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Submitted on 1 Jan 1990
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ÉTUDE NUMÉRIQUE DE LA TRANSPARENCE ACOUSTIQUE DE STRUCTURES
Ph. Boissinot
To cite this version:
Ph. Boissinot. ÉTUDE NUMÉRIQUE DE LA TRANSPARENCE ACOUSTIQUE
DE STRUCTURES. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-241-C2-244.
�10.1051/jphyscol:1990258�. �jpa-00230679�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C2, supplément au n°2. Tome 51, Février 1990 C2-241 1er Congrès Français d'Acoustique 1990
ÉTUDE NUMÉRIQUE DE LA TRANSPARENCE ACOUSTIQUE DE STRUCTURES
PH. B0ISSIN0T(1)
ALTRAN TECHNOLOGIES, 58 Boulevard Gouvion St Cyr, F-75017 Paris, France
Résumé : Cet article présente les résultats numériques d'une étude portant sur la transparence acoustique de structures planes en régime harmonique. Le formalisme adopté pour décrire l'interaction entre les milieux mécanique et acoustique est présenté IV. L'ensemble des modules de calcul développés qui permettent de résoudre les problèmes de transparence acoustique a été baptisé PLATE. Les résultats présentés montrent l'influence des conditions d'impédance et de fixation mécanique sur le calcul de la transparence de parois.
Abstract: Numerical results with regard to the acoustical transparency of plates in closed medium are presented. The used formalism to describe interaction between acoustical and mechanical mediums is depicted. Numerical results of the software, called PLATE, is described. The effects of boundary impedance condition and of mechanical fixation of the plate are shown.
1 - INTRODUCTION
L'étude de la propagation acoustique dans les bâtiments permet de caractériser les niveaux de bruit engendré par des sources. Une première approche des phénomènes de propagation est une approche statistique 121. Le couplage entre une cavité et une paroi frontière est alors caractérisé par un coefficient de rayonnement qui relie l'énergie entrant dans la paroi à l'énergie rayonnée par cette paroi. Une seconde approche est issue de l'approximation géométrique appliquée à l'équation de HELMHOLTZ; elle procède par le calcul des énergies rayonnées par des sources ponctuelles. Ces deux approches sont limitées au domaine des hautes fréquences. Dans la domaine des basses fréquences, la résolution de l'équation de HELMHOLTZ peut être réalisée par différences finies. L*E.D.F a développé un code de calcul permettant, à partir de la définition des sources acoustiques et des parois caractérisées par leurs impédances, d'accéder à la pression complexe en tout point Lorsque deux cavités sont séparées par une paroi, une représentation de type 'propagation acoustique' n'est plus possible car la paroi est excitée mécaniquement et transmet une énergie aux deux cavités. La paroi se comporte alors comme une source virtuelle qui s'ajoute aux sources réelles. L'étude réalisée porte sur la caractérisation de la transparence acoustique des parois. Dans un premier temps, nous présentons le formalisme, puis la géométrie des configurations testées, et finalement, les résultats obtenus.
2-FORMALISME 71/
Par la suite les notations employées seront les suivantes : x : restriction de la variable x au domaine d'interaction, Xe : grandeurs de x extérieures au domaine de l'interface.
De plus, dans les expressions matricielles, on adopte la convention suivante : les indices associés aux quantités matricielles (vecteurs et matrices) caractérisent le nombre de colonnes et les exposants le nombre de lignes; cette notation n'est valable que pour les vecteurs et les matrices.
C1) Cette étude a été réalisée au Département Acoustique et Mécanique Vibratoire
Direction des Etudes et Recherches Electricité De France 1, av du Général De Gaulle 92141 CLAMART Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990258
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Le svstème a-
Soient p et v, les pressions et les vitesses acoustiques en tout point du domaine physique constitué par la cavité et ses frontières. La réponse du système acoustique à une excitation sonore de pulsation w caractérisée par sa vitesse est donnée par l'équation différentielle de Helmholtz :
( A
+
k2 ) p = v où A représente l'opérateur différentiel de Laplace et k le nombre d'onde.Supposons qu'une suite de n vecteurs libres de l'espace vectonel des pressions T, génératrice d'un sous- espace I>, de P e t dénotée Ep= [el,e2,
...,
en] existe; un élément de Tn s'écrit :pn(M) = I: ei(M) Pi = Ep Pn et Pn = (Ep-', pn)
De même pour l'espace vectonel des densités de sources
'C!
soit Ep-l= [~1,&2,...,
une base deVn
telle que (ej,Ei)=6ij où &j est le symbole de Kronecker. Par analogie, pour tout élément vn deVn
nous avons : Vn = 'Ep-1 Vn et Vn = (tEp, vn).
L'application %telle que
%
= v s'écrira pour un élément de4
: = vn.
La représentation mamciellr de cette application est : [Wnn (Ep-l, pn)" = (Ep, vn)".
h ( M ) = Fp(M)ln [H-lInn (Ep, vn)" pour tout point du domaine acoustique.
Le svstème mécanique.
Soient u et f, les vitesses de déplacement vibratoire et les charges mécaniques en tout point du domaine physique que constitue une paroi. L'opérateur, qui caractérise le comportement vibratoire de la plaque soumise à une perturbation f, est représenté par l'application : Lu = f
.
Par analogie avec le système acoustique, nous supposons qu'existe une suite Eu de r vecteurs libres de l'espace des déplacements vibratoires. EU = [el,e2,...,
er].
Si cette suite est génératrice d'un sous-espace Ur, alors elle constitue une base de dont un élément s'écrit :ur(M) = Z ei(M) Ui = Eu Ur et Ur = (Eu-', ur)
On définit les fonctions Ej telles que : (&j,ei) = Sij ; on a alors : (Ej,ur) = Uj .Les éléments Ej constituent une base pour l'espace vectoriel des forces mécaniques
Fr
dénotée.
Un élément de s'écrira :fr = tEU-1 Fr et Fr = (E,, fr ).
L'application L telle que : Lu = f s'écrira pour un élément de Ur : G u r = fr
.
La représentation matricielle de cette application est :&Irr
Ur = Fr.
Soit [L-l],' la mamce inverse de [LIr' de sorte que i'on ait : ur(M) = Eu(M)Ir &-13 f ('EU, f;)' pour tout point du domaine mécanique.Eauation du couplage.
D'une manière générale, le problème de l'interaction acoustique-mécanique s'écrit : X ~ n = v n +vne Lrur=fr
Substituer y,, par de sorte que y,,(M) = k(M) pour tout M appartenant au domaine commun aux frontières des domaines acoustique et mécanique.
Substituer & par E, de sorte que &(M) = &(M) pour tout M appartenant au domaine commun aux frontières des domaines acoustique et mécanique.
p, , restriction de pn au domaine interface paroi / cavité peut s'écrire :
a(M)
= &(M)lm avec = (Ep-1 , &)m et m < n et b , restriction de vn au domaine interface peut s'écrire :b ( M ) = [EP-l(M)lm Ym avec
y m
= (tEp, b ) m et m < n De même, , restriction de Ur au domaine interface peut s'écrire :&(M) = &(M)], avec u s = ( Eu-1 , k ) s et s < r
En tenant compte des notations précédentes, le problème de l'interface est formulé de la façon suivante Trouver les vecteurs Pn et W tels que :
ltEp-l1n [+Inn Pn = Euls
P
+ vne et ['Ey-l1n [LIr Ur, =E p l m Pm
+-fr-e Ces équations peuvent être reécrites en ne considerant que les points d interface :P m = m-l]mn (tEp,h )"s
+ E-'lmn
(tEp,vne)"-
Us = &-llsr (Qu,Ep )'m
Pm
+ &-'Isr (Qu;f,)'-
La résolution est alors effectuée sur les
p
en substituant dans la deuxièmc équation. Après calcul on obtient : US = { [ I ~ s - ~ - - i l ] S r ('EU,& , )' @-'lmn (tEp,EUI
IL-'Isr (Eu&p )'rn(H-'Imn (Qp,vne)" +IL-'lsr ( E ~ , f r e ) ~ )Le vecteur représente les coordonnées généralisées du déplacement de la paroi qui est dû au couplage; la paroi se comporte comme une source réelle au même titre que les sources extérieures. La résolution finale est donc ceile d'un problème acoustique non-couplé :
[Hlnn Pn = ('Ep,EU 1"s
P
+ (Qp,vne)"Trans~arence acoustique.
La transparence acoustique 2 d'une plaque entre deux cavités, lorsque la seconde cavité possède une paroi absorbante ou lorsque les conditions aux limites de la seconde cavité sont des conditions dites de SOMMERFELD, est définie par la relation : z = Wt 1 Wi où Wt représente l'énergie acoustique transmise dans la cavité récepmce et Wi l'énergie acoustique émise par la cavité où sont localisées les sources. L'indice d'affaiblissement acoustique R est une caractéristique des plaques et est donné par : R
= 10 Log(l/z) 131. Ce coefficient ne permet pas de caractériser la transmission lorsque les deux cavités ont des parois quelconques. On définit le coefficient y par : y = P2,t 1 P2rni où P2mt et P2mi représentent respectivement la moyenne des carrés des modules de pression acoustique dans la cavité récepmce et dans la cavité émémce.
3 - GEOMETRIE.
Les deux cavités et la plaque sont inclus dans un domaine parallèlépipèdique dont les 6 plans sont définis par leurs dimensions et caractérisés par leur impédance acoustique spécifique (complexe). La géoméme de la cavité est décrite à l'aide de plans parallèles aux trois axes du repère de base. Chaque plan de description de la géoméme est munie d'une valeur d'impédance acoustique spécifique qui caractérise la réflexion des ondes acoustiques sur ces surfaces.
Les sources sont également définies par des plans rectangulaires dont les dimensions, la position et l'orientation sont spécifiées. Chaque surface de source est caractérisée par l'impédance acoustique spécifique du matériau en mouvement et par la vitesse vibratoire normale (complexe).
La plaque analysée dans le cadre de la transparence acoustique est définie par deux plans horizontaux munis d'une impédance spécifique donnée.
4- RESULTATS.
Dans un premier temps, la plaque est supposée en appui simple aussi la discrétisation du système mécanique est effectuée par analyse modale 141.
Dans le premier cas, la configuration géométrique /numérique est la suivante :
dimensions des 2 cavités x = y = 4m z = 3m; fréquence d'excitation de la source extérieure : 10 Hz;
nombre de points par longueur d'onde 68; nombre de points de discrétisation du problème : 9 suivant x et y, 15 suivant z.
dimension de la plaque : 2 x 2 m
.
La source est représentée par un plan de 50 x 50 cm située au centre du ulan d'indice nodale en z = 15. Vitesse comulexe de la source : (0.02;-0.03)ans
le premier cas (testl), toutes les des 2 cavités sont réfléchissantes; dans le second (tesa), toutes les parois sont réfléchissantes sauf la paroi d'indice nodale en z =1 qui est absorbante.La plaque est située dans le plan XY. Ses caractéristiques sont : épaisseur variable; masse volumique 200 kgJm3; module d'Young : 1.2 1010 NIm2; coefficient de Poisson : 0.3; perte interne : 0.02.
Le nombre de modes pris en compte pour la représentation modale est fixé à 8. Il correspond à la prise en compte 89% de l'énergie mécanique.
Les fréquences modales en Hz sont : fil= 36.8; f12=92; f13=184; f23=239 Hz.
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Q Gamma : testl
*
Gamma: lest2epaisseur cm
Fig : Coefficient y en dB : comparaison des 2 configurations géométriques.
On remarque un écart de l'ordre de 7dB entre les 2 cas. Le niveau sonore moyen est plus élevé dans la seconde cavité lorsque toutes les parois sont réfléchissantes.
Afin d'envisager l'étude de plaques encastrées, la discrétisation de la plaque a été réalisée par éléments fmis.
Une comparaison a été effectuée avec les cas précédant afin de valider le nouveau logiciel.
Pour une plaque de 1 cm d'épaisseur et une configuration géomémque identique à celle du cas testl (avec une paroi absorbante), les résultats sont les suivants:
1 côté encasaé et 3 côtés en appuis simples ( nbre de degrés de liberté mécanique: 90) y = 22.48 dB 4 côtés encastrés ( nbre de degrés de liberté mécanique: 75) y = 38.33 dB 2 côtés encastrés et 2 côtés en appuis simples ( nbre de degrés de liberté : 85) y = 31.18 dB 2 côtés libres et 3 côtés encastrés ( nbre de degrés de liberté : 105) y = 22.48 dB 4 côtes libres ( nbre de degrés de liberté mécanique : 147) y = 20.61 dB On remarque que plus la plaque est fixée, plus l'atténuation acoustique est importante. Cela est du au fait que la plaque, qui constitue la seule source acoustique de la seconde cavité, a des contributions en vitesse plus faibles.
5
-
CONCLUSIONLe logiciel développé durant cette étude permet de prédire les niveaux sonores dans les locaux séparés par des cloisons. il a été mis en évidence que la caractérisation de la transparence acoustique de paroi dépend fortement de l'environnement acoustique, à savoir les impédances de paroi des cavités.
REFERENCES
111 E. LUZZATO "Analyse de l'interaction entre systemes dynamiques linéaires' ler Congrès Acoustique de la S.F.A Avril 1990
121 R.H LYON "Statisticai Energy Analysis of dynamicai systemes : Theory and applications."
The M.1.T Press, Cambridge MA, 1975 131 C. LESUEUR "Rayonnement acoustique des structures"
Collection de la Direction des Etudes et Recherches d'Electricité de France EYROLLES 1988 141 R.D BLEVINS " Formulas for natural frequency and mode shape"
Van Nosaand Reinhold Company inc p 252-261 1979
