(b) On a, ∀x∈R :
f2(x) = (2x+ 1)(x−3)−(2x+ 1)(5x+ 2)
= (2x+ 1)(x−3−5x−2)
= (2x+ 1)(−4x−5) (c) On a, ∀x∈R :
f3(x) = x2−4x+ 4−(x−2)(3x−4)
= (x−2)2−(x−2)(3x−4)
= (x−2)(x−2−3x+ 4)
= (x−2)(−2x+ 2)
Solution :
Exercice 4 : ( 4 points )
Déterminer la forme canonique des polynômes suivants : (a) p1(x) =x2−6x+ 7
On a, pour tout réelx :
p1(x) =x2−6x+ 7 = (x−3)2−9 + 7 = (x−3)2−2
Solution :
(b) p2(x) =x2+ 2 3x−2
On a, pour tout réelx : p2(x) =x2+2
3x−2 =
x+1 3
2
− 1 9−2 =
x+1
3 2
− 19 9
Solution :
Exercice 5 : ( 5 points )
On considère la fonction f dénie sur R par :
f(x) = 3x2−4x+ 3 1) Déterminer l'image par f de (-1).
SebJauMaths 2/3 Lycée Jean Rostand
DS 1 Le 24/09/2021 Spé Maths
On veut juste f(−1) = 3×(−1)2 −4×(−1) + 3 = 3 + 4 + 3 = 10...
Solution :
2) Montrer que l'on a :
∀x∈R , f(x) = 3
x−2 3
2
+ 5 3
Il sut de développer la forme donnée :
∀x∈R : 3
x− 2
3 2
+5
3 = 3
x2 −4 3x+4
9
+5 3
= 3x2−4x+4 3 +5
= 3x2−4x+ 3 3
= f(x)
Solution :
3) Justier que la fonction est toujours positive sur R.
Grâce à la question précédente, on sait que :
∀x∈R , f(x) = 3
x−2 3
2
+ 5 3, or,∀x∈R , 3
x− 2
3 2
≥0( car un nombre au carré est toujours positif...) et plus 5
3 >0. La somme de deux nombres positifs étant positif, on a donc bien une fonction toujours positive sur R.
Solution :
4) Déterminer le minimum de la fonction, en précisant la valeur de son antécédent.
Toujours en utilisant l'expression de la question 2, on constate que, au minimum,
x− 2 3
2
= 0 pour la valeur x = 2
3. Donc le minimum de la fonction est 5
3, et il est atteint pour x= 2
3.
Solution :
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