Pierre-Louis CAYREL 2009-2010
U.F.R. M.I.T.S.I.C. cours intensifs
Universit´e de Paris 8 Examen - vendredi 5 f´evrier 2010
Alg` ebre : groupe, anneau, corps et polynˆ omes
- Carte d’´etudiant obligatoire - AUCUN document n’est autoris´e
Interdits : walkman, calculatrice, t´el´ephone, organizer, communication, sacs sur la table.
N’oubliez pas nom, pr´enom et num´ero sur chaque copie - Dur´ee : 1 heure.
Groupe
(3 points) Soit 𝑔 et𝑔′ appartenant `a un groupe (𝐺, ★) et qui commutent.
Montrer que 𝑔−1 et𝑔′ commutent puis que 𝑔−1 et𝑔′−1 ´egalement.
(2 points) Soient (𝐺, ★) un groupe et 𝑔1, 𝑔2, . . . , 𝑔𝑛 dans 𝐺.
Exprimer l’inverse de 𝑔1★⋅ ⋅ ⋅★ 𝑔𝑛 `a l’aide des inverses𝑔𝑖−1.
(5 points) On munit l’ensemble 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} d’une loi de composition interne dont la table de Pythagore (ou table de Cayley) est
★ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑
𝑏 𝑏 𝑎 𝑑 𝑐
𝑐 𝑑 𝑐 𝑏 𝑎
𝑑 𝑐 𝑑 𝑎 𝑏
Est-ce une loi de groupe ?
Anneau
(2,5 points) Que dire d’un anneau (𝐴,+,×) dans lequel 1𝐴= 0𝐴? (le neutre de la loi + est not´e 0𝐴 et 1𝐴 celui de la loi ×)
Corps
(2,5 points) Un sous-corps 𝐿 d’un corps (𝕂,+,×) est-il un sous-anneau de l’anneau (𝕂,+,×) ? Justifier votre r´eponse.
Polynˆ omes
(5 points) Effectuer la division euclidienne de𝑋5−7𝑋4−𝑋2−9𝑋+ 9 par𝑋2−5𝑋+ 4.
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